Diskussion:Brachistochrone

Herleitung

im Abschnitt Herleitung heist es, der Massepunkt starte das Durchlaufen der Kurve im Punkt (x/y)=(0/0). damit müsste doch die potentielle Energie Epot=-mgy(x) lauten und nicht +mgy(x), da sich der Massepunkt nach der Definiton der Brachistochrone von weiter oben ja nach unten bewegt. Außerdem ist sonst die Summe der pot. und kin. Energie nicht 0. oder liege ich da falsch? --Knut Knutson 17:45, 27. Jan 2010 (GMT)

Bemerkung dazu: Das Bezugsniveau der Höhenenergie kann beliebig gewählt werden. Unabhängig von der Wahl dessen bleiben die Ergebnisse die gleichen, es werden nur Änderungen betrachtet.

Da es sich um ein konservatives System handelt (es wirken nur konservative Kräfte), bleibt die Gesamtenergie erhalten. Sei T die kinetische und V die potentielle Energie gilt T_0 + V_0 = T_1 + V_1 (folgt aus T + V = const.). Legt man nun das Bezugsniveau für die Höhenenergie (also hier der potentiellen Energie) auf die Anfangslage, dann verschwindet die linke Seite des Energiesatzes für konservative Systeme. In der (allgemeinen) Lage 1 gilt dann T_1 = 1/2 m v^2 und V_1 = - m g y.

Man könnte auch die y-Achse "umdrehen" mit y = -y und käme dann auf V_1 = m g y. Der Punkt ist, dass hier kein Koordinatensystem eingetragen worden ist - das sollte nachgeholt werden! (nicht signierter Beitrag von 80.141.24.4 (Diskussion) 10:48, 5. Okt. 2010 (CEST))

Sonstiges

Es gibt KEINE Funktion, die einem Wert auf der x-Achse den zugehörigen Wert auf der y-Achse zuweist! (Aus Artikel entfernt.)

Das bezweifle ich. Moeglicherweise ist eine solche Funktion nicht ganz einfach aufzuschreiben, aber sicherlich gibt es eine. Ausserdem fehlt bei der angegebenen Parameterformel ein Zusammenhang zu Anfangs- und Endpunkt, und die Bedeutung des Parameters r ist mir auch unklar. Vielleicht kann jemand die Formel mit Parameter Zeit t, in Abhaengigkeit vom Startpunkt (0,0), dem Endpunkt $(x_{0},y_{0}),x_{0}>0,y_{0}<0$ und ggf. der Startgeschwindigkeit $v_{0}$ angeben. --SirJective 15:40, 28. Okt 2003 (CET)

Halfpipe

Hier stand: "Die Brachistochrone ist die optimale Grundform einer Halfpipe für Snowboards". Ich habe das gelöscht, da ich Zweifel an dieser Aussage habe.

1. Warum ist es optimal, dass der Snowboardfahrer die Kurve so schnell wie möglich durchfährt? Bei Halfpipes gibt es sicher andere Optimierungskriterien, wie Steigung an der oberen Kante, Kraftverlauf beim durchfahren.
2. Der Snowboardfahrer schießt über die Halfpipe hinaus und kommt daher mit einer Startgeschwindigkeit größer Null in die Rinne. Damit wäre die Brachistochrone auch nicht mehr die schnellste Rutschbahn.
3. Die Brachistochrone ist zweidimensional. Eine Halfpipe für Rollschuhfahrer würde ich als zweidimensional durchgehen lassen. Aber gerade beim Snowboard ist die Rinne abschüssig, und wird im Zickzack durchfahren. Sollte da die Brachistochrone im Zickzack-Querschnitt zu suchen sein?

--Suricata 09:52, 1. Nov 2004 (CET)

Optimale Kufen einer Wiege

Ich habe da eine Frage: Gibt es eine optimale Form für die Kufen einer Wiege? Wie wäre diese zu optimieren? Auf die Laufzeit, die Rückstellkraft am Ende oder auf die "Laufruhe"? Macht es dahingehend Sinn, die Schwerpunktbahn der Zykloide beim Abrollen einer solchen Kufe zu betrachten?

Wenn die Kufe ein Kreissegment ist, sollte der Schwerpunkt der Wiege tiefer liegen als der Mittelpunkt des Kreises :-) Mehr fällt mir dazu nicht ein. --Suricata 16:05, 15. Dez 2005 (CET)

Das ist wohl wahr, aber eine Kreisförmige Kufe? Sie sollte doch schon flacher sein. Wie wäre es mit einer liegenden Ellipse? Dann könnte der Gesamtschwerpunkt höher als der Kufenschwerpunkt liegen und kommt beim maximalen Ausschwingen unter den der Kufe, wodurch die Rückstellung erfolgt.

Die Idee mit dem Kreissegment ist nicht schlecht. Dadurch bewegt sich der Masseschwepunkt auf einer Zykloiden (Brachistochrone).

Liegt der Schwerpunkt nicht weit unter dem Kreismittelpunkt der Kufe, so müsste sich die idealisierte Wiege so bewegen wie eine Kugel in einer sanften Mulde hin und her pendelt. Liegt der Schwerpunkt jedoch sehr weit unten (fast an der Kufe), so würde analog die Kugel in eine V-Förmige Bahn entelassen, in der sie sich sehr schnell im Zentrum einpendelt.

Vielleicht kann wirklich mal jemand die Schwerpunktbahnen von Zykloide, Ellipse und Kreissegment gleicher Breite und Höhe grafisch übereinander legen.

Vorab müsste man klären, welche Schwingung das Kind bevorzugt. Wenn Du gerne rechnest kannst Du ja mal versuchen eine harmonische Schwingung als Zielfunktion für das punktförmige Baby anzunähern. :-) Frohe Weihnachten, --Suricata 08:52, 19. Dez 2005 (CET)

Ich denke man sollte eine vom Kind bevorzugte Schwingung vorraussetzen, die am Ende weder zu abrupt noch auf dem Boden endet ;-)

Vielleicht hilft ja die Grafik weiter, in der verschiedene Kufenformen gleicher Breite und Höhe übereinander gelegt wurden.

Und was heißt das alles nun für mich? Soll ich die Kufe nun als Kreisbogen anlegen?

Bildlegende

In der Bildlegende wird gefragt, welche Bahn die schnellste sei. Die Antwort bleibt uns der Autor aber schuldig. Man erhält sie auch im Artikel nicht. Das finde ich nicht so gut, denn WP ist doch nicht ein Rätselmagazin ! Und die Privatdiskussion über die optimale Kufenform von Kinderwiegen (siehe oben) gehört wohl auch nicht hierher :-) lg, --Titeuf24 16:59, 2. Jul. 2009 (CEST)

"reibungsfrei hinabgleiten" vs. "rollen"

Wenn nicht ein Massenpunkt rebungsfrei hinabgleitet, sondern eine Kugel rollt (was nur möglich ist, wenn Reibung im Spiel ist), dann wird ein Teil der potenziellen Energie nicht in Translation, sondern in Rotation umgesetzt. Bleiben dabei wirklich alle Überlegungen, Annahmen, Formeln, Herleitungen und Resultate unverändert? Und wenn das so ist, sollte man dies nicht erwähnen oder (noch besser) begründen? Es erscheint mir jedenfalls nicht unmittelbar zwingend zu sein, dass "Gleiten" zum identischen Ergebnis führt wie "Rollen" ... -- 19:34, 29. Aug. 2010 (CEST) Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}  15:09, 29. Apr. 2013 (CEST)

Deine Frage stellt sich in der Tat beim Lesen der Einleitung, und die Antwort ist nicht trivial. Tatsächlich ändert sich an der Form der Ideallinie nichts, der Vorgang wird bei einer rollenden Kugel nur langsamer. Zurechtgelegt hab ich mir das folgendermaßen: Beim Rollen geht ein Teil der potentiellen Energie in die Rotation über und ein Teil in die Fortbewegung. Die Anteile bleiben aber immer gleich, unabhängig von der Geschwindigkeit. Also bei doppelter Geschwindigkeit ist die Bewegungsenergie 4-fach, ebenso aber auch die Rotationsenergie. Nimmt man also an, das 80% der Energie in die Bewegung gehen und 20% in die Rotation, so ist das gleichbedeutend mit einem reibungslos gleitenden Körper und einer auf 80% verringerten Erdanziehung. g ist jedoch für die Optimierung der Kurve nicht relevant (solange es größer 0 ist :-) ). Folglich ist die optimale Kurve weder von g abhängig, noch von dem Verlust durch Rotationsenergie. Ich hoffe, ich hab keinen Denkfehler gemacht. --Suricata 09:13, 30. Aug. 2010 (CEST)

Danke für Deine Antwort. Bei solchen Kombinationen von linearen und nichtlinearen Effekten bin ich immer vorsichtig. Ich kann in deinen Überlegungen allerdings keinen Fehler finden ...

Jedenfalls gilt dies doch aber nur, wenn statt perfektem Gleiten perfektes Rollen vorliegt, wenn also auch am Anfang des Weges, wenn die Kurve praktisch senkrecht nach unten weist, keinerlei Rutschen wegen mangelnder Reibung vorliegt. Was ist, wenn die Kugel zuerst "nur" gleitet und erst später auf ihrem Weg bei zunehmender "Horizontalität" der Bahn die Reibung mehr und mehr einsetzt und immer mehr Rollen dazukommt?

Hier ist sicher auch nicht der Platz, dieses mathematisch-physikalische Problem also Solches zu diskutieren. Hier geht es um den Artikel. Ich würde jedenfalls vorschlagen, dass jemand mit entsprechenden Kenntnissen diese "Gleiten und Rollen"-Problematik im Artikel anspricht. Die derzeitige Formulierung erscheint mir jedenfalls nicht optimal.

-- 16:10, 4. Sep. 2010 (CEST) Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}  15:09, 29. Apr. 2013 (CEST)

Nota bene! Da die Brachistochrone erstmal senkrecht nach unten geht wird die Kugel tatsächlich erst allmählich ins Rotieren kommen. Und ich behaupte mal, dass die Linie dann nicht mehr ideal ist. Formulier doch die betreffenden Stellen im Artikel um. Und leg Dir am besten einen Benutzername zu, Dann kann man Dich besser ansprechen und wiedererkennen. Übrigens kommt noch ein weiteres Problem dazu: Die Kugel darf keine Ausdehnung haben. Sonst sind nämlich Bahn des Schwerpunktes und Rutschbahn unterschiedlich. --Suricata 14:08, 5. Sep. 2010 (CEST)

Tiefpunkt und Höhenunterschied

Wieso ist der Tiefpunkt gerade beim Endpunkt für ein Gefälle von 1/pi? Wenn ich mir die Zykloide betrachte (siehe http://fooplot.com/plot/53fcpktpyx), dann hat sie einen Tiefpunkt bei (2|pi). Das Gefällt ist also 2/pi und nicht 1/pi. Genauso auch bei Kielhöfer: Variationsrechnung.

--Fabian Lenzen (Diskussion) 12:59, 29. Apr. 2013 (CEST)

Höhenunterschied

Der Endpunkt braucht im Idealfall nicht tiefer als der Startpunkt zu liegen. (nicht signierter Beitrag von 92.230.214.75 (Diskussion) 09:38, 31. Aug. 2013 (CEST))

Gefälletiefe und Drehimpuls

Die Gefälletiefe und Drehimpulsgewinnung an Kugeln sind elementar zum Verständnis des Brachistochronenproblemes, die in diesem Artikel nicht oder nicht ausreichend berücksichtigt sind.

Der Artikel ist besonders deshalb mangelhaft, weil bei realen Kugelbahnen der Drehimpuls unberücksichtigt ist, der die Endgeschwindigkeit nochmal erheblich erhöht, obwohl oben ein Kugelbeispiel als Bild dargestellt ist.

Außerdem ist im Text überhaupt nicht angesprochen, dass die Gefälletiefe verantwortlich ist für die Endgeschwindigkeit.

Der Grund für die höhere Endgeschwindigkeit einer Kugel auf der nach unten gekrümmten Bahn ist real etwas anders, als dargestellt, und zwar ist die GefälleTIEFE auf der anfangs nach unten gekrümmten Bahn innerhalb des durchlaufenen Schwerkraftbereiches größer, weil doch die nach unten gekrümmte Bahn insgesamt tiefer verläuft als die gerade Bahn.

Somit kann die Bahn auf der tiefer verlaufenden Strecke mehr Schwerkraft in Drehimpuls einer Kugel umwandeln und speichern, weshalb die Endgeschwindigkeit umso größer wird, je tiefer die Bahn durchlaufen wird.

Auch wenn die Kugel sich NICHT drehen würde, hätte sie mehr kinetische Energie aufgenommen, weil sie durch einen tieferen Schwerpunkt verläuft, als auf der geraden Bahn, nur dass dann ein höherer Reibungsverlust entstünde, wie man demonstrieren könnte, wenn man statt der Kugel einen Schlitten auf Eis nehmen würde.

Auch in diversen anderen Artikeln im Internet werden obige Umstände nicht ausreichend beschrieben, was auch für die Reibung gilt, was zwar nicht der Hauptgrund ist für den Geschwindigkeitsunterschied der Kugeln, aber dennoch nicht unwesentlich ist bei einem Kugelbeispiel. (nicht signierter Beitrag von 93.220.19.124 (Diskussion) 23:38, 2. Jan. 2014 (CET))

Ich bin nicht sicher, ob ich deinen Beitrag wirklich verstanden habe. Was meinst du mit „… der Drehimpuls unberücksichtigt ist, der die Endgeschwindigkeit nochmal erheblich erhöht“? Wenn ein Teil der potenziellen Energie in Rotationsenergie umgesetzt wird, dann rollt die Kugel zwar, aber langsamer als sie gleiten würde – der Drehimpuls kann sich nicht in eine *höhere* Translationsgeschwindigkeit umwandeln … Generell geht man beim Brachistochronenproblem von reibungsfreiem Gleiten oder schlupffreiem Rollen aus, und wenn wir von einem Rutschen unter Reibungswärmeverlust absehen, ist die gesamte Bewegungsenergie der Kugel am Endpunkt, also die Summe aus Translations- und Rotationsenergie, auf jedem Weg gleich (nämlich die Differenz der gravitativen Lageenergie zwischen Startpunkt und Endpunkt). Es geht bei der Fragestellung ja auch nicht um die Endgeschwindigkeit der Kugel, sondern um die Frage, auf welcher Bahn die Kugel den Endpunkt insgesamt am schnellsten erreicht.
Statt nur einen unbefriedigen Zustand des Artikels zu beklagen, könntest du doch mal einen konkreten Verbesserungsvorschlag machen … ? Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   12:56, 3. Jan. 2014 (CET)

Einige Mängel

1. Absatz: "...ist eine reibungsfreie Bahn...". Die Bahn ist nicht reibungsfrei, nur die Bewegung auf ihr.
3. Absatz: "...benötigt man die gleiche Zeit...". Besser: "...benötigt der Massepunkt die gleiche Zeit...".
Ich formuliere die beiden mal um.
Abschnitt "Geschichte": die beiden Angaben zu Bernoulli und Huygens bedürfen dringend der Quellenangaben! Im Falle Huygens ist das vermutlich das "Horologium Oscillatorum (1673)". Aber eine genauere Angabe, z. B. mit Seitenzahl, wäre besser. Zur Angabe zu Bernoulli weiß ich nichts zu sagen.

Doch, jetzt habe ich wenigstens einen Hinweis gefunden, am 30.7.2017. Ich habe das im Artikel eingesetzt. Aber der Verweis ist in den "Weblinks" gelandet. Das ist nicht schön. Kann mir jemand sagen, wie ich das korrigieren kann?

--Anjolo (Diskussion) 15:46, 3. Okt. 2016 (CEST)

Ich habe es der Einfachheit halber gleich selbst erledigt. Gruß, Franz 09:57, 30. Jul. 2017 (CEST)

Gefälle -> Tiefpunkt

Weil es in den letzten Tagen im Abschnitt „Spezielle Eigenschaften der Bahn“ wegen des Zusammenhangs zwischen Gefälle und Tiefpunkt hin und her ging: Eine explizite Quelle habe ich auch nicht, aber wenn man sich die Darstellung im Abschnitt „Funktion“ anschaut, dann hat doch der Startpunkt die Koordinaten $(0,0)$ und der erste Tiefpunkt die Koordinaten $(R\pi ,-2R)$ bei $\varphi =\pi$. Da komme ich auf eine Steigung von $-2R/(R\pi )=-2/\pi$. Ich ändere darum den Abschnitt noch mal zurück. -- HilberTraum (d, m) 20:08, 31. Jul. 2017 (CEST)

Tautochrone

Dass die Brachistochrone im speziellen Fall des waagrechten Verlaufs am Endpunkt eine Tautochrone für alle Startpunkte auf der Kurve ist, wird rechnerisch z.B. in [1] S. 17f gezeigt (also notwendige und hinreichende Bedingung). Aber auch ohne Rechnung ist klar, dass der waagrechte Verlauf eine notwendige Bedingung ist:

• Wenn der Endpunkt der Kurve erst nach dem Tiefpunkt wäre, dann wähle man als neuen Startpunkt z.B. den Tiefpunkt. Der Körper bleibt dann in Ruhe, schafft es also nicht einmal, den Endpunkt zu erreichen.
• Und wenn der Endpunkt vor dem Tiefpunkt (der kompletten Zykloide) ist, dann verläuft die Bahn mit einem Gefälle (Steigung m<0) in den Endpunkt hinein. Aufgrund der Stetigkeit der Steigung kann man einen kleinen x-Abstand d vorm Endpunkt finden, so dass der Betrag der Steigung nur relativ wenig (z.B um ein Promille) höher ist. Wählt man als Startpunkt einmal den x-Abstand d vor dem Endpunkt und einmal d/3 davor, dann braucht der erste Körper schon mehr Zeit um überhaupt zum Startpunkt des zweiten zu gelangen wie der zweite braucht, um bereits zum Endpunkt zu gelangen.

--Tachrion (Diskussion) 11:54, 24. Sep. 2023 (CEST)

Zykloidenpendel

Im Artikel gibt es einen Link zum noch nicht vorhanden Artikel Zykloidenpendel. Hier wäre eine Animation aus Wikipedia Commons.--Tachrion (Diskussion) 12:30, 24. Sep. 2023 (CEST) Link zu Zykloide#Die Tautochronie der Zykloide, siehe auch Evolvente#Evolventen einer Zykloide. --Tachrion (Diskussion) 15:42, 24. Sep. 2023 (CEST)

Evolventen einer Zykloide (blau): Nur die rote Kurve ist wieder eine Zykloide.