Diskussion:Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid

Geschichtliches

Was in dem Artikel über Euklid und Phythagoras gesagt wird, ist sicher überarbeitungsbedürftig. Leider kenne ich die Fakten auch nicht so genau. Wer es besser weiss, sollte den Artikel mal überarbeiten.

Franz Scheerer

Ok, ich habe den ersten Abschnitt mal geändert. Ich glaube, dass es in etwa korrekt ist. Klar, kann jeder noch was verbessern, der es besser weiss.

Franz Scheerer

Heey Kann Mir Ma Wer Den Beweis Erklären?? Machen das Grad In Mathe Und Ich Versteh Das Nicht.. Wäre Nett..

Lg natalie

Darstellung

Wäre es nicht viel übersichtlicher, Quantoren und Formelkram in eine Tabellenspalte und das Ausformulierte in eine eigen Tabellenspalte daneben zu setzen? 83.129.123.72 23:04, 26. Okt 2004 (CEST)

Bei aller Liebe: Das Euklid diesen Satz bewiesen hat bleibt genau so lange falsch bis mir einer den Text zeigt. Ausserdem konnte Euklid nicht beweisen das es irrationale Zahlen gibt. er stand ( wenn wir den mal glauben er hätte das gefunden) vor einem schlichten Rästsel. Kurz und gut: Ein Weltbild brachzusammen!

--Fibo1953 22:16, 22. Okt 2005 (CEST)

Fibo, schau mal in den Elementen, Buch III nach, s.a. http://www.math.toronto.edu/mathnet/plain/questionCorner/rootoftwo.html http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

Euklid kannte doch inkommensurable Größen, also auch irrationale Zahlen? 80.143.115.252 19:59, 29. Okt 2005 (CEST)

Das bestreite ich nicht, aber der Beweis ist vermutlich erheblich älter. Irrationale Zahlen in unserem Sinn hat er vermutlich nicht akzeptiert. Es wird also nur gezeigt, das es bestimmte Zahlen nicht gibt.--Fibo1953 12:09, 30. Okt 2005 (CET)

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Aus einer Antwort von Wolfgang Kirschenhofer in news:de.sci.mathematik

Historisches zur Entdeckung der irrationalen Zahlen in der Antike

Im 5. vorchristlichen Jahrhundert hat die Entdeckung, vermutlich durch den Pythagoreer HIPPASOS von METAPONT, dass sich nicht alles durch ganze bzw. rationale Zahlen erfassen lässt, eine Bildungs- und Weltanschauungskrise ausgelöst. Es handelte sich dabei um die Entdeckung inkommensurabler Streckenverhältnisse, das sind Verhältnisse von Streckenlängen, deren Wert nicht rational ist, wie beispielsweise beim Verhältnis zwischen Seite und Diagonale eines Quadrates. In pythagoreischen Kreisen soll diese Entdeckung einen Schock ausgelöst haben, denn es wurde dadurch die Annahme der pythagoreischen Philosophie in Frage gestellt, dass alle Dinge in ganzen Zahlen ausgedrückt werden könnten.

Die Pythagoreer wirkten nicht nur als einflussreiche Schule, welche die Forderung nach exakter mathematischer Wissenschaft erhoben und von ihren Mitgliedern eine strenge Ausbildung in Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musik verlangten. Sie verpflichteten sich außerdem zu einem ordensmäßig geregelten Lebenswandel und beherrschten im zweiten Viertel des 5. Jahrhunderts v.Chr. bis zum Aufstand gegen sie um 450 ganz Unteritalien.

Das Ordenssymbol der Pythagoreer war das Pentagramm. Es diente auch als Erkennungszeichen für die Mitglieder der pythagoreischen Bruderschaft. Vermutlich hat Hippasos an diesem Symbol festgestellt, dass zwei Strecken nicht kommensurabel sein müssen. --Fibo1953 10:18, 31. Okt 2005 (CET)

"Persönliche Meinung"?

Der satz "Dieser Beweis wird durch Widerspruch geführt und besticht durch seine Kürze." wurde mehrfach um den zweiten teil gekürzt mit dem argument, es die "Persönliche Meinung" sei hier nicht gefragt. Es geht bei diesem artikel nicht in erster linie darum, den beweis selber darzustellen, sondern interessant ist vor allem die zusammenfassung der bedeutung dieses beweises. Dazu gehört auch, dass er in der mathematik als elegant, schön oder was auch immer angesehen wird. Von mir aus kann das auch anders formiert werden - jedenfalls geht es nicht eine "persönliche", sondern eine verbreitete meinung. --Nikolaus 16:35, 14. Jan 2006 (CET)

Das Prinzip des neutral point of view besagt, dass sich ein Artikel keine persönlichen Einschätzungen zueigen machen darf. Also nicht: "Dieser Beweis ist der schönste der ganzen Mathematik", sondern: "Dieser Beweis wird allgemein als einer der schönsten der ganzen Mathematik angesehen." Diese Aussage muss darüberhinaus belegbar sein. Es geht aber nicht nur um die Formulierung, sondern ich glaube auch nicht, dass die gestrichene Aussage tatsächlich die vorherrschende Meinung wiedergibt; schließlich gibt es kürzere Beweise (wäre ${\sqrt {2}}=p/q$ mit teilerfremden $p$ und $q$, also wäre $2=p^{2}/q^{2}$; da $p^{2}$ und $q^{2}$ auch teilerfremd sind, folgt $p^{2}=2$, Widerspruch).--Gunther 15:13, 15. Jan 2006 (CET)

Naja, bei aller Kürze sollte der Beweis auch noch verständlich und vor allem mathematisch korrekt sein.

Franz Scheerer

Ist er doch 87.179.151.36 22:37, 8. Mär. 2008 (CET)

Lemma

Die Formulierung ist kein gutes Deutsch, mir würde "Euklids Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2" oder noch besser "Euklids Beweis der Irrationalität von Wurzel 2" mehr zusagen. Einwände gegen eine Verschiebung? Traitor 11:04, 5. Jun 2006 (CEST)

"von Wurzel 2" ist auch nicht gerade korrekt, richtiger wäre "der (Quadrat-)Wurzel aus 2".--Gunther 10:53, 6. Jun 2006 (CEST)

Ich habe es jetzt mal nach Doppel-der verschoben. Gestelzt, aber sauber. Traitor 12:56, 28. Jul 2006 (CEST)

Beweis an sich

Wieso folgt auf $n\cdot b^{k}=a^{k}$ mit k als Primzahl "sofort" $e_{n}+k\cdot e_{b}=k\cdot e_{a}$, kann das jemand (genauer) erklären? Und: Wäre es auch möglich, den geometrischen Beweis hier unterzubringen? --Ladon (Diskussion) 21:26, 14. Mär. 2013 (CET)

Bitte etwas pädagogischer

Ich zitiere: "Falls Zähler und Nenner des Bruchs einen gemeinsamen Teiler haben, kann der Bruch durch diesen Teiler gekürzt werden." Soweit, sogut, doch dann reisst die Argumentationskette: "Es gibt also zwei teilerfremde, natürliche Zahlen p und q". Aha? Fehlt zwischen diesen beiden Feststellungen nicht eine Erklärung? Bitte, bitte, etwas ausführlicher. Holt die Leute dort ab, wo sie stehen! Danke. --134.155.99.41 12:05, 27. Nov. 2006 (CET)

Habe den Beweis mal ein bisschen anders formuliert. Damit ergibt sich ein viel offensichtlicherer Widerspruch (bzw. der Widerspruch wird deutlicher sichtbar). FreT 15:28, 7. Nov. 2008 (CET)

Ist dann aber wohl leider nicht mehr Euklids Beweis, wie es doch das Lemma behauptet. Es geht hier nicht darum, irgendwie zu beweisen, dass ${\sqrt {2}}$ irrational ist, sondern (einigermaßen) so, wie es Euklid getan hat. Dies hat mich ermutigt, die Elemente zu durchstöbern, wonach der allgemein so genannte Euklidische Beweis wohl gar nicht „genau“ so dort steht (oder findet jemand die richtige(re) Stelle?). Am nächsten scheint mir Proposition 8 aus Buch VIII zu kommen, die wohl ins Moderne übersetzt inetwa lautet:

Proposition 8: Ist $n>2$ und sind $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ sowie $b,c$ natürliche Zahlen und gilt $a_{1}:a_{2}=a_{2}:a_{3}=\cdots =a_{n-1}:a_{n}$ sowie $a_{1}:a_{n}=b:c\,$, so gibt es Zahlen $b=b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}=c$ mit $b_{1}:b_{2}=b_{2}:b_{3}=\cdots =b_{n-1}:b_{n}$.

Wendet man dies auf einen angenommenen (noch nicht einmal notwendigerweise gekürzten!) Bruch ${\tfrac {p}{q}}={\sqrt {2}}$ an, so folgt wegen $p^{2}:pq=pq:q^{2}\,$ und $p^{2}:q^{2}=2:1\,$ die Existenz einer natürlichen Zahl $x$ mit $2:x=x:1\,$; wie man sofort einsieht, müsste dieses $x$ zwischen 1 und 2 liegen, was nicht möglich ist. (Streng genommen galt damals die 1 noch nicht als Zahl, so dass man möglicherweise eher mit $4:x=x:2\,$ argumentieren müsste).

Allgemeiner hat man auf dieselbe Weise sofort: Falls $p,q,k\in \mathbb {N}$ und ${\tfrac {p}{q}}={\sqrt {k}}$, so $k:x=x:1\,$ mit $x\in \mathbb {N}$, d.h. nur Quadratwurzeln aus Quadratzahlen sind rational (und sogar ganz).

Wie gesagt, sieht das ein wenig anders aus als die „übliche“ moderne Fassung, aber m.E. kommt diese dem Original doch noch verhältnismäßig nahe – was ich für die Variante mit dem „viel offensichtlicheren Widerspruch“ nicht unterschreiben würde--Hagman 14:30, 8. Nov. 2008 (CET)

Fehler?

"Da die rechte Seite der Gleichung gerade ist, ist auch die linke Seite p2 gerade. Daraus folgt, dass bereits die Zahl p gerade ist.[1]"

Diese Aussage ist grundlegend falsch. P und Q können beide ungerade sein, da sie bei einem Quadrat [(p/q)²] eine gerade Zahl ergeben. Minus mal Minus, beziehungsweise Minus geteilt durch Minus ist gleich Plus. Sollte dieser Artikel nicht sofort richtiggestellt oder gelöscht werden? Das ist schlichtweg nicht wahr.

-- 88.130.41.111 03:40, 6. Jun. 2010 (CEST)

Gib mir ein Beispiel mit P,Q ungerade und [(p/q)²] gerade. --NeoUrfahraner 08:51, 6. Jun. 2010 (CEST)

Tut mir leid, mir fällt jetzt auf, dass ich gerade/ungerade mit positiv/negativ verwechselt habe. Schande über mein Haupt! Ich hatte irgendwie ein Minus im Kopf. Entschuldigt bitte meinen Zwischenruf.

--88.130.18.107 12:27, 6. Jun. 2010 (CEST)

Alternative

Zur Beweisführung wird die folgende Alternative zur Diskussion gestellt. (nicht signierter Beitrag von 84.178.154.100 (Diskussion) 13:24, 3. Mai 2011 (CEST))

Beweisführung

Vorbemerkung

Eine ganze Zahl wird gerade bzw. ungerade genannt, je nachdem sie durch 2 teilbar bzw. nicht teilbar ist. D.h.: Eine gerade Zahl hat die Form 2m und eine ungerade Zahl die Form 2m + 1, wobei m eine natürliche Zahl 1, 2, 3, .... ist.

Da $(2m)^{2}=2(2m^{2})$ und $(2m+1)^{2}=4m^{2}+4m+1=2(2m^{2}+2m)+1$ ist, ist das Quadrat einer ganzen Zahl z genau dann gerade, wenn z selbst gerade ist.

Behauptung

Die Quadratwurzel aus 2 ist keine rationale Zahl. Oder anders ausgedrückt: Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist. Eine solche Zahl nennt man irrational.

Bin etwas verwundert, dass auf der Diskussionsseite etwas gelöscht wird.--DG 84.178.154.100 15:28, 3. Mai 2011 (CEST)

Deine Verwunderung liegt vermutlich daran, dass du einige Regeln nicht kennst. Das hier ist kein Forum über irgendwelche mathematischen Beweise.. auch nicht über die Beweise der irrationalität der Wurzel aus 2, nicht einmal über den Beweis von Euklid. Es geht hier nur um einen Artikel, und wie er zu verbessern ist. Alles andere zählt unter "Sachfremde Diskussionen" in oben angegebener Richtlinie. --P.C. ✉ 17:38, 3. Mai 2011 (CEST)

Danke für die Erläuterungen, bin mit den Gepflogenheiten in wikipedia noch nicht so sehr vertraut und habe das Diskussionsforum als Vorstufe gesehen, bevor etwas im eigentlichen Artikel geändert wird.

Wäre es denn akzeptabel, wenn ich im Artikel den Punkt "1 Beweisführung" komplett durch den von mir hier vorgeschlagenen ersetze?

Dann wäre er mathematisch korrekt und nach meiner Meinung besser verständlich und nachvollziehbar. --DG 84.178.154.100 19:45, 3. Mai 2011 (CEST)

Ist dein Beweis der, den Wuklid verwendet hat? Denn wenn Du dir den Titel nochmal ansiehst, wirst Du feststellen, das der Artikel nicht "Beweis der Irrationalität der Wurzel aus zwei wie sie von einem Anonymen Benutzer eingestellt wurde" heist. --P.C. ✉ 09:07, 4. Mai 2011 (CEST)

Zweite Fußnote

Die in der zweiten Fußnote genannte Erklärung, warum aus 2|p² 2|p folgt, ist zwar richtig, ebenso wie auch ein Beweis dieser Aussage per vollständiger Induktion möglich wäre. Allerdings ist er meiner Erachstens umständlich und hier auch nicht sinnvoll. Man kann diese Aussage auch auf einen viel schnelleren Weg beweisen und zwar durch einfache Anwendung des Lemmas von Euklid:

Teilt eine Primzahl $p$ ein Produkt $ab$, so auch einen (oder beide) der Faktoren.

D. h. in diesem Fall für p = 2 (2 ist schließlich eine Primzahl) gilt: Aus 2|n² also 2|(n*n) folgt nach dem Lemma von Euklid sofort 2|n oder 2|n also einfach 2|n. So wird dies auch in vielen Lehrwerken erklärt.

Dieser Beweisweg hat neben der Tatsache, dass er sehr schnell und einfach ist, den weiteren Vorteil, dass sich damit der Beweis auf die Irrationalität Quadratwurzeln aus allen beliebigen Primzahlen verallgemeinern lässt, da dieser Beweis hier nach dem Lemma von Euklid analog für jede Primzahl p gilt.

Ich plädiere daher für eine Änderung dieser Erklärung, warum 2|p² => 2|p gilt.

--Alopetyp (Diskussion) 17:16, 21. Feb. 2015 (CET)

Da der Artikel „Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid“ heißt, müsste man mal recherchieren, wie Euklid hier argumentierte. So sollte es dann meiner Meinung nach auch im Artikel stehen. -- HilberTraum (d, m) 21:02, 21. Feb. 2015 (CET)

Meines Wissens hat Euklid aber auch genau so, wie ich oben schrieb, also mit seinem eigenem Lemma argumentiert und nicht so wie bislang im Artikel in der zweiten Fußnote behauptet. Müsste man mal in mathematischen Geschichtsbüchern recherchieren. Bin aber recht sicher, dass er sein eigenes Lemma benutzt hat, schließlich stammt es von ihm selbst. Warum hätte Euklid denn einen aufwändigeren Beweis nutzen sollen, wenn ihm doch aus seinem eigenen Wissen ein einfacherer Weg bekannt gewesen sein muss? Und meines Wissens wusste Euklid auch bereits, dass sich sein Beweis auf die Irrationalität der von Quadratwurzeln aus beliebigen Primzahlen verallgemeinern lässt (und nicht für alle anderen natürlichen Zahlen, die keine Qudratzahlen sind also zum Beispiel für die Quadratwurzel aus 6, deren Irrationalität zu zeigen ist nicht durch eine analoge Anwendung dieses Beweisweges möglich und deshalb erheblich komplizierter). Dies geht jedoch nur, wenn er sein Lemma also die Eigenschaft einens Primteilers benutzt hat. Ich werde aber, wie gesagt, noch versuchen, hierzu Belege aus mathematischen Geschichtsbüchern zu finden.

--Alopetyp (Diskussion) 22:51, 21. Feb. 2015 (CET)

Ich hab jetzt mal ein bisschen rumgeschaut und es ist wohl deutlich komplizierter. In en:Square root of 2#Proof by infinite descent heißt es, der Beweis stand in Proposition 117 in Buch X der Elemente. Allerdings sei das eine Interpolation (Literatur), also eine Verfälschung des Originaltexts. Deshalb stand der Beweis bereits bei Ausgaben der Elemente im 19. Jhd. nur im Anhang. Entsprechend gibt es bei Ausgaben im Netz in Buch X gar keine Proposition 117 mehr, siehe z. B. hier. Der Artikel und vor allem der Artikeltitel bewegen sich da also auf ziemlich dünnem Eis. Grüße -- HilberTraum (d, m) 18:00, 22. Feb. 2015 (CET)

Wozu die Sprechweise von Widerspruchsbeweis und "Gegenteil"?

... beides ist für die Argumentation nicht wichtig, aber andererseits für Lerner irreführend. Ein "richtiger" Widerspruchsbeweis ist für mich (und ich bin damit nicht allein) einer, der $\top \vdash A\lor \lnot A$ oder $\lnot \lnot A\vdash A$ benutzt. Aus $A\vdash \bot$ zu schließen, dass $\top \vdash \lnot A$, ist dagegen etwas anderes, simpleres, und weniger Blindheit einforderndes: nämlich ein Spezialfall der ganz gewöhnlichen Implikationseinführung. Selbst wenn man der Meinung ist, dass die Benutzung der Worte "Widerspruchsbeweis" (oder "indirekter Beweis") und "Gegenteil" nicht falsch ist, sollte man doch erkennen können, dass sie keinen Beitrag leistet und weggelassen bleiben kann? --2003:C4:7BD3:D700:1D08:4651:3512:4F5A 22:57, 17. Okt. 2017 (CEST)

Wieviele Quellen brauchst Du? https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Proof_by_contradiction wäre nur eine von hundert Millionen, die man mit Google findet.—S. K. Kwan (Diskussion) 07:59, 28. Okt. 2017 (CEST)

Ich sprach von kompetenten Quellen. Ich kann an der Quelle keine Kompetenz in der Frage, ob Beweise von negierten Aussagen sinnvollerweise als Widerspruchsbeweise bezeichnet werden sollten, erkennen. Sie tut das einfach nur. Ich kenne keine Quelle, die um die Unterscheidung weiß und sie explizit verwirft. So eine wäre etwas für deine Seite.

Auf meiner Seite habe ich z.B. [1]

Gerne wiederhole ich die andere Auswegmöglichkeit: es ist nirgends im Artikel wichtig, von Widerspruchsbeweisen etc. zu sprechen. Indem man dies ganz einfach unterlässt, kann man der Frage ausweichen, ob die Bezeichnung gerechtfertigt ist. --91.4.73.83 12:18, 28. Okt. 2017 (CEST)

Sei so nett und geh‘ woanders spielen. Wir geben hier einfach nur wieder, was üblicherweise in den Lehrbüchern steht. Für grundsätzliche Debatten gibt es Blogs und Internetforen, die Diskussionsseite eines Wikipediaartikels ist dafür nicht der richtige Ort. Falls Bauers Sichtweise irgendwann Eingang in die Schulbücher finden wird, dann kann sie natürlich auch hier in den Artikel.—S. K. Kwan (Diskussion) 19:06, 28. Okt. 2017 (CEST)

Mit der Aufforderung, woanders spielen zu gehen, gewinnst du keinen Blumentopf. Deine Aufgabe besteht darin, nachzuweisen, dass vermeidbare schlechte Wortwahl in den Artikel muss.

Wikipedia soll Wissen verbreiten, und nicht Legenden verbreiten (die zugegebenermaßen auch so schon weit verbreitet sind) und Lernbehinderungen schaffen.

Dass es sich um zwei verschiedene Konzepte handelt, ist völlig klar. Dass es schlecht ist, verschiedene Konzepte gleich zu bezeichnen, ist auch völlig klar. Alternativen dazu gibt es. Es handelt sich nicht um eine Einzelmeinung von Andrej Bauer. Nicht gerade ein Schulbuch, aber trotzdem 'was zum Lernen: [2] [3] [4].

Ich erinnere nochmal daran, dass ich aber eigentlich nicht in der Pflicht bin, Nachweise zu liefern. Du willst etwas im Artikel haben. Und zwar ein vermeidbares Übel. --217.51.18.220 21:11, 28. Okt. 2017 (CEST)

Du kannst gerne in geeigneten Artikeln, zum Beispiel Mathematischer Konstruktivismus, diese Meinungen in aller gebotenen Ausführlichkeit darstellen. DAS wäre wirklich eine Bereicherung der Wikipedia. Die Diskussionsseite dieses Artikels ist dafür aber der falsche Ort.—S. K. Kwan (Diskussion) 21:38, 28. Okt. 2017 (CEST)

Ich entnehme dem weiter bestehenden Fehlen von Argumenten für deine Version, dass du nicht daran interessiert bist, diesen Artikel zu verbessern. Ich schon, und daher setze ich auf meine Version zurück. Lass' sie meinetwegen ungesichtet und jemand anderes den Vortritt, Widerspruch einzulegen -- die Wahrscheinlichkeit, dass der mit Argumenten kommt, dürfte größer sein. --217.51.18.220 22:05, 28. Okt. 2017 (CEST)

Nochmal: wenn Du etwas konstruktives beitragen willst, dann schreib einen Artike über Andrej Bauer, ergänze den Artikel zu Mathematischer Konstruktivismus und meinethalben auch den zu indirekter Beweis. Hier in diesem Artikel zur Schulmathematik ist diese Diskussion völlig fehl am Platz.—S. K. Kwan (Diskussion) 22:28, 28. Okt. 2017 (CEST)

Dass die Problematik recht wenig mit mathematischem Konstruktivismus als bloße Philosophie zu tun hat, sieht man z.B. an Ingo Blechschmidts Doktorarbeit. Intuitionistische Logik kommt sozusagen auch ohne philosophische Vorurteile vor. Sie dient so oder so aber dazu, sich besser klar zu machen, was man eigentlich tut. Alles durcheinanderzubringen hilft niemandem, auch wenn das Durcheinanderbringen weit verbreitet ist.

Wenn ein Artikel auch in intuitionistischer Leseweise sinnvoll und richtig ist, ist er besser. Bin echt gespannt, wie du das widerlegen willst.

Wo man konkret mit Verbesserungen anfängt, ist doch egal. --217.51.18.220 22:39, 28. Okt. 2017 (CEST)

Was mir gerade noch wichtiges einfällt: Die Darlegung der verschiedenen Meinungen, was ein "Widerspruchsbeweis" nun sein soll, und was nicht, gehört hier nicht her. Wenn ein Artikel es aber schafft, mit allen gängigen kompatibel zu sein, ohne dabei signifikant unverständlicher zu werden, ist er besser, als wenn er nur mit einer kompatibel ist. Ist das wenigstens für dich nachvollziehbar? Meine Änderung leistet dies jedenfalls. --217.51.18.220 23:07, 28. Okt. 2017 (CEST)

Wenn hier in den nächsten Tagen kein sinnvolles Argument kommt, setze ich auf die konsensfähigere Version zurück. Falls du, Sung Kyun Kwan, keine Lust hast, ein Argument zu bringen, fühle dich doch einfach nicht berufen, zu revertieren.

Ich wiederhole: Wer etwas im Artikel haben will, muss dafür Argumente bringen. So etwas wie "sagen viele so" zieht nicht, denn ich könnte dagegenhalten: "Leute, die sich mit Logik und Lehre auskennen, sagen 'was dazu widersprüchliches", und die Konsequenz wäre, dass für den Leser unbrauchbarer Text mit einer sinnlosen Behauptung wie "Wir führen jetzt einen Widerspruchsbeweis (Quellen 1,2,3,4), der keiner ist (Quellen 5,6): [...]" in den Artikel dürfte. Natürlich ist letzteres Quatsch. Ein Ausweg ist schon ein paar mal vorhanden gewesen: Der Artikel verkündet einfach keine Meinung in dieser Frage, die für ihn sowieso off-topic ist. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:25, 30. Okt. 2017 (CET)

Wir können gerne einen CU durchführen um zu klären wie der „Konsens“ zwischen dem Autor und den 4 IPs zustandegekommen ist.

Zur Sache: wir geben hier wieder, was an der Schule gelehrt wird - und dort wird dieser Beweis als Widerspruchsbeweis gelehrt. Nach meiner Erinnerung lernen die Schüler an diesem Beispiel überhaupt erst, was ein Widerspruchsbeweis ist.

Ich weiß, dass Andrej Bauer und vielleicht auch andere schon seit Jahren in Vorträgen darauf hinweisen und es anscheinend sehr wichtig finden, dass man diesen Beweis auch ohne Widerspruchsannahme formulieren könne. Solange diese Sichtweise aber noch nicht in die Schulen diffundiert ist, gehört das lediglich in Artikel zu Andrej Bauer, Mathematischer Konstruktivismus und verwandten Themen - nicht in diesen Artikel zu einem schulmathematischen Thema.

Insofern geht Deine inhaltliche Argumentation auch völlig ins Leere. Es geht hier nicht darum, was Du oder ich „besser“ finden. Die Wikipedia gibt das etablierte Wissen wieder und keine Einzelmeinungen. (Wobei ich, nur um das noch zu sagen, Bauers Argument keineswegs „besser“ finde. Aber das ist zugegebenermaßen Geschmackssache.)—S. K. Kwan (Diskussion) 12:54, 1. Nov. 2017 (CET)

Es ist völlig unstrittig, dass ich dieselbe Person bin, wie die IPs. CU ist irrelevant.

Du hast nicht verstanden, was ich mit "konsensfähig" meinte. Ich erkläre es gern: Ein Artikel, der keine Aussagen enthält, die von jemandem bestritten werden, ist konsensfähiger, als einer, der solche Aussagen enthält.

Es bleibt, wie schon ein paar mal (ganz am Anfang, und in der Überschift dieser Diskussion) gesagt, die Frage, warum dieser Artikel deine Meinung als Fakt darstellen soll. Ich finde das unnötig, und du hast immer noch nicht dafür argumentiert.

"Ich weiß, dass Andrej Bauer und vielleicht auch andere schon seit Jahren in Vorträgen darauf hinweisen und es anscheinend sehr wichtig finden, dass man diesen Beweis auch ohne Widerspruchsannahme formulieren könne" Darum geht's nicht. Der Beweis, wie er wörtlich im Artikel steht, ist auch intuitionistisch in Ordnung; man muss nichts umformulieren. Die Frage ist lediglich, ob das, was gemacht wird, "Widerspruchsbeweis" (oder "indirekter Beweis" etc.) genannt werden soll. Und Antworten darauf sind hier m.E. off-topic-Meinungen, die man nicht tätigen muss.

--Daniel5Ko (Diskussion) 01:51, 5. Nov. 2017 (CET)

Wow, Daniel als WP-Gangsta mit Sockenpuppen, Vortäuschen von Diskussionsmehrheiten und Edit-War bis zur Artikelsperre. Krass Alder, Reschpekt! Vorlage:Smiley/Wartung/;)  -- HilberTraum (d, m) 21:25, 5. Nov. 2017 (CET)

An keiner Stelle habe ich so getan, als wäre ich mehrere Personen. Ganz im Gegenteil habe ich versucht, immer wieder darauf hinzuweisen, dass ich immer wieder dieselbe Person bin (durch Bezugnahme auf "meine" vorhergehenden Beiträge usw.) Ich weiß, du siehst das wahrscheinlich, aber für Sung Kyun Kwan schreibe ich das mal hin. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:43, 6. Nov. 2017 (CET)

Muß ich jetzt wirklich extra in eine Schulbibliothek gehen und ein paar Schulbücher fotografieren um zu belegen, dass die Kinder am Beispiel der Irrationalität der Wurzel aus 2 lernen was ein Widerspruchsbeweis ist?—S. K. Kwan (Diskussion) 06:10, 7. Nov. 2017 (CET)

Ich hab aus Interesse jetzt mal ein bisschen rumgesucht. Es ist gar kein Problem auch „anspruchsvollere“ Literatur als Schulbücher zu finden, in denen der Beweis als Beispiel für einen Widerspruchsbeweis gebracht wird. Ein paar Google-Books-Treffer: [5], [6], [7], [8], [9], [10]. Grüße -- HilberTraum (d, m) 12:33, 7. Nov. 2017 (CET)

Nein, du sollst begründen, warum deine Meinung in den Artikel gehört. Wie oft denn noch?

Dass viele Leute sowas behaupten, weiß ich. Dass Leute behaupten, dass das falsch ist (Leute, die sich mit Logik auskennen, und nicht nur Beweistechnik-Bücher für Anfänger schreiben), weiß ich auch. Noch ein Beispiel: [11]

Schreiben wir jetzt also beides in den Artikel? Nein! Das ist für den Leser sinnlos. Optimal ist m.M.n. keine Meinung in der Frage zu äußern. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:56, 7. Nov. 2017 (CET)

Also nach meinem Wikipedia-Verständnis machen wir genau das: Wir schreiben in die Artikel, was viele (relevante) Quellen (= „Leute“) behaupten. Was sollten wir hier denn sonst machen? Wenn es unterschiedliche Meinungen gibt (und alle relevant sind!), schreiben wir das auch. Wo ist dabei das Problem? Wenn es beispielsweise aktuell heiß umstritten sein sollte, ob es sich hierbei um einen Widerspruchsbeweis handelt oder nicht, dann ist das doch eine spannende Information. Wieso sollte das für den Leser sinnlos sein? Neutralität bedeutet nicht keine Meinungen darzustellen, sondern alle relevanten(!) Meinungen. -- HilberTraum (d, m) 21:25, 7. Nov. 2017 (CET)

Die Meinungen sind für den Beweis an sich nicht wichtig. Wenn, dann gehört die Diskussion der Meinungen in den Widerspruchsbeweis-Artikel oder so, würde ich sagen.

Der Leser hat nichts von der Pseudoinformation, dass es ein Widerspruchsbeweis ist und dass es keiner ist, oder? Und viel mehr als die parallele Nennung dieser beiden "Fakten", also z.B. eine sinnvollere Auswalzung, gehört hier schon rein vom Umfang her definitiv nicht hin.

Eine zentrale Stelle würde doch reichen (was natürlich ohne Erwähnung von "Widerspruchsbeweis" nicht so leicht zu verlinken ist, hmm!). --Daniel5Ko (Diskussion) 21:43, 7. Nov. 2017 (CET)

Der Beweis wird häufig als Beispiel für einen Widerspruchsbeweis genommen. Er ist es auch, wenn man es klassisch betrachtet: Man nimmt das Gegenteil an und führ es ad absurdum. (Für den "klassischen Logiker ist A und non non A gewissermaßen synonym.) Diese Darstellung (als Widerspruchsbeweis) ist eine geläufige und sollte daher auch die Hauptversion im Artikel sein. Das halte ich für die leserfreundlichste Variante. Die intuitionistische Interpretation vom eines Widerspruchsbeweises ist aber anders, diese setzt voraus, dass man den Satz vom ausgeschlossenen Dritten braucht, das ist hier nicht der Fall. Das ist auch für den Leser interessant, wenn er den klassischen Standpunkt verstanden hat und sich darüber hinaus informieren möchte. Daher halte ich es für das beste, wenn darüber in einem weiteren Absatz, zB "intuitionistische Sichtweise" darüber berichtet wird. So wird derjenige nicht verwirrt (zB ein Schüler), der sich über diesen Beweis als Widerspruchsbeweis informieren möchte, andere können sich weiter informieren. Gruß --Frogfol (Diskussion) 17:34, 11. Nov. 2017 (CET)

Diesen Vorschlag finde ich gut und stimme ihm zu.—S. K. Kwan (Diskussion) 18:42, 13. Nov. 2017 (CET)

Auch für einen "klassischen Logiker" sind $A$ und $\lnot \lnot A$ nicht synonym. Sie sind vielleicht in gewissen Hinsichten äquivalent, aber nicht das gleiche.

Dass es sich bei der Negationseinführung und dem Beweis einer Aussage durch die Widerlegung ihrer Negation um verschiedene Dinge handelt, sehen auch klassische Logiker.

Ersteres nicht als Widerspruchsbeweis zu bezeichnen, ist keine intuitionistische Sichtweise, sondern dient der Vermeidung von Verwirrung. Selbst wenn man ausschließlich in klassischer Logik unterwegs ist, kann das sinnvoll sein, etwa um besser zu verstehen, was man tut.

Und ich erinnere nochmal daran, dass meine Version (vielleicht sollte die nochmal oder überhaupt gelesen werden), überhaupt keine Ansicht in dieser Hinsicht vertritt. Sie ist einfach geringfügig allgemeiner (weil sie nicht "Gegenteil" sagt, ein Wort, das manche Leser vielleicht zu der Interpretation verleitet, wir würden klassische Logik benötigen), und präsentiert Meinungen nicht als wichtigen Fakt. Sie enthält nicht mehr Aussagen, die jemanden verwirren könnten, sondern weniger. Sie ist fürwahr weniger gut geeignet, seine Vorurteile zu bestätigen, aber dies sollte ja sowieso nicht der Zweck eines WP-Artikels sein.

Ich wäre übrigens dagegen, dass in diesem Artikel dieses Thema in irgendeiner Weise sinnvoll ausgestaltet wird, da es eigentlich off-topic ist: das Thema des Artikels ist der Beweis an sich, und nicht Terminologie-Fragen. Aber vielleicht ist dieses selbstgesteckte Ziel auch schlecht gewählt. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:52, 17. Nov. 2017 (CET)

Also jetzt muss ich mich hier doch nochmal einmischen, denn zum Beispiel ich hatte „deine“ Version durchaus gelesen und verglichen. Allerdings frage ich mich, ob du das auch hast. Denn erstens stand (und steht) prominent als zweiter Satz in der Einleitung „Der zahlentheoretische Beweis Euklids wird indirekt durch Widerspruch geführt und gilt als der erste Widerspruchsbeweis in der Geschichte der Mathematik.“ Falls eine Aussage so wichtig ist, dass sie in der Einleitung, die ja nur den Artikelinhalt zusammenfassen soll, aufgeführt wird, dann muss sie später auch aufgegriffen und erläutert werden – und falls nicht, dann gehört sie auch nicht in die Einleitung. Zweitens: Der Beweis selbst begann mit dem Satz: „Es wird also angenommen, dass […]“, ohne dass erkennbar war, worauf sich das Wort „also“ logisch beziehen könnte. Insgesamt sah mir das nicht wie eine Überarbeitung aus, die aus einer eingehenden Beschäftigung mit dem Artikeltext entstanden war, sondern im Vergleich mit der Version vor dem Edit-War eher nach einer unüberlegten Löschung einiger willkürlicher Stellen. -- HilberTraum (d, m) 17:23, 17. Nov. 2017 (CET)

Die Einleitung hatte ich ignoriert, weil da scheinbar stehen kann, was will -- soll ja laienverständlich sein; ob's stimmt oder sinnvoll ist, ist egal.

Es kann durchaus sein, dass ich beim Überarbeiten des eigentlichen Inhalts nicht alles erwischt habe, was zwecks Korrektur zu erwischen gegolten hätte. Irgendwann verliert man aber auch mal die Lust, und so ein Work-in-Progress zur Diskussion zu stellen ist ja nicht all zu schlecht.

"und gilt als der erste Widerspruchsbeweis in der Geschichte der Mathematik" ist übrigens auf sehr vielen Ebenen wahrscheinlich falsch und sollte entfernt werden.

--Daniel5Ko (Diskussion) 23:51, 1. Dez. 2017 (CET)

Wie sieht's mit der jetzigen Version aus (Nomen4Omens Änderung ist mit drin)?

Ich vermisse immer noch ein sinnvolles Argument dafür, dass man unbedingt von Widerspruchsbeweisen / Gegenteilen usw. sprechen müsse. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:50, 5. Dez. 2017 (CET)

Ich denke, der wichtigste Vorteil des Begriffs „Widerspruchsbeweis“ ist ein didaktischer. Er gibt dem Lernenden eine Hilfestellung bei seinem Hauptproblem, nämlich wie er einen mathematischen Beweis beginnen soll: Die Beweisidee beruht darauf, anzunehmen, dass die Negation der zu beweisenden Behauptung gilt. Das ist mMn ähnlich grundlegend wie der Hinweis „Beweis durch vollständige Induktion“. Wie oft liest man für Anfänger der Mathematik: „Hinweis: Beweis durch Widerspruch“? Aber bald ist der Anfänger kein Anfänger mehr und weiß selbst, wie er zum Beispiel bei Aufgaben vom Typ „Man beweise: Es gibt kein …“ anfangen muss. Das ist doch eine schöne Entwicklung, oder? -- HilberTraum (d, m) 23:12, 5. Dez. 2017 (CET)

Viel sinnvoller wäre ein Hinweis wie: "$\lnot A$ ist definiert als $A\to \bot$". Beweise, die als Teile echte Widerspruchsbeweise enthalten, erfordern Kreativität (jedenfalls, wenn man einen schönen Beweis produzieren will, der möglichst unumständlich ist: Man muss sich fragen und ggf. ein wenig herumprobieren, wo man das Mittel genau einsetzt). Ein Beweis von $\lnot A$ erfordert dagegen überhaupt keine Kreativität: Man kommt (naja, ohne Verwendung von schon bewiesenen Lemmas jedenfalls) gar nicht umhin, $A$ anzunehmen und zu einem Widerspruch zu führen. Ohne mit der Wimper zu zucken, kann man immer sofort diesen Weg einschlagen, und läuft keine Gefahr, etwas sinnlos kompliziertes zu bauen oder mehr logische Mittel zu verwenden als nötig.

Weil seltsamerweise fast immer negierte Aussagen als Beispiele kommen, hier mal ein besseres und elementares, das LEM wirklich benötigt (Trinkerprinzip): $A$ sei eine bewohnte Menge, $P$ irgendein Prädikat auf $A$. Dann gilt: $\exists a\in A.(P(a)\to \forall x\in A.\ P(x))$. Wenn man ein paar Beweise davon entwickelt, sieht man die Spielräume und Kreativitätserfordernisse sehr gut.

--Daniel5Ko (Diskussion) 22:06, 6. Dez. 2017 (CET)

Hm, nicht so recht überzeugend. Wie unterscheidet man denn, zumal als Anfänger, ob man ein $A$ oder ein $\lnot A$ beweisen soll? Das kann doch in einer konkreten Aufgabenstellung gut „versteckt“ sein. Ist die Mühe das herauszufinden nicht besser investiert, wenn man einfach mal einen klassischen Widerspruchsbeweis anfängt? Also das Beweisen von Aussagen praktiziert und nicht das Beweisen von negierten oder nicht negierten Aussagen probiert? -- HilberTraum (d, m) 23:15, 6. Dez. 2017 (CET)

Wenn man nicht weiß, was man beweisen soll, liegen die Schwierigkeiten sowieso woanders. Da hilft das Üben von Beweisen nicht. Hilfreich ist in dem Fall das Üben von Interpretieren von Prosa als Formeln. Man muss aber auch nicht unbedingt entscheiden, ob eine negierte Aussage vorliegt -- wenn man es nicht weiß, kann man eben keine Negationseinführung verwenden, und einen echten Widerspruchsbeweis kann man immer versuchen. (Im letzten Fall merkt man vielleicht mittendrin, dass man doch nur eine Negationseinführung gemacht hat, und sollte das beim Aufräumen durchaus klar zur Geltung bringen.)

@Sung Kyun Kwan Wikipedia ist keine Demokratie. Mehrheiten sind grundsätzlich irrelevant. Argumente zählen. Du könntest mal eins geben. Du musst doch irgendeinen vernünftigen Grund haben, den Artikel deine Meinung beiläufig als Fakt darstellen lassen zu wollen. Übrigens hast du mit deinem letzten Edit mindestens eine richtige und belegte Aussage durch eine zweifelhafte und unbelegte ersetzt. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:47, 7. Dez. 2017 (CET)

Das zentrale Argument wurde wiederholt von verschiedenen Autoren genannt, u.a. auch von Wilfried Neumaier in der Portalsdiskussion: dieser Beweis ist seit langem das etablierte Beispiel, mit dem in der Schulmathematik erklärt wird, was ein Widerspruchsbeweis ist. Daran hat sich auch nichts geändert: soweit in der Schule Beweise überhaupt noch eine Rolle spielen, ist dieser Satz jedenfalls immer noch das erste Beispiel für einen Widerspruchsbeweis. Bauers Argument, dass man den Beweis auch anders führen könnte, hat bisher keine über engere Fachkreise hinausgehende Rezeption gefunden und insbesondere die Schulmathematik bisher nicht beeinflußt. Deshalb gehören diese Aktivitäten in den noch zu schreibenden Artikel zu Andrej Bauer und allenfalls als kurzer, separater Abschnitt in diesen Artikel. (Wobei ich auch von letzterem nicht wirklich überzeugt bin.)--S. K. Kwan (Diskussion) 10:48, 7. Dez. 2017 (CET)

Du hast immer noch nicht verstanden, dass Bauer überhaupt nicht davon spricht, den Beweis anders zu führen. Es geht einzig um die Frage, ob man extrem verschiedene Begriffe gleich bezeichnen soll. Ich sage: didaktisch ist das nicht sinnvoll, und sollte einfach nicht gemacht werden (mindestens Blechschmidt, Bauer, Harper, von Plato, Pfenning, Paul Taylor, Peter Johnstone, Tim Gowers gehen da wohl mit). Meine Versionen machen diese Aussage aber nicht, da die Frage hier eigentlich hier off-topic ist. Deine Version nimmt einen Standpunkt (aus meiner Sicht: einen schlechten) ein und verkündet ihn als Fakt. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:46, 10. Dez. 2017 (CET)

Dass der Beweis nicht wirklich anders ist, sondern nur eine Umformulierung, das hatte ich schon verstanden.—S. K. Kwan (Diskussion) 21:56, 10. Dez. 2017 (CET)

Was soll dann "Bauers Argument, dass man den Beweis auch anders führen könnte"? In meiner Version gibt es jedenfalls keine erwähnenswerten "Aktivitäten". Sie behauptet einfach bestimmte Dinge nicht. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:16, 12. Dez. 2017 (CET)

Quellenbasiertes Arbeiten

Ich persönlich würde mir (von beiden „Seiten“) weniger hemdsärmeliges Editieren und Revertieren wünschen, sondern mehr quellenbasiertes Arbeiten. Es kann doch eigentlich nicht sein, dass trotz der ganzen Diskussionen hier der Artikel ganz ohne Belege daherkommt. Bis eben war nicht einmal die Nummer der Proposition richtig! Ich habe jetzt mal ein bisschen angefangen, aber wie so oft wenn man mal etwas genauer nachforscht, ist alles viel komplizierter als ursprünglich gedacht. Darum würde ich mich sehr über etwas konstruktive Mithilfe freuen. -- HilberTraum (d, m) 12:20, 7. Dez. 2017 (CET)

Ich hatte eine Quelle angegeben, die sagt, dass oft gesagt wird, es handele sich um einen Widerspruchsbeweis (und nebenbei, dass das falsch ist). --Daniel5Ko (Diskussion) 02:46, 10. Dez. 2017 (CET)

Hatte ich gesehen, danke. Aber so richtig klar, wie daraus hervorgeht, dass aus Sicht der Autoren die Bezeichnung „Widerspruchsbeweis“ falsch sei, ist mir das noch nicht. Ich lese das so, dass alle Beweisverfahren, die zu einen Widerspruch führen als reductio ad absurdum bezeichnet werden. Diese lassen sich dann genauer einteilen in die (echten) indirekten Beweise und in Beweise negierter Aussagen. Da stellt sich aber die Frage, wie der deutsche Begriff „Widerspruchsbeweis“ in diese Hierarchie passt. Immerhin ist Widerspruchsbeweis eine Weiterleitung auf Reductio ad absurdum. Überhaupt wäre ich sehr vorsichtig damit, Bezeichnungen „falsch“ zu nennen. Sie können gebräuchlich oder ungebräuchlich sein. Maximal können sie mMn unzweckmäßig sein. -- HilberTraum (d, m) 19:30, 10. Dez. 2017 (CET)

Natürlich muss man vorsichtig sein, Dinge als "falsch" zu bezeichnen. Ebenso muss man vorsichtig sein, unterschiedliche Dinge mit gleichen Bezeichnern zu versehen. Dass die relevanten Experten zu einem großen Teil der Meinung sind, dass verschiedene Lagen vorliegen, sieht man aber (und auch hier nochmal: meine Version behauptet das gar nicht, auch wenn ich es richtig finde; sie gibt sich damit zufrieden, bisher unbequellte Aussagen, die eh nicht verteidigbar sind, nicht zu treffen).--Daniel5Ko (Diskussion) 00:16, 12. Dez. 2017 (CET)

Also der Aristoteles hat ja schon mal einen Einzelnachweis und eine Arbeit zur Geschichte habe ich bei „Weblinks“ eingefügt. Natürlich ist die Überarbeitung des Artikels noch nicht fertig, aber ich hatte halt die Hoffnung, dass ich nicht alles alleine machen muss. Grundsätzlich könnte ich mir gut einen Abschnitt zur Geschichte vorstellen, in dem man auch die schon angesprochene Bedeutung des Beweises in der Mathematikausbildung und evtl. abschließend den Unterschied zwischen den beiden Beweisarten anhand deiner Quelle darstellt. -- HilberTraum (d, m) 09:59, 12. Dez. 2017 (CET)

Wenn es dich stört, alles alleine machen zu müssen, setze doch eine Vandalismusmeldung gegen die Verbesserungsverhinderer ab. Vielleicht überzeugt sie sie ja, sich mal etwas zurückzuhalten und nicht begründungsfrei zu revertieren. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:18, 24. Dez. 2017 (CET)

Warum sollte ich? Ich habe ja schließlich dich oben trotz deines Verhaltens auch nicht gemeldet. Durch Vandalismusmeldungen wird der Artikel sicher nicht besser. -- HilberTraum (d, m) 22:33, 24. Dez. 2017 (CET)

Naja, es könnte bewirken, dass ich mehr Lust habe, trotzdem weiter am Artikel zu arbeiten (dies wiederum würde bewirken, dass du nicht alles allein machen musst). Es handelt sich aber nur um eine Vermutung, dass diese Wirkung eintreten könnte. Eigentlich kann man den Vorschlag also vergessen, haste Recht.

Ich sehe nach wie vor nicht, wo bei mir VM-fähiges Verhalten sein soll. Die Entfernung von (vielleicht auch erstmal nur gefühltem) Unfug ist normal. Wenn trotz vielfacher Aufforderung keine brauchbaren Argumente für die Wiedereinfügung gegeben werden (Sung Kyun Kwans "Geh woanders spielen", VM, "Schreib irgendwas irgendwo anders hin", "X steht nicht in Schulbüchern" (was auch immer X ist, er weiß es wohl auch nicht so genau), Frogfols "man sollte einen extra Abschnitt bauen" sind total am Thema vorbei; du hast wenigstens versucht, die gestellte Frage zu beantworten, wenn auch nicht überzeugend), kann ich ja wohl nichts dafür.

Nach wie vor bin ich auch der Ansicht, dass Terminologiefragen in diesem Artikel nach Möglichkeit nicht diskutiert werden sollten, da sie off-topic sind. Gegen eine differenzierte Darstellung (anstelle einer beiläufigen Verkündung einer diesbezüglichen Meinung als Fakt) habe ich nichts -- sie gehört nur nicht hier hin, würde vernünftig gemacht wahrscheinlich mindestens 30% einnehmen, und sie ist unnötig, wie man in der Historie nachlesen kann. Man kann natürlich dennoch hier die Darstellung generieren und dann an eine geeignete Stelle verschieben (oder: je nach Ergebnis auch kopieren, also hier stehenlassen), woran ich auch mitarbeiten würde. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:42, 25. Dez. 2017 (CET)

Gegenüber IP-Benutzern wird hier gern mal ein etwas rauerer Ton angeschlagen. Muss man nicht gut finden, ist aber allgemein verbreitet. Da muss man dann halt durch ;)

Von der Relevanz der Terminologiefragen bin ich zwar noch nicht ganz überzeugt, aber eine Darstellung würde ggf. sicher keine 30 % einnehmen. Mal ins Grobe gemäß deiner Quelle Negri, von Plato (die ja explizit Irrationalitätsbeweise ansprechen) formuliert:

„In der modernen Logik wird manchmal das Prinzip des Widerspruchsbeweises genauer unterteilt in die (echten) indirekten Beweise und in die Beweise negierter Aussagen. Bei Ersteren wird zum Beweis einer Aussage angenommen, dass sie nicht gilt und daraus ein Widerspruch hergeleitet; bei der zweiten Gruppe wird aus einer Aussage direkt ein Widerspruch konstruiert und damit bewiesen, dass die Aussage nicht gilt. Der Beweis der Irrationalität von ${\sqrt {2}}$ gehört zur zweiten Gruppe, denn es handelt sich bei der Behauptung um eine negierte Aussage: Eine reelle Zahl ist gemäß Definition irrational, wenn sie nicht rational ist.“

Was denkst du? Momentan wäre so ein Abschnitt sicherlich ein Fremdkörper im Artikel, aber am Ende eines kurzen Geschichtsabschnitts könnte ich mir so etwas schon vorstellen. -- HilberTraum (d, m) 19:47, 25. Dez. 2017 (CET)

Inhaltlich wäre ich einverstanden. Es stellt sich natürlich schon die Frage, warum das in dieser Ausführlichkeit gerade in diesen Artikel muß. Schließlich gibt es ja auch andere Aussagen, die durch solche Widerspruchsbeweise zweiter Klasse bewiesen werden. Aber meinethalben können wir uns auf diesen Abschnitt einigen.—S. K. Kwan (Diskussion) 22:44, 28. Dez. 2017 (CET)

Ja, wie ich schrieb, bin ich von der Relevanz des Konzepts hier auch noch nicht ganz überzeugt. Meine Formulierung war aber auch als ein Kompromiss an Daniel gedacht. Auch wenn er hier leider zuerst wie ein Elefant im Porzellanladen aufgetreten ist, scheint er mir doch ein recht kompetenter Logiker zu sein. Daher würde ich erst mal Daniels Meinung zu dem Vorschlag abwarten wollen. -- HilberTraum (d, m) 23:12, 28. Dez. 2017 (CET)

Der Abschnitt ist inhaltlich in Ordnung. Aber ja: er wirkt hier fehl am Platz. A propos quellenbasiertes Arbeiten: Harold N. Shapiro: "Introduction to the Theory of Numbers" gibt vor, im Beweis von Satz 1.1.1 im Wesentlichen den Inhalt der entsprechenden Stelle von Aristoteles' 'Analytica priora' wiederzugeben. Unabhängig davon, ob es überhaupt eine wirkliche Beziehung zu Euklid gibt (die ja eigentlich laut Titel des vorliegenden Artikels gegeben sein sollte) enthält die Wiedergabe bei Shapiro auch nicht die nebenbei-Behauptung, es handele sich um einen Widerspruchsbeweis. Zu bemängeln ist lediglich der Anfang: "Assume the theorem false", was grob analog zum hiesigen "Gegenteil" ist. Wenn ich mir so anschaue, was in den Elementen von Euklid so formuliert wird, bezweifele ich, dass so etwas im ggf. vorhandenen Original vorkam. Wie dem auch sei: Shapiros Satz 1.1.1 bzw. dessen Beweis zeigt doch, dass es ohne die umstrittene nebenbei-Behauptung geht.

Von Literatur-Archäologie abgesehen: Was mir am wichtigsten ist, ist, dass beim Leser keine falschen Vorstellungen aufkommen. Es ist ziemlich üblich (bei Bedarf steuere ich Literaturfundstellen bei), intuitionistische Logik so zu charakterisieren, dass es sich um eine Abschwächung klassischer Logik handelt, und zwar in dem Sinn, dass Widerspruchsbeweise nicht zulässig sind.

Die falsche Vorstellung, die aufkommen kann, ist daher, dass der Beweis intuitionistisch nicht in Ordnung sei, obwohl er es ist.

Ich glaube, wenn es denn unbedingt sein muss, "Widerspruchsbeweis" oder "indirekter Beweis" zu sagen, kann eine genau darauf gezielte Klammer-Bemerkung, die kurz und präzise sagt, was wirklich gemacht wird (eben: Negationseinführung), diese Gefahr zerstreuen. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:48, 4. Feb. 2018 (CET)

Danke. Ich hatte jetzt diesen Artikel etwas aus den Augen verloren, aber einen ordentlichen Geschichtsabschnitt fände ich immer noch wichtig. Also danke für deine Anmerkungen dazu, ich schaue mir das mal an. Ist aber halt nicht ganz einfach, da ja offenbar der Beweis nicht von Euklid ist und darum schon lange nicht mehr bei bei Euklid steht. Das heißt, man müsste auch mal den Artikeltitel überdenken.

Wegen „dass Widerspruchsbeweise nicht zulässig sind“ war ja mein Einwand, dass man erstmal belegen sollte, wofür der Begriff (am besten der deutschsprachige) „Widerspruchsbeweis“ genau verwendet wird: Ist es ein Oberbegriff für beide Gruppen von Beweisen (also für alle Beweise, die darauf beruhen, einen Widerspruch herzuleiten)? Dann wäre ja innerhalb der intuitionistischen Logik nur ein Teil aller Widerspruchsbeweise nicht zulässig. Oder ist damit tatsächlich nur ein Beweis gemeint, der das „Gegenteil“ der zu beweisenden Aussage annimmt? Das sollte mMn erstmal geklärt werden. -- HilberTraum (d, m) 20:01, 4. Feb. 2018 (CET)

Man kann die Benennungs-Frage nicht klären. Soweit ich sehe, ist alles viel zu durcheinander. Man verwende einfach extrem präzise Terminologie, die sich nicht darum schert, ob jemand ohne nachvollziehbaren Grund denkt, man müsse unbedingt "Widerspruchsbeweis" (o.ä.) sagen.

Intuitionistische Logik: LEM gilt i.A. nicht, ein Beweis von $\lnot \lnot A$ ist kein Beweis von $A$ --Daniel5Ko (Diskussion) 00:26, 7. Feb. 2018 (CET)

Meine Meinung ist immer noch, dass man den Leser durchaus darüber aufklären sollte, wenn in der Literatur „alles viel zu durcheinander ist“. Die Leser sind ja keine kleinen Kinder, denen wir mit „Man verwende einfach“ Vorschriften machen wollen ;) Man könnte dazu z. B. einfach in meinem obigen Textvorschlag noch „Einige Autoren verwenden die Bezeichnung Widerspruchsbeweis ausschließlich für den ersten Typ von Schlussfolgerung“ oder so einfügen. Ob man diesen ersten Typ als zulässigen Beweis akzeptiert oder nicht, ist aber mMn für diesen Artikel wirklich nicht relevant, einfach weil der Beweis ja gar nicht zu diesem Typ gehört. -- HilberTraum (d, m) 20:56, 8. Feb. 2018 (CET)

Ja, und ebenso ist es für den Artikel nicht relevant, zu behaupten, es würde sich um einen Widerspruchsbeweis handeln. Das sage ich doch die ganze Zeit. Und dann kann man sich optional darüber Gedanken machen, wozu man überhaupt von Widerspruchsbeweisen sprechen will oder muss, oder ob man das nicht einfach weglassen kann. Potentiell schlecht am nicht-Weglassen sind mögliche fehlleitende Interpretationen. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:56, 12. Feb. 2018 (CET)

Wenn du immer nur als einziges „Argument“ wiederholst, dass du das Wort Widerspruchsbeweis nicht im Artikel haben willst, aber gar nicht auf konkrete Diskussionspunkte und Vorschläge eingehst, dann können wir das hier auch lassen. -- HilberTraum (d, m) 19:23, 13. Feb. 2018 (CET)

Naja, es ist eben so, dass verbreitete Terminologie (die natürlich im Allgemeinen immer subjektiv und Geschmackssache ist) dazu führen kann, dass durch die Formulierung im Artikel objektiv falsche Information vermittelt wird. Durch kilobytewise Klarifizierung könnte man das verhindern, aber dann stellt sich die Frage, was das soll. Einfache, direkte Präzision und Vermeidung von möglichen Missverständnissen ist meiner Meinung nach das sinnvollste.

Nochmal: Es gibt genug Literatur, die etwa intuitionistische Logik dadurch charakterisiert, dass dort Widerspruchsbeweise verboten sind.

Was hier im Artikel gemacht wird (ohne die irreführende und irrelevante Prosa um den Kern des Beweisvorgangs herum) ist ein intuitionistisch erlaubter Beweis. Die objektiv falsche Information die herüberkommen kann, wenn man sagt, man würde einen Widerspruchsbeweis durchführen, ist, dass der Beweis, wie er im Artikel geführt wird (ohne die irreführende und irrelevante Prosa um den Kern des Beweisvorgangs herum) intuitionistisch nicht zulässig ist. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:27, 19. Apr. 2018 (CEST)

Nochmal zu Aristoteles: In dem im Artikel verlinkten Paper von Ofman steht auf Seite 3 der Originaltext von Aristoteles in der englischen Übersetzung und anschließend die Interpretation von Ofman. Danach ist klar, dass der erwähnte Beweis ein Beispiel für eine reductio ad absurdum ist, auch wenn nicht ganz klar ist, welchen Beweis für die Inkommensurabilität der Diagonale Aristoteles genau meint. Der deutlichste Satz von Aristoteles ist mMn: “One infers syllogistically that odd numbers come out equal to evens, and one proves hypothetically the incommensurability of the diagonal, since a falsehood results through contradicting this.” Damit ist doch eindeutig schon das Prinzip des modernen Widerspruchsbeweises (1. Art) gemeint. -- HilberTraum (d, m) 12:50, 9. Feb. 2018 (CET)

Aristoteles hat doch eh nicht in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts oder später gelebt. Wenn wir hier etwas über den heutigen Begriff des Widerspruchsbeweises behaupten wollen (ich tue hier mal kurzerhand so, als gäbe es ihn), im Gegensatz zu einer Wortgruppe, die gemeinhin nach "Widerspruchsbeweis" übersetzt wird, spielt er ja eigentlich eher nur eine untergeordnete Rolle. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:56, 12. Feb. 2018 (CET)

Du scheinst das eherne Gesetz des Enzyklopädieschreibens nicht zu kennen: „Wenn sich Aristoteles zu einem Artikelgegenstand geäußert hat, dann ist das immer relevant und muss an prominenter Stelle erwähnt werden.“ Vorlage:Smiley/Wartung/;)  -- HilberTraum (d, m) 19:23, 13. Feb. 2018 (CET)

Können wir das hier jetzt Erlen?—S. K. Kwan (Diskussion) 18:56, 29. Mär. 2018 (CEST)

Übertrag von Portaldiskussion

Es gibt einen einzelnen Autor, der i.W. das Wort „Widerspruchsbeweis“ aus dem Artikel entfernt haben möchte, weil man den Beweis auch so umformulieren kann, dass er nicht im formalen Sinne ein Widerspruchsbeweis ist. Ich bin dagegen, weil dieser Satz ja eigentlich das klassische Beispiel für einen Widerspruchbeweis ist und auch in der Schule so gelehrt wird. Andere Meinungen?—S. K. Kwan (Diskussion) 13:37, 10. Nov. 2017 (CET) Siehe auch die Diskussion dazu.—S. K. Kwan (Diskussion) 13:37, 10. Nov. 2017 (CET)

Es ist das Paradebeispiel für eine "reductio ad absurdum" seit der Antike, so auch die althergebrachte Terminolgie. Lassen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 18:55, 1. Dez. 2017 (CET)

Ohne Widerspruchsbeweis wird man kaum eine Irrationalität beweisen können. Ich kann nur zustimmen, dass dies so bleiben muss. Der Artikel selbst ist relevant, obwohl wir in der Wikipedia ja wenig Beweise bringen wollen. Aber der Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 gehört meiner Meinung nach zur Allgemeinbildung. Ich würde den Artikel so lassen wollen, wie er ist.--FerdiBf (Diskussion)

Es geht um sinnvolle Benennung verschiedener Konzepte.

Die Unterscheidung wird gemacht (u.a.: weil sie extrem sinnvoll ist), wenn auch mit unterschiedlichen konkreten Benennungen.

Literaturempfehlungen (manchmal explizite Unterscheidung, oft aber auch nur Behauptung, dass intuitionistische Logik das ist, wo Widerspruchsbeweise (a.k.a indirekte Beweise o.ä.) nicht erlaubt sind):

• van Dalen: Logic and Structure
• Avigad: Logic and Computation
• Streicher: Logik für Informatiker
• Kegelmann: Logik für Informatik II Kalkül des Natürlichen Schließens
• Schwichtenberg: Mathematische Logik
• Blechschmidt: Pizzaseminar zu konstruktiver Mathematik
• Michael Barr, Charles Wells: Toposes, triples and theories,
• Mac Lane, Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic,
• Anders Kock: Synthetic Geometry of Manifolds,
• Pfenning: Automated Theorem Proving

--Daniel5Ko (Diskussion) 23:51, 19. Apr. 2018 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. S. K. Kwan (Diskussion) 08:52, 1. Apr. 2018 (CEST)

Ich verstehe es noch nicht

@Daniel5Ko: Sorry, wenn ich nicht die ganze Diskussion durchgelesen habe. Aber ich verstehe es nicht: Warum soll das kein Widerspruchsbeweis sein? Was ist der Unterschied? --Digamma (Diskussion) 18:47, 17. Feb. 2018 (CET)

${\begin{array}{c}\Gamma ,A\vdash \bot \\\hline \Gamma \vdash \lnot A\end{array}}$

vs.

${\begin{array}{c}\Gamma ,\lnot A\vdash \bot \\\hline \Gamma \vdash A\end{array}}$.

Das eine ist Negationseinführung, das andere ein ("echter") Widerspruchsbeweis.

--Daniel5Ko (Diskussion) 23:14, 19. Apr. 2018 (CEST)

Nach Monaten … gähn … und wir warten immer noch auf einen relevanten Literaturbeleg dafür, dass nicht beide Beweismethoden Spezialfälle des Konzepts Widerspruchsbeweis sind … Vorlage:Smiley/Wartung/;)  -- HilberTraum (d, m) 23:42, 19. Apr. 2018 (CEST)

Ich hatte ganz am Anfang schon ein paar Autoren genannt. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:52, 19. Apr. 2018 (CEST)

Daraus lese ich, dass das in der klassischen Logik dasselbe ist, denn da ist $\lnot (\lnot A)$ äquivalent zu $A$. --Digamma (Diskussion) 08:03, 20. Apr. 2018 (CEST)

Es ist auch dann, wenn man klassische Logik verwendet, nicht dasselbe (und wenn man echt intuitionistisch arbeitet, stellt sich die Frage gar nicht wirklich: eine der Regeln ist sowieso illegal). Das wird deutlich, wenn man sich etwa Strategien zur Beweissuche anschaut. $\lnot$-\intro kann man rückwärts nicht immer anwenden, aber es ist praktisch nie eine schlechte Idee, wie bei allen Einführungsregeln; die andere Regel kann man immer anwenden, aber es ist fast immer eine schlechte Idee und daher eher letztes Mittel. Siehe z.B. Abschnitt 4.3 Proof by contradiction in "Logic and Computation" von Avigad oder Abschnitt 1.4 Natural Deduction in "Logic and Structure" von van Dalen. --Daniel5Ko (Diskussion) 10:05, 20. Apr. 2018 (CEST)

Die Bücher habe ich leider nicht und "$\lnot$-\intro" verstehe ich nicht. Aber wenn ich $\lnot A$ durch $B$ ersetze, dann wird aus deiner ersten Regel die zweite und umgekehrt. --Digamma (Diskussion) 17:47, 20. Apr. 2018 (CEST)

Mit der ersten Quelle ist vermutlich dieses Vorlesungsskript gemeint. -- HilberTraum (d, m) 19:43, 20. Apr. 2018 (CEST) Formulierung laut Quelle: “Sometimes, however, you will find yourselves simply stuck. Fortunately, you have one more trick up your sleeve: proof by contradiction, corresponding to the rule RAA.” Oder um es mit Daniels Worten ins Deutsche zu übersetzen „fast immer eine schlechte Idee und daher eher letztes Mittel“ ;-) -- HilberTraum (d, m) 19:58, 20. Apr. 2018 (CEST)

Ich wollte "$\lnot$-intro" schreiben. Damit meinte ich die Regel zur Negationseinführung. Wenn du $A$ durch $\lnot B$ ersetzt, kommen folgende Instanzen heraus:

${\begin{array}{c}\Gamma ,\lnot B\vdash \bot \\\hline \Gamma \vdash \lnot \lnot B\end{array}}$

und

${\begin{array}{c}\Gamma ,\lnot \lnot B\vdash \bot \\\hline \Gamma \vdash \lnot B\end{array}}$.

$\lnot \lnot B$ ist eine andere Formel als $B$. Dass sie äquivalent wären, ist zunächst irrelevant. Außerdem: Für den Nachweis der Äquivalenz bräuchte man die Möglichkeit, einen echten Widerspruchsbeweis zu führen.

Wenn die Regeln dasselbe aussagen würden, könnte man ja die für den echten Widerspruchsbeweis weglassen (und ggf. redundanterweise vorhandene äquivalente Dinge wie LEM oder die Äquivalenz von $X$ und $\lnot \lnot X$ für alle $X$). Was man erhielte, wäre aber nicht klassische Logik.

Die Negationseinführung ist übrigens auch keine Instanz der anderen Regel. Wenn man echte Widerspruchsbeweise führen kann, braucht man sie zwar nicht, aber ihr Nachbau besteht aus mindestens zwei Anwendungen der Widerspruchsbeweisregel und noch allerlei anderem Zeug. (Das ist eine nette Übungsaufgabe. :) ) --Daniel5Ko (Diskussion) 22:05, 21. Apr. 2018 (CEST)

Ich bin noch nicht überzeugt. Wenn ich die Aussage "Wurzel 2 ist rational" A nenne, dann ist das bei dir kein Widerspruchsbeweis. Wenn ich aber als A die Aussage "Wurzel 2 ist irrational" nehme dann schon. Wobei für dich wahrscheinlich "nicht irrationial" nicht dasselbe ist wie "rational". Auf dem Boden der klassischen Logik ist das aber dasselbe. --Digamma (Diskussion) 14:46, 22. Apr. 2018 (CEST)

Klassische Logik ist doch nicht das einzige, was je jemanden interessieren sollte. Es gibt Leser und Schreiber, die einen größeren Wissenszirkel erkunden wollen. Das zu behindern, nur weil es dich nicht interessiert, ist schlecht.

Die beiden Aussagen, die du nennst, führen auf das gleiche. Im einen Fall wollen wir $\lnot A$ beweisen, im anderen Fall wollen wir $A$ beweisen, wobei $A$ aber aufgrund der Definition der Irrationalität dasselbe ist wie $\lnot A'$ mit $A'=$" Wurzel 2 ist rational".

Es ging aber um die Schlussregeln. Du behauptest, sie würden dieselben Züge gestatten. Ganz unabhängig davon, wie man sie nun nennt, ist das objektiv falsch: Unter der Annahme, dass man keine sonstigen redundanten Regeln hat, bewirkt die Entfernung der RAA-Regel den Übergang zu einer nichtklassischen Logik, die Entfernung der $\lnot$-Intro-Regel bewirkt das nicht. Die Argumentation mit klassischer Logik, und dass da $X$ äquivalent zu $\lnot \lnot X$ sei, ist in etwa so unsinnig, als würde man sagen, das Extensionalitätsaxiom und das Auswahlaxiom würden dieselbe Aussage treffen, da sie in ZFC ja äquivalent sind (da beide wahr). Im Übrigen werden Schlussregeln rein syntaktisch behandelt. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:26, 25. Apr. 2018 (CEST)

"Die beiden Aussagen, die du nennst, führen auf das gleiche. Im einen Fall wollen wir $\lnot A$ beweisen, im anderen Fall wollen wir $A$ beweisen, wobei $A$ aber aufgrund der Definition der Irrationalität dasselbe ist wie $\lnot A'$ mit $A'=$" Wurzel 2 ist rational". "

Ja, genau. Und ich vestehe nicht, warum es einmal ein Widerspruchsbeweis sein soll und das andere Mal nicht. Es geht mir gar nicht um Schlussregeln. Die hast du eingebracht. Es geht um das, was Mathematiker unter Beweisen verstehen und wie sie sie benennen. --Digamma (Diskussion) 17:13, 25. Apr. 2018 (CEST)

Ich verstehe deine Frage nicht. Es wird in beiden Fällen dieselbe Aussage bewiesen. Und dazu wird, da es sich um eine negierte Aussage handelt, das Prinzip der Negationseinführung verwendet.

Anders wäre es vielleicht, wenn man eine geeignete positive Definition der Irrationalität verwenden würde. Davon gehe ich hier aber nicht aus. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:08, 1. Mai 2018 (CEST)

Ach, jetzt verstehe ich, was eigentlich die beiden Fälle sind. Ich dachte, es geht um die Formeln, und da es zweimal dieselbe war, war ich verwirrt. Hinzukommt, dass mir gar nicht in den Sinn kommt, negierte Aussagen anders als durch Negationseinführung zu beweisen.

Also: Es soll $\Gamma \vdash \lnot A$ bewiesen werden. Das ginge über die Negationseinführung (hinreichend: $\Gamma ,A\vdash \bot$,...) oder über einen Umweg mit RAA (per RAA ist $\Gamma ,\lnot \lnot A\vdash \bot$ hinreichend, nach Lemma sowieso (das auch ohne RAA gilt) ist dafür wiederum $\Gamma ,A\vdash \bot$ hinreichend,...).

Letztere Variante, einfach weil sie RAA verwendet, sollte man Widerspruchsbeweis nennen. Beweise, die RAA nicht verwenden, nicht Widerspruchsbeweise zu nennen, hat den Charme, dass man dann intuitionistische Logik simpel charakterisieren kann:

'Intuitionistic logic is a weakening of classical logic intended to allow only “positive” proofs; in other words, proof by contradiction is ruled out.'

(Barr, Wells: Toposes, triples, and theories).

--Daniel5Ko (Diskussion) 22:10, 1. Mai 2018 (CEST)

Computerbeweise

Vielleicht könnte man noch erwähnen, dass dies der Satz mit den meisten Computerbeweisen in der Mathematik ist.--S. K. Kwan (Diskussion) 23:00, 20. Mär. 2018 (CET)

Könnte stimmen. Aber wozu wäre das sinnvoll? --Daniel5Ko (Diskussion) 23:54, 19. Apr. 2018 (CEST)

Es zeigt halt, dass dieser Beweis als Prototyp oder Klassiker für einen mathematischen Beweis gesehen wird, weshalb sich die meisten Programmierer von Beweisassistenten als erstes an diesem Beweis ausprobieren.—S. K. Kwan (Diskussion) 09:40, 9. Jul. 2018 (CEST)

Okay. Aber beachten: die mit Hilfe von Beweisassistenten erzeugten Beweise werden aber üblicherweise nicht "Computerbeweise" genannt. --Daniel5Ko (Diskussion) 13:39, 9. Jul. 2018 (CEST)

Zusatzinfo: Wenn du dich schlau machst, wirst du sehen, dass gerade in diesem Milleu praktisch niemand zu "Negationseinführung" "Widerspruchsbeweis" sagt. Auf Weltzusammenbruch vorbereiten! :P An einer Implikation ist eben nichts besonderes dran, was einen speziellen Namen verdient hätte, wenn sie nach $\bot$ geht. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:19, 10. Jul. 2018 (CEST)

Entfernung belegter Informationen

Die per [12] entfernte Information gehört schon in den Artikel. Man kann ruhig auch Experten zu Wort kommen lassen. Bücher wie Barr & Wells: Toposes, Triples and Theories, van Dalen: Logic and Structure, Holmes: Proof, Sets, & Logic, Chiswell & Hodges: Mathematical Logic, Nederpelt & Geuvers: Type Theory and Formal Proof, Taylor: Practical Foundations of Mathematics, Avigad et al: Logic and Proof, diverse Skripten (Thomas Streicher: Logik für Informatiker, Selinger: Lecture Notes Lambda Calculus) und Doktorarbeiten (Blechschmidt: Using the internal languages of toposes in algebraic geometry, OCOnnor: Incompleteness & Completeness: Formalizing Logic and Analysis in Type Theory) reservieren die Bezeichung RAA/Widerspruchsbeweis ausschließlich für das nur in klassischer Logik gültige Prinzip. Manche sagen sogar explizit, dass es sich bei der Negations- bzw. Implikationseinführung eben nicht um Widerspruchsbeweise handelt. Und allen ist gemein, dass sich unsinnige Aussagen ergeben, wenn man die Annahme hinzufügt, es würde sich bei Negations- bzw. Implikationseinführung um Widerspruchsbeweise handeln. (Wie etwa: "Closely related is the fact that in intuitionistic logic, we do not have a principle of proof by contradiction." oder "Intuitionistic logic is a weakening of classical logic intended to allow only “positive” proofs; in other words, proof by contradiction is ruled out." oder "It is in this sense that we can say that intuitionistic logic is “classical logic without proofs by contradiction”.") --Daniel5Ko (Diskussion) 13:17, 9. Jul. 2018 (CEST)

Sorry, wir haben das hier und auch auf der Portalseite diskutiert seit letztem September. (Und da ging es noch nicht mal darum, dass Bauer in die Einleitung sollte.) Alle außer dir waren sich einig. Du kannst nicht einfach die Diskussion aussitzen und dann, wenn alles abgeschlossen ist, einfach ein paar Wochen später wieder mit deinen Änderungen anfangen. (Und sie jetzt sogar in der Einleitung plazieren.)

Der entsprechende Abschnitt auf der Portalseite ist zwar schon archiviert, du kannst aber natürlich gerne einen neuen Abschnitt aufmachen und schauen, ob du diesmal vielleicht Unterstützer findest.

Erneutes Zurücksetzen ohne Unterstützung anderer Autoren wird jedenfalls als Editwar gewertet und entsprechend auf VM gemeldet werden.--S. K. Kwan (Diskussion) 14:14, 9. Jul. 2018 (CEST)

Ich habe keine sinnvollen Argumente gesehen, die zum Thema passten und darauf hindeuteten, dass sich irgendjemand eingehend mit Literatur befasst hat, statt nur gefühlsmäßig irgendetwas zu behaupten. Wenn du meinst, dass es solche gegeben hat, kannst du sie ja mal zitieren. Insbesondere würde mich interessieren, warum Logik-Experten irrelevant sein sollten, populärwissenschaftliches wie Schulbücher aber relevant.

Zudem bitte ich zu beachten, dass meine Ergänzung wichtig ist, um den Artikel etwas weniger dabei mitwirken zu lassen, von Terminologie unabhängige falsche Vorstellungen zu verbreiten. Gerade weil "Widerspruchsbeweis" in der Einleitung steht, muss auch "kein Widerspruchsbeweis" rein. Die objektiv falsche Information, dass man in intuitionistischer Logik ¬X nicht beweisen könne, indem man X zu einem Widerspruch führt, oder dass man für den Beweis, der Gegenstand des Artikels ist, klassische Logik braucht, ist sonst zu leicht herauslesbar: nämlich: für alle Leser, die vorher gelesen haben, dass Widerspruchsbeweise i.A. nur klassisch gehen, was wiederum Konsequenz einer ziemlich verbreiteten und von Experten verwendeten Terminologie ist. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:24, 10. Jul. 2018 (CEST)

Man sollte auch mal etwas nachforschen, ob hier vielleicht Unterschiede zwischen dem Sprachgebrauch im Englischen und im Deutschen vorliegen könnten: Zum Beispiel wird hier in einem Vorlesungsskript der Universität Wien die Negationseinführung als „schwache reductio ad absurdum“ bezeichnet und in diesem Skript (S. 7) der Uni Tübingen werden Negationseinführung und Negationsbeseitigung gemeinsam als „nahe mit einer Schlussform verwandt, die ‚Reductio ad absurdum‘ genannt wird“. Du bringst immer nur englischsprachige Quellen, aber keine für die Verwendung im deutschen Sprachraum. Aber davon abgesehen erscheinen mir diese Überlegungen für die Einleitung viel zu speziell. Wie gesagt könnte man aber in einem möglichen Geschichtsabschnitt meiner Meinung nach darauf genauer eingehen. -- HilberTraum (d, m) 22:17, 10. Jul. 2018 (CEST)

Deutsche Quellen habe ich auch schon angegeben: Streicher (der von dem Hoffman/Streicher -Paper): Logik für Informatiker, Seite 13, Blechschmidt: Pizzaseminar konstruktive Mathematik, S. 5, Schwichtenberg: Mathematische Logik, S.9.

Aber wie auch schon gesagt, herrscht keine große Einigkeit, wie die zwei bis drei Begriffe (Negationseinführung (aus $\Gamma ,A\vdash \bot$ schließe $\Gamma \vdash \lnot A$), indirekter Beweis (aus $\Gamma ,\lnot A\vdash \bot$ schließe $\Gamma \vdash A$), und ggf. noch ein künstlicher Oberbegriff) mit Bezeichnungen belegt werden. Worüber aber recht große Einigkeit besteht, ist, dass es sich bei der Negationseinführung nicht um einen indirekten Beweis handelt -- einfach weil man da dasselbe macht, wie eine Implikation nach $\bot$ direkt zu beweisen. Nicht zuletzt deswegen wird $\lnot A$ in vielen Texten und in allen mir geläufigen Beweisassistenten einfach als $A\to \bot$ definiert.

Welcher der drei Begriffe mit RAA und "proof by contradiction" im Allgemeinen bezeichnet wird, ist dagegen so durcheinander (die sind manchmal auch nicht synonym, weder zueinander, noch zu "indirekter Beweis"), dass man eigentlich nur so etwas schreiben kann wie: 'definiert man "Widerspruchsbeweis" so, dass es sich hier um einen Widerspruchsbeweis handelt, dann handelt es sich hier um einen Widerspruchsbeweis'. :) Und etwas ähnliches hat meine Ergänzung ja gemacht: Wenn man mit "Widerspruchsbeweis" das Ding meint, was klassische Logik auszeichnet, dann ist der Artikelgegenstand kein Beispiel. Und da der wenn-Teil so häufig anzutreffen ist, sollte die Information in den Artikel, und ja, auch in die Einleitung. Einfach um auszuschließen, dass jemand falsche Information davonträgt.

--Daniel5Ko (Diskussion) 15:45, 11. Jul. 2018 (CEST)

Die deutschsprachigen Quellen oben hatte ich übersehen, danke (ist aber auch etwas unübersichtlich auf dieser Seite :) Allerdings verwenden zwei davon die Bezeichnung „indirekter Beweis“, der gar nicht mehr im Artikel vorkommt (weil ich ihn mal entfernt hatte … gern geschehen ;). Dass die Bezeichnungen in der Literatur wild durcheinander gehen, haben wir ja schon ganz am Anfang der Diskussion festgestellt. Zum Beispiel habe ich hier noch eine Stelle gefunden (Sven Rosenkranz: Einführung in die Logik. S. 50), in der die „Negationseinführung“ explizit „Reductio ad absurdum (RAA)“ genannt wird. Die Frage ist nur, was das für den Artikel bedeuten kann. Bei deiner Einfügung in der Einleitung fürchte ich, dass der Großteil Leser, die auf diese Seite kommen, nicht mal ansatzweise verstehen, was damit gemeint ist (zumal auch gar keine Links gesetzt waren.) Es kommt zwar darauf an, welche Ambitionen man mit diesem Artikel noch hat, aber ich denke, dass der aktuelle Zustand – auch bzgl. der Problematik klassische vs. intuitionistische Logik – von den Begriffen her im Großen und Ganzen passt: In der Einleitung wird früh auf den Artikel Reductio ad absurdum verlinkt, eine Bezeichnung, die einerseits häufig in Literatur für diesen Beweis verwendet wird, andererseits wird dort aber auch im Abschnitt Reductio ad absurdum#Klassischer und intuitionistischer Widerspruchsbeweis die Problematik für den weitergehend interessierten Leser recht ausführlich diskutiert, auf alle Fälle ausführlicher, als es in diesem Artikel möglich ist. -- HilberTraum (d, m) 20:21, 12. Jul. 2018 (CEST)

Am einfachsten ist, wie gesagt, dass hier einfach nicht über Terminologie-Moden gesprochen wird. Dann kann man meine Ergänzung weglassen, und entsprechende vorhergehende Behauptungen auch. Sie sind off-topic. Es gibt handfeste mathematische Inhalte, die der eigentliche Inhalt sein sollten.

Um noch ein scheinbares Missverständnis auszuräumen: Es ist unerheblich, dass ich den Begriff, den ich als "indirekter Beweis" bezeichnet habe, so bezeichnet habe. Ich verwende "Begriff" auch nicht synonym zu "Wort". Nur für die Diskussion der Zuordnung von Bezeichnungen zu Begriffen ist es sinnvoll, irgendeine Zuordnung wenigstens temporär festzulegen, damit man die Begriffe referenzieren kann. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:28, 14. Jul. 2018 (CEST)

Noch drei Quellen gegen "Negationseinführung ist RAA": Thomas Piecha: Beweise und Widerlegungen in der formalen Logik, S. 16, Gumm: Intuitionistische Logik - Typen und Terme; Foliensatz, S. 10 Raphael van Riel, Gottfried Vosgerau: Aussagen- und Prädikatenlogik: Eine Einführung. S. 73 (bei letzterem heißt die Negationseinführung aber Beweis durch Widerspruch! :) ) In Jiri Adamek: Einführung in die Logik, S. 18 ist die Beschreibung so, dass sie nur auf Doppelnegationsentfernung passt. Und zur Negationseinführung wird nicht gesagt, dass sie RAA oder Widerspruchsbeweis sei.

Aber lassen wir das. Was schlägst du denn vor, wie man jeden Leser, für den das relevant wäre, mit der Nase drauf stoßen kann (Links verfolgen sollte idealerweise nicht nötig sein), dass er vielleicht nicht zum Artikel passende Terminologie verwendet und deshalb zu falschen Schlüssen gelangen kann, ohne dabei übermäßig die anderen Leser zu stören? --Daniel5Ko (Diskussion) 14:43, 14. Jul. 2018 (CEST)

Danke für die Quellenlinks, aber wenn (falls!) tatsächlich im Großteil der Literatur bei „Reductio ad absurdum“ die Negationseinführung explizit ausgeschlossen wird, dann wäre mMn das Wichtigste, erstmal den Artikel Reductio ad absurdum entsprechend umzuschreiben. Danach (oder besser parallel) sollte man überlegen, was mit allen Links auf diesen Artikel passieren soll. Gegebenenfalls müsste dann wahrscheinlich ein Großteil dieser Links auf einen anderen Artikel umgebogen werden, evtl. einen noch zu schreibenden zur Negationseinführung. Persönliche Anmerkung: Was mich an dieser Bezeichnung stört, ist, dass sie so gar nicht laienfreundlich wirkt („Reductio ad absurdum“ aber natürlich auch nicht). Gibt es da nichts Allgemeinverständlicheres? -- HilberTraum (d, m) 20:10, 14. Jul. 2018 (CEST)

"Beweis einer Negation" wäre eine laientaugliche Bezeichnung und findet scheinbar auch (langsam?) Anklang in deutschsprachigem Lehrmaterial für Laien (Zufallsskript), wo es nicht um interne Sprachen von Topoi und ähnlich abgefahrenes Zeug geht.

Was den Umschrieb des RAA-Artikels angeht: Zur Verhinderung, dass durch den Artikel hier falsche Information beim Leser ankommt, wäre der Umschrieb m.E. weder besonders effektiv, noch erforderlich.

Beispiel für eine optimal schlechte Situation: Der Leser hat gelernt, dass das Prinzip des Widerspruchsbeweises nur in klassischer Logik verfügbar ist -- was nunmal passieren kann, besonders, wenn er in einem Themenkreis unterwegs ist, wo diese Terminologie üblich genug ist. Nun will er wissen, ob Euklids Beweis in intuitionistischer Logik durchgeht, und wenn ja, wie er dann aussieht, und erhält durch die gegenwärtige Einleitung die falsche Information: "Nein". Da er nur im Fall einer "Ja"-Antwort weitergelesen hätte, wird das auch nicht korrigiert.

Stünde in der Einleitung nichts von "Widerspruchsbeweis", oder würde der Leser darauf hingewiesen werden, dass es sich in seiner Terminologie nicht um einen Widerspruchsbeweis handelt, entstünde das Ergebnis nicht. --Daniel5Ko (Diskussion) 10:54, 17. Jul. 2018 (CEST)

Für diesen Themenkreis ist der Artikel einfach der falsche Ort. Natürlich sollten wir Artikel haben, in denen auf diese Thematik eingegangen wird, aber die wären dann eben noch zu schreiben. Hier sucht aber jemand die einfache Lösung: statt Artikel neu zu schreiben, was mit viel Arbeit verbunden wäre, will er die Thesen mal eben schnell mit drei Sätzen in die Einleitung irgendeines beliebigen (warum gerade diesen? es gibt viele Widerspruchsbeweise in der Mathematik) Artikels hineinschreiben. Es gibt aber schlicht keinen Grund, die Thematik der Widerspruchsbeweise nun gerade in diesem Artikel zu vertiefen.—Godung Gwahag (Diskussion) 00:47, 14. Jul. 2018 (CEST)

Eben. Die Terminologiefragen gehören hier eigentlich nicht hin. Und es besteht kein Grund, Moden als Fakten zu verkaufen. Die Entfernung subjektiven und terminologieabhängigen Krams wäre nur ein erster Schritt. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:28, 14. Jul. 2018 (CEST)

Idee

Mir fiel gerade folgendes ein: Man könnte schreiben, dass es sich um einen in intuitioninistischer Logik zulässigen Widerspruchsbeweis handelt. Die Zielpersonen, die es betrifft, können das dann wahlweise als komische Benennung der Negationseinführung interpretieren, was nah genug liegt, oder folgendermaßen: man zeigt "nicht rational", indem man "nicht nicht rational" auf einen Widerspruchführt. Dies ist zwar ein Umweg, und niemand bei Trost würde genau das tun, aber es passt irgendwie auch zur Prosa und hat auch die "richtige" Form eines Widerspruchsbeweises, und obwohl man in int. Logik kein Prinzip für echte Widerspruchsbeweise hat, sind einige Instanzen, wie eben diese, nachbaubar. Außerdem würde bei letzterer Interpretation selbst "Gegenteil" nicht unbedingt seltsam sein. Zwar hat nicht jede Aussage etwas, was man ruhigen Gewissens ihr Gegenteil bezeichnen kann, aber Formeln der Form $\lnot A$ schon -- nur wäre das nicht $A$, sondern $\lnot \lnot A$. :) --Daniel5Ko (Diskussion) 21:16, 18. Jul. 2018 (CEST)

Auf den Artikel Reductio ad absurdum verlinken direkt oder indirekt über 80 Artikel. Soll da jetzt überall so ein Warnhinweis dazukommen, ob das in intuitionistischer Logik zulässig ist oder nicht? In Reductio ad absurdum wird alles ausführlich erklärt, ich denke man kann einem Leser auch mal zumuten einen Link anzuklicken und sich dort weiter zu informieren. -- HilberTraum (d, m) 19:34, 20. Jul. 2018 (CEST)

An einem Beispiel auszuprobieren, was man machen könnte, ist doch nicht verkehrt. Wenn sich etwas empfehlenswertes ergibt, kann man das natürlich auch auf 80 Artikel anwenden. Ich sehe da kein Problem und auch keinen Zwang. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:56, 29. Jul. 2018 (CEST)

Wir haben ja auch nicht in allen Artikeln zu Themen der euklidischen Geometrie Hinweise dazu, ob die entsprechenden Sätze auch noch in der nichteuklidischen Geometrie gelten. Wer sich für nichteuklidische Geometrie interessiert, wird die entsprechenden Artikel aufsuchen müssen und wer sich für intuitionistische Logik interessiert, wird dort die entsprechenden Artikel aufsuchen müssen. Oder er muß diese Artikel eben erst selber schreiben, wenn es sie noch nicht gibt.—Godung Gwahag (Diskussion) 09:44, 21. Jul. 2018 (CEST)

Um Geltung geht es nicht, sondern um Terminologie. Dass Implikationseinführung etwas völlig anderes ist, als eine "richtige RAA", ist sonnenklar. Der Artikel nimmt gegenwärtig bezüglich der Terminologie einen Standpunkt ein, der für den Artikelinhalt eigentlich irrelevant ist und weggelassen werden kann.

In Analogie zu [nicht]euklidischer Geometrie: Zu behaupten, dass alles mögliche auf dem Parallelenpostulat beruht, ist einfach Quatsch.--Daniel5Ko (Diskussion) 02:56, 29. Jul. 2018 (CEST)