Diskussion:C*-Algebra

Der Artikel ist inzwischen gut aufbereitet worden. Sofern niemand Einwände hat, könnte man nun den Textbaustein "Unverständlich" entfenren -- Lysathor 13:50, 4. Okt 2005 (CEST)

Dickbauch hatte ihn am 19. Sept., also nach der ersten Überarbeitung, in Portal:Mathematik/Überarbeitungswürdige Artikel eingetragen, ich nehme nicht an, dass er schon zufrieden ist.--Gunther 14:07, 4. Okt 2005 (CEST)

Den folgenden Satz verstehe ich nicht: "C*-Algebren, die auch in der schwachen Operator-Topologie abgeschlossen sind, heißen Von-Neumann-Algebren." Ist damit gemeint: "Schwach abgeschlossene *-Unteralgebren von $L(H)$ heißen Von-Neumann-Algebren; da sie auch stark abgeschlossen sind, sind sie C*-Algebren"? Allerdings steht im Moment noch gar nicht im Artikel, dass stark abgeschlossene *-Unteralgebren C*-Algebren sind.--Gunther 14:09, 4. Okt 2005 (CEST)

Dass C*-Algebren in der Norm-Topologie abgeschlossen sind, steht nicht explizit im Artikel, sondern folgt aus "ist eine Banachalgebra/ist ein Banachraum. Das wirft natürlich die Frage auf, ob es besser ist alle "atomaren" Eigenschaften im Artikel aufzulisten, oder nur die neu hinzugekommenen, bezüglich des umfassenderen Begriffs.

Ich verstehe nicht, was an "C*-Algebren, die auch in der schwachen Operator-Topologie abgeschlossen sind, heißen Von-Neumann-Algebren." unklar ist, aber das kann daran liegen, dass ich den Satz geschriben habe. Die Alternativformulierung "Schwach abgeschlossene *-Unteralgebren von $L(H)$ heißen Von-Neumann-Algebren; da sie auch stark abgeschlossen sind, sind sie C*-Algebren" berücksichtigt nicht, dass C*-Algebren und von-Neumann-Algebren abstrakt und nicht unter Bezug auf $L(H)$ definiert sind.

Pjacobi 15:50, 4. Okt 2005 (CEST)

Worin sind C*- oder Von-Neumann-Algebren abgeschlossen? Was ist die schwache oder starke Operator-Topologie auf einer abstrakten Banachalgebra?--Gunther 16:08, 4. Okt 2005 (CEST)

Deine zweite Frage weckt gewisse Selbstzweifel in mir. Da bin ich wohl etwas auf den den Holzweg geraten. Aber Deine erste Frage verstehe ich nicht. --Pjacobi 16:20, 4. Okt 2005 (CEST)

Abgeschlossenheit ist eine Eigenschaft von Teilmengen. Ein topologischer Raum ist als Teilmenge von sich selbst immer abgeschlossen.--Gunther 16:27, 4. Okt 2005 (CEST)

Abgeschlossenheit bezüglich einer Norm oder Metrik ist ohne Bezug auf eine Einbettung in einen größeren Raum definierbar: Jede Cauchy-Folge konvergiert. Arrrggggh! Das heißt ja Vollständigkeit. Ich gebe alles zu und behaupte das Gegenteil. Aber dann ist unser Artikel Abgeschlossenheit etwas unklar (und interwikied außerdem auf en:Complete space und nicht en:Closed set. --Pjacobi 18:24, 4. Okt 2005 (CEST)

Die Interwikis sollten jetzt o.k. sein. Im Artikel Abgeschlossenheit finde ich den Abschnitt zu abgeschlossenen Mengen o.k. und eigentlich auch nicht unklar, in der abgesetzten Zeile steht ja nochmal explizit "konvergent in A". Allerdings ist der Artikel eigentlich eine bessere BKS, Abgeschlossenheit unter einer Verknüpfung wird mMn häufig überbewertet. en:closure (mathematics) gefällt mir viel besser, dafür behandelt Hüllenoperator den Formalismus ausführlicher. Sollte man aber anderswo klären :-) --Gunther 18:47, 4. Okt 2005 (CEST)

Ich habe gerade auf en:Von Neumann algebra gelernt, dass es eine Möglichkeit gibt von-Neumann-Algebren ohne Bezug auf $L(H)$ zu definieren (dass aber manche Autoren dafür den Terminus W*-Algebren benutzen), nämlich als die C*-Algeben die ein Dual eines Banachraums sind. Das würde Dickbauchs Einwänden aber wohl eher nicht entgegenkommen. --Pjacobi 01:42, 5. Okt 2005 (CEST)

Ich war so frei die Definition leicht zu änden. Die Aussage das eine *-Algebra eine Banachalgebra... ist, ist falsch, weil eine *-Algebra keine Topologie hat.

Danke, die andere Möglichkeit wäre gewesen, die Definition der (Banach-)*-Algebra in korrigierter Form drinzulassen, denn wenn ich mir en:Star-algebra anschaue, lohnt sich ein eigener Artikel nicht so richtig.--Gunther 17:15, 21. Feb 2006 (CET)

Eine Banach *-Algebra sollte das selbe sein wie eine involutive Banachalgebra. Ob der Begriff *-Algebra hier einen angemessenen Platz hat, weiß ich nicht. Ich würde bei dem Anfang gerne den Teil mit der Algebra herausnehmen, weil er suggeriert, daß man etwas algebraisches hat und nicht analytisch.

Ich suchte den Begriff B*-Algebra. Es war nicht ganz klar, aber ich bin mir ziemlich sicher, daß der Begriff nur veraltet ist und keine eigene Bedeutung hat.

Es gibt en:B*-algebra, allerdings finde ich ansonsten nur die Definition als Synonym (oder wie hier definiert, und C*-Algebren sind definiert als abgeschlossene Unteralgebren von L(H), d.h. es ist dann ein Satz, dass B*=C*).--Gunther 19:15, 22. Feb 2006 (CET)

B* vs. C*

Stimmt, ich hätte genauer sein sollen. B*-Algebren waren die abstrakt definierten Objekte. C*-Algebren waren konkrete Beispiele Beispiele, also Norm abgeschlossene (closed -> C*) Unter-*-Algebren von L(H). Seit dem Satz von Gelfand, Naimark ist diese Unterscheidnung veraltet. Sollte das in den Artikel? Dann könnte man von einer Seite B*-Algebren hierauf weiterleiten?

Wenn den Begriff heute niemand mehr verwendet, dann könnte man das in einem evtl. zu schreibenden historischen Abschnitt erwähnen. Vor allem aber sollte der englische Artikel korrigiert werden.--Gunther 12:18, 23. Feb 2006 (CET)

Der englische Artikel bezeichnet mit B*-Algebra eine Banach-*-Algebra=involutive Banachalgebra. Ich folge bei meiner Ausführung Blackada und dessen Buch in der EMS-Reihe.

Da nicht jede C*-Algebra eine von-Neumann - Algebra ist, kann man nicht sagen, daß vNA eine Verallgemeinerung sind. Ich denke sie ist eher ein Beispiel von C*Algebren und habe deshalb auch da einsortiert.

Unverständlich... raus

Nach Diskussion auf der Portalseite Baustein entfernt. --El. 11:20, 21. Aug 2006 (CEST)

Definition und Eigenschaften

Es wird nicht ganz klar, ob die Antimultiplikativität

• $\forall a,b\in A:(ab)^{*}=b^{*}a^{*}$ (anti-multiplikativ)

dazu gehört. Vielleicht ist sie auch eine Folge? S.a. Diskussion:Banachalgebra. --Nomen4Omen (Diskussion) 15:48, 3. Dez. 2012 (CET)

Also Dixmier und Arveson fordern sie explizit, die englische Wikipedia tut es auch. --Chricho ¹ ² ³ 16:56, 3. Dez. 2012 (CET)

PS: Also kategorisch ausschließen, dass die Bedingung nicht benötigt wird, möchte ich nicht, da kenn ich mich zu wenig aus. Aber mit der Erwähnung sind wir auf der sicheren Seite; selbst wenn es folgern sollte, müsste das explizit im Artikel gesagt werden. --Chricho ¹ ² ³ 20:39, 3. Dez. 2012 (CET)

Direkte Summen, Direkte Produkte und induktive Limites

Im Artikel steht, dass direkte Summen, direkte Produkte und induktive Limites mit der richtigen Wahl der Norm wieder C*-Algebren sind. Das scheint mir problematisch bis falsch zu sein. Bleiben wir mal bei den induktiven Limites. In welcher Kategorie nehmen wir den Limes? In der Kategorie der C*-Algebren macht die Aussage keinen Sinn, dein in der Kategorie der C*-Algebren ist natürlich jedes Objekt eine C*-Algebra. Deshalb vermute ich, dass die Aussage so gemeint ist: Wir nehmen in der Kategorie der Vektorräume den (gewöhnlichen) direkten Limes und können dann auf diesem Limes-Vektorraum Multiplikation, Norm und Involution so wählen, dass das wieder eine c*-Algebra wird. Wenn die Aussage so gemeint ist, ist sie falsch, denn ein direkter Limes einer aufsteigenden Folge von endlichdimensionalen C*-Algebren ist abzählbar dimensional und nach dem Satz von Baire kein Banachraum, also erst recht keine C*-Algebra...

Ich könnte mir vorstellen, dass so etwas gemeint ist: Auf dem direkten Limes von C*-Algebren kann man immer eine Norm finden, sodass die Vervollständigung bezüglich dieser Norm wieder eine C*-Algebra ist. Diese könnte dann sogar gleich dem direkten Limes in der Kategorie der C*-Algebren sein, allerdings kenne ich mich damit nicht aus.

Wenn das stimmt und das gemeint ist, vermute ich, dass die direkten Summen (als Spezialfall von direkten Limites) damit auch erledigt sind, die direkten Produkte machen mir aber auch dann noch Bauchschmerzen, weil das (Vektorraum-)Produkt von unendlich vielen eindimensionalen C*-Algebren vermutlich zu groß ist, um eine C*-Algebra zu sein, d.h. da reicht es nicht aus, eine Norm zu definieren und bezgl. dieser zu vervollständigen, sondern da müsste man einen Unterraum auswählen...

Weiß jemand, wie diese Aussagen gemeint sind? Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 10:46, 11. Jan. 2013 (CET)

Also wenn wir in der Kategorie der unitalen C*-Algebren sind, was ja keine allzu große Einschränkung ist, mit Algebrahomomorphismen als Morphismen, sind Limites recht einfach, Kolimites etwas mehr Aufwand (Websuche half). Tipp: Betrachte schau dir die entsprechenden (Ko-)Limites in der Kategorie der Banachräume (mit linearen Kontraktionen als Morphismen) an. Zum Produkt: Wir bilden das übliche (im kategorientheoretischen Sinne) Produkt von Banachräumen (das ist die $\ell ^{\infty }$-Summe, also der Teilraum des Produktes von Vektorräumen, bei dem die Normen der einzelnen Komponenten beschränkt sind mit dem Supremum der Normen der Komponenten als Norm), statten es mit komponentenweiser Multiplikation und komponentenweisem *. Da bei unitalen C*-Algebren jeder Homomorphismus eine Kontraktion ist, gibt das kein Problem mit der universellen Eigenschaft (bei nicht-unitalen hätten wir Probleme, da für eine Familie von Homomorphismen die Operatornormen keine gemeinsame obere Schranke haben müssten) (Dixmier S. 8). Kerne/Egalisatoren gibt es offenbar auch. Damit haben wir schonmal Abgeschlossenheit der Kategorie gezeigt (es existieren beliebige Limites). Fürs Koprodukt und Koegalisatoren geht das aber nicht so einfach. Wenn man da die für Banachräume nimmt, verletzt man i. A. die C*-Eigenschaft und verliert die Unitalität. Habe es gefunden: Man kann das freie Produkt der Algebren mit passender Norm ausstatten und vervollständigen. Weiß aber nicht, wie die Konstruktion genau läuft.[1] Was manche eine direkte Summe nennen[2], ist jedenfalls kein Koprodukt und auch nicht die algebraische direkte Summe und auch nicht die direkte Summe von Banachräumen, das müsste umformuliert werden. Kokerne/Koegalisatoren sollten immerhin gehen: Für den Kokern eines C*-Homomorphismus nehme man das vom Bild erzeugte beidseitige Ideal und teile dadurch den Kobereich. Ich denk nochmal drüber nach. Hab aber keine Ahnung von C*-Algebren… --Chricho ¹ ² ³ 11:18, 11. Jan. 2013 (CET)

Äquivalenz zu lokal-kompakten Räumen

Das ist doch nicht richtig? Die sind äquivalent zu kompakten Räumen, oder täusche ich mich?

OK, ich antworte mr mal selbst: Ich hatte kommutative C*-Algebren mit Eins im Sinn. Ohne Eins sind sie wohl äquivalent zur Kategorie der lokal-kompakten Räume - falls man nur Funktionen darauf betrachtet, die im unendlichen verschwinden (was ich grade etwas unintuitiv finde, aber wird ja später auch erwähnt). (nicht signierter Beitrag von 88.217.105.43 (Diskussion) 13:37, 12. Sep. 2014 (CEST))

von Neumann-Algebra

Im Artikel steht: "Da die starke Operatortopologie schwächer als die Normtopologie ist, sind die von-Neumann-Algebren auch in der Normtopologie abgeschlossen und daher insbesondere C*-Algebren." Was soll damit ausgesagt werden? Die starke Operatortopologie ist gröber als die Normtopologie und daher kann man zum Beispiel sagen, dass die Folgen/Netze, die in der Normtopologie Konvergieren, auch in der starken Operatortopologie konvergieren. Aber Aussagen in der starken Operatortopologie, funktionieren nicht automatisch in der Normtopologie. Vielleicht verstehe ich den Satz auch falsch. Bemerkung: schwache Op.topologie ≤ starke Op.topologie ≤ Normtopologie. Was also in einer "größeren"/stärkeren Topologie gilt (Konvergenz, Offenheit einer Menge,...), gilt in der Regel auch in der "kleineren"/schwächeren Topologie. --Lumbadu (Diskussion) 22:32, 20. Sep. 2016 (CEST)