Diskussion:Basis (Topologie)

Basis abgeschlossener Mengen äquivalente Charakterisierung falsch?

Die zweite Charakterisierung für eine Basis der abgeschlossenen Mengen, scheint mir falsch. Wenn ${\mathcal {C}}=\{\emptyset \}$, dann gelten die beiden Bedingungen, aber $X$ lässt sich nicht als Schnitt der Mengen aus ${\mathcal {C}}$ darstellen.

Neu erstellt

Ich habe heute diesen Artikel neu erstellt, weil (aus meiner Sicht) im Artikel Umgebung (Mathematik) Beispiele u. ä. stehen, die in diesem Artikel deplatziert sind. Siehe Diskussion:Umgebung (Mathematik). --KleinKlio 22:19, 1. Okt 2006 (CEST)

Meine Hauptquelle ist die im Artikel genannte:

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2., neubearb. und erweiterte Auflage. Berlin u. a. 1979, Springer-Lehrbuch, ISBN 3-540-09799-6

Dort die Seiten 19-21.--KleinKlio 22:21, 1. Okt 2006 (CEST)

Ich habe es mit der dritten Auflage verglichen und die Quellenangabe entsprechent geändert. --Squizzz 22:59, 1. Okt 2006 (CEST)

Widerspruch?

Ich verstehe diesen Satz nicht: Ein Mengensystem ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ von Teilmengen der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$ einer Grundmenge $X$ ...

Einerseits ist S eine Teilmenge von ${\mathcal {P}}(X)$, aber andererseits auch ein System von Teilmengen von ${\mathcal {P}}(X)$. Nijdam (Diskussion) 22:37, 15. Jun. 2013 (CEST)

Danke, das war Quatsch. --Chricho ¹ ² ³ 23:22, 15. Jun. 2013 (CEST)

--Kgrill (Diskussion) 09:32, 9. Jun. 2014 (CEST)== Basis vs. Umgebungsbasis ==

Eine Umgebungsbasis muss nicht aus offenen Mengen bestehen. Deshalb brauchen die letzten beiden Beispiele unter "Eigenschaften" den Zusatz, dass die Umgebungsbasen aus offenen Mengen bestehen müssen. (nicht signierter Beitrag von Kgrill (Diskussion | Beiträge) 08:46, 9. Jun. 2014 (CEST)) Nachtrag: Die letzte Behauptung unter "Eigenschaften" ist falsch. Klassisches Gegenbeispiel ist die Sorgenfrey-Gerade (die reellen Zahlen mit {[x,y), x<y} als Basis. Zu jedem Punkt gibt es eine abzählbare Umgebungsbasis, die rationalen Zahlen liegen dicht, aber es gibt keine abzählbare Basis.

Danke! --Chricho ¹ ² ³ 18:19, 3. Okt. 2014 (CEST)

Mögliches Problem mit der Definition von "Basis einer Topologie"

Die Definition schließt nicht ein, dass alle Vereinigungen von Basismengen offen sein müssen. Später im Artikel wird das aber vorausgesetzt: Es heißt dort, eine Basis auf einer Menge sei die Basis einer eindeutig bestimmten Topologie. Aber mit der aktuellen Definition von "Basis einer Topologie" ist jede Basis einer Menge z.B. auch die Basis der trivialen Topologie.

Dieses Problem fand ich auch auf der englischen Wikipedia-Seite.

Was sollte man hier tun? (nicht signierter Beitrag von Carsten Führmann (Diskussion | Beiträge) 19:25, 3. Jan. 2017 (CET))

So ganz verstehe ich das nicht. Bestimmt man die Basis einer vorgegebenen Topoogie, so sind die Mengen in der Basis immer offen. Da beliebige Vereinigungen von offenen Mengen offen sind sind auch beliebige Vereinigungen von Basismengen offen. Zum zweiten Teil: Dort existiert per se keine Basis, sondern man definiert ein Mengensystem als Basis einer Topologie. Die offenen Mengen dieser Topologie sind dann die Mengen dieser Basis (d.h. des Mengensystems, das man zur Basis erklärt hat) und alle Vereinigungen von beliebige vielen Mengen der Basis (Mengensystems). Zur eindeutigkeit: Aus der Basis gewinnt man die Topologie wieder, indem man alle möglichen Kombinationen von Basismengen bildet und diese dann vereinigt(jede Kombi für sich, nicht untereinander) . Erklärt das irgendetwas? --NikelsenH (Diskussion) 21:02, 3. Jan. 2017 (CET)

Danke und Entschuldigung, das war ein Faux-Pas von mir, den ich kurz vor Ihrer Antwort selbst bemerkte: Ich hatte tatsächlich wiederholt überlesen, dass die Basis-Mengen offen sein müssen! Ich bin sehr neu beim Editieren von Wikipedia - kann man meinen Beitrag hier löschen? (nicht signierter Beitrag von Carsten Führmann (Diskussion | Beiträge) 22:54, 3. Jan. 2017 (CET))

Diskussionsbeiträge werden eigentlich unverändert gelassen. Mach dir keinen Kopf deshalb. Ich selber bin schon in sehr viele Fettnäpfchen getreten, das ist nicht schlimm. Hier sind alle nur Menschen. Und schließlich gilt: Sei mutig! Grüße --NikelsenH (Diskussion) 10:36, 4. Jan. 2017 (CET)

Danke für die Info! --Carsten Führmann (Diskussion) 18:13, 4. Jan. 2017 (CET)