Diskussion:Beschränktes symmetrisches Gebiet

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Verständlichkeit des Beispiels

Hallo Butäzigä, danke für das Beispiel! Ich habe dazu einige Fragen:

• Müsste es nicht ${\bf {D}}=\left\{z\in \mathbb {C} \colon \Vert z\Vert \leq 1\right\}$ heißen, da es die Kreisscheibe und nicht nur der Kreis ist?
• Was ist denn d in der Metrik und könntest du noch anschaulich erläutern, was diese Metrik „misst“? Wenn $\Vert z\Vert =1$ steht im Nenner des Bruchs eine 0, d.h. zum Rand der Kreisscheibe hin(?) geht die Metrik ins Unendliche? Oder ist der Kreis selbst gar nicht mehr Teil der hier betrachteten Scheibe?
• Wo sind die Punkte x? Ist es einfach ein $x\in {\bf {D}}$?
• Eine Punktspiegelung ist etwas, was sich wohl die meisten Menschen vorstellen können. Ich bringe aber gerade noch das eingefügte Bild und die Metrik nicht damit zusammen. Kannst du das vielleicht noch anschaulicher oder an einem konkreten x erläutern?

Darüber hinaus wäre es denke ich noch gut, wenn im Artikel kurz erwähnt würde, wozu man beschränkte symmetrische Gebiete benötigt bzw. was sie interessant macht. Soweit ich bei meinen Recherchen gesehen habe, sind sie ein grundlegendes Konzept, auf dem dann aufgebaut wird. Mir fehlen aber Fachkenntnis und Überblick, um das angemessen zu beschreiben.--Cirdan ± 18:11, 28. Nov. 2021 (CET)

Der erste Punkt war ein Tippfehler meinerseits und zu den nächsten beiden Punkten habe ich etwas ergänzt. (Das d in der Metrik ist komplizierter und nicht so erhellend. Man versteht es wohl besser, wenn man sagt dass die Metrik mit 4/(1-|z|^2)^2 multipliziert wird, also zum Rand hin gegen Unendlich geht.)

Zum letzten Punkt ist vielleicht ungünstig, dass der Link Punktspiegelung zu Missverständnissen führen könnte, weil hier natürlich keine euklidische Punktspiegelung gemeint ist, sondern man sich das etwa so denken muss, dass man im Bild beispielsweise einen Mittelpunkt eines der vielen roten Kreise nimmt und dann z.B. nicht nur den Kreis selbst spiegelt, sondern auch den rechts davon liegenden Kreis in den links davon liegenden Kreis und den darüber liegenden Kreis in den darunter liegenden Kreis abbildet (die in der hyperbolischen Metrik gleich groß sind, auch wenn sie in der euklidischen Welt nicht so aussehen) usw. Es sieht schwierig aus, das prägnant und mathematisch korrekt zu erklären.—Butäzigä (Diskussion) 18:28, 28. Nov. 2021 (CET)

So langsam komme ich glaube ich dahinter. Wir haben also ein $x\in {\bf {D}}$ und können dann ein $y\in {\bf {D}}$ an $x$ punktspiegeln in Bezug auf die hyperbolische Metrik? D.h. ich messe per Metrik den Abstand von $y$ zu $x$ und dann finde ich ein $y^{\prime }$ in Verlängerung der Geraden(?) ${\overrightarrow {yx}}$, so dass auch der Abstand von $y^{\prime }$ zu $x$ genauso groß ist? Das jedenfalls kann ich mir hier vorstellen. Kann man mit einfachen Worten sagen, warum das (nur?) mit der hyperbolischen Metrik geht aber nicht mit der euklidischen? Welche Eigenschaft muss eine Metrik haben, mit der das geht? (Oder beißt sich hier die Katze in den Schwanz?)--Cirdan ± 18:39, 28. Nov. 2021 (CET)

Nochmal weiter bzw. von der anderen Seite her gedacht: Für $x=0$ würde die Punktspiegelung ja auch schon für den normalen euklidischen Abstand gelten. Das wäre dann die einzige Stelle auf der Einheitskreisscheibe, für die ich mit dem euklidischen Abstand eine Punktsymmetrie erhalten(?) kann. Das leuchtet denke ich allen ein, die schon einmal irgendwie über Kreise nachgedacht haben. Damit haben wir also etwas, was der Laie einen „symmetrischen Punkt“ nennen könnte. Da wir aber ein symmetrisches Gebiet möchten, brauchen wir eine neue Metrik, mit der auch alle anderen Punkte eine Punktsymmetrie aufweisen. Das geht nur, wenn wir den Raum, in dem das Gebiet liegt, entsprechend verzerren. Dazu skalieren wir den euklidischen Abstand je nach Lage auf der Kreisscheibe. Was mir dann aber nicht so ganz klar ist, ist, wie das $z$ mit dem $x$ und dem $y$ zusammenhängt, zwischen denen $d(x,y)$ berechnet wird. Gilt $x=z$?--Cirdan ± 18:51, 28. Nov. 2021 (CET)

Ja, das ist der Punkt. Für die euklidische Metrik kann man die Kreisscheibe nur am Mittelpunkt spiegeln, aber nicht an anderen Punkten.—Butäzigä (Diskussion) 19:05, 28. Nov. 2021 (CET) z=x+iy ist die komplexe Koordinate, weil wir ja über eine Teilmenge von $\mathbb {C} ^{1}$ sprechen. Natürlich könnte man auch x und y als Koordinaten nehmen und dann die Metrik mit 4\(1+x^2+y^2)^2 multiplizieren.

Danke für die Erläuterungen. Ich denke, wir können hier das Beispiel noch ein Stück weit anschaulicher machen, ohne an Präzision zu verlieren. Zu meinem Verständnis noch eine Rückfrage bezüglich der Metrik und dem dort verwendeten $x$ und $y$. Ich habe ein $a=a_{r}+ia_{i}\in {\bf {D}}$ und ein $b=b_{r}+ib_{i}\in {\bf {D}}$, zwischen denen ich nun den Abstand mit der hyperbolischen Metrik bestimmen will. Dann berechne ich für den euklidischen Abstand $d={\sqrt {(b_{r}-a_{r})^{2}+(ib_{i}-ia_{i})^{2}}}$ (oder hier ohne $i$?) und habe $z=(b_{r}-a_{r})+i(b_{i}-a_{i})$, d.h. $x=b_{r}-a_{r}$ und $y=b_{i}-a_{i}$? Wenn das so korrekt ist, denke ich mal darüber nach, wie man da einen anschaulichen Plot zu machen und das Beispiel vom Verständnis der euklidischen Punktsymmetrie aus aufziehen kann.--Cirdan ± 20:56, 28. Nov. 2021 (CET)

Die Imaginärteil gehört mit zur Berechnung des Abstands bzw. der Norm, aber ohne das i selbst. Ich fände es gut, wenn man alle $x\in D$ im Artikel durch $z\in D$ ersetzt. An der Stelle ist zwar kein Fehler im Artikel, aber vielleicht wird es dadurch schon verständlicher?--Christian1985 (Disk) 21:11, 28. Nov. 2021 (CET)

Das ist natürlich richtig. Hab ich jetzt gemacht.—Butäzigä (Diskussion) 21:44, 28. Nov. 2021 (CET)

Ich als relativer Laie bin darüber gestolpert, dass auch in der Metrik ein $z$ auftaucht, das aber nicht das $z\in {\bf {D}}$ ist, das später auftaucht bzw. das in der Definition von ${\bf {D}}$ schon zuvor auftaucht. Es wäre sehr hilfreich für das Verständnis, das zumindest im Rahmen des Beispiel-Abschnitts auch durch die Benennung klar zu trennen.--Cirdan ± 21:52, 28. Nov. 2021 (CET)

z ist immer ein beliebiger Punkt aus D, das würde ich schon so lassen.—Butäzigä (Diskussion) 22:49, 28. Nov. 2021 (CET)

Aber das z in der Metrik ist doch nicht ein Punkt, sondern die Differenz zwischen den beiden Punkten in C, zwischen denen der Abstand bestimmt wird? (Natürlich ist dieses z selbst auch ein Punkt in C, aber das ist wie gesagt verwirrend. Der Abstand d zwischen zwei Punkten a und b in R ist auch selbst ein Punkt in R, trotzdem ist für die Betrachter der nebenstehenden Grafik d „etwas anderes“ als p und q und es wird auch anders bezeichnet.) Oder stehe ich hier vollends auf dem Schlauch?--Cirdan ± 23:16, 28. Nov. 2021 (CET)

Die Metrik ist eine Riemannsche Metrik, also das g in dieser Formel, mit der dann der Abstand bestimmt werden kann. Die Formel für den Abstand explizit anzugeben, würde komplizierter. Wir sollten es schon dabei belassen, nur die Riemannsche Metrik anzugeben; daraus sieht der Leser jedenfalls, dass die Abstände zum Rand hin immer größer werden.—Butäzigä (Diskussion) 00:03, 29. Nov. 2021 (CET)

Danke, jetzt habe auch ich es verstanden! Ich denke, damit kann man eine anschauliche Darstellung basteln. Der „Trick“ besteht ja gewissermaßen darin, aus dem beschränkten Gebiet ein unendliches zu machen, also jedem Punkt des Gebiets nach allen Richtungen hin einen unendlichen Abstand zur Beschränkung zu geben, indem man den Außenbereich verzerrt.--Cirdan ± 11:27, 29. Nov. 2021 (CET)

Biholomorphie für Funktionen mehrerer Veränderlicher?

"biholomorph" ist nur für Funktionen einer komplexen Variablen definiert (jedenfalls im verlinkten WP Artikel); damit ist nicht klar, wann ein Gebiet $\Omega \in \mathbb {C} ^{n}$ für $n>1$ ein "beschränktes symmetrisches Gebiet" sein kann. Bitte entweder wieder auf $n=1$ spezialisieren oder Definition "biholomorph" verallgemeinern. --Qcomp (Diskussion) 19:44, 30. Nov. 2021 (CET)

Ich kann nicht ganz folgen. Im Artikel Biholomorphe Abbildung steht doch "In der Funktionentheorie ist eine biholomorphe oder schlichte Abbildung eine bijektive holomorphe Abbildung mit holomorpher Umkehrabbildung". Diese Definition ist unabhängig von der Dimension. --Christian1985 (Disk) 19:48, 30. Nov. 2021 (CET)

ok, da hab ich zu oberflächlich gelesen (und die Erwähnung des Satzes von Osgood, der auf mehrere Veränderliche Bezug nimmt, übersehen sowie Kap 22 im Artikel über holomorphe Funktionen). Ich bin nie über Funktionen von $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ hinausgekommen. Damit hier erledigt.--Qcomp (Diskussion) 22:28, 30. Nov. 2021 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:49, 18. Sep. 2022 (CEST)