Diskussion:Axiomenschema

Formulierungen

Ich bin mit zwei Formulierungen des Artikels nicht so glücklich:

• Ein derartiges Axiomensystem muss nicht als eine unendliche Menge aufgefasst werden. Es muss aber entscheidbar sein, ob ein gegebener Ausdruck ein Axiom des Systems ist. Wieso ist das keine "unendliche Menge"? Es ist doch eine entscheidbare unendliche Menge. Vielleicht ist "nicht aktual unendlich" gemeint, aber so ist das etwas verwirrend formuliert.
• Ein Axiomenschema (Plural: Axiomenschemata) wird durch eine rekursive Definition beschrieben Nicht unbedingt, die Definition muss zwar µ-rekursiv im Sinne von berechenbar sein, aber die metasprachliche Definition von Induktion, Ersetzung etc. benutzt keine Rekursion im klassischen Sinn.

Ich würde diese Punkte entsprechend umfornulieren, aber erstmal würde ich um Rückmeldung bitten, falls jemand das anders sieht. Grüße--Schreiber ✉ 11:58, 22. Feb. 2012 (CET)

Antwort zur Frage "Formulierungen"

• Es soll bei diesem Artikel nicht um die Frage gehen, ob unendliche Mengen existieren. Daher wurde insbesondere bei Ein derartiges Axiomensystem muss nicht als eine unendliche Menge aufgefasst werden. auf Potentielle und aktuale Unendlichkeit verlinkt. Welche Formulierung wäre denn in diesem Falle geeigneter?
• ... die metasprachliche Definition von Induktion, Ersetzung etc. benutzt keine Rekursion im klassischen Sinn.: 1.) Die Verwendung des Begriffs Induktion für Rekursion ist im wesentlichem historisch bedingt, dieser Bregriff ist in dieser Verwendung immer noch verbreitet und auch verständlich, aber eben nicht so treffend wie Rekursion. 2.) Eine Analyse sog. metasprachlicher, "intuitiver" Induktionen, Ersetzungen, etc. führt in exakter (d. h. hier mathematischer Beschreibung) letztlich auf rekursive Definitionen hinaus. Dies ist eine Interpretation der Church-Turing-These. Vielleicht handelt es sich aber auch bei diesem Punkt um eine Frage der geeigneten Formulierung. (nicht signierter Beitrag von 160.45.152.6 (Diskussion) 19:06, 6. Mär. 2012 (CET))

Danke für die Antwort.

• Okay, verstehe. Ich finde

Ein derartiges Axiomensystem muss nicht als eine aktual unendliche Menge aufgefasst werden.

klarer.

• Das war wohl ein Missverständnis. Ich meinte mit Induktion, Ersetzung etc. das Induktionsschema der erststufigen Arithmetik und das Ersetzungsschema von Zermelo-Fraenkel als Beispiele, deren normale metasprachliche Definition nicht rekursiv ist. Eine rekursive Definition eines Prädikats beinhaltet ja das Prädikat selbst, aber etwa das Prädikat "ist Induktionsaxiom" kann man ohne rekursiven Aufruf von "ist Induktionsaxiom" (wenngleich mit Benutzung des selbst rekursiv definierten Prädikats "ist Formel") definieren. Axiomenschemata lassen sich auch so formalisieren, dass man gar keine Rekursion braucht (z.B. als Lösungsmenge einer diophantischen Gleichung). Ich würde deswegen das mit der Rekursion rausnehmen:

Ein Axiomenschema (Plural: Axiomenschemata) wird meist durch eine Formel beschrieben, in der (ein oder mehrere) metasprachliche Platzhalter (Schema-Variablen) vorkommen, die über Formeln (bzw. über Terme etc.) variieren.

Grüße--Schreiber ✉ 13:22, 7. Mär. 2012 (CET)

Zu den Vorschlägen bzgl. der Formulierungs-Fragen

• Ein derartiges Axiomensystem muss nicht als eine aktual unendliche Menge aufgefasst werden.

Ich dachte, die Frage nach der (aktualen) Existenz unendlich großer Objekte hier aufzumachen, wären in diesem Artikel etwas vom Wege abführend. Wenn, wie vorgeschlagen, nun in diesem Satz aktual eingefügt würde, könnte auch das wiederum beim Lesefluß zu Irritation führen. Eigentlich sollte die ursprüngliche Version etwas innehalten vor einer bedingungslosen Akzeptanz unendlicher Gesamtheiten. Es scheint, dies ist zumindest in einem Fall geschehen.

• Normale metasprachliche Definition des Induktionsschema (Arithmetik) und Ersetzungsschema (ZFC) nicht rekursiv.

Ich weiß nicht, ob das hier ein Missverständnis war. Die mittels des Induktionsschemas definierten Axiome werden rekursiv über den Aufbau der (arithmetischen) prädikatenlogischen Formeln definiert, ebenso die Axiome des Ersetzungsschemas über den Aufbau der Formeln der mengentheoretischen logischen Sprache. Das dieser Umstand oft unerwähnt bleibt, sollte nicht unbedingt dazu Anlaß bieten, auch in diesem Artikel "durch Weglassen" es bei einem Appell an Vorstellungen des Lesers zu belassen.

• Ein Axiomenschemata als Lösungsmenge einer diophantischen Gleichung ist mir bisher verborgen geblieben: Bitte ein echtes Beispiel.(nicht signierter Beitrag von 160.45.152.6 (Diskussion) 18:56, 9. Mär. 2012 (CET))

Wenn Du meinst, ich habe die Formulierungen ja offensichtlich falsch verstanden und würde den Sachverhalt anders formulieren, aber okay. Das mit den diophantischen Gleichungen ergibt sich aus Hilberts 10. Problem, da die Menge der Gödelnummern der passenden Axiome berechenbar ist. Konkret eine Gleichung angeben kann ich (zumindest ohne größeren Aufwand...) nicht, aber es ging mir nur darum, zu zeigen, dass man zur formalen Charakterisierung eines Axiomenschemas nicht unbedingt Rekursion braucht. PS. Ich fass die Abschnitte mal zur Vereinfachung für zukündtige Diskussionen etwas zusammen. Grüße--Schreiber ✉ 19:11, 9. Mär. 2012 (CET)

Zu diophantischen Gleichungen (Hilberts 10. Problem)

Bei diesem Artikel sollte es eigentlich nicht um eine Diskusion über die verschiedenen Möglichkeiten zur Darstellung rekursiver Mengen gehen. Es geht in erster Linie darum, die gewöhnliche Bedeutung des Begriffs zu klären. Vieleicht könnte man anmerken, daß sich die Verwendung von Induktion, Ersetzung etc. in mathematischer Begrifflichkeit auf Rekursion reduzieren läßt.

Natürlich (das mit den Gleichungen würde ich auch auf keinen Fall in den Artikel schreiben). Mir ging es nur darum, zu verdeutlichen, dass man nicht Rekursion im klassischen Sinn braucht, sondern Entscheidbarkeit. Das mit der Reduktion auf Rekursion steht im Artikel ja schon drin, von mir aus kann man ihn so lassen.--Schreiber ✉ 21:51, 9. Mär. 2012 (CET)

Danke.

Gerade, wenn man die Axiome nicht als Menge aufgefaßt werden (sollen), muß entscheidbar sein, ob ein gegebener Ausdruck ein Axiom des Systems ist. Diesen Beweis kann man induktiv führen. Das geht aber nur in den Fällen, in denen die Schema-Variablen über eine Gesamtheit variieren, die selbst rekursiv aufgebaut ist.

Ich möchte folgenden Vorschlag machen.

... wird die Rekursion dabei auch oft über den (rekursiven) Aufbau der Formeln geführt. In der Praxis ist mitunter die eigentliche Rekursion nicht ganz treffend auch als intuitive Ersetzung, etc. formuliert. (nicht signierter Beitrag von 160.45.152.6 (Diskussion) 19:37, 13. Mär. 2012 (CET))

Danke, diese Formulierung macht es für mich deutlich klarer. Grüße--Schreiber ✉ 19:41, 13. Mär. 2012 (CET)

Korrekturen bei Rechtschreibung und Grammatik in meinen Beiträgen

• Bei Antwort zur Frage "Formulierungen", Punkt ... die metasprachliche Definition von Induktion, Ersetzung etc. benutzt keine Rekursion im klassischen Sinn:

"Begriff" statt "Bregriff".

• Bei Zu den Vorschlägen bzgl. der Formulierungs-Fragen, Punkt Normale metasprachliche Definition des Induktionsschema (Arithmetik) und Ersetzungsschema (ZFC) nicht rekursiv:

"Daß dieser Umstand" statt "Das dieser Umstand".

• Bei Zu den Vorschlägen bzgl. der Formulierungs-Fragen, Punkt Ein Axiomenschemata als Lösungsmenge einer diophantischen Gleichung ...:

"Ein Axiomenschema" statt "Ein Axiomenschemata".

• Bei Zu den Vorschlägen bzgl. der Formulierungs-Fragen:

des Induktionsschema, des Induktionsschemas: Genitivbildung sollte einheitlich gehalten werden. (nicht signierter Beitrag von 160.45.152.6 (Diskussion) 14:51, 23. Mär. 2012 (CET))

• Bei Antwort zur Frage "Formulierungen", Punkt ... die metasprachliche Definition von Induktion, ...:

"... in exakter (d. h. hier mathematischer) Beschreibung letztlich ..." statt "... in exakter (d. h. hier mathematischer Beschreibung) letztlich ...".

• Bei Zu diophantischen Gleichungen ...:

"Gerade, wenn die Axiome nicht als Menge aufgefaßt werden (sollen) ..." statt "Gerade, wenn man die Axiome nicht als Menge aufgefaßt werden (sollen) ...". (nicht signierter Beitrag von 160.45.152.6 (Diskussion) 15:01, 17. Apr. 2012 (CEST))

Korrektur beim Abschnitt "Ersetzbarkeit"

Leider habe ich den Inhalt des Satzes von Lindström nicht richtig dargestellt. Bitte die Korrektur beachten! (nicht signierter Beitrag von 130.133.155.68 (Diskussion) 19:48, 26. Sep. 2019 (CEST))