Diskussion:Beschränkter Operator

Beispiele

Der zweite Punkt bei den Beispielen ist mMn nach so nicht richtig, vgl. das Gegenbeispiel in Äquivalente Normen#Unendlichdimensonal. -- HilberTraum (d, m) 19:47, 20. Sep. 2019 (CEST)

Es wird ja nicht behauptet, dass Normen immer äquivalent sind, sondern nur dass dann die Identitätsabbildung stetig ist.—Godung Gwahag (Diskussion) 22:51, 20. Sep. 2019 (CEST)

Ich lese da „genau dann“, also auch: Wenn die Identitätsabbildung stetig ist, dann sind die Normen äquivalent. Das stimmt aber doch nicht, oder? -- HilberTraum (d, m) 23:25, 20. Sep. 2019 (CEST)

Ich sehe deinen Punkt. Die jetzige Formulierung („beide Identitätsabbildungen“) sollte in Ordnung sein.—Godung Gwahag (Diskussion) 23:38, 20. Sep. 2019 (CEST)

Wie kann es denn zwei Identitätsabbildungen auf einem Vektorraum geben? --Christian1985 (Disk) 20:48, 16. Okt. 2019 (CEST)

Ich meinte die Identitätsabbildung und ihre Umkehrabbildung (Inverse). Eine bessere Formulierung fällt mir nicht ein.—Godung Gwahag (Diskussion) 08:05, 17. Okt. 2019 (CEST)

Ah jetzt habe ich es verstanden. Danke! --Christian1985 (Disk) 17:31, 17. Okt. 2019 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:31, 17. Okt. 2019 (CEST)

Verschiedene Kritikpunkte

Ich habe zur jetzigen Version des Artikels verschiedene Anmerkungen: 1. Der erste und dritte Satz der Einleitung sind sprachlich inkorrekt. Korrekt wäre etwa: In der Mathematik werden stetige lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen als stetige Operatoren bezeichnet.
2. Es fehlen diverse Verlinkungen (z.B. lineare Abbildung, normierter Raum). Sehe gerade, dass sie nur später kommen. Gibt es dafür einen Grund?
3. Der zweite Satz in Klammern stört den Lesefluss. Den sollte man nach hinten ziehen.
4. Eventuell sollte man in der Einleitung auch erwähnen, dass dies zum mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis gehört
5. Die stetige Fortsetzung ganz am Ende ist eindeutig (selbst ohne die Bedingung an die Norm), das sollte man hinzufügen. Eventuell noch darauf hinweisen, dass dies aus der gleichmäßigen Stetigkeit folgt.
6. Zum Raum der stetigen Operatoren sollte man in meinen Augen noch weiterführende Hinweise geben. Immerhin gibt es ja umfangreiche Theorien zu dessen Struktur.

Die Punkte 1.-3. und 5. sind jetzt erledigt. Punkt 4. bin ich nicht so dafür, weil beschränkte Operatoren in der Mathematik eigentlich überall vorkommen, nicht nur speziell in der Funktionalanalysis, wo sie definiert werden. Punkt 6. bin ich sehr dafür und wäre für Hinweise auf brauchbare Quellen dankbar.—Godung Gwahag (Diskussion) 20:07, 2. Nov. 2019 (CET)

Das sind aber alles Details. Mein Hauptkritikpunkt ist die merkwürdige Darstellung, die ich als "vom Rücken durch die Brust ins Auge" bezeichnen würde. Richtiger wäre für mich eine Darstellung auf folgender Grundlage:

Es gibt eine Definition von Stetigkeit von Funktionen zwischen beliebigen topologischen Räumen (oder, wenn man es nicht so allgemein halten will, metrischen oder normierten Räumen). Daraus folgt bereits, wann eine lineare Abbildung als stetig zu bezeichnen ist. Eine nochmalige Definition von Stetigkeit für lineare Abbildungen ist also überflüssig. Dass die drei ersten angegebenen Bedingungen äquivalent sind, hat z.B. gar nichts damit zu tun, dass $T$ eine lineare Abbildung ist. Das gilt schlicht für jede Funktion von $X$ nach $Y$. Ihre Äquivalenz hier nochmal zu erwähnen halte ich nicht nur für redundant, sondern für irreführend, weil eben der Eindruck entstehen könnte, die Linearität von $T$ sei hier von Bedeutung.

Man kann aber feststellen, dass es im Fall einer linearen Abbildung noch drei weitere Bedingungen gibt, die ebenfalls äquivalent sind (die letzten drei). Die letzte der drei ist dann die Motivation, als Synonym von der Beschränktheit zu sprechen. Wobei man unbedingt darauf hinweisen sollte, dass diese Definition von Beschränktheit nicht mit der normalen Definition von Beschränktheit einer Funktion übereinstimmt. Eventuell noch darauf hinweisen, dass dieses Kriterium äquivalent ist dazu, dass die Einschränkung der Funktion auf die Normeinheitskugel eine beschränkte Funktion im üblichen Sinne ist.

Ich kenne das im Literaturverzeichnis angegebene Buch nicht. Kann sein, dass der Autor den in der jetzigen Version des Artikels beschriebenen Zugang wählt, z.B. weil ihn der Begriff der allgemeinen Stetigkeit von Funktionen nicht interessiert (bzw. stetige Funktionen für ihn nur als Elemente von Funktionenräumen interessant sind und er bewusst zwischen diesen und den Operatoren unterscheiden will). Ich wage aber die Behauptung, dass es auch andere Bücher gibt, die eine Darstellung wählen, die deutlich näher an dem liegen, was ich oben beschrieben habe. Für ein Projekt wie die Wikipedia, das ja alle mathematischen Fachbegriffe (ab einer gewissen Relevanz) beschreibt, halte ich einen solchen Ansatz für deutlich besser. Man sollte die Zahl der Definitionen, die man benötigt, nicht unnötig aufblähen. --Stephan2802 (Diskussion) 20:38, 21. Sep. 2019 (CEST)

Das Buch von Dirk Werner ist eigentlich das heute meistverwendete Lehrbuch zur Funktionalanalysis, jedenfalls im deutschsprachigen Raum. Die anderen Punkten werde ich, wenn mir niemand zuvorkommt, mir in zwei Wochen in Ruhe anschauen (weil ich bis dahin verreist bin). Stetigkeit von Operatoren nicht als Definition, sondern als Eigenschaft (bzgl. der bekannten Definition der Stetigkeit von Funktionen) zu betrachten, ist sicher eine Möglichkeit. Ich werde mal anschauen, wie das sonst in der Literatur gemacht wird.—Godung Gwahag (Diskussion) 23:11, 21. Sep. 2019 (CEST)

Ein weiterer Punkt ist, dass es bereits zwei Artikel über Operatoren gibt, nämlich Operator (Mathematik) und Linearer Operator. Gemäß dem ersten gibt es sowohl lineare als auch nichtlineare Operatoren (sonst macht der zweite auch keinen Sinn). Auch ein nichtlinearer Operator kann natürlich eine stetige Funktion sein. Dann würde man ihn wohl als stetigen Operator bezeichnen. Gemäß diesem Artikel ist aber ein stetiger Operator automatisch linear. Das ist zumindestens merkwürdig.

Tatsächlich vermute ich (müsste man in der Literatur verifizieren), dass hier zwei unterschiedliche Sprechweisen aufeinander stoßen. Für den einen Autor ist ein Operator immer eine lineare Abbildung. Dann kann man stetige bzw. beschränkte Operatoren definieren wie hier im Artikel geschehen. Für andere Autoren (an denen sich die anderen beiden Artikel orientieren) können Operatoren auch nichtlinear sein. Dann müsste man in diesem Artikel von stetigen bzw. beschränkten linearen Operatoren sprechen.

Der jetzige Zustand vermischt aber beide Sichtweisen, was inkonsistent ist. --Stephan2802 (Diskussion) 16:54, 22. Sep. 2019 (CEST)

Ich muss noch einen Kritikpunkt hinzufügen. Der Artikel unterschlägt ein weiteres Kriterium für die Beschränktheit, das man sogar vorzugsweise als das definierende nehmen sollte: Ein linearer Operator heißt beschränkt, wenn er beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen abbildet. Diese Definition hat nicht nur den Vorteil, dass leicht verständlich ist, wieso man für sie den Begriff 'beschränkt' gewählt hat. Es ist auch die Definition, die man verwendet um Beschränktheit von Operatoren zwischen topologischen Vektorräumen zu definieren. So wird es auch im Artikel Bornologischer Raum erklärt. Bei der Formulierung dieses (neuen) Artikels sollte der Inhalt des bereits existierenden Artikels zu bornologischen Räumen berücksichtigt werden. Natürlich kann es auch sein, dass man den existierenden Artikel anpasst (mindestens durch Einführung einer Verlinkung). -.-Stephan2802 (Diskussion) 18:11, 25. Sep. 2019 (CEST)

Wahrscheinlich sollte man das im Rahmen eines neuen Abschnitts über beschränkte Operatoren auf lokalkonvexen Räumen machen. Für diese wird Beschränktheit wie von Dir angegeben definiert und man kann dann erwähnen, dass das für normierte Räume mit den weiter oben angegebenen äquivalenten Definitionen übereinstimmt. In einem solchen Abschnitt könnte man dann auch bornologische Räume erwähnen.—Godung Gwahag (Diskussion) 20:07, 2. Nov. 2019 (CET)

Ergänzung: Die Definition findet sich in der Wikipedia bereits: Beschränktheit#Beschränkte Abbildungen --Stephan2802 (Diskussion) 17:18, 27. Sep. 2019 (CEST)

Ja, es gibt auch nicht-lineare Operatoren. So zum Beispiel im Buch Klaus Deimling: Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade. --Christian1985 (Disk) 01:20, 29. Sep. 2019 (CEST)

Das bezieht sich wohl auf den Punkt darüber. --Stephan2802 (Diskussion) 21:58, 29. Sep. 2019 (CEST)

Ich schaue mir gerade in der Bibliothek die Bücher von Alt, Hirzebruch-Scharlau und Heuser an, womit neben dem Werner wohl die wesentlichen deutschsprachigen Lehrbücher zur Funktionalanalysis abgedeckt sein müssen. Bei Alt (und auch in John B. Conway’s „A course in functional analysis“ wird i.W. derselbe Ansatz wie bei Werner gewählt, wie er jetzt im Artikel steht. (In K. yosida’s „Functional analysis“ ist es ähnlich, aber dort wird alles in einem allgemeineren Rahmen gemacht.) Auch bei Hirzebruch-Scharlau ist Stetigkeit der primäre und Beschränktheit der abgeleitete Begriff. Dagegen motiviert Heuser zunächst die Definition der Beschränktheit und kommt erst dann zur Äaquivalenz von Stteigkeit und Beschränktheit.

Ich finde aber deine Sichtweise sehr nachvollziehbar, zumal der Name des Artikels ja „Beschränkter Operator“ ist. Ich wäre also auch dafür, im Stile von Heuser mit der Definition beschränkter Operatoren zu beginnen und dann die Stetigkeit (die die allgemeine Definition von Stteigkeit beliebiger Funktionen ist) als äquivalente Eigenschaft herauszustellen. Weil ich gerade in der Bib bin und die Bücher nicht mit nach Hause nehmen möchte, werde ich mal gleich damit beginnen,das umzusetzen. (Falls es dafür keinen Konsens gibt, kann die alte Version ja mit einem Klick wieder hergestellt werden.)—Godung Gwahag (Diskussion) 13:55, 10. Okt. 2019 (CEST)

Es freut mich, dass wir hier übereinstimmen. Ich gehe jetzt erstmal in den Urlaub und schaue danach mal, wie sich der Artikel entwickelt hat. Ich möchte aber nochmal darauf hinweisen, dass man in irgendeiner Form auch den Fall der linearen Operatoren zwischen topologischen Vektorräumen behandeln sollte. Im Augenblick haben wir die merkwürdige Situation, dass es im Lemma Beschränktheit ein Unterkapitel gibt, das beschränkte Operatoren allgemein diskutiert, während das Lemma "Beschränkter Operator" nur den (wenn auch wichtigsten) Spezialfall behandelt. --Stephan2802 (Diskussion) 18:37, 10. Okt. 2019 (CEST)

Siehe meinen Kommentar weiter oben. Man könnte wohl einfach ein paar Sachen aus Bornologischer Raum übernehmen.—Godung Gwahag (Diskussion) 20:09, 2. Nov. 2019 (CET)