Diskussion:Darstellungssatz für Boolesche Algebren

Fehler im Beweis

Der Beweis enthält 2 Fehler:

• Beweis der Injektivität: Es muss erst (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) angenommen werden, dass nicht $b\leq c$ gilt; ansonsten ist $b\land \neg c=0$.
• Im Beweis von $h(b\lor c)=h(b)\cup h(c)$ wird nochmals die "klare" Richtung "$\supseteq$" gezeigt (klar ist nämlich: Ist $U$ ein Ultrafilter und ist $b$ oder $c\in U$, so ist auch $b\lor c\in U$). Gezeigt wird dann: Ist $b\lor c\notin U$, so sind weder $b$ noch $c$ in $U$. Daraus folgt durch Umkehrschluss wieder "$\supseteq$" (es wird hier also ein falscher Umkehrschluss gemacht!). Richtigerweise müsste der Beweis für "$\subseteq$" so lauten: Sind $b,c\notin U$, so sind $\neg b,\neg c\in U$, und somit ist auch $\neg b\land \neg c\in U$. Daraus folgt $\neg (\neg b\land \neg c)\notin U$, also $b\lor c\notin U$. Durch Umkehrschluss folgt daraus $b\lor c\in U\Rightarrow b$ oder $c\in U$.

-- 85.4.236.62 11:41, 2. Jul. 2010 (CEST)

Danke, hab ich geändert.--SnowIsWhite 20:17, 2. Jul. 2010 (CEST)

Beziehung zu Körpern

Ist jede Boolesche Algebra ein Körper? Falls nicht, gibt es ein Gegenbeispiel? Grüße, --Martin Thoma 12:19, 8. Nov. 2012 (CET)

Ich weiß zwar nicht, was das mit diesem Artikel zu tun haben soll, aber: Jede Boolesche Algebra mit mehr als zwei Elementen ist kein Körper. Sei $0\neq a\neq 1$, dann gilt für alle $b$ die Beziehung $a\wedge b\lneq 1$, es gibt als kein Inverses. --Chricho ¹ ² ³ 13:21, 8. Nov. 2012 (CET)

Was soll denn das $a\wedge b\lneq 1$ bedeuten? Kannst du mir Literatur zum Einstieg in die boolesche Algebra empfehlen?

Wir haben das Thema kurz in Technischer Informatik angeschnitten und ich habe mich halt gefragt, wann eine boolesche Algebra ein Körper ist. Die Schaltalgebra ist mir als Beispiel eingefallen, aber ich konnte nicht ausschließen, dass es noch mehr gibt.

Mit diesem Artikel hat es an sich nichts zu tun. Er ist mir nur auf der Suche nach einer Antwort aufgefallen.

Ich glaube das nächste mal, wenn ich so eine allgemeine Frage habe, stelle ich sie einfach auf deiner Diskussionsseite :-)

Danke für die Antwort! --Martin Thoma 18:03, 8. Nov. 2012 (CET)

Es hat halt auch nichts mit dem Satz zu tun und die Frage hätte hier auch einfach vergammeln können. ;) Nochmal ausführlicher: $a\wedge b\leq a\lneq 1$, somit kein Inverses. Du kannst boolesche Algebren als partielle Ordnungen definieren, wobei die $1$ maximal ist und man unter $\wedge$-Bildung immer kleiner oder gleich wird. Hier ist das dargestellt, wie man das als Ordnung auffassen kann. Ist deine boolesche Algebra ein Mengensystem (was laut dem Satz, von dem dieser Artikel handelt, keine Einschränkung ist ;)), so ist diese partielle Ordnung nichts anderes als die Teilmengenrelation. Ein Buch empfehlen kann ich nicht (wenn ich bislang drauf gestoßen bin, fand ich das immer recht trocken und habe es sein gelassen, aber das ist wohl Geschmackssache), aber du kannst ja mal das probieren, da gibt es ein Kapitel dazu (und ganz am Anfang auch ein Kapitel allgemein zu Verbänden, wo sie auch schon eingeführt werden, ohne Abhängigkeiten). Grüße --Chricho ¹ ² ³ 19:04, 8. Nov. 2012 (CET) PS: Gibt auch Bücher speziell zur Verbandstheorie (lattice theory), danach kannst du suchen. Und speziell zu booleschen Algebren gibt es auch Bücher, gibt sogar ein Hadbook of Boolean Algebras, wie ich gerade gesehen habe. ;)

Lemmaumbenennung

Meines Erachtens ist der gängige Name "Stonesche Darstellungssatz". Ich würde gerne darauf verschieben.--Frogfol (Diskussion) 23:13, 8. Mär. 2014 (CET)

Da es von dort ja eine Weiterleitung gibt, scheint mir das nicht notwendig. Außerdem verbaut man sich dadurch die Möglichkeit, andere Sätze, die oft auch unter der Bezeichnung "Stonescher Darstellungssatz" zitiert werden (Spezialfälle oder Verallgemeinerungen) einfach zu einzubauen. Jetzt kann man einfach aus der Weiterleitung eine Begriffsklärung o.ä. machen.

Die Bezeichnung "Stonesche Darstellungssatz" scheint mir außerdem als grammatikalisch eigenwillige Formulierung! Es mus m.E. Stonescher Darstellungssatz heißen!--Mini-floh (Diskussion) 18:08, 9. Mär. 2014 (CET)

Da hab ich einen Verdreher im Kopf, klar, es muss natürlich "Stonescher Darstellungssatz". Dem Rest der Argumentation kann ich nicht folgen. Das Lemma sollte die gängige Bezeichnung sein. Das ist in der Literatur: "Stonescher Darstellungssatz". Wenn du den Begriff "Stonescher Darstellungssatz" suchst, bekommst du erstmal nur diese Bedeutung. Selbst wenn es also mal andere Sätze (welche sind das denn überhaupt?) geben sollte, wäre dies das Hauptlemma, was für eine BKL II spräche. (Ich habe übrigens gerade den Artikel Boolescher Primidealsatz zu Endegeschrieben und Literatur gelesen, da ist nur die Rede vom Stoneschen Darstellungssatz.)--Frogfol (Diskussion) 00:04, 11. Mär. 2014 (CET)

Bin mir unsicher. Halte „Darstellungssatz von Stone“ oder „Stonescher Darstellungssatz“ auch für üblicher. Für Verallgemeinerungen hat die en-WP den Artikel Stone duality. --Chricho ¹ ² ³ 01:23, 11. Mär. 2014 (CET)

Beim Googeln liefert "Stonescher Darstellungssatz" mehr sinnvolle Ergebnisse als "Darstellungssatz von Stone". Immer noch für Verschieben auf diesen Namen.--Frogfol (Diskussion) 23:55, 12. Mär. 2014 (CET)

Fragen zum Text

Hallo beisammen,

Ich bin ein Leser und habe Fragen zum Artikel-Inhalt:

1. Wird "boolesche" mittlerweile klein geschrieben ? Bei Boolesche Algebra offenbar ja, hier im Artikel ist es aktuell gemischt(!).
2. In der Einleitung verstehe ich hier den Satzbau nicht:

"... Er besagt, dass jede boolesche Algebra zu einer Mengenalgebra isomorph ist, und zwar die boolesche Algebra der"

Viele Grüße

Tom --2001:4C50:200:5:FD50:FB6E:C838:232A 13:43, 21. Nov. 2014 (CET)

1. Nach neuer Rechtschreibung heißt es entweder „boolesche Algebra“ oder „Boole’sche Algebra“. Aber das ist hier in WP eine sehr umstrittenes Thema, ich lass da lieber die Finger davon ;-)

2. Habe ich korrigiert, danke! -- HilberTraum (d, m) 09:13, 22. Nov. 2014 (CET)