Diskussion:Borel-Cantelli-Lemma

Besteht hierbei ein Bezug zu Kolmogorows Null-Eins-Gesetz ? Notiz: Den Artikel dazu gibt es atm nur im englischen. ↗ nerdi d \ c \ b 20:24, 19. Sep 2006 (CEST)

Und was bedeutet das?

Hallo Stochastiker!

Was bedeutet das Borel-Cantelli-Lemma? - Diese Frage wird von dem Artikel nicht beantwortet. In der vorliegenden Form muss man befürchten, dass zwar ein Mathematiker die Wikipedia nutzen kann, um eine Formel (oder die Formulierung dieses "Lemma"s) nachzuschlagen, dass jemand anders, der auf den Begriff stößt, (z.B. im Artikel Infinite monkey theorem) nachher genau 'so klug als wie zuvor' sein würde. Koll. Grüße --Emkaer 15:09, 13. Mär. 2007 (CET)

"Besteht hierbei ein Bezug zu Kolmogorows Null-Eins-Gesetz"?

Ja, in der Tat, das lässt sich aus dem BCL ableiten. Kolomogorovs "tail events" erfüllen nämlich genau die Bedingungen des Lemmas. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist nämlich entweder kleiner oder gleich unendlich, und zudem sind bei tail events alle Einzelereignisse unabhängig voneinander. Ist die Summe dann kleiner unendlich, so ist P(A)=0, und ist sie gleich unendlich, so ist P(A)=1. Eine weitere Möglichkeit gibt es nicht. --131.246.220.61 13:58, 2. Apr. 2009 (CEST)

Änderungsvorschlag

Im zweiten Teil des Lemmas muss unabhängig stehen, statt "paarweise" unabhängig. Es wäre auch besser wenn es im Beweis stünde, was man für die Gleichungen bzw. Ungleichungen benutzt. (wie zB subadditivität des masses, oder 1-x <= exp(x)) -- tibetefendi (00:22, 5. Jul 2009 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Beispiel

Hinkt das Beispiel nicht etwas? Schließlich gibt es ja, entgegen der Folgerung des Beweises, nicht nur ein paar, sondern sogar unendlich viele zahlen zwischen 0 und 1 die nur endlich viele Nullen oder Einsen enthalten. Beispielsweise: 0,0000... 0,100000.. 0,1100000.. Bin kein Mathematiker, aber auf mich wirkt es, als ob das Problem nicht in der Beweisausführung liegt, sondern vlt etwas damit zu tun hat, dass die Beispielaufgabe nicht wirklich eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe ist. (nicht signierter Beitrag von 134.2.188.3 (Diskussion | Beiträge) 11:56, 1. Feb. 2010 (CET))

Das Beispiel ist schon richtig, du hast nur vermutlich "Nullmenge" falsch interpretiert (siehe Fast sichere Eigenschaften). Es gibt zwar unendlich viele Zahlen mit endlich vielen 1en oder 0en, aber die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl nur endlich viele 1en oder 0en hat ist 0. --Fgbxl 12:42, 1. Feb. 2010 (CET)

Zum Beweis

Der Beweis war unglücklich platziert, genau zwischen den zwei Formulierungen des Borel-Cantelli-Lemmas; ich habe ihn hinter die Formulierungen des Lemmas gestellt. Zum Beweis von Teil 2 war nur eine zentrale Ungleichung des Beweises für die Version mit vorausgesetzter Unabhängigkeit der Folge angegeben. Das las sich wie ein Lösungshinweis zu einer Aufgabe, was in einer Enzyklopädie wenig sinnvoll ist. Ich habe diesen Teil daher entfernt.--FerdiBf 14:17, 1. Aug. 2010 (CEST)

Beweisansätze für Teil 1 und Teil 2 des Lemmas

Ursprünglich, also vor dem 24.07.2010, war nur das Beweis-Fragment angegeben, in dem zur Abschätzung die e-Funktion benutzt wird. Es stand nicht da, ob dies ein Beweis für Teil 1 oder Teil 2 sein soll, und es wurde nichts von Unabhängigkeit gesagt. Leider habe ich nicht gleich erkannt, dass man auf diese Art nur den Teil 2 beweisen kann. Daher mußte ich eine zweite und eine dritte Änderung machen. Der Vorschlag von tibetefendi vom 06.07.2010 ist nicht begründet, denn die Version mit der paarweisen Unabhängigkeit ist eine Verschärfung des 2. Teils, und sie ist richtig (laut MathWorld), auch wenn der Beweis schwierig ist und hier nicht einmal ansatzweise angedeutet werden kann. Das Beweis-Fragment, das vorher dastand, ist nun verschwunden (FerdiBf hat die Gründe dargelegt), es sind an der Stelle nur noch Überlegungen, die von mir stammen (natürlich habe ich vorher in der englischen Wikipedia nachgelesen), übriggeblieben. W. Burmeister, Dresden, 07.08.2010, 09:21 (ohne Benutzername signierter Beitrag von 86.56.22.41 (Diskussion) )

Beispiel

Ich würde das Beispiel am liebsten löschen, oder meint jemand, dass man da noch was retten kann? Es bringt Ereignisse und Zufallsvariable durcheinander ("Das in der Definition gegebene $A_{n}$ ist also 1 oder 0, wobei n die n-te Nachkommastelle beschreibt." ist totaler Unsinn); es wird nicht gesagt, was das Wahrscheinlichkeitsmaß sein soll; es wird nicht gesagt, geschweige denn begründet, dass die Ereignisse unabhängig sind; und außerdem ist doch eh klar, dass die Menge aller Zahlen mit endlich vielen Binäreinsen eine Lebesgue-Nullmenge ist, denn es ist doch leicht einzusehen, dass sie sogar abzählbar ist.
Was wäre denn ggf. ein besseres Beispiel? -- HilberTraum (Diskussion) 16:13, 25. Apr. 2012 (CEST)

Ich weiß, der Vorschlag, das Beispiel zu löschen ist schon ein paar Monate alt, aber ich würde das durchaus unterstützen. Zu den gegebenen Argumenten lässt sich vielleicht noch hinzufügen, dass nicht mal erwähnt wird, dass die Darstellung von reellen Zahlen als Binärbrüchen nicht eindeutig ist. Ich würde das Beispiel deshalb mal herausnehmen. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 13:40, 2. Nov. 2012 (CET)

Oh, das hatte ich ganz aus den Augen verloren, danke fürs Löschen! -- HilberTraum (Diskussion) 15:34, 2. Nov. 2012 (CET)

Und was bedeutet das? II

Das Lemma besteht also aus zwei Teilen: Dem klassischen Satz und der Erweiterung. Mehr konnte ich der Einleitung inhaltlich nicht entnehmen. Der Artikel geht nicht mal darauf weiter ein. --78.34.216.185 02:25, 7. Nov. 2012 (CET)

+1. Passiert echt selten, wenn ich hier etwas nachschlage, aber ich bin tatsächlich nach dem Aufruf des Artikels (verlinkt vom Infinite-Monkey-Theorem) genauso schlau wie zuvor, will sagen: genauso ratlos. Es wird nicht mal erklärt (oder verlinkt), was ein Lemma überhaupt ist (auf der BKS Lemma gibt es einen Eintrag, der zu Hilfssatz führt, ist das hier gemeint?), und es fehlt eine halbwegs „Oma-taugliche“ Erklärung, worum es hier überhaupt geht. Auch ein Beispiel wäre hilfreich. Gruß, --Mangomix 🍸 22:52, 30. Jul. 2018 (CEST)