Diskussion:Darstellungssatz von Fréchet-Riesz

Wenn ich im ersten Abschnitt auf den Link "Regularitätssatz" klicke, dann erscheint ein Artikel über Freimaurer. Ich glaube, dass hat mit Mathe nicht so viel zu tun.. :)

Die korrekte Wiedergabe des Satzes wäre: Es existiert GENAU EIN g.

Nur Spezialfall beschrieben

Wenn ich mich richtig an meine Analysis-Vorlesung erinnere, gilt der Rieszsche Darstellungssatz allgemein in Hilberträumen, nicht nur im $L^{2}$. Ich kenne den Satz wie folgt (ohne Gewähr, kann da bitte jemand drüberschauen, der sich besser auskennt als ich?):

Sei $(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ Hilbertraum über dem Körper $K$, $f:X\rightarrow K$ stetig und linear (d.h. beschränkt). Dann existiert genau ein $x_{0}\in X$ mit $f(x)=\langle x_{0},x\rangle$ für alle $x\in X$. (Dabei ist das Skalarprodukt in dieser Konvention linear im zweiten Argument.)

Da $L^{2}$ Hilbertraum ist, folgt daraus der im Artikel behandelte Fall für $p=2$. Das ist aber nur ein Spezialfall. Insbesondere gilt der Rieszsche Darstellungssatz wenn ich ihn richtig verstanden habe auch in nichtseparablen Hilberträumen. Den Satz für den Fall $p\neq 2$ kenne ich nicht unter dem Namen "Rieszscher Darstellungssatz".

mein lehrer sagte  : es gibt so ertwas net und schluss aus des heist darstellungstext gbdefuzvglk

Tippfehler?

Im Abschnitt "Alternative Formulierung" wird das Supremum über alle x mit Norm ungleich 1 gebildet. Beim flüchtigen Lesen habe ich jedoch den Eindruck, es müsste ungleich 0 lauten. Zumindest müsste 0 auch ausgeschlossen werden, um ein endliches Supremum zu bekommen.--134.169.34.62 16:15, 19. Mär. 2009 (CET)

Kommt hier nicht einiges durcheinander?

Zumindest Dirk Werner bezeichnet als Rieszschen Darstellungssatz nur die Aussage, dass $(C^{0})'$ isometrisch isomorph zum Raum der regulären Borelmaße mit Variationsnorm ist. Die Aussage über $L^{p}$ schreibt er nicht Riesz zu. Ich habe das so auch noch nie gelesen.

Ich sehe keinen näheren Zusammenhang zwischen Frechét-Riesz und der $L^{p}$-Aussage, vom $L^{2}$ einmal abgesehen: Von Frechét-Riesz kommt man nicht ohne weitere Argumentation nach $L^{p}$ (und das ist ja der eigentlich spannende Teil des Satzes), außerdem kann man die $L^{p}$-Aussage zumindest für σ-endliche Maßräume auch ohne Hilbertraumtheorie beweisen. Umgekehrt kann man vielleicht von $L^{2}$ auf alle separablen Hilberträume schließen (über Identifikation via Orthogonalbasen), aber ich sehe nicht, wie man ohne weiteres auf allgemeine Hilberträume kommt.

Dementsprechend beweist man Lax-Milgram meiner Meinung nach auch mit dem Satz von Frechét-Riesz, nicht mit dem Rieszschen Darstellungssatz.

Meinungen? --Pberndt _(DS) 20:39, 27. Nov. 2010 (CET)

Nach Rücksprache im Portal Mathematik habe ich mit einer kompletten Überababeitung in meinem BNR begonnen. Siehe Benutzer:Pberndt/Rieszscher Darstellungssatz -- Pberndt _(DS) 12:38, 23. Dez. 2010 (CET)

Meinen Teil habe ich für's erste erledigt. Vermutlich folgt weiteres zu der L^p-Aussage. -- Pberndt _(DS) 21:57, 2. Jan. 2011 (CET)

Ich war ebenfalls eigentlich auf der Suche nach Erläuterungen zu dem oben beschriebenen Satz (über $(C^{0})'$ - in W. Rudins Real and Complex Analysis als "Riesz Representation Theorem" bezeichnet) als ich auf diesen Artikel stieß. Gibts da einen Zusammenhang oder behandelt der Artikel nur einen weiteren Satz der nach Riesz benannt ist?

Liebe Grüße -- 2001:638:807:20D:5811:23B5:E73E:2DBA 15:17, 17. Nov. 2016 (CET)

Update: Aaaaaaaaaaahhhhh! Der gesuchte Satz taucht in der dt. Wikipedia als Darstellungssatz von Riesz-Markow auf und in der engl. als Riesz–Markov–Kakutani representation theorem auf. Ggf. kann kam in diesem Artikel auf mögliche Verwechslungsgefahren hinweisen. -- 2001:638:807:20D:5811:23B5:E73E:2DBA 15:22, 17. Nov. 2016 (CET)

Ich habe mal einen Hinweis in beide Artikel eingeführt. Ich hoffe es ist jetzt besser (Soweit ich die Literatur im Überblick habe zeichnet sich kein Konsens bezüglich der Benennungen ab) LG --NikelsenH (Diskussion) 15:58, 17. Nov. 2016 (CET)

Folgerung

Eine Folgerung wäre doch, dass jeder Hilbertraum mit seinem Dualraum identifiziert werden kann, oder? --Jobu0101 16:44, 17. Jan. 2012 (CET)

Ja. Das würde ich aber nicht „Folgerung“ nennen; im wesentlichen ist das ja die Aussage des Satzes von Fréchet-Riesz: $H\in y\mapsto \langle \cdot ,y\rangle \ni H'$ ist ein isometrischer Isomorphismus -- pberndt _(DS) 17:09, 17. Jan. 2012 (CET)

Ich finde, das könnte man dann auch explizit im Artikel erwähnen. --Jobu0101 18:30, 17. Jan. 2012 (CET)

Stimmt, nur zu! ;-) -- pberndt _(DS) 20:40, 17. Jan. 2012 (CET)

Dualräume von normierten Vektorräumen – und damit auch von Banachräumen – sind stets selbst Banachräume...

Hier reicht es wenn der Bildraum ein Banachraum ist. Der Uribldraum muss nicht notwendigerweise ein Banachraum sein damit sein zugehöriger Dualraum vollständig ist (siehe Funktionalanalysis Dirk Werner Satz 2.1.4). (nicht signierter Beitrag von 178.190.214.57 (Diskussion) 22:31, 22. Aug. 2016 (CEST))

Das ist richtig, aber meines Erachtens geht es vor allem darum, den Satz zu motivieren ohne eine erschöpfende Diskussion über die Vollständigkeit der Dualräume anzustoßen. Außerdem liefert der Satz (in Werner) die Vollständigkeit des Vektorraumes der stetigen Linearen Operatoren. Da der Dualraum genau die Menge der stetigen Linearen Operatoren nach $\mathbb {R}$ ist, fügt der Satz der Aussage im Artikel nichts hinzu, siehe Werner, Korrolar II.2.2 LG --NikelsenH (Diskussion) 15:00, 23. Aug. 2016 (CEST)

Motivation

Ich verstehe die Bedeutung nicht von:

$x\mapsto {\begin{pmatrix}f_{1}&f_{2}\end{pmatrix}}x$

Madyno (Diskussion) 23:38, 7. Jul. 2022 (CEST)

$(f_{1}\quad f_{2})$ soll einen Zeilenvektor mit zwei Elementen darstellen. Also sozusagen das Produkt :${\vec {f}}^{\top }x$ --FrederikQge (Diskussion) 10:48, 26. Aug. 2022 (CEST)