Diskussion:Bilinearform

Ein paar Punkte

Ein paar Punkte:

• Links- und Rechtskern
• "nicht ausgeartet" = "perfekt", d.h. beide Kerne Null
• Hinweis auf induzierte Abbildungen V -> W*
• eine quadratische Form bestimmt keine Bilinearform
• warum einen Unterschied zwischen alternierend/schiefsymmetrisch, wenn man den einen Begriff in Char. 2 ausschließt?
• Link bilineare Funktion sollte besser bilineare Abbildung sein. Funktionen sind Abbildungen mit Werten in einem Koerper.

--Gunther 11:43, 26. Feb 2005 (CET)

Habe das mal gemacht. Es fehlen jetzt noch:

• ein Artikel bilineare Abbildung?
• Koordinaten, d.h. Matrizen
• quadratische Formen

--Gunther 10:34, 2. Apr 2005 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Sigma^2 (Diskussion) 10:56, 29. Dez. 2023 (CET)

Fehler bei Antisymmetrie?

Dieser Teil

• $B$ heißt antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch oder alternierend, wenn

$\langle x,x\rangle =0$

für alle $x\in V$ gilt. Ist die Charakteristik von $K$ nicht gleich 2, so ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass

$\langle x,y\rangle =-\langle y,x\rangle$

für alle $x,y\in V$ gilt.

ist doch nicht ganz korrekt, oder? Müsste es nicht vielmehr sowas wie

• $B$ heißt alternierend, wenn

$\langle x,x\rangle =0$

für alle $x\in V$ gilt. Ist die Charakteristik von $K$ nicht gleich 2, so ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass $B$ antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch ist, also

$\langle x,y\rangle =-\langle y,x\rangle$

für alle $x,y\in V$ gilt.

heißen? --digleu 17:35, 29. Apr 2006 (CEST)

Ich habe das irgendwann so geschrieben, weil es mir künstlich erschien, zwei Begriffe einzuführen: In Charakteristik $\neq 2$ sind die beiden Begriffe äquivalent, und in Charakteristik 2 ist wird man statt des zweiten von Symmetrie sprechen. Die meisten Leser werden sich ohnehin nicht für Charakteristik ungleich null interessieren. Hast Du denn einen Überblick, dass die Terminologie einheitlich so gehandhabt wird, sofern die beiden Begriffe unterschiedlich sind?--Gunther 20:30, 2. Mai 2006 (CEST)

nope habe noch keinen Überblick (noch blutiger Anfänge) aber irgendwie scheint es mir die erste von beiden Versionen etwas verwirrend, kann aber auch am Fehlenden Überblick liegen ;)--digleu 21:38, 15. Mai 2006 (CEST)

Die Korrektur ist viel besser und genauer, es wird in allen büchern so gehandhabt (nicht signierter Beitrag von 212.201.75.34 (Diskussion) 14:57, 28. Mai 2006)

Das ist in dieser Form halt falsch. In vielen Büchern wird nur der Charakteristik-null-Fall behandelt und die Begriffe als Synonyme eingeführt (z.B. Dirschmid, Tensoren und Felder, S. 22), und die meisten Leser dürften sich nur für diesen Fall interessieren. Die Frage ist, wie man damit umgehen soll, dass es Verallgemeinerungen (Charakteristik ungleich null, Grundringe) gibt, für die die beiden Definitionsmöglichkeiten nicht mehr äquivalent sind. Von "besser und genauer" zu sprechen, kommt mir unangebracht vor.--Gunther 18:12, 29. Mai 2006 (CEST)

Habe es geändert, ich hoffe, mit dieser Lösung sind alle zufrieden.--Gunther 12:02, 2. Jun 2006 (CEST)

Bezug zu Matrizen

Es wäre hilfreich, wenn zu dieser Definition der Bilinearen Abbildungen etwas zum Thema der Darstellung einer Bilinearform durch eine Matrix hinzugefügt wird. (Ähnlich wie bei dem Artikel über die Lineare Abbildung.) Etwa wie man die Matrix berechnet, ob jede bilineare Abbildung durch eine Matrix darstellbar ist u.ä. (nicht signierter Beitrag von 84.177.81.10 (Diskussion) 17:08, 10. Okt. 2006)

(von Diskussion:Bilineare Abbildung hierher kopiert von Gunther 18:22, 10. Okt. 2006 (CEST)

Habe mal was zur Darstellung von Bilinearformen als Matrix hinzugefuegt. Die Notation von Koordinaten und Basiswechseln ist leider relativ uneinheitlich. In Matrix (Mathematik)#Anwendungen bemueht man sich, Basiswechsel (Vektorraum) ist nicht so dolle und Basistransformation ist paedagogisch ganz nett, fuehrt aber keine handlichen Notationen ein. Hoffe jedenfalls, dass es so verstaendlich ist.

Was hier noch rein koennte:

• Polarisation (Quadratische Form -> BLF, falls symmetrisch)
• Determinante von BLFen
• Klassifikation von BLFen: z.B. K=IR, endliche Koerper
• Kriterium fuer positive Definitheit. (Det der Hauptminoren > 0)--Cebus 05:12, 22. Nov. 2006 (CET)

Vergleiche dazu Quadratische Form, Definitheit, Skalarprodukt.--Gunther 09:48, 22. Nov. 2006 (CET)

Die Verweise auf Gram-Schmidt und Sylvester sollte man nochmal umformulieren und klarstellen, ob in diesem Kontext $V=W$ ist und man damit nur eine Basis wählt, sowie ob die Bilinearform symmetrisch sein soll.--Gunther 10:00, 22. Nov. 2006 (CET)

Isomorphismus

Zitat:

„Sind $V$ und $W$ endlichdimensional, so sind die Abbildungen $B_{l}$ und $B_{r}$ für eine nicht-ausgeartete Paarung Isomorphismen.“

Das stimmt doch nur, wenn V und W dieselbe Dimension haben. (nicht signierter Beitrag von 2003:EA:33CF:8C00:4B0C:C4E1:491C:5454 (Diskussion | Beiträge) 17:35, 18. Jun. 2017 (CEST))

Die Aussage, dass es sich um eine nicht-ausgeartete Paarung handelt, impliziert die Gleichheit der Dimensionen. Bei unterschiedlicher Dimension wäre die Bilinearform auf jeden Fall ausgeartet.--Cebus (Diskussion) 20:07, 18. Jun. 2017 (CEST)

"Fasst man jedoch V als reellen Vektorraum auf"

Bitte erläutern, was es heißen soll, den komplexen Vektorraum als reellen "aufzufassen". (nicht signierter Beitrag von 2003:EA:5F2C:8C00:2886:F543:D766:AD5E (Diskussion) 18:56, 12. Sep. 2020 (CEST))

@2003:EA:5F2C:8C00:2886:F543:D766:AD5E Üblicherweise als Vektor aus Realteil und Imaginärteil also aus $\mathbb {R} ^{2}$ oder war eine Aufforderung den Artikel zu Verbessern? --109.43.179.109 12:03, 6. Jul. 2022 (CEST)

Beispiel mit Re und Im

Entweder ich lese das gerade Rückwärts, oder das gegebene Beispiel für B auf komplexen Vektorräumen ist vertauscht. Anders als geschrieben sollte sich eine alternierende Form ergeben wenn man den *Realteil* extrahiert

  $$ac - bd = \Re [ (a + bi) ( c + di ) ]$$

und eine symmetrische Form, wenn man den *Imaginärteil* extrahiert

  $$ad + bc = \Im [ (a + bi) ( c + di ) ]$$

Gruß, 212.60.196.82 19:54, 25. Okt. 2020 (CET)

Das komplexe Skalarprodukt von $x=a+ib$ und $y=c+id$ ist nicht $xy=(ac-bd)+i(ad+bc)$, sondern ${\overline {x}}y=(a-ib)(c+id)=(ac+bd)+i(ad-bc)$. --Digamma (Diskussion) 21:06, 25. Okt. 2020 (CET)a

Ur-Intuition

Als Nicht-Formalist, frage ich mich, welcher Realität eine mathematische Struktur wohl am nächsten käme. Ich denke bei einer Bilinearform an die Fläche F(l,b) eines Rechtecks, wobei F die Fläche ist und l die Länge und b die Breite. Teilt man die Länge in zwei Teile, so gilt F(l1+l2,b)=F(l1,b)+F(l2,b). Teilt man die Breite in zwei Teile, so gilt F(l,b1+b2)=F(l,b1)+F(b2). Multipliziert man die Länge mit lamda, so gilt F(lamda*l,b)=lamda*F(l,b). Multipliziert man die Breite mit lamda, so gilt F(l,b*lamda)=F(l,b)*lamda.

Wäre das eine zentrale Intuition, so könnte man sie ja in die Beispiele aufnehmen. --ThvAq (Diskussion) 21:00, 8. Jan. 2023 (CET)

Beispiele

Positiv definite Bilinearform wird verwendet, ist aber nicht definiert und nicht verlinkt.--Sigma^2 (Diskussion) 00:30, 29. Dez. 2023 (CET)

Wurde inzwischen von jemand anderem verlinkt. --Digamma (Diskussion) 12:12, 29. Dez. 2023 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Sigma^2 (Diskussion) 10:56, 29. Dez. 2023 (CET)

Formwert

Der Begriff Formwert scheint mit so ungewöhnlich zu sein, dass er belegt werden sollte. In der einzigen angegebenen Literaturquelle wird er nicht verwendet. In (wenigen) mir vorliegenden Algebrabüchern ist er nicht zu finden, auch nicht im Lexikon der Mathematik.--Sigma^2 (Diskussion) 12:53, 29. Dez. 2023 (CET)