Diskussion:Cantors zweites Diagonalargument

Änderung beim Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

22. Mai 2007: Der Beweis ist tatsächlich nicht ganz sauber, denn zwei reelle Zahlen sind nicht deswegen unterschiedlich, weil sie sich an mindestens einer Stelle unterscheiden. So ist zum Beispiel 0.09999999999.....= 0.1000000000..... Diese unterscheiden sich sogar an allen Stellen nach dem Komma. Daher ist es relevant, dass im Beweis die 4 und die 5 (oder die 6 und die 7) und nicht die, sagen wir 0 und 9, verwendet werden. Das muss man dann aber im Beweis erwähnen. Eine Möglichkeit der Reparatur besteht natürlich darin, dass man jede reelle Zahl als *unendliche* Folge von Ziffern darstellt, um so die Nichteindeutigkeit zu umgehen.

Damit das hier auch mal jemand liest, setz ich es einfach mal an den Anfang:-)

Passagen finde ich im Beweis schlecht formuliert und würde sie gerne durch die jeweils folgenden ersetzen:

• 'Der Anfang:'

"Sei irgendeine Folge reeller Zahlen im halboffenen Intervall $[0,1[$. Wir werden zeigen, ...

Ich würde lieber explizit sagen was passiert:

Beweis durch Widerspruch: angenommen, es gäbe im halboffenen Intervall $[0,1[$ nur abzählbar viele reelle Zahlen. Dann existiert eine Folge $(z_{i})=(z_{1},z_{2},\ldots )$, in der alle vorkommen. Wir werden zeigen ...(ab hier wie oben)

• Das Nächste was mich stört, ist die 'Konstruktion':

Wenn $a_{11}=5$ ist, setzen wir $x_{1}=4$, sonst $x_{1}=5$. Mit dieser Definition ist sichergestellt, dass $x$ eine andere Zahl ist als $z_{1}$.

Wenn $a_{22}=5$ ist, setzen wir $x_{2}=4$, sonst $x_{2}=5$. Mit dieser Definition ist sichergestellt, dass $x$ eine andere Zahl ist als $z_{2}$"...

Warum wird 4 und 5 gewählt? Warum nicht 0 und 1? Entweder "Mathejargon-konform", oder noch in einem Nachsatz darauf hinweisen, dass es egal ist, welche Ziffern man für die neue Zahl nutzt

• Der letzte Punkt ist, wir gehen wir durch eine '"ganze Folge"':

"So gehen wir durch die ganze Folge und erhalten eine Zahl $x$, die sich von allen Zahlen in der Folge unterscheidet, und die größer als 0 und kleiner als 1 ist. Diese Zahl nennt man die Diagonalzahl, die der Folge $(z_{i})$ zugeordnet wird. Die Folge $(z_{i})$..."

Das ist natürlich bei einer unendlichen Folge schwierig zu machen, deswegen:

Nach Annahme taucht ja jede reelle Zahl größer 0 und kleiner 1 in der Folge $(z_{i})$ auf. Nach obiger Konstruktion ist die neue Zahl $x$, die "Diagonalzahl" genannt wird, aber von jeder Zahl in der Folge verschieden und liegt zwischen 0 und 1, taucht aber in $(z_{i})$ nicht auf. Denn an der n-ten Dezimalstelle unterscheidet sie sich von der n-ten Zahl in der Folge. Die Folge $(z_{i})$... (ab hier wie oben)

Der Rest ist wieder ok. Was meint ihr? --Xario 19:46, 18. Okt 2006

Der Teil "Strenggenommen ist der Beweis noch dadurch zu komplettieren, dass man die Teilmengenbeziehung $\mathbb {N} \subset \mathbb {R}$ erwähnt; zusammen mit der Nichtexistenz einer Bijektion von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {R}$ erhält man, dass $\mathbb {R}$ eine größere Mächtigkeit als $\mathbb {N}$ hat, also überabzählbar ist." ist überflüssig, da ja $[0,1]\subset \mathbb {R}$ gilt und wenn $[0,1]$ überabzählbar ist, auch $\mathbb {R}$ überabzählbar ist, egal, ob die natürlichen Zahlen in $\mathbb {R}$ liegen. -- [Dominik] - 08.02.2008

[0;1] -> [0;1[

Die Änderung

Wir nehmen zuerst einmal an, es gäbe eine Folge, die alle reellen Zahlen im Intervall [0, 1[ enthält.

kann ich nicht ganz nachvollziehen. Welchen wesentlichen Unterschied macht es, ob man [0, 1] oder [0, 1[ betrachtet? Und wenn die Änderung bleiben soll, dann müsste der Rest des Abschnitts ebenfalls angepasst werden. Recherche-Frage: Was genau hat Cantor ursprünglich gemacht? --SirJective 00:30, 28. Sep 2004 (CEST)

Im Prinzip ist das egal. Aber wenn man nur Zahlen mit der Dezimalbruchdarstellung 0,xxxxx zulässt, ist die 1 nicht mit drin, außer man lässt $0{,}{\overline {9}}$ als gültigen Dezimalbruch zu. Aber soweit ich weiß, werden solche 9er-Perioden im Dezimalsystem eh meist ausgenommen, da sie die Eindeutigkeit der Dezimalbruchdarstellung verletzen. Um da halt keinen Ärger zu bekommen, und außerdem das Intervall $[0;\infty [$ auch ein halboffenes ist, bietet sich die Abbildung in ein halboffenes Intervall [0;1[ irgendwie an. Finde ich. Wir hatten in der Mathevorlesung jedenfalls den Beweis mit dem halboffenen Intervall, also ohne die 1. --RokerHRO 13:01, 28. Sep 2004 (CEST)

Mit der momentan gegebenen Ersetzungsregel (5 -> 0, !5 -> 5) kommt man ohne die 0 im Intervall nicht aus, aber ohne die 1 (mit einer anderen Regel könnte man sich sogar auf ]0, 1[ beschränken). Diese Regel sorgt auch dafür, dass die Diagonalzahl nicht nur als Ziffernfolge, sondern als Zahl von jeder in der Folge verschieden ist. Da nicht verlangt werden muss, dass jede Zahl nur einmal in der Folge auftaucht, sehe ich keine möglichen Probleme mit der Neunerperiode.

Wir haben auch mit [0, 1[ gearbeitet in der Analysis-I-Vorlesung, aber die englische Seite arbeitet mit [0, 1]. Damit bleiben noch zwei Punkte offen:

1. Wie hat es Cantor gemacht? (Das wäre allein aus historischen Gründen schon interessant, man muss es ja nicht unbedingt wie er machen.)
2. Der Rest des Abschnittes müsste an die Änderung angepasst werden. Vielleicht sollte man einfach noch dazusagen, dass jede der vier Möglichkeiten zum selben Ergebnis führt, nach einer Anpassung der Regel (z.B. auf 5 -> 4, !5 -> 5).

--SirJective 19:40, 28. Sep 2004 (CEST)

Ich meinte damit, dass man die 9er-Periode bei Dezimalbruchdarstellungen reeller Zahlen generell ausklammert. Zumindest war das in unserer Mathe-Vorlesung so. :-) --RokerHRO 00:24, 5. Okt 2004 (CEST)

Kann sein, weiß nicht mehr, wie ich's gelernt hab. Hab die Umstellung auf [0, 1[ fortgesetzt. Der Vorschlag im zweiten Satz von Punkt 2 (vier Möglichkeiten) gilt aber noch. --SirJective 00:46, 5. Okt 2004 (CEST)

Ich hab jetzt die Gleichgültigkeit der Wahl des Intervalls erwähnt und auch den scheinbaren Widerspruchsbeweis etwas direkter formuliert. So wie Euklid zeigt, dass es zu jeder endlichen Menge von Primzahlen eine weitere gibt, zeigt Cantor (dessen Beweis ich leider noch nicht im Original lesen konnte), dass es zu jeder Folge von Zahlen eine weitere Zahl gibt. Die Folgerung, dass es also unendlich viele Primzahlen bzw. keine Folge die alle Zahlen enthält gibt, ist dann leicht - oder Ansichtssache ;-) --SirJective 16:07, 19. Okt 2004 (CEST)

Wie wir inzwischen nachlesen können, macht Cantor es zunächst (Über eine Frage der mannigfaltigkeitslehre) recht abstrakt in einer unendlichen Menge von Elementen in unendlicher binärer Darstellung, und ergänzt dann später in "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (Paragraph 4), daß diese z.B. eineindeutig auf die Dualbrüche im abgeschlossenen Intervall [0,1] abgebildet werden können. Daraus, daß die darin aufgrund zweifacher Darstellungsmöglichkeit doppelt enthalten Zahlen 2^(-n) nur eine abzählbare Teilmenge bilden, folgt der Rest.--Chef Diskussion 15:10, 11. Apr 2005 (CEST)

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Dezimalbruchentwicklung

Kann man hier die Dezimalbruchentwicklung als Voraussetzung nehmen? Sie ist zumindest für mich zweifelhaft.

Die Dezimalbruchentwicklung ist nicht eindeutig. So gibt es für die Zahl 1 zwei Dezimalbruchentwicklungen: 1. 1,00000 ... 2. 0,99999 ...

(Es wurde in der Diskussion erwähnt.)

Aus diesem Grund gibt es für jede Zahl mindestens zwei Dezimalbruchentwicklungen. In der Diskussion wurde das nur für die 1 betrachtet. Wird das bei dem Beweis beachtet und ist es relevant? --

Man könnte weitere Dezimalbrüche konstruieren:

3. 0,9999 ... xxxx (wobei xxxx eine beliebige Ziffernfolge wäre, aber zwischen der ersten 9 und x liegen unendlich viele Ziffern und 0,0 ... xxxx < 1- 0,999 ... .)

Hutschi 15:26, 23. Mär 2005 (CET)

Für reelle Zahlen r, für die es eine Zehnerpotenz 10^n gibt, so dass r * 10^n ganzzahlig ist - gemeinhin als endliche Dezimalbrüche bezeichnet - gibt es genau zwei Dezimalbruchentwicklungen. Eine endliche, und eine unendliche mit 9-Periode. Alle anderen reellen Zahlen haben eine eindeutige Darstellung.

Es ist in diesem Beweis egal, welche der beiden möglichen Darstellungen man für seine Zahlen nimmt, es ergibt sich nur möglicherweise eine andere Diagonalzahl. Die gewählte Ersetzungsregel liefert stets eine Zahl, die eine eindeutige Darstellung hat, also garantiert nicht in der Folge auftritt.

Fraenkel (Einleitung in die Mengenlehre, 1923, S. 34ff) verwendet das Intervall ]0, 1] und wählt stets die nichtabbrechende Darstellung (also ggf. die 9-Periode), legt aber für die Ersetzungsregel nur fest, dass (in der Notation des Artikels) $x_{i}\in \{1,2,...,9\}\setminus \{a_{ii}\}$ ist. Die ursprüngliche Darstellung von Cantor (Jahresbericht der Deutsch. Math. Vereing. Bd. I, S. 75-78 (1890-91)) hab ich leider immer noch nicht einsehen können, weil der Band in meiner Mathe-bib fehlt.

Was meinst du mit "0,9999 ... xxxx (wobei xxxx eine beliebige Ziffernfolge wäre, aber zwischen der ersten 9 und x liegen unendlich viele Ziffern und 0,0 ... xxxx < 1- 0,999 ... .)"? Dir ist hoffertlich klar, dass es keine Dezimalbruchentwicklung gibt, bei der hinter unendlich vielen 9en noch Ziffern kommen. --SirJective 17:49, 23. Mär 2005 (CET)

Durchaus nicht. Aber für den Cantorschen Beweis scheint es irrelevant zu sein, da es höchstens bedeuten würde, dass es mehr Zahlen gäbe, die nicht abzählbar sind. Insofern war die Frage voreilig. Für mich sind unendlich viele Neunen auch unklar, denn dahinter wären ebenfalls unendlich viele Neunen. Die Frage ist jetzt, ob es eine kleinste Dezimalbruchdarstellung für eine Zahl gibt, ob es eine größte gibt, und wie groß die Differenz ist. Wenn man in den Beweis jeweils die kleinste Dezimaldarstellung einsetzt, so geht das für alle rationalen Zahlen, nicht jedoch für irrationale Zahlen. Danke aber für die Erklärung. Für den Cantorschen Beweis scheint sie ausreichend zu sein. --Hutschi 19:21, 23. Mär 2005 (CET)

0,999 wäre 1, wenn es das gäbe, tatsächlich gibt es aber eben wegen der Eindeutigkeit der Dezimalbruchdarstellung keine Neunerperioden (alle anderen schon!). Ein wenig geschwurbelt ausgedrückt, wenn $(a_{i})_{i}\subset \mathbb {Z}$ eine Folge von Ziffern bzw. im nullten Fall einer Zahl ist, so daß es wegen $z=\sum _{i=0}^{\infty }10^{-i}a_{i}$ die Dezimalbruchdarstellung einer Zahl $z$ sein soll, so ist eben nicht nur $\forall i\geq 1:0\leq a_{i}\leq 9$ zu fordern, sondern eben auch $\liminf _{i\rightarrow \infty }a_{i}\neq 9$, damit es eine gültige Dezimalbruchdarstellung ist.--131.159.76.236 18:16, 19. Jul. 2017 (CEST)

Diagonal-"Beweis"

Dieser Beweis ist -leider- Unsinn, denn er wäre genauso auf die natürlichen Zahlen N anwendbar! RA-Raisch

Nein. Natürliche Zahlen haben nur endlich viele Ziffern, und die konstruierte "Zahl" hat unendlich viele.--Gunther 12:33, 22. Jun 2005 (CEST)

Aber Gunther, es gibt nach ZFC unendlichviele natürliche Zahlen und eine unendliche Zahl hat unendlichviele Ziffern.

Ich vermute, du wolltest mit deinem Argument sagen, dass die Diagonalzahl keine natürliche Zahl ist, weil sie unendlich viele Ziffern hätte und daher nicht in der Liste der natürlichen Zahlen vorkommen müßte.

Für die ersten 100 natürlichen Zahlen erhalte ich eine Diagonalzahl mit 100 Ziffern usw. Unendlich lang wird die Diagonalzahl erst dann, wenn ich unendlich viele natürliche Zahlen hätte. Diese Zahlen haben dann natürlich auch unendlich viele Ziffern.

Das ist bei den reellen Zahlen auch nicht anders. Für die ersten 100 reellen Zahlen erhalte ich eine Diagonalzahl mit 100 Ziffern usw. Die Diagonalzahl wird erst dann unendlich lang, wenn ich unendlich viele Zahlen habe, was aber nie zu erreichen ist.RA-Raisch

Hallo Rainer, du kannst dich von mir aus gern weiter lächerlich machen (Cantors Diagonalargument gilt in der allgemein üblichen Mathematik, in der es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, die allesamt nur jeweils endlich viele Ziffern haben; über andere Theorien der Mathematik wird da nichts ausgesagt).

Diese Diskussionsseiten sind jedoch nicht der Ort, das Thema dieses Artikels und die Grundlagen der hierin verwendeten Mathematik zu diskutieren: Dafür gibt es genug Foren und Newsgroups. Wenn du Literatur angeben kannst, die etwas anderes behauptet als in diesem Artikel steht, dann könntest du sie nennen. --SirJective 08:24, 23. Jun 2005 (CEST)

Hallo SirJective, wie ist es möglich, dass es "unendlich viele natürliche Zahlen gibt, die allesamt nur jeweils endlich viele Ziffern haben"? Eine Zahl mit endlich vielen Ziffern ist eine endliche Zahl und eine unendliche Zahl hat auch unendlich viele Ziffern.

SirJective fordert Literaturangeben und hat selbst den folgenden Hinweis auf Kritik gelöscht: Der Zauber Cantors oder das verlorene Paradies

Mir ist bekannt, dass Cantors Theorie auf Widersprüchen aufbaut, die die Cantorianer leugnen. Ich bewundere zwar Cantor, habe aber durch eigene Intuition eingesehen, dass das nicht stimmen kann und habe dann die Widersprüche in der Theorie erkannt und festgestellt dass ich nicht alleine bin. Ich meine aber, dass der Artikel darauf hinweisen sollte, dass es heute immer noch eine ernsthafte Gegenmeinung gibt (damit meine ich nicht mich).

Wenn ich nicht die Menge N nehme sondern N10 also alle Zahlen, die mit Eins beginnen und sonst nur Nullen aufweisen. N10 ist gleich mächtig wie N. Mit dieser Definition der Mächtigkeit kann ich mich einverstanden erklären und ich akzeptiere auch den Beweis durch Bijektion. Wenn ich nun also unendlich viele Elemente in N10 habe, sollte jeder sofort einsehen, dass diese dann auch (zum Teil) unendlich lange Ziffernreihen haben. Jedenfalls das "letzte" bzw "unendlichste" Element. Solange dieses nicht existiert, ist N10 nicht vollständig und nicht unendlich mächtig. Wieso sollte das bei N anders sein, dass also die Ziffernreihen unendlich lang werden.

Ich kann zB mit Cantors eigenen Beweismitteln beweisen, dass das Theorem der Potenzmengen falsch ist, weil ich eine geordnete Liste der Elemente bilden kann bzw eine einfache Bijektion zur ursprünglichen Menge oder zu N angeben kann. Ich möchte dies hier aber noch nicht veröffentlichen, weil ich davon ausgehe, dass ein ordentliches Werk ordnungsgemäß veröffentlicht werden muss. Für Hinweise hierzu wäre ich daher dankbar.RA-Raisch

Heutige Mathematik basiert auf ZFC oder einem äquivalenten Axiomensystem bzw. einer Formalisierung davon. Stimmst Du mit dieser Grundlage überein? (Wenn nein: Welche Grundlage verwendest Du? Was ist eine Menge, welche Definition der natürlichen Zahlen verwendest Du?) Wie definierst Du das "letzte bzw. unendlichste Element"?--Gunther 20:26, 26. Jun 2005 (CEST)

Natürlich stimme ich mit dem ZFC überein. Natürlich gibt es das "unendlichste" Element (nach Cantor omega) nicht, ebenso wie es real nicht unendlich viele Elemente gibt. Wenn ich von unendlich vielen Elementen spreche, meine ich natürlich unerreichbar viele Elemente. "Unendlich" ist der unerreichbare Grenzwert. N hat unendlich (unerreichbar) viele Elemente. Nur kann ich diese nicht real aufzählen. Es ist daher auch sinnlos davon zu sprechen, dass die Diagonalzahl zu irgend einem Zeitpunkt real unendlich viele Stellen erreicht. Wenn sie unendlich lang ist, befinde ich mich bereits im unerreichbaren Unendlichen und dann habe ich auch bereits unendlich viele Elemente erreicht, was real nicht möglich ist, aber ich bin gerne bereit, darüber mit Cantor gedanklich zu spekulieren. Aber dann bitte mit voller Konsequenz und nicht mit Gegenargumenten, die in diesem Bereich bereits über Borg geworfen wurden. Es mag auch sein, dass das Kontinuum mehr als unendlich viele Elemente aufweist, das klingt nicht schlecht, nur meine ich, reichen Cantors Beweise hierfür nicht aus, da das Diagonalverfahren auch für N gelten würde. Und ich meine, R kann auf N bijektiv abgebildet werden, da es im Bereich [0,1[ nichts anderes als das Spiegelbild von N ist. RA-Raisch

Es geht bei diesen Beweisen nicht um "reale" Aufzählungen, sondern eine Aufzählung ist per definitionem eine Bijektion mit N innerhalb von ZFC, also ist N durch die identische Abbildung aufzählbar.--Gunther 09:47, 27. Jun 2005 (CEST)

Es gibt zwar unendlich viele natürliche Zahlen, jede Zahl n hat aber eine beliebige, aber feste, endliche Länge. Du kannst also keine natürliche Zahl haben, die (nach einem bestimmten Muster) unendlich wächst. Bei den Reellen Zahlen ist dies aber der Fall (vgl pi oder e) -- 78.52.128.81 04:36, 4. Mai 2009 (CEST)

Hallo Rainer. Da du "reale" Existenz und "Erreichbarkeit" forderst und von "Zeitpunkten" sprichst (die du vermutlich sogar physikalisch meinst) stimmst du mit ZFC anscheinend nicht überein. ZFC spricht nicht über "reale" Objekte.

Widersprüche in Cantors Mengenlehre aufzudecken ist heute nicht mehr schwer, das haben bereits Russell und andere getan. --SirJective 11:11, 27. Jun 2005 (CEST)

Achja, Nachtrag: Können wir diese Diskussion bitte in de.sci.mathematik oder in sci.math führen, wo schon Dutzende andere zu diesem Thema geführt wurden und werden? Auf diese Seite hier gehört sie nämlich nicht hin. Wenn sich daraus ein Fachartikel in einer mathematischen Zeitschrift ergibt, kann man dessen Resultate gern hier erwähnen. --SirJective 11:16, 27. Jun 2005 (CEST)

Kritik gelöscht

Von Rtc wurde einfach ein Kritikabsatz gelöscht. Habe ich unten teilweise wieder eingefügt. PaCo 18:46, 28. Jul 2005 (CEST)

Ersetzungsregel

Hallo,

die Ersetzungsregel ist nicht genuegend. Es sind ja leicht Folgen von rellen Zahlen vorstellbar, die nirgendwo in ihrer Dezimaldarstellung eine 5 haben. Vielleicht liege ich ja hiermit falsch, aber eine wasserdichtere Ersetzungsregel waere:

Wir konstruieren unsere neue Zahl als Dezimalbruch mit

x_i = a_ii + 1 (fuer a_ii <= 9)

x_i = 0 (sonst)

Wir rotieren also die i-te Stelle einen weiter, wie bei einem Zahlenschloss. Damit ist die neue Zahl in der i-ten Stelle unterschiedlich von der i-ten Zahl der Folge. Und damit unterschiedlich von allen Zahlen in der Folge. (nicht signierter Beitrag von 84.60.7.39 (Diskussion) 21:39, 27. Dez 2005 (CET))

Mir ist nicht klar, wo Du ein Problem bei der Regel im Artikel siehst: Aus Nicht-5 wird 5, aus 5 wird 4, es kommt also immer etwas anderes heraus.--Gunther 21:39, 27. Dez 2005 (CET)

Stimmt, Du hast vollkommen recht. /me stooopid - Flo -- 84.60.6.46 11:21, 28. Dez 2005 (CET)

Konstruktivisten

Der Absatz ist völlig unverständlich und auch grammatisch mehrdeutig. „Konstruktivisten bezeichnen mit "reelle Zahlen" eine geeignet zu wählende berechenbare Teilmenge der berechenbaren Zahlen, auf die Cantors Beweis nicht übertragbar ist, da x keine berechenbare Zahl ist. Es lässt sich leicht zeigen, dass die berechenbaren Zahlen sowie jede ihrer Teilmengen abzählbar sind“. Der Relativsatz kann bedeuten, dass die Konstruktivisten eine Teilmenge wählen, die von vornherein die Eigenschaft hat, dass auf sie Cantors Beweis nicht übertragbar ist, und diese dann „reelle Zahlen“ nennen. Dann gibt es ex definitone keine reellen Zahlen, auf die Cantors Beweis übertragbar ist. Er kann auch bedeuten, dass es berechenbare Teilmengen gibt, auf die Cantors Beweis anwendbar ist, und andere auf die er nicht anwendbar ist - man muss sich nur die geeignete auswählen. Ist also die Nichtanwendbarkeit des Cantorschen Beweises eine Eigenschaft aller „reellen Zahlen“ der Konstruktivisten oder nur die einer ausgewählten Teilmenge? Und was soll „X“ repräsentieren? In dem Satz ein Kaninchen aus dem Hut. Fingalo 15:00, 3. Nov. 2006 (CET)

Wer zeigt uns eine "unendlich lange Liste"?

Dieser Begriff ist überflüssig und extrem unanschaulich. Der Horror der meistens Menschen vor der Mathematik beruht wahrscheinlich auf solchen Begriffsbildungen. Die schlichte Wahrheit: Es handelt sich um eine Folge. -- Peter Steinberg 23:42, 6. Okt. 2008 (CEST)

Und, was ist verständlicher? Das was in jeder Erklärung des zweiten Diagonalarguments drinsteht: "Wir versuchen jetzt, die Sachen in einer unendlichen Liste/Tabelle/whatever aufzuschreiben", so dass der Leser sofort versteht was passiert, oder der mathematisch präzisere Begriff der Folge? --P. Birken 21:14, 13. Okt. 2008 (CEST)

Ich denke ebenfalls, dass es hier tatsächlich um das anschaulichere Bild der Liste geht. Die Folge ist in Listen- bzw. Tabellenform aufgeschrieben. Nur so kann man es anschaulich vergleichen ... --Hutschi 14:25, 15. Okt. 2008 (CEST)

Meine Definition der Liste aller unendlichen Dezimalsequenzen liest sich anz einfach : Die Liste aller Dezimalsequenzen der Länge N, mit N gegen Unendlich. An dieser Liste lässt sich keine Antidiagonale bilden, die nicht in dieser Liste enthalten wäre. Damit ist der ganze Cantorsche Hokus-Pokus widerlegt! -- Egibiedermann 12:33, 8. Jun. 2010 (CEST)

Selbstredend lässt sich die Antidiagonale bilden - was sollte dagegen sprechen? Abgesehen davon enthält diese deine Liste sogar ganz konkrete viele einfach angebbare Zahlen nicht, beispielsweise 1/3 = 0,333... (oder benenne die Listenposition von 1/3).--Hagman 19:25, 8. Jun. 2010 (CEST)

Simple Gegenfrage: Bitte benenne die Listenposition von 0,333..............................-- Egibiedermann 12:09, 30. Jun. 2010 (CEST)

Kommt auf die Liste an. Bei einigen Listen reeller Zahlen ist 0,3333... an erster Stelle, bei anderen an Stelle 42. Und bei zahlreichen Listen reeller Zahlen ist 0,3333... gar nicht enthalten (insb. bei allem, was ich in deine Listenbeschreibung "Liste aller Dezimalsequenzen der Länge N, mit N gegen Unendlich" mit bestem Willen hinein interpretieren kann). Welches Verständnis von Logik hast du eigentlich, wenn du jemanden, der der Auffassung ist, dass keine Liste alle reellen Zahlen enthält, nach der Position einer konkreten Zahl auf dieser nicht-existenten Liste fragst? Im Gegensatz dazu sollte deine seltsame Formulierung ja wohl eine konkrete Beschreibung einer Liste aller unendlichen Dezimalsequenzen sein, so dass die Frage an dich nach der Position einer konkreten reellen Zahl in dieser "konkreten" Liste berechtigt ist, während deine Gegenfrage WP:AGF ziemlich strapaziert..--Hagman 23:19, 30. Jun. 2010 (CEST)

Hallo Hagman, es erscheint mir offensichtlich, daß Egibiedermann die Listenposition der 0,333... in einer streng monoton aufsteigenden Liste, welche alle (!) reellen Zahlen enthält, meint. Bitte beantworte seine Frage in diesem Sinne. Danke! --Wikilaser 19:39, 13. Jun. 2011 (CEST)

Hm, es erscheint mir keinesfalls offensichtlich, dass irgendjemand als Diskursthema eine streng monotone Liste aller reellen Zahlen wählen könnte. Insbeosndere lässt sich die Frge "in diesem Sinne" gar nicht beantworten. Was man überhaupt mit "Die Liste aller Dezimalsequenzen der Länge N, mit N gegen Unendlich" meinen könnte, habe ich in meiner Antwort vom 1. Juli 2010 zu eruieren versucht, aber viel Sinn läst sich dieser "Definition" in der tat nicht entquetschen. Insofern halte ich es nach wie vor für angebracht, das diese fruchtlose Diskussion (siehe den ganzen Rattenschwanz, der noch folgt) archiviert werden könnte.--Hagman 22:45, 14. Jun. 2011 (CEST)

Sorry, kannst Du mal versuchen, eine Liste möglicht vieler Decimalfolgen zu definieren, die besser wäre, als meine. 1/3 ist ja keine Dezimalsequenz, und 0,333 enthält gerade mal 3 Dreien. Diese Sequenz steht in der von mir definierten Liste an der dreihundertvierunddreißigsten Stelle, weil die Liste mit 000 anfängt.

Weitere Frage: Bekanntlich können alle Dezimalzahlen gleichwertig im Dualsystem wiedergegeben werden. Zu einer Liste unendlicher Dualsequenzen gibt es aber nur eine einzige Antidiagonale. Soll die dann für die Einführung 'Höherer UNendlichkeiten ' herhalten? -- Egibiedermann 19:07, 1. Jul. 2010 (CEST)

• Deine Liste ist per "n gegen unendlich" gar nicht so toll definiert. Ich vermute allerdings, du meinst inetwa, dass der n-te Listeneintrag gegeben sein soll durch die Dezimalentwicklung von ${\frac {n+k}{10^{m}}}$ wobei $k=\max\{t\in \mathbb {Z} \mid 9t<n\}$ und $m=\min\{t\in \mathbb {N} \mid n+k<10^{m}\}$ (und voran als 0-ter Eintrag noch möglicherweise die 0,0). Allerdings wäre dann 0,333 schon an der 300. Listenposition. die Dezimalentwicklung von ${\frac {R(n-1)}{10^{m}}}$, wobei $R(n)$ durch Folge A004086 in OEIS gegeben ist und $m=\lceil \log _{10}(n-{\tfrac {1}{2}})\rceil$. In der Tat steht dann 0,333 an 334. Stelle.
• Selbstverständlich ist die Zahl 1/3 keine Dezimalsequenz, aber sie hat eine eindeutige Dezimalsequenz, die so ausschaut, dass an der k-ten Stelle eine 3 steht für alle natürlichen k. Offenbar war es falsch von mir, anzunehmen, dass deine Replik auf mein "1/3" mit Erwähnung von "0,333.............................." eine ganz normale Übersetzung meiner exakten Angabe eines Bruches durch eine informelle (und insofern ambige) Schreibvariante für einen periodischen Dezimalbruch sein sollte. Da habe ich dich dann wohl missverstanden. Aber das macht deine Gegenfrage in keiner Weise relevanter (im Gegenteil, es macht nur fraglicher, was die vielen Pünktchen überhaupt sollten).
• Wenn du eine Liste verlangst, die besser ist als deine, definiere bitte zunächst, was unter "besser" zu verstehen ist. Mehr als abzählbar viele Einträge kann so einen abzählbare Liste gewiss nicht haben. Dagegen wolltest du einen Liste aller unendlichen Dezimalsequenzen beschreiben, was ein Ding der Unmöglichkeit ist - der einfache Beweis hierzu steht im Artikel.
• Wenn man eine abzählbare Liste von Dual-Entwicklungen betrachtet, dann hat die Ziffernfolge, die man als Antidiagonale erhält gewiss die Eigenschaft, nicht in der Liste aufzutreten. Allerdings kann man nicht garantieren, dass die ihr entsprechende reelle Zahl nicht doch in der Liste durch eine andere Ziffernfolge vertreten ist (Beispiel: Antidiagonale $0{,}10110{\bar {1}}$ und $0{,}10111{\bar {0}}$ ist möllicherweise in der Liste). Na und? Dann haben wir also eine Methode mit der Eigenschaft: Wenn man sie geschickt verwendet, kann man zeigen, dass (0,1) üebrabzählbar ist, und wenn man sich ungeschickt anstellt, scheitert dieser Versuch. Wenn du ohnehin auf höhere Unendlichkeiten allgemein hinaus willst, sollte man sowieso einfach zeigen, dass für eine beliebige Menge $M$ jedwede Abbildung $M\to P(M)$ in die Potenzmenge nicht surjektiv ist (das klappt ohne jegliche Endlichkeits- oder Unendlichkeits-Voraussetzung an $M$). Das geschieht genau wieder nach dem Cantor-Verfahren, hier im Falle $M=\mathbb {N}$ ganz analog zur Methode mit den Dualsystem-Ziffernfolgen, die man auf naheliegende Weise als Teilmengen interpretieren kann.
• Hast du mit deinen Beiträgen hier auf der Diskussionsseite überhaupt die Absicht, eine Verbesserung des Artikels herbeizuführen? Ich kann das deinen Ausführungen jedenfalls nicht klar entnehmen. Vielmehr ist deine Argumentation in sich widersprüchlich (siehe meine Anmerkung oben zur Unangebrachtheit deiner "Gegenfrage" und die Beobachtung, dass du jetzt auf "0,333" herumreitest, nachdem du vorher selbst "0,333..." eingeführt hattest) und empfehle daher dringend ein Ende der Diskussion--Hagman 19:49, 1. Jul. 2010 (CEST)

Ich meine allerdings, dass die Argumentation des Artikels sich auf eine konkrete, klar definierte unendliche Liste von Decimalsequenzen beziehen sollte un sich nicht nur im Platonschen Jenseits abspielt. --Egibiedermann 11:19, 7. Jul. 2010 (CEST)(Diskussion) 11:48, 2. Jul 2010 (CEST))

Es ist egal, ob eine abzählbare Liste konkrete oder Platonisch ist. Das Diagonalargument greift immer.--Hagman 22:00, 2. Jul. 2010 (CEST)

Doch noch eine Bemerkung: du nennst meine definition einer unendlichen Liste aller unendlichen dezimalsequenzen eine 'sonderbare Formulierung' und meinst , an dieser Liste lasse sich selbstverständlich eine Antidiagonale definieren (die nicht in der Liste enthalten sein soll) . Mit N = 1 ist meine Liste die folge der Dezimalen 0, 1, 2, ..... 9. Bei N = 3 beginnt die Liste mit 0 0 0 und endet mit 9 9 9 . u.s w. Wie könnte es da eine Antidiagonale geben, die nicht iin dieser Liste enthalten ist.

Die Division 1/3, also 1 geteilt durch 3 , ergibt zunächt lediglich 0,3 mit 0,1 als Rest. eine zweite Division liefert 0,33 mit Rest , n Divisionen ergeben eine Sequenz mit n dreien, erst mit 'n gegen unendlich' ergibt sich so etwas wie dein 0,333 . . . Noch immer ist mir unklar, wie man eine unendliche Liste unendlicher Dezimalsequenzen definieren könnte. -- 83.223.161.184 17:19, 5. Jul. 2010 (CEST)

Mach es einfach: Suche dir einen Algorithmus (Folge), alle Brüche zwischen 0 < q < 1 zu numerieren. Beispielnummerierung wäre: (äquivalente kann man dalassen oder weglassen wie man will, ich hab sie mal weggelassen:

1. 1/2
2. 1/3
3. 2/3
4. 1/4
5. 3/4
6. 1/5
7. 2/5
8. 3/5
9. 4/5
10. 1/6
11. 5/6

usw.

Dass es komplizierte Numerierungen geben könnte, das können wir ignorieren. (Dass wir eine kleine Teilmenge der rationalen Zahlen nehmen ist oBdA, ein a fortiori OK.) - So. Diese Brüche werden nun je als Dezimalzahl geschrieben. Fertig.

Dass eine unendlich lange Liste kein Ende hat, ist der Sinn der Sache. Man kann sie nicht endlich hinschreiben. Bei einer bestimmten Folge soll man ja nur für eine beliebige natürliche Zahl n das Folgenglied a(n) nennen können.--Pacogo7 19:03, 5. Jul. 2010 (CEST)

Sorry, Pacogo, ich kann hier mit meinen Augen nur eine kurze Liste von Bruchdarstellungen erkennen, nirdends eine 'unendliche' Dezimalsequenz. -- Egibiedermann 11:19, 7. Jul. 2010 (CEST)

Den Bruchdarstellungen entsprechen Dezimaldarstellungen. Einige davon sind "abbrechend" die anderen sind "periodisch". Wenn es Dir darum geht, den Beweis unbedingt mit weder abbrechenden noch periodischen Zahlen zu führen, dann nimm halt zB numerierte Primzahlquadratwurzeln. - Allerdings weiß ich grade sowieso nicht, inwiefern wir hier über Artikelverbesserung diskutieren und klink mich mal aus. Nix für ungut.--Pacogo7 17:56, 7. Jul. 2010 (CEST)

@IP83: Wie lautet der zweite Listeneintrag deiner Liste? Für N=1 ist es offenbar 0,1 und bei N=3 ist es 0,001? Ist es demnach für "N gegen unendlich" einfach 0? Enthält deine Liste für N gegen unendlich überhaupt einen Eintrag, der nicht 0 ist?

Aber selbstverständlich! z.B für N = 1000 besteht die letzte Zeile meiner Liste aus genau eintausend Neunern. Wenn Du nicht das ' 0, ' links vor diese Sequenz setzts, dann ist das die natürliche Zahl ' 10 hoch eintausend weniger 1 ' , und die ganze Liste ist nichts anderes, als die Folge aller natürlichen Zahlen bis dahin. --Egibiedermann 11:19, 7. Jul. 2010 (CEST)

OK, das ist ja mal ein ganz anderes Statement. Demnach ist der n-te Listeneintgar die Dezimaldarstellung des Bruches ${\tfrac {n}{10^{k}}}$, wobei k gerade so gewählt wird, dass $10^{k-1}\leq n<10^{k}$. Demnach gibt es kein $n\in \mathbb {N}$ mit ${\tfrac {n}{10^{k}}}={\tfrac {5}{9}}$, demnach taucht die Dezimalfolge, die an jeder Stelle eine 5 stehen hat, nicht auf. Demnach enthält deine Liste nicht alle Dezimalfolgen (schon ohne das Argument der Antidiagonalen). Wie man leicht sieht, ist die n-te Stelle deines n-ten Listeneintrags (außer ganz am Anfang) stets 0. Die Antidiagonale nach der Vorschrift im Artikel ist also genau dadurch gegeben, dass jede ihrer Dezimalen 5 ist. Das ist genau die soeben schon als fehlend nachgewiesene. (Andererseits enthält deine Liste jetzt auf einmal zahlreiche Dezimalfolgen doppelt: An 100. Stelle steht ebenso wie an 10. Stelle die 0,100 = 0,10 = 0,1).

Eine unendliche Liste unendlicher Dezimalsequenzen ist eine Abbildung, die zu zwei natürlichen Zahlen n und k eine Ziffer d liefert, also eine Abbildung $L:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \{0,\ldots ,9\}$. Der n-te Listeneintrag ist die Dezimalsequenz, die durch $k\mapsto L(n,k)$ gegeben ist. Wenn beispielsweise der 42. Listeneintrag die Dezimalsequenz sein soll, die die Deziamlentwicklung des Bruches 25/99 ist, dann erreicht man dies genau dadurch, dass $L(n,k)=2$ für $n=42$ und k ungerade sowie $L(n,k)=5$ für $n=42$ und k gerade ist.--Hagman 19:16, 5. Jul. 2010 (CEST)

Sorry, aber dass eine Liste eine Abbildung sein soll (sein!),nicht etwa dadurch definiert sein soll, das ist für mich unverständlich. Und gestatte die Frage, hast du im gegensatz zu deiner früheren Behauptung jetzt eingesehen, dass es an der von mir definierten liste keine Antidiagonale geben kann , die nicht in der liste enthalten wäre? -- Egibiedermann 11:19, 7. Jul. 2010 (CEST)

Die Nichtexistenz einer Antidiagonale lässt sich nicht einsehen, da die Existenz sich leicht einsehen lässt.--Hagman 19:10, 7. Jul. 2010 (CEST)

Sorry again! der n-te Listeneintrag ist, ohne dein 0, die übliche im Zehnersystem dargestellte Zahl n - 1 , wie ich schon oben gesagt habe: Bei N = 3 ist der tausendste Listeneintrag die sequenz 999. Bei größerem N stehen N - 3 Nullen links vor den Neunen, das ändert nichts an der natürlichen Zahl 999. Mit dem links davorgesetzten 0, rücken die drei Neunen entsprechend nach rechts.--Egibiedermann 12:38, 8. Jul. 2010 (CEST) Für irgend ein N > k steht die sequenz aus k Fünfen an der durch diese sequenz definierten natürlichen Zahl weniger eins angegebenen Stelle. Die N - k links davor stehenden Nullen interessieren nicht.-- Egibiedermann 12:38, 8. Jul. 2010 (CEST) Zur Antidiagonalen: Für N = 3 besteht meine liste aus den zehn hoch drei irgend möglichen aus den Ziffern 0 bis 9 bildbaren dreistelligen Sequenzen. Wie willst du da noch eine zusätzliche Antidiagonale angeben ? -- Egibiedermann 12:38, 8. Jul. 2010 (CEST)

Ah so, also doch lauter Nulleinträge. Nach dieser Erklärung ist der 1000. Eintrag für N=3 also 0,999, für N=4 ist er 0,0999, für N=10 ist er 0,0000000999 usw. Da du ja von Anfang an den Grenzübergang für N gegen unendlich angedroht hast (bezüglich welcher Topologie? Einzig sinnvoll ist die punktweise Konevrgenz von Folgen im Sinne von Abbildungen in die Ziffernmenge) und die zu endlichem N gehörigen endlichen Teillisten ohnehin nicht interessieren, steht also an der 1000. Stelle deiner letztlich definiert werden wollenden Liste die Dezimalentwicklung der Zahl 0 (nämlich 0,00000.... - um mal wieder die das einleuchtende, aber unexakte Mittel der Pünktchen zu benutzen). Ich sehe nicht, dass die 1000 hier besonders wäre, sprich: Jeder Listeneintrag deiner Liste ist die Dezimalentwicklung der 0 (das hatte ich ja oben bereits einmal vermutet, aber die Laschheit deiner Folgendefinition lässt halt manchmal etwas Raum für Interpretationen). Die Liste enthält also schon ohne Diagonalargument nicht alle Dezimalfolgen, weil sie nur eine einzige immer wieder enthält und es mehr als eine Dezmalfolge gibt. Insbesondere enthält sie nicht die Dezimalfolge 0,555555555..., die sich als Antidiagonale ergibt. Übrigens ist auch im Fall eines endlichen N die Antidiagonale nicht in der Liste enthalten: Für N=1 enthält die Liste die Dezimalzahlen 0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 und 0,9. Die hieraus gebildete Antidiagonale ist 0,5555555555 und ist nicht enthalten.--Hagman 23:19, 8. Jul. 2010 (CEST)

Dass wir offenbar ungewollt immer wieder aneinander vorbeiargumentieren liegt offensichtlich daran, dass du primär in Brüchen = reellen Zahlen = unendliche Decimalsequenz = 0,abcd....... denkst, während ich mich ganz auf Listen von Ziffernfolgen konzentriere, an denen allein ja das Diagonalargument angebracht werden kann, wie im Beweis des Textes an der 3 x 3 - Matrix vorgeführt wird. Mein primäres Anlegen ist nun, dass dieses Argument nur funktioniert, wenn in einer solchen Matrix die Anzahl der Zeilen nicht größer als die der Spalten ist. Jegliche Liste aller möglichen Ziffernfolgen der Länge N enthält nun aber 10 hoch N Zeilen. Also kann es da keine nicht in der Liste vorkommende Antidiagonale geben. An der von Dir diskutierten Liste mit N = 1 sind die 'Diagonalen' nicht anderes als eben diese Ziffern 0 bis 9 und auch eine Antidiagonale kann da nicht mehr als jeweils eine Ziffer enthalten. Da verstehe ich nicht Dein 'Das Diagonalargument greift immer' ! Woher nimmst Du diese zehn Fünfen in 0,5555555555? warum ersetzts du nicht auch die Null vor dem Komma durch eine 5 ?--Egibiedermann 12:31, 9. Jul. 2010 (CEST)

Dass wir an einander vorbei reden, liegt eher daran, dass du eine mathematisch präzise formulierte und wohlbewiesene Tatsache mit einem kruden Beispiel zu widerlegen versuchst. <es geht im von dir kritisierten Cantorschen Diagobalelement um eine Liste von Dezimalsequenzen, von der angenommen wird, dass sie für jede reelle Zahl zwischen 0 ubd 1 eine Dezimaldarstellung enthält. Für diesen Zweck denkt man sich alle diese Dezimalsequenzen als unendlich lange Dezimalseuenzen, indem man eine endliche Dezimalsequenz einfach durch Nullen fortgesetzt denkt. Insofern lassen sich immer so viele Ziffern de Antidiagonalen angeben, wie die Liste Einträge hat. So kommen im Beispiel N=1 die 10 Dezimalen zustande. (Die 0 vor dem Komma wird nicht ersetzt, weil ich mich an die angegebene Bildungsvorschrif für die Antidiagonale gehalten habe.) Im eigentlcih zu betrachtenden Fall besteht kein Unterschied zwischen der Länge der angenommenen Liste und der Länge der einzelnen Sequenzen, so dass die von dir beobachtete Diskrepanz nicht auftritt. Man kann es auch anders ansehen: Für jedes endliche N ist die Menge der Listeneinträge erheblich größer als die Anzahl der Ziffern je Eintrag. Wenn man schon per Analogie vom Endlichen auf das Unendliche schließt, ergibt sich dabei doch eher, dass die Menge aller unendlich langen Dezimalsequenzen erheblich mehr Elemente enthält als die Anzahl der Dezimalen je Eintrag angibt - also mehr als abzählbar viele.--Hagman 22:31, 9. Jul. 2010 (CEST)

Mit meinem 'N gegen Unendlich' will ich ganz gewiss keinen 'Grenzübergang' androhen, sonst würde ich doch nicht von dem Catorschen Hokus-Pokus reden! Diesen in meinen Augen unsinnigen Grenzübergang nimmst Du aber mit den Pünktchen in 0,333............ vor. Für mich kann dieses N gewiss nie etwas anderes als eine natürliche Zahl sein, so wie Dein k in der Argumentation, dass in 0,333............. für jedes k an k-ter Stelle eine Drei steht. Natürlich enthält meine Liste immer nur endliche Ziffernsequenzen, etwas anderes gibt es nun mal nunmal nicht. An einer im Dualsystem geschriebenen k x k - Matrix gibt es garantiert nur eine einzige Antidiagonale. Dein Argument besagt bestenfalls, dass selbst diese nicht notwendigerweise eine reelle Zahl darstellt, die nicht schon in der Liste repräsentiert wäre. Umso schlimmer für Cantor und alle Überabzählbarkeit! --Egibiedermann 12:31, 9. Jul. 2010 (CEST)

Wenn du 'N gegen unendlich' sagst, aber keinen Grenzübergang betrachten möchtest, fällt es schwer, deien Äußerungen überhaupt noch zu interpretieren. Etwas anderes als endliche Ziffernsequenzen soll es nicht geben? Dazu musst du von ZFC das Axiom entfernen, das die Existenz einer unendlichen Menge (im wesentlichen die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen) postuliert. Ich würde jetzt gerne schreiben, dass jede endliche Dezimalsequenz (zusammen mit dem "0," davor) die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl ist (und noch dazu einiger weniger privilegierter, 1/3 ist ja nicht dabei) und somit folgt, dass die Menge der reellen Zahlen eine echte(!) Teilmenge der Menge de rationalen Zahlen ist - aber ohne unendliche Mengen kann man ja har nicht mehr von der Menge der rationalen bzw. reellen Zahlen sprechen. Ich bin mir aber nicht sicher, ob du wirklich diese Form des Finitismus praktizierst oder doch die Mengen der natürlichen / rationalen / reellen Zahlen als mathematische Objekte akzeptierst. Am einfachsten ist es für uns alle, wenn due den validierten Beweis unter [1] im Detail studierst und angibst, welchen Schritt du nicht akzeptierst. Jeder Schritt ist dort zu einem eigenen Beweis verlinkt, so dass letztlich eine der folgenden Situationen eintreten muss:

• Du stößt auf ein Axiom, das du nicht für wahr hältst
• Du stößt auf eine Schlussregel, die du nicht für gültig hältst
• Du akzeptierst jeden einzelnen Schritt, meinst aber, dass endlich viele gültige Schritte zusammen dennoch ein falsches Ergebnis liefern können
• Du akzeptierst die Satzaussage, also dass die Menge der reellen Zahlen mächtiger ist als die der natürlichen Zahlen

Welcher der Fälle auch eintritt, ich fürchte, es dient letztlich nicht der Verbesserung des Artikels.--Hagman 22:31, 9. Jul. 2010 (CEST)

Du hattest mein 'N gegen Unendlich' als eine Androhung madig gemacht. Da konnte ich nicht zustimmen. Du tritst ja offensichtlich sogar für 'N = unendlich' als einer sinnvollen Operation ein. Ich kann nur Rechenvorschriften sehen, wie 1 : 3 die nie zu einem Ende kommen. -- Egibiedermann 18:42, 11. Jul. 2010 (CEST) Der Beweis für das Diagonalargument bezieht sich allemal auf eine quadratische Matrix, im Artikel 3 x 3. Schon lange vor dem Geniestreich von Cantor war aber gewiss bekannt, dass es im Zehnersystem 10 hoch k verschiedene Ziffernsequenzen der Länge k gibt, als auf jeden Fall "zehn hoch k weniger k" Sequenzen, die in irgend einer gegebenen k x k - Matrix gewiss nicht vorkommen. Da brauchen wir doch keine Antidiagonale, um das zu begreifen. --Egibiedermann 18:42, 11. Jul. 2010 (CEST)

Zu "1 : 3" kann man in endlicher Zeit und sehr kompakt angeben, dass für jedes $k\in \mathbb {N}$ die k-te Nachkommastelle 3 ist. Im übrigen geht es nicht um berechenbare reelle Zahlen (dann funktioniert das Diagonal-Argument auch nur, wenn die Liste ihrerseits berechenbar sein soll), sondern um beliebige reelle Zahlen. Für jede reelle Zahl $\alpha \in (0,1)$ und jedes $k\in \mathbb {N}$ ist die k-te Nachkommastelle definiert als Endziffer der ganzen Zahl $\lfloor 10^{k}\alpha \rfloor$. Hierdurch ist zu $\alpha$ eine Abbildung $f_{\alpha }:\mathbb {N} \to \{0,...,9\}$ definiert. Punkt. Es mag schwierig sein, $f_{\pi -3}(10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}})$ anzugeben, aber das tut der Definiertheit keinen Abbruch.

Ich habe nichts gegen Grenzübergänge, aber die Art des Grenzübergangs (die benutzte "Topologie") ist anzugeben. Ich bin offenbar wie die überwältigende Mehrheit der Mathematiker im Gegensatz zu dir kein Finitist, akzeptiere daher die Existenz der mit $\mathbb {N}$ bezeichneten Mange aller natürlichen Zahlen. Ich habe als nahezu unmittelbare Konsequenz daraus auch nachweislich kein Problem, von einer Abbildung $L:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \{0,\ldots ,9\}$ zu reden und zu akzeptieren, dass es dazu dann eine Antidiagonale $\Delta _{L}:\mathbb {N} \to \{0,\ldots ,95\}$ gibt. Der kritischste Punkt hierbei mag die Existenz der Menge $\mathbb {N}$ sein, aber ohne die wird die Mengenlehre irgendwie langweilig.

Schau doch mal im Usenet bei sci.math vorbei, dort gibt es immer wieder ein paar Diskussionsteilnehmer, die für Finitismus eintreten. Vielleicht kannst du sie argumentativ unterstützen. Die Diskussion hier jedenfalls hat schon lange den Zweck, den sie haben sollte, nämlich den Artikel zu verbessern, aus den Augen verloren. Ich setze deshalb den Erledigt-Baustein.--Hagman 19:37, 11. Jul. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Hagman 19:37, 11. Jul. 2010 (CEST)

Begründung mit Bijektion überflüssig

Im Artikel steht:

Da es eine Bijektion zwischen $(0,1)$ und $\mathbb {R}$ gibt, beispielsweise $x\mapsto \tan(\pi (x-1/2))$, ist auch $\mathbb {R}$ nicht gleichmächtig zu $\mathbb {N}$.

Mit dieser Bijektion kann man zwar zeigen, dass $\mathbb {R}$ und $(0,1)$ gleichmächtig sind, und daraus folgt dann natürlich auch, dass auch $\mathbb {R}$ überabzählbar ist, doch es reicht doch zu wissen, dass $(0,1)$ Teilmenge von $\mathbb {R}$ ist. Daraus folgt sofort, dass auch $\mathbb {R}$ nicht abzählbar ist. --Jobu0101 15:31, 4. Feb. 2011 (CET)

Man mag sich darüber streiten, ob eine Teilmengenbeziehung wirklich einfacher ist. Immerhin sagt sie ja auch etwas ziemlich starkes aus: Aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$ folgt Gleichheit von A und B. Hier geht's aber lediglich um Kardinalitäten.

"Es gibt eine Injektion $(0,1)\to \mathbb {R}$" ist noch allgemeiner als $(0,1)\subseteq \mathbb {R}$, aber wegen der Gerichtetheit unnötig schwerer einleuchtend, als wenn man gleich von einer Bijektion spricht.

Zu beachten ist auch, dass die Passage momentan sagt, das Intervall sei nicht gleichmächtig zu $\mathbb {N}$. Daraus, zusammen mit $(0,1)\subseteq \mathbb {R}$, kann man gar nicht schließen, dass auch $\mathbb {R}$ nicht gleichmächtig zu $\mathbb {N}$ ist ($\mathbb {N}$ könnte ja größer als $(0,1)$ sein). --Daniel5Ko 22:53, 4. Feb. 2011 (CET)

Letzteres ist aber eher eine Formulierungsschwäche. Der angegebene Beweis zeigt, dass es keine surjektive Abbildung $\mathbb {N} \to (0,1)$ gibt, also gewiss nicht $\mathbb {N}$ mächtiger als $(0,1)$ ist. Es ist nahezu trivial, dass $n\mapsto {\tfrac {1}{n+1}}$ eine injektive Abbildung $\mathbb {N} \to (0,1)$ liefert. Die Verwendung einer transzendenten Funktion zum Nachweis, dass $\mathbb {R}$ mächtiger ist als $\mathbb {N}$, wenn man dies für $(0,1)$ schon gezeigt hat, ist eine ziemlich große Kanone für einen ziemlich kleinen Spatz. Sei $A$ eine beliebige Menge mit $(0,1)\subseteq A$. Dann ist $A$ überabzählbar.--Hagman 11:58, 5. Feb. 2011 (CET)

Jupp. Es ist vielleicht doof, überhaupt mit "nicht gleichmächtig" zu argumentieren. Wir kennen die Richtung an der Stelle ja schon, und müssen sie nicht zweckloserweise wieder unterschlagen. Hmmm... --Daniel5Ko 12:23, 5. Feb. 2011 (CET)

Link auf Originalquelle fehlt

In einem guten Artikel sollte der Hinweis auf die Originalquelle enthalten sein. Ich füge ihn ein. --Wikilaser 18:03, 11. Jun. 2011 (CEST)

Ich habe das nun noch einmal als Weblink eingefügt, ich hoffe, das ist jetzt so in Ordnung. --Wikilaser 12:11, 12. Jun. 2011 (CEST)

{0,1} oder (0,1)

In der 1. Zeile ist von Abblidungen einer Menge nach {0,1} die Rede. Die Menge {0,1} ist allerdings eine Menge mit 2 Elementen (0 und 1). Hier gehört meiner Meinung nach die Menge (0,1) bzw. ]0,1[.

--91.114.158.32 15:21, 17. Feb. 2013 (CET)

Nein, da ist schon {0,1} richtig: Die Menge aller Abbildungen von A nach {0,1} hat eine größere Mächtigkeit als A selbst, weiter unten im Artikel wird das noch etwas genauer ausgeführt. -- HilberTraum (Diskussion) 20:34, 17. Feb. 2013 (CET)

Und R ist doch abzählbar unendlich

Ich verstehe nicht, wieso sich der Gedankengang in Cantors erstem Diagonalargument nicht auch auf R anwenden lässt. Genau wie die rationalen Zahlen in einen Zähler und einen Nenner zerlegbar sind, die jeweils aus der Menge der ganzen Zahlen stammen, lässt sich doch auch jede reelle Zahl in einen Vorkomma- und einen Nachkomma-Teil zerlegen, die ebenfalls beide aus der Menge der ganzen Zahlen stammen.

Für den Nachkommabereich könnte man einfach spiegelverkehrt zum Vorkommabereich zählen:

${\begin{array}{cccccccccccccc}VK:&1&2&...&9&10&11&12&...&99&100&101&102&...\\NK:&0,1&0,2&...&0,9&0,01&0,11&0,21&...&0,99&0,001&0,101&0,201&...\\\end{array}}$

Somit ließe sich ebenfalls eine zweispaltige Tabelle analog hierzu aufbauen, in der statt Zähler und Nenner also nun Vorkomma- und Nachkommabereich jeweils von 0 bis unendlich laufen.

So als würde man quasi den Bruchstrich einfach durch das Dezimalkomma ersetzen.

In dieser Tabelle könnte man ebenfalls diagonal zählen, angefangen oben links. Man erhielte dann diese Reihenfolge:

0,0 -> 0,1 -> 1,0 -> 2,0 -> 1,1 -> 0,2 -> 0,3 -> 1,2 -> 2,1 -> 3,0 usw.

Noch flugs hinter jede Zahl ihr Negatives eingeschoben (außer bei 0,0 natürlich).

und man gelangt so zu einer Bijektion zwischen N und R.

Wo ist mein Denkfehler bei dieser Vorgehensweise? 80.143.142.250 13:10, 9. Apr. 2014 (CEST)

Da die Nachkommateile alle abbrechen, werden nichtmal alle rationalen Zahlen aufgezählt. Zum Beispiel kommen zwar 0,3, 0,33, 0,333, 0,3333 etc. vor, aber 1/3 nicht. --Daniel5Ko (Diskussion) 17:43, 9. Apr. 2014 (CEST)

Wie/wo/wann zählst du Pi auf? :) merke: ene Menge muss eine Ordnung haben. Wie willst du Pi abzählbar einordnen, wenn du gar nicht alle Stellen von Pi kennen kannst, weil es selbst unendlich viele sind? --2003:DE:F02:9C00:C1A5:1BEE:F412:75BF 19:19, 21. Feb. 2023 (CET)

Der Vorkommateil besteht immer aus endlich vielen Ziffern, den kann man auf die endlich vielen Ziffern einer ganzen Zahl abbilden.

Der Nachkommateil kann auch aus unendlich vielen Ziffern bestehen, es gibt jedoch keine ganze Zahl mit unendlich vielen Ziffern, daran scheitert die Idee. --Marc van Woerkom (Diskussion) 02:54, 25. Mai 2023 (CEST)

Veröffentlichungsjahr

In der englischen Version wird als Jahr der Veröffentlichung 1891 angegeben:

"In set theory, Cantor's diagonal argument, also called the diagonalisation argument, the diagonal slash argument or the diagonal method, was published in 1891 by Georg Cantor ..."

In der deutschen Version dagegen das Jahr 1877. Ich finde es seltsam, wenn man sich in einem Lexikon in der deutschen Version auf den ursprünglichen Diagonalbeweis beruft, in der englichen dagegen auf die Verallgemeinerung, die in der deutschen Version mit 1891 ebenfalls angegeben wird. --Wikilaser (Diskussion) 13:29, 15. Jul. 2015 (CEST)

Wie sieht eine "vollständige Liste" reeller Zahlen aus? oder vollständig heißt vollständig.

Liebe Mathematiker,ich glaube, der Philosoph sollte euch zu Hilfe kommen. Nehmen wir einmal an, wir erzeugen mitels "Diagonalverfahren" die "neue" Zahl 0,738... Nun fragen wir uns, ob es in unserer vollständigen (!) Liste der reellen Zahlen im Intervall zwischen 0 und 1 auch Zahlen gibt, die mit 0,7 beginnen? Antwort: Natürlich gibt es diese Zahlen, denn unsere Liste ist (per definitionem!) vollständig. Weiter fragen wir uns, ob unsere Liste auch Zahlen enthält, die mit der Folge 0,73 beginnen? Natürlich gibt es solche Zahlen, denn unsere Liste ist vollständig. Enthält unsere Liste auch Zahlen, die mit 0,738 beginnen? Selbstverständlich gibt es auch diese Zahlen, denn unsere Liste ist vollständig. Auf diese Weise fragen wir uns durch den ganzen "Beweis". Welche "neue" Ziffenfolge wir auch befragen, immer werden wir antworten müssen: das ist nichts Neues unter der Sonne,jede beliebige Ziffernkombination befindet sich in unserer Liste, denn die Liste ist vollständig, d. h. sie ist korrekt nach den Regeln der Kombinatorik erstellt worden, und enthält folglich sämtliche (!) Permutationen reeler Zahlen, die möglich sind. Es ist unmöglich, einer solcherart vollständigen Liste eine neue Zahl zuzufügen. Der Anschein, dass dies möglich sei, entsteht nur durch die unvollständige Darstellungsweise des "Diagonalarguments", bei welcher immer nur so viele reelle Zahlen ausgeschrieben werden, wie Stellen nach dem Komma - also drei Stellen zu drei Zahlen, vier zu vier, fünf zu fünf. "Neu" ist unsere Zahl nämlich nur gegenüber diesen bereits veränderten Zahlen! Nicht aber gegenüber den 1000 möglichen Permutationen, die bei einer Darstellung der rellen Zahlen bis zur dritten Stelle nach dem Komma möglich sind. (oder 10000 oder 100000 usw.)Es ist unkorrekt, von 1000 Permutationen nur drei auszuführen, und dann zu behaupten, wir hätten etwas Neues in die Welt gesetzt! Außerdem deutet die Annahme einer Nicht- oder Überabzählbarkeit auf die merkwürdige Vorstellung hin, dass die Menge der Natürlichen Zahlen irgendwie erschöpft werden könnte, etwa durch das Abzählen der Reelen Zahlen im Intervall zwischen 0 und 1. Und nun kommt - o Schreck! - eine neue Zahl hinzu! Was soll? Selbst wenn sie wirklich "neu" wäre - sie könnte ja z. B. auch aus einem anderen Intervall stammen, etwa zwischen 1 und 2, - es würde sich immer eine Natürliche Zahl finden, mit welcher man sie zählen könnte. Ebenso wie vollständig eben vollständig heißt, heißt unendlich eben unendlich. (phil.hal.) (nicht signierter Beitrag von 2003:D5:D727:7288:C0E:FF23:1:7FAC (Diskussion) 19:14, 23. Nov. 2019 (CET))

Das deckt sich mit meiner Überzeugung, daß Cantors Aussage, seine Diagonalzahl würde sich von allen Zahlen der Folge unterscheiden, nicht zutrifft. Korrekt ist Cantors Aussage nämlich nur, wenn sie lautet, daß sich seine Diagonalzahl von allen überprüften Zahlen der Folge unterscheidet. Aber Cantor bleibt den Beweis schuldig, daß seine Diagonalmethode tatsächlich alle Elemente der Folge überprüft. Dies setzt er lediglich ohne Beweis der Annahme voraus. So kann jedoch sein zweites Diagonalargument nicht als Beweis anerkannt werden.--Wikilaser (Diskussion) 12:47, 31. Jul. 2020 (CEST)

Folgt man dieser Argumentation, so liegt das Problem schon vorher: Kann man über eine Zahlenfolge mit unendlich vielen Gliedern irgendwie verfügen?

Der Beweis beruht darauf, dass es zu jeder Folge $(z_{k})\subset ]0,1[$ als gesamtem Objekt eine Zahl $d$ (eben die Diagonalzahl) in $]0,1[$ gibt, für die es keine Nummer $k$ gibt mit $z_{k}=d$. Das heißt, es gibt keine reelle Zahlenfolge, die das gesamte offene Intervall $]0,1[$ genau abdeckt, egal wie chaotisch/ergodisch/... die Folgenglieder herumspringen.

Eine Kritik an diesem Diagonalargument muss m.E. gleich den Begriff der unendlichen Folge in Frage stellen. Dann kann man auch gleich fragen, ob man über alle natürlichen Zahlen als „Gesamtmenge“ verfügen „darf“, obwohl man sie niemals erschöpfend aufschreiben kann. Das geht dann immer weiter… selbst Euklids Beweis, dass es keine größte Primzahl gibt, wäre hinfällig. Will man das? :-))) --Stefan Neumeier (Diskussion) 21:48, 8. Nov. 2020 (CET)

Das Diagonalargument ist ein Widerspruchsbeweis. Man nimmt an, dass die Liste der Folgen vollständig ist, man ist dann aber - bei überabzählbaren Mengen - trotzdem fähig, zu jeder solchen Liste noch eine neue Folge anzugegeben. Das ist dann der Widerspruch und daher ist die Annahme falsch, dass man eine vollständige Liste der Folgen angeben kann.

Der Fehler in Deinem Argument ist, dass Du annimmst, dass es eine vollständige Liste von Dezimaldarstellungen reeller Zahlen gibt, Du aber nicht gesehen hast, das man durchaus eine neue Dezimaldarstellung finden kann. --Marc van Woerkom (Diskussion) 03:07, 25. Mai 2023 (CEST)

Quellen zur Kritik

Im Abschnitt "Standpunkt der Konstruktivisten" wird auf Kritik von Leopold Kronecker, Hermann Weyl, Luitzen Brouwer, Henri Poincaré und Ludwig Wittgenstein hingewiesen, ohne jedoch hierfür Quellen anzugeben. Wo kann man deren Kritik denn nachlesen? Gleiches gilt für Paul Lorenzen und Christian Thiel.--Wikilaser (Diskussion) 16:55, 15. Aug. 2020 (CEST)

Zum Beweis aus "Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre"

Der Artikel "Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre", 1892 veröffentlicht, ist erfreulicherweise direkt über den Link der Universität Göttingen einsehbar.

Soweit ich das sehen kann, die Fachsprache hat sich offenbar in der Zwischenzeit etwas verändert, wird dort mit $M$ die Menge der Abbildungen von $\mathbb {N} \to \{m,w\}$ betrachtet, wobei mit $m$ und $w$ wohl zwei unterschiedliche Elemente gemeint sind ("irgend zwei einander ausschliessende Charaktere"). Also Folgen bzw. $M=\{m,w\}^{\mathbb {N} }$.

Cantor verwendet das berühmte Diagonalargument, wo alle Folgen untereinander geschrieben werden und eine weitere Folge derart gewählt wird, so dass ihr $\nu$-tes Folgenglied vom $\nu$-ten Folgenglied der $\nu$-ten aufgeschriebenen Folge verschieden ist, und damit insgesamt eine bisher nicht aufgeschriebene Folge gefunden wurde.

Er schliesst damit, dass $M$ nicht "die Mächtigkeit der Zahlenreihe $1,2,3,\ldots ,\nu ,\ldots$" hat, womit die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ gemeint ist.

Und das ist ein überzeugendes Argument für die Überabzählbarkeit von $M$.

Falls der Beweis aus dem o.g. Artikel tatsächlich der Beweis ist, der als "Cantors zweites Diagonalargument" bezeichnet wird, dann

1. ist die Einleitung zum Wikipedia Artikel irreführend, denn hier wird nicht die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen bewiesen ($M\neq \mathbb {R}$), m.M. nach geht es in diesem Artikel um die Angabe eines Beispiels einer überabzählbaren Menge, für die Cantor diese Eigenschaft einfacher beweisen konnte, als bei einem früheren Beispiel
2. ist der im Wikipedia Artikel präsentierte (fehlerhafte) Beweis der Überabzählbarkeit von $\mathbb {R}$ wahrscheinlich nicht von Cantor, denn Cantor ist sich sehr wohl der Mehrdeutigkeit der Dezimalbruchentwicklungen reeller Zahlen bewusst gewesen

Das schaut doch sehr danach aus, das hier die Geschichte der Mathematik nicht korrekt wiedergegeben wird.

--Marc van Woerkom (Diskussion) 18:58, 24. Mai 2023 (CEST)

Wenn ich Cantor richtig verstehe, meinte er mit den Charakteren m und w Ziffern, nicht Folgen. Denn sonst ergibt seine weitere Ausführung, wonach Elemente von M zum Beispiel (m,m,m,m), (w,w,w,w), (m,w,m,w) und so weiter seien, gar keinen Sinn. Die genannten Elemente sind somit Elemente einer Folge, deren Vollständigkeit er mit seinem Diagonalargument überprüft, wobei er zu dem Ergebnis kommt, daß sie unvollständig ist. --Wikilaser (Diskussion) 17:38, 25. Apr. 2024 (CEST)

Zum "Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen" im Wikipedia Artikel

(Argumente hier finden sich teils auch verstreut über die früheren Diskussionsbeiträge)

In der Form ist der Beweis fehlerhaft, weil hier die Überabzählbarkeit der Dezimaldarstellungen gezeigt wird.

Dezimaldarstellungen sind jedoch nicht eindeutig, z.B. kann man $1/2$ als $0,5$ oder $0,4{\bar {9}}$ darstellen.

Man kann daher die reellen Zahlen aus $(0,1)$ bijektiv nur auf eine Teilmenge der Dezimaldarstellungen abbilden. Salopp gesagt, auf eine möglicherweise zu kleine Teilmenge, was die Mächtigkeit angeht, es fehlt ein Argument, dass diese Teilmenge bereits überabzählbar ist.

Jetzt kann man versuchen diesen Beweis zu reparieren:

• Man kann beweisen, dass wenn zwei verschiedene Dezimaldarstellungen einer solchen reellen Zahl aus $(0,1)$ existieren, es eine Nachkommastelle gibt, ab der die eine Dezimaldarstellung nur noch die Ziffer $0$ annimmt und die andere Dezimaldarstellung nur noch die Ziffer $9$. Es gibt also maximal zwei Dezimaldarstellungen pro reeller Zahl. (Ein mir bekannter ausführlich erläuteter Beweis wird über 6 Seiten geführt)
• Damit reicht es, einen der beiden Fälle von vornherein auszuschliessen, z.B. die Dezimaldarstellungen nicht zu verwenden, welche ab einer Nachkommastelle nur noch die Ziffer $9$ annehmen.
• Man würde das Diagonalargument dann mit einer Auflistung der zulässigen Dezimaldarstellungen starten.
• Dann muss man dafür sorgen, dass beim Diagonalargument die neue Folge derart gewählt wird, dass man nicht die o.g. ausgeschlossene Form erhält. (Dies ist mit der Wahl im Artikelbeweis verträglich, die neue Folge enthält keine Nachkommastellen mit Ziffer $0$ oder $9$)

Geht, erfordert aber einigen Zusatzaufwand. Aus einem vermeintlich einfachen Beweis ist insgesamt ein technisch aufwendiger geworden.

--Marc van Woerkom (Diskussion) 02:19, 25. Mai 2023 (CEST)

So simpel, wie es der Artikel vorstellt, kann es auch wegen [2] nicht sein. Wenn man gleich zu Dezimaldarstellungen springt, ist das restliche Argument ja konstruktiv akzeptabel. Es werden also wichtige Dinge übersprungen, die nur gelten, wenn man beispielsweise über den Topos $\mathbf {Set}$ und die dortigen "Konstruktionen" von $\mathbb {R}$ spricht. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:52, 26. Apr. 2024 (CEST)

Die reellen Zahlen sind abzählbar (mit Auswahlaxiom)

User:

Die reellen Zahlen sind abzählbar. Zunächst stelle ich fest, dass die reellen Zahlen eine Menge sind. Zu jeder Menge gibt es eine Wohlordnung, also auch für die reellen Zahlen. Dann gibt es eine Wohlordnung < auf den reellen Zahlen. Es gibt also eine reelle Zahl, die bezüglich dieser Ordnung < keinen Vorgänger hat. Diese Zahl wähle ich als erstes Element einer Liste. Die folgenden Elemente der Liste wähle ich gemäß der Ordnung < als Nachfolger. Somit hat jede reelle Zahl eine Position bezüglich dieser Wohlordnung. Die reellen Zahlen sind daher abzählbar.

Wo ist der Fehler?

ChatGPT:

Der Fehler in deinem Argument liegt darin, dass du fälschlicherweise annimmst, dass die reellen Zahlen eine Wohlordnung haben. Dies ist nicht der Fall. Eine Wohlordnung ist eine spezielle Art der Totalordnung, bei der jede nicht-leere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt. Die reellen Zahlen erfüllen diese Eigenschaft nicht.

Ein bekanntes Ergebnis in der Mengenlehre, das auf Georg Cantor zurückgeht, besagt, dass die Menge der reellen Zahlen nicht abzählbar ist, sondern überabzählbar. Dies bedeutet, dass es keine bijektive Abbildung von den natürlichen Zahlen auf die reellen Zahlen gibt, was für eine abzählbare Menge erforderlich wäre.

Dein Argument ist ein klassisches Beispiel für ein falsches Beweisversuch, das Cantors Diagonalargument widerlegt. Cantor zeigte, dass es immer reelle Zahlen gibt, die nicht in einer abzählbaren Liste aufgeführt werden können, selbst wenn man annimmt, dass man alle reellen Zahlen in einer solchen Liste aufzählt.

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User:

"Der Wohlordnungssatz besagt, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Unter Zugrundelegung der übrigen mengentheoretischen Axiome ist dieser Satz äquivalent zum Auswahlaxiom." Dass ich die Ordnung nicht angeben kann, ist nur meiner Dummheit geschuldet.

ChatGPT:

Es ist richtig, dass der Wohlordnungssatz besagt, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Und du hast auch recht damit, dass dieser Satz äquivalent zum Auswahlaxiom ist, wenn wir die üblichen mengentheoretischen Axiome (z. B. die Zermelo-Fraenkel-Axiome) als Grundlage verwenden.

Allerdings ist die Annahme, dass die reellen Zahlen wohlgeordnet sind, immer noch falsch. Die reellen Zahlen sind nicht wohlgeordnet, und das liegt daran, dass es keine Möglichkeit gibt, eine Wohlordnung auf den reellen Zahlen zu definieren. Das Diagonalargument von Cantor zeigt, dass es immer reelle Zahlen gibt, die nicht in eine abzählbare Liste aufgenommen werden können, selbst wenn wir das Auswahlaxiom verwenden.

Das Auswahlaxiom ermöglicht es, aus jeder Familie von nicht-leeren Mengen ein Element auszuwählen, aber es garantiert nicht, dass wir eine Wohlordnung auf den reellen Zahlen definieren können. Die reellen Zahlen sind ein Beispiel für eine Menge, die nicht wohlgeordnet werden kann.

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User:

Wenn jede Menge wohlgeordnet werden kann und die reellen Zahlen können es nicht, dann sind die reellen Zahlen keine Menge. ist das so richtig?

ChatGPT:

Nein, das ist nicht korrekt. Die reellen Zahlen sind sehr wohl eine Menge. Die Tatsache, dass die reellen Zahlen nicht wohlgeordnet werden können, bedeutet nicht, dass sie keine Menge sind. Es bedeutet lediglich, dass sie keine Wohlordnung besitzen.

Die reellen Zahlen sind eine wichtige und gut definierte mathematische Struktur, die als Menge von Punkten auf der Zahlengeraden konzeptualisiert wird. Sie erfüllen alle grundlegenden Eigenschaften, die eine Menge haben sollte, wie die Existenz einer leeren Menge, die Möglichkeit, Elemente hinzuzufügen oder zu entfernen, und vieles mehr.

Die Tatsache, dass die reellen Zahlen nicht wohlgeordnet werden können, zeigt lediglich, dass nicht alle Mengen wohlgeordnet werden können. Die reellen Zahlen sind ein Beispiel für eine Menge, die nicht wohlgeordnet werden kann, was ein wichtiger Aspekt der Mengentheorie ist. Es bedeutet jedoch nicht, dass sie keine Menge sind.

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User:

Also die reellen Zahlen sind eine Menge. "Jede Menge kann wohlgeordnet werden" ist falsch. Die reellen Zahlen sind ein Gegenbeispiel. So ist es also richtig?

ChatGPT:

Ja, das ist korrekt. Die reellen Zahlen sind eine Menge, aber die Aussage "Jede Menge kann wohlgeordnet werden" ist falsch. Die reellen Zahlen sind tatsächlich ein Gegenbeispiel, da sie nicht wohlgeordnet werden können. Dies zeigt, dass nicht jede Menge eine Wohlordnung besitzt, und die reellen Zahlen sind ein klassisches Beispiel dafür.

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User:

"jede Menge kann wohlgeordnet werden" ist eine Folgerung aus dem Auswahlaxiom. Das Auswahlaxiom ist also falsch. Warum beharrt man dann auf dem Auswahlaxiom?

ChatGPT:

Die Aussage "jede Menge kann wohlgeordnet werden" ist äquivalent zum Auswahlaxiom und nicht notwendigerweise eine direkte Folgerung daraus. Das Auswahlaxiom ist eine von verschiedenen möglichen Erweiterungen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF), die eine standardmäßige Axiomensammlung für die Mengenlehre darstellt.

Das Auswahlaxiom besagt, dass aus jeder nicht-leeren Menge von nicht-leeren Mengen ein Auswahlpunkt aus jeder dieser Mengen ausgewählt werden kann. Es ist ein starkes und nützliches Axiom, das in vielen mathematischen Beweisen und Konstruktionen verwendet wird.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Frage der Gültigkeit des Auswahlaxioms und anderer Axiome ein Thema der Grundlagenforschung in der Mathematik ist. Die Annahme oder Ablehnung bestimmter Axiome kann zu unterschiedlichen formalen mathematischen Theorien führen. Die meisten Mathematiker akzeptieren das Auswahlaxiom als eine nützliche Annahme, da es viele wichtige Ergebnisse und Konstruktionen ermöglicht. Dennoch gibt es alternative Grundlagen, wie beispielsweise die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Auswahlaxiom (ZF), die in der mathematischen Logik und Grundlagenforschung erforscht werden.

In der Praxis verwenden Mathematiker das Auswahlaxiom, weil es eine sehr nützliche und mächtige Aussage ist, die in vielen mathematischen Kontexten Anwendung findet. Es ermöglicht die Konstruktion von Funktionen und Beweisen, die in anderen Systemen schwieriger oder gar nicht möglich wären. Trotzdem ist es wichtig zu verstehen, dass die Annahme oder Ablehnung von Axiomen ein Gegenstand der mathematischen Forschung und Diskussion ist, und verschiedene mathematische Grundlagen können auf unterschiedlichen Axiomen beruhen.

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User:

D.h. die Menge der reellen Zahlen ist nur dann nicht abzählbar, wenn nicht gilt "jede Menge kann wohlgeordnet werden" oder das Auswahlaxiom nicht gilt. Es ist ja nicht schlimm, wenn es in dem Fall nicht gilt, denn das Auswahlaxiom ist unabhängig von übrigen Axiomen der ZF-Mengenlehre. Das ist hoffentlich jetzt korrekt?

ChatGPT:

Ja, das ist korrekt. Die Menge der reellen Zahlen ist nur dann nicht abzählbar, wenn das Auswahlaxiom nicht gilt. Das Auswahlaxiom ist tatsächlich unabhängig von den übrigen Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF). Das bedeutet, dass wir die Gültigkeit des Auswahlaxioms als separate Annahme betrachten können, ohne die Gültigkeit der anderen Axiome der ZF-Mengenlehre zu beeinflussen.

Das Auswahlaxiom ist ein starkes Werkzeug in der Mengenlehre und ermöglicht es, viele wichtige mathematische Konstruktionen durchzuführen. Wenn wir das Auswahlaxiom annehmen, können wir zeigen, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind, was bedeutet, dass es mehr reelle Zahlen gibt, als wir zählen können.

Es ist wichtig zu betonen, dass die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms von den anderen Axiomen der ZF-Mengenlehre ein Resultat der Grundlagenforschung in der Mathematik ist. Mathematiker erforschen verschiedene axiomatische Grundlagen, um unterschiedliche mathematische Theorien zu entwickeln und zu untersuchen. In der Praxis verwenden die meisten Mathematiker das Auswahlaxiom, da es in vielen mathematischen Kontexten äußerst nützlich ist. --2A02:8071:5A80:2FE0:16A5:43F1:8DBA:27A4 14:49, 6. Sep. 2023 (CEST)

Dein Fehler ist zu allererst, dass Du diese Diskseite mit einem Mathe-Forum verwechselst. Siehe Wikipedia:Diskussionsseiten u/o Wikipedia:Was Wikipedia nicht ist. --Bleckneuhaus (Diskussion) 15:40, 6. Sep. 2023 (CEST)

Es ist zunächst kein Fehler, sondern eine Anregung den Artikel sinnvoll zu ergänzen (z.B. unter welchen Voraussetzungen die dargestellte Überlegung gilt). Wer sich dazu berufen fühlt, möge das tun. Ich persönlich habe es satt, mich mit Besserwissern herumzuzanken. --2A02:8071:5A80:2FE0:16A5:43F1:8DBA:27A4 17:40, 6. Sep. 2023 (CEST)

Du konfrontierst ChatGPT mit einem Text, der angeblich ein Beweis für die Abzählbarkeit von $\mathbb {R}$ sein soll, ein solcher aber nicht ist, und ChatGPT argumentiert auf unsinnige Weise dagegen. Was genau soll sich aus diesem Doppelnonsens als sinnvolle Ergänzung für den Artikel ergeben? --84.153.54.91 01:07, 9. Sep. 2023 (CEST)