Diskussion:Cartan-Unteralgebra

Cartan-Subalgebra von sl_2(R)

Hallo Leute, eine kurze Frage:

Die Liealgebra der gruppe SL_n (egal ob reell oder komplex) ist ja durch die spurlosen Matrizen gegeben. Die Cartan-Unteralgebra davon ist eine Lie-Unteralgebra der sl_n, trivialerweise. Müssten dann nicht

${\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)$

so sein:

${\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$?

--Wylewyle (Diskussion)

Ja, so steht es ja auch im Artikel.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:16, 29. Jul. 2018 (CEST)

Ja, jetzt schon. --Wylewyle (Diskussion) 19:36, 3. Aug. 2018 (CEST)

Nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren

Im Artikel steht:

Dagegen hat ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich

${\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$

und

${\mathfrak {a}}_{2}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)$.

Jedoch ist:

$\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}}\right)^{-1}\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}}\right)$.

Oder sehe ich da etwas falsch? Wohl ist mit konjugiert etwas anderes hier gemeint?--Wylewyle (Diskussion) 19:28, 3. Aug. 2018 (CEST)

Im Artikel steht, sie sollen konjugiert sein unter der Gruppe, die von $exp(ad(X))$ erzeugt wird, das ist eine Lie-Gruppe und wahrscheinlich (habe ich jetzt nicht überprüft) isomorph zu einer Untergruppe der zugehörigen Lie-Gruppe $SL(2,\mathbb {R} )$. Deine Konjugationsmatrix hingegen ist aus der Lie-Algebra.—Godung Gwahag (Diskussion) 19:35, 3. Aug. 2018 (CEST)

Stimmt, danke dir. Habe ich (peinlicherweise) selber im Artikel vermerkt, Denkfehler. --Wylewyle (Diskussion) 19:40, 3. Aug. 2018 (CEST)