Diskussion:Cauchy-Produktformel

Fehler im Beispiel

N'Abend, ist zwar schon recht spät und vielleicht irre ich mich, aber hat sich im Beispiel nicht ein Fehler versteckt?

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}{\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {\frac {k+1}{n}}}}\,{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {k{\color {Red}-}1}{n}}}}}\,{\frac {1}{n}}$

Die Wurzel könnte sonst komplex werden. Dadurch kann man im nächsten Schritt nicht ohne Argumentation x einführen...

Schöne Grüße, --RealZeratul 00:51, 12. Jan. 2007 (CET)

Wie kann die Wurzel in der ersten Summe komplex werden, wenn $n\geq k$ und $k\geq 0$ gilt? --Stefan Birkner 11:21, 12. Jan. 2007 (CET)

Gar nicht, aber wie du oben an der farblichen Markierung sehen kannst, meinte ich ja auch die zweite Summe:

$1-{\frac {k}{n}}+{\frac {1}{n}}\neq 1-{\frac {k+1}{n}}=1-{\frac {k}{n}}-{\frac {1}{n}}$ ! --RealZeratul 14:48, 13. Jan. 2007 (CET)

Hab's jetzt einfach korrigiert, ohne den restlichen Beweis zu verändern. Dessen Aussage stimmt zwar immernoch, er ist aber jetzt nicht mehr ganz so leicht nachzuvollziehen. --RealZeratul 21:49, 19. Jan. 2007 (CET)

Hier am tablet fehlt mir die nötige Geduld das alles Form richtig zu schreiben, aber in dem Beispiel des cauchyproduktes der einen leibnizreihe mit sich selbst, dem Beispiel für Divergenz,befindet sich ein Fehler in der Argumentation glaube ich. Nämlich sei die Reihe nach geometrisch arithmetischer Ungleichung kleiner der ursprünglichen Reihe, was aber nicht stimmt. Hoffe ich liege nicht falsch, frohe Weihnachten noch ;)--88.69.136.214 12:41, 25. Dez. 2014 (CET)

Hm, die Beweisidee ist eigentlich direkt aus dem Königsberger Analysis 1 so übernommen und einen Schreib/Rechenfehler sehe ich jetzt auf Anhieb auch nicht. Nach der AGM-Ungleichung gilt

${\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}\leq {\frac {(k+1)+(n-k+1)}{2}}={\frac {n+2}{2}}$

also im Kehrwert

${\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}\geq {\frac {2}{n+2}}$.

Grüße -- HilberTraum (d, m) 18:32, 25. Dez. 2014 (CET)

noch ein Fehler im Beispiel?

Für ${\frac {1}{n}},n\rightarrow \infty$ geht das Integral doch gegen 0 da in jedem Term der inneren Summe am Ende $lim_{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}=0$ steht, oder?. MfG Carl

Hier muß man die Summe genauer betrachten: Für große n und kleine oder große k verhalten sich einige Summanden sogar ähnlich wie ${\frac {1}{\sqrt {n}}}$, da dann eine der beiden Wurzeln im Nenner gegen Null geht. Außerdem darfst du nicht vergessen, daß für n gegen Unendlich auch die Summe unendlich viele Summanden hat. Sogar für 1/n gilt: $lim_{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\infty$. Zur Zeit sehe ich daher keine Fehler mehr, die Glieder der Folge konvergieren tatsächlich gegen Pi, die Reihe divergiert also. Schöne Grüße, --RealZeratul 05:53, 21. Jan. 2007 (CET)

Mir ist schon klar, dass die harmonische Reihe divergiert, jedoch sehe ich immernoch nicht ein warum wir dieses 1/n beim integrieren einfach nicht mehr beachten. das Integral lautet ja $\int _{0}^{1}{\frac {1}{{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}}}}$ , die Reihe jedoch $\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\frac {k+1}{n}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {k-1}{n}}}}}$

Das heißt wir haben gesagt ${\frac {k+1}{n}}=x$ was für große n auch gleich k-1 ist. dabei wurde aber bei dem Integral einfach der Term ${\frac {1}{n}}$ einfach weggelassen. Wenn wir diese Substitution durch x machen müsste meiner Meinung nach der richtige Term für das Integral $\int _{0}^{1}{\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {x}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}$ lauten, welcher nicht gegen $\pi$ konvergiert. Wenn wir jedoch aus dem Integral das ${\frac {1}{n}}$ weglassen müssten wir es bei der äußeren Reihe beachten. Wir könnten dann das Integral gegen $\pi$ zwar verwenden wir erhalten aber für die gesamte Cauchy-Reihe $\sum _{n}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}\cdot \pi$ MfG Carl

Hallo Carl, der Trick ist die Substitution von ${\frac {k}{n}}=x\rightarrow {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} k}}={\frac {1}{n}}\rightarrow \mathrm {d} k=\mathrm {d} x\cdot n$:

$lim_{n\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\frac {k+1}{n}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {k-1}{n}}}}}=lim_{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {\frac {k+1}{n}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {k-1}{n}}}}}=lim_{n\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{n}}\right)\cdot \int _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\frac {k}{n}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {k}{n}}}}}\mathrm {d} k$

$={\frac {1}{n}}\int _{x=0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}\mathrm {d} x\cdot n=\int _{x=0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}\mathrm {d} x$, Grüße, --RealZeratul 23:08, 23. Jan. 2007 (CET)

Danke dir. Mit der Erklärung hab ich's auch verstanden. Vielleicht sollte man die erste Zeile (mit dem dx und dk) auch übernehmen in den Artikel. MfG Carl

Hmmm!

Wie kommt die erste Identität bei $\int _{0}^{1}{\frac {1}{{\sqrt {x}}\,{\sqrt {1-x}}}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {2\,dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=2\left[\arcsin x\right]_{0}^{1}=\pi >0$ zustande?

Substitution: ${\sqrt {x}}=:z\Rightarrow dx=2{\sqrt {x}}dz$, hab's mal im Artikel verdeutlicht durch Umbenennung der Variable nach der Subst.

Grüße, --RealZeratul 01:17, 21. Jul. 2007 (CEST)

Ich habe mal diesen unnötig komplizierten Beweis durch die deutlich einfachere Argumentation aus dem angegebenen Buch von Königsberger ersetzt. -- HilberTraum 12:56, 31. Jan. 2012 (CET)

Gleiches Ergebnis?

Kann man auch einfach so rechnen?

$(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n})\cdot (\sum _{k=0}^{\infty }b_{k})=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }a_{n}b_{k}=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k})$

vielen Dank für die Antwort.--G 18:41, 23. Feb. 2009 (CET)

Wenn's konvergiert, ja. ABer man hat dann nichts gewonnen. (MErke: Triviale Umformungen liefern triviale Ergebnisse).--Hagman 15:00, 5. Nov. 2010 (CET)

Schreibweise muss überarbeitet werden

Der Artikel verwendet mit $(a_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ usw. eine extrem verwirrende bis falsche Notation. Eine Reihe ist die Folge ihrer Partialsummen. Hierfür eine Folgenschreibweise mit den Gliedern $a_{n}$ zu verwenden, halte ich für völlig ungeeignet. -- HilberTraum 15:57, 1. Jan. 2012 (CET)

Dem kann ich nur zustimmen! Ich habe den Artikel gerade erst geöffnet und mich sofort gewundert ob dieser zirkulären Schreibweise. Ich würde vorschlagen, die Reihen, will man ihnen denn Namen geben, vielleicht mit R oder S bzw R∞ oder S∞ für die unendliche Folge der Partialsummen zu bezeichnen. Leider kenne ich mich mit Latex gar nicht aus. (eine Studentin)

Ich habe mal den Artikel überabeitet und dabei versucht spezielle Namen für die Reihen zu vermeiden. Ganz zufrieden bin ich mit der Lesbarkeit noch nicht, aber besser als vorher dürfte es sein. -- HilberTraum 21:06, 26. Jan. 2012‎ (CET)

Zum Zahlenbeispiel

Das Zahlenbeispiel sollte erläutern, dass man die Dezimalentwicklung hier als absolut konvergente Reihe betrachtet und darauf die Cauchy-Produktformel anwendet. Dann erhält man auch die schönere Formel $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n}{10^{n+1}}}$. Die dargestellte Box, die eine unendliche schriftliche Multiplikation andeutet, ist hier deplatziert. In der gegenwärtigen Form hat man eine durchgeführte Rechnung ohne erkäuternden Text. Wenn niemandes Herzblut daran hängt, würde ich dieses "Zahlenbeispiel" demnächst einfach entfernen. Wie ist Eure Meinung?--FerdiBf (Diskussion) 09:21, 21. Jul. 2012 (CEST)

Ja, ich denke auch, dass das in dieser Form mehr verwirrt als nützt und weg kann. -- HilberTraum (Diskussion) 10:03, 23. Jul. 2012 (CEST)

Erledigt! FerdiBf (Diskussion) 14:47, 29. Jul. 2012 (CEST)