Diskussion:Dedekindscher Schnitt

Exakte und nette Definitionen sind schwer zu machen

(Entschuldigen bitte mein Deutch; ich definiere mich ja nur als ein de-1 Braucher... Ich werde die Mathematik schärfer dazustellen versuchen. Jenerfalls werde ich Dankvoll über alle Arten von Berichtungen, auch reinen grammatichen, sein.)

Der deutche Ansatz scheint mir mehr teoretisch als der englische (en:Dedekind intersections), was einige vorteilen hat. Leider sint die beiden IMM mit Fehler behaftet. Die sind berichtungsbahre; aber die Berichtungen mach wenigstens den deutschen Anzats wenig nett.

Die schönste Darstellung glaube ich Edmund Landaus von 1930 zu sein: man mache dieselbe Einschränkung als im englischen Artikel, aber gebe nur die untere Menge aus jeder Partition. Es ist jedoch nicht so anschaulich als um die beiden Mengen geben.

Die Fehler der heutigen deutschen Darstellung

Ich begrenze mich zum Falle $S=\mathbb {Q} \,$. In diesem Falle gibt es drei Arten von Dedekindschen Schnitte:

(1) (A,B), wer A keine obere und B keine untere Schranke hat. (Wenn man die Partition (A,B) als eine reellen Zahl auffaßt, so ist sie irrationell.)

(2) B hat eine untere Schranke b. (Die Partition wird als Zahl mit b identifiiert.)

(3) A hat eine obere Schranke a. (Diese Partition wiedeschpricht überhaubt keine reellen Zahl.)

(Im englischen Ansatz ist ausdrücklich (3) ausgeschlossen.)

Beispiele:

$(A_{x},B_{x})=(\{a\in \mathbb {Q} :a<0\lor a^{2}<2\},\;\{b\in \mathbb {Q} :b>0\land b^{2}>2\})$ (also ${\sqrt {2}}\,$);

$(A_{y},B_{y})=(\{a\in \mathbb {Q} :a<1\},\;\{b\in \mathbb {Q} :b\geq 1\})$ (also $1\,$);

$(A_{z},B_{z})=(\{a\in \mathbb {Q} :a<-1\},\;\{b\in \mathbb {Q} :b\geq -1\})$ (also $-1\,$);

$(A_{w},B_{w})=(\{a\in \mathbb {Q} :a\leq 1\},\;\{b\in \mathbb {Q} :b>1\})$ (keine reelle Zahl).

Jetzt versuchen wir neue Schnitte zu bildern, mit Hilfe der Vorschriften des Artikels.

Multiplikationsversuche: $(A_{x},B_{x})\times (A_{x},B_{x})=(A',B')$, wo $2\notin B'$. Wir sehen ja 'in Wirklichkeit', daß B' von die Zahlen bestehen, wer als Produkte zwei Zahlen streng größer als ${\sqrt {2}}\,$ schreibbar sind. Daß heißt, $B'=\{b\in \mathbb {Q} :b>2\}$; so $A'=\{a\in \mathbb {Q} :a\leq 2\}$; und ${\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}=(A',B')$ ist ein Schnitt, aber keine Zahl.

Jetzt, voraussetze statt dessen $(A_{z},B_{z})\times (A_{z},B_{z})=(A',B')$. Man bemerkt, daß $B_{z}$ sowie -1 und 1 als jede nichtnegative rationale Zahl enthält. Darum haben für jede $q\in \mathbb {Q}$ entweder $1\cdot q\in B'$ oder $(-1)\cdot (-q)\in B'$. Also ist $B'=\mathbb {Q}$, $A'=\mathbb {Q} \setminus B'=\emptyset$, und $(-1)\times (-1)=(\emptyset ,\mathbb {Q} )$, nicht ein Schnitt.

Additionsversuch: Wenn man $(A_{y},B_{y})+(A_{z},B_{z})=(A',B')$ setzen, findet man schnell das 2 nicht in A' und auch nicht in B' ist, so $(A',B')$ ist nicht eine Partition.

Es ist nicht so schwer mehrere Wiederspruche zu finden; aber wahrscheinlich sind dieße genug.

Landaus Ansatz

Ich vorschlage, daß man anstatt dießes Ansatzes gebraucht der vom Buch "Grundlagen der Analysis" (Akademische Verlagsgesellschaft M. B. H., Leipzig 1930) bei Edmund Landau. Er ist unterschiedlich dadurch, erstens das in ihm S als nur die Menge von positiven rationalen Zahlen ist (und natürlich nur $\mathbb {R} ^{+}$ als die Menge von Schnitten darstellt), und zweitens dadurch, daß darin explicit nur die 'Untermengen' als Schnitte benutzt wird. Ich werde einige stücke davon zitieren verbatim. Man bemerke, daß 'rationale Zahlen' hier nur positive rationale Zahlen sind.

Aus Kapitel 3, §1:

Definition 28:. Eine Menge von rationalen Zahlen heißt Schnitt, wenn

1) sie eine rationale Zahl, aber nicht jede rationale Zahl, enthält;

2) jede rationale Zahl der Menge kleiner ist als jede nicht zur Menge gehörige rationale Zahl.;

3) in ihr keine größte rationale Zahl vorkommt (d. h. Zahl, die größer als jede etwaige andere, von ihnen verschidene ist).

Man nennt auch die Menge Unterklasse, die Menge der nicht in ihr enthalteten rationalen Zahlen Oberklasse und redet entsprechend von Unterzahlen und Oberzahlen.

(Demnach ist die Relationen = und < u. s. w. schnell definiiert.)

Aus §3:

Satz 129: I) Es seien <xi> und <eta> Schnitte. Dann ist die Menge der rationalen Zahlen, die sich in der Form X+Y darstellen lassen, wo X Unterzahl bei <xi>, Y Unterzahl bei <eta> ist, ein Schnitt.

II) Keine Zahl dieser Menge läßt sich als Summe einer Oberzahl bei <xi> und ein Unterzahl bei <eta> darstellen.

(Einige Sätze über Attition und Ordnung wird bewießen.)

Aus §4:

Satz 141: I) Es seien <xi> und <eta> Schnitte. Dann ist die Menge der rationalen Zahlen, die sich in der Form XY darstellen lassen, wo X Unterzahl bei <xi>, Y Unterzahl bei <eta> ist, ein Schnitt.

II) Keine Zahl dieser Menge läßt sich als Produkt einer Oberzahl bei <xi> und ein Unterzahl bei <eta> darstellen.

(Einige Satze, auch über Division, sind bewießen. Schließlich identifiiert Landau die rationale Zahlen mit eine Untermenge der Menge von Schnitte.)

Ich finde dieses nicht nur korrekt, aber auch ganz nett. (Summen und Produkten zint sehr ähnlich behandelt, was ein klarer pädagogischer Vorteil sein sollte.) Man sollte es natürlich in Termen von positive rationale Zahlen umschreiben; und man kann es nicht zu Definition die reelle Zahlen ohne etwa ûber di nichtnegative reelle Zahlen tu reden brauchen; aber daß ist ja in wiklichkeit der Auftrag eines anderen Artikels. JoergenB 02:23, 10. Okt. 2006 (CEST)

Danke für den Hinweis. (Der Artikel ist eine Übersetzung aus dieser Version des englischen Artikels und wurde seither kaum verändert.)--Gunther 02:41, 10. Okt. 2006 (CEST)

Ich glaube die Unterschieden heute sind Folgen Veränderungen der englischen Artikeln (en:Dedekind cut und en:Construction of real numbers). JoergenB 03:22, 10. Okt. 2006 (CEST)

Ich denke Du meinst nicht obere und untere Schranke sondern größtes und kleinstes Element (Maximum und Minimum). Markus Schmaus 18:30, 11. Okt. 2006 (CEST)

Vervollständigung

Ich habe den Satz

• Ist M nicht „zu groß“ (genauer: falls die Ordnungstopologie auf M metrisierbar ist), dann entspricht die Vervollständigung durch Dedekindsche Schnitte (bis auf Isomorphie) der metrischen Vervollständigung (durch Cauchy-Folgen).

mal gelöscht, weil er so nicht stimmen kann. Wenn die Ordnungstopologie metrisierbar ist, wie z.B. bei M=]0,1[ mit der gewöhnichen Ordnung, dann gibt es im Allgemeinen ja mehrere Metriken, die die Ordnungstopologie erzeugen. Insbsondere gibt es bei M=]0,1[ eine Metrik, bzgl. der diese Menge vollständig ist und eine bezüglich der diese Menge nicht vollständig ist. Da wir aber beide Male die gleiche Ordnung und somit die gleiche Topologie haben, aber unterschiedliche metrische Vervollständigungen kann das irgendwie nicht stimmen. Wenn jemand weiß, welche Aussage gemeint ist, bitte korrekt wieder einfügen. Ich vermute, dass man irgendwie braucht, dass die Metrik sich irgendwie mit der Ordnung verträgt, aber ich weiß nicht, wie der Satz richtig heißen müsste. --Cosine 19:03, 26. Mär. 2009 (CET)

Motivation

Es fehlt praktisch völlig, warum man das macht. --Digamma 21:53, 25. Mai 2010 (CEST)

Diskussion:Dedekindscher Schnitt

Dieser Schnitt stellt die reelle Zahl (wurzel zwei) dar. <--- wie kommt man darauf?

Das führt jetzt echt zu weit. Gutes Analysis Buch oder freundlicher Mathematikstudent deiner Wahl. (nicht signierter Beitrag von 217.232.49.243 (Diskussion) 18:07, 1. Jun. 2010 (CEST))

Wurzel 2

Ich habe die Definition von ${\sqrt {2}}$ gelöscht, weil sie in diser Form falsch ist. 1.) Die Schreibweise macht keinen Sinn. Was soll das s von s* sein? Wurzel 2 existiert ja noch gar nicht vorher, es kann also auch nicht eingebettet werden. 2.) Die Menge enthält die negativen Zahlen nur bis zu $-{\sqrt {2}}$. In der englischen Version ist es richtig. -- Digamma 19:05, 1. Jun. 2010 (CEST)

Nochmal: In der Form, wie das im Text stand, ist es erstens falsch (die Menge $\{s\in \mathbb {Q} \mid s^{2}<2\}$ ist kein Dedekindscher Schnitt, sondern das offene Interfall $(-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}})$), zweitens unverständlich ("Für $V:=s^{2}<2$ gilt zwar $s\in \mathbb {Q}$ aber V selbst stellt eben eine abstrakte Vorschrift dar") und drittens gehört das nicht an diese Stelle und passt nicht in den Textfluss. Und viertens steht die richtige Erklärung, was ${\sqrt {2}}$ als Dedekindscher Schnitt ist, weiter unten im Text unter Vollständigkeit.

Also bitte, unbekannter Schreiber, bitte nicht wieder einfügen. Ich sehe auch, dass in dem Text eine Motivation fehlt, warum man das macht, nämlich u.a. weil es in $\mathbb {Q}$ so etwas wie ${\sqrt {2}}$ nicht gibt. Du bist herzlich dazu eingeladen, eine Motivation/Einführung zu schreiben, in der genau das dargestellt wird. Gruß, -- Digamma 17:49, 6. Jun. 2010 (CEST)

Zusammenfassung der Bedingungen geändert

Ich habe mir erlaubt, die Zusammenfassungen der drei genannten Bedingungen zu ändern. Wenn es kein größtes Element gibt, ist das Intervall nach oben unbeschränkt. (nicht signierter Beitrag von 91.39.65.53 (Diskussion) 00:47, 16. Mai 2011 (CEST))

umgekehrt

Im Artikel heißt es:

Eine Teilmenge $\alpha$ der rationalen Zahlen ist genau dann ein Dedekindscher Schnitt, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. $\alpha$ ist nicht leer und umfasst nicht alle rationalen Zahlen ($\alpha \neq \mathbb {Q}$).
2. $\alpha$ ist nach unten abgeschlossen, das heißt wenn $p\in \alpha$, $q\in \mathbb {Q}$ und $p>q$, dann ist auch $q\in \alpha$.
3. $\alpha$ enthält kein größtes Element, das heißt für jedes $p\in \alpha$ gibt es ein $r\in \alpha$ mit $p<r$.

Diese drei Bedingungen lassen sich zusammenfassend so formulieren: $\alpha$ ist ein offenes, nach unten unbeschränktes und nach oben beschränktes Intervall von rationalen Zahlen.

Wenn Bedingung 2 (nach unten abgeschlossen) gilt, kann daraus nicht folgen, daß das Intervall nach unten unbeschränkt ist.

Wenn Bedingung 3 (kein größtes Element) gilt, kann daraus nicht folgen, daß das Intervall nach oben beschränkt ist.

Der zusammenfassende Satz muß daher lauten:

"Diese drei Bedingungen lassen sich zusammenfassend so formulieren: \alpha ist ein offenes, nach unten beschränktes und nach oben unbeschränktes Intervall von rationalen Zahlen."

Wenn keine Einwände bestehen, ändere ich das demnächst. --Wikilaser (Diskussion) 12:09, 29. Apr. 2012 (CEST)

Die Formulierungen sind wohl richtig aber nicht besonders intuitiv, was auch daran liegt, dass sie nicht wirklich einen Dedekindschen Schnitt darstellen sondern eine davon abgeleitete Konstruktion (siehe dazu QS-Mathemathik, und z. B. die Literatur im Artikel).

zu Bedingung 2: Beachte, dass eine Menge formal abgeschlossen ist, wenn ihrKomplement offen ist. "nacht unten abgeschlossen" bedeutet hier wohl Offenheit des "unteren Komplements" (= der Teil des Komplementes von $\alpha$ der kleiner als $\alpha$ ist). Da das untere Komplement leer ist, ist es per Definition auch offen.

zu Bedingung 3: Offene Mengen bzw. Intervalle enthalten kein größtes Element und können Beschränkt sein.

Die Mengen $\alpha$ sind Intervalle der Form $(-\infty ,b)$ mit $b\in \mathbb {R}$, also die untere Schnittmenge eines (echten) Dedekindschen Schnittes. Man beachte dass diese Intervalle nach unten abgeschlossen und nach oben offen aber beschränkt sind.--Kmhkmh (Diskussion) 14:06, 29. Apr. 2012 (CEST)

Zu Bedingung 2: "Nach unten abgeschlossen" ist hier nicht im topologischen Sinn gemeint, sondern im Sinn der Ordnungstheorie: abgeschlossen unter der <-Relation. Genau das wird dann hinter "das heißt" erläutert. In Worten: Wenn eine Zahl in der Menge enthalten ist, dann sind auch alle kleineren Zahlen in der Menge enthalten.

Die Bedingungen sind nicht einzeln äquivalent. Aus Bedingung 2 und Bedingung 1 (nicht leer) folgt, dass $\alpha$ ein nach unten unbeschränktes Intervall ist. Aus Bedingung 1 folgt dann, dass das Intervall nach oben beschränkt ist (sonst wäre es ganz $\mathbb {Q}$). Aus Bedingung 3 folgt dann, dass das Intervall offen ist (sonst hätte es ein größtes Element). --Digamma (Diskussion) 15:32, 29. Apr. 2012 (CEST)

Ergänzung: Im topologischen Sinn sind diese Intervalle offene Mengen. In der Sprechweise für Intervalle sind sie nach oben offen. Nach unten spricht man hier weder von "offen" noch von "abgeschlossen", zumindest hält das der Artikel Intervall (Mathematik) so. Symbolisch schreibt man vor dem $-\infty$-Zeichen das Symbol für ein offenenes Intervall, weil $-\infty$ nicht Element des Intervalls ist. --Digamma (Diskussion) 15:38, 29. Apr. 2012 (CEST)

Ergänzung 2: Bei Intervallen spricht man in der Regel von "rechts" oder "rechtsseitig" offen, nicht von "nach oben" oder "oben offen". --Digamma (Diskussion) 15:43, 29. Apr. 2012 (CEST)

0.999999999...=1

ist eine Folgerung aus der Definition reeller Zahlen mittels Dedekindschnitte, was vielleicht im Artikel erwähnt werden könnte, sozusagen als "Anwendung".--Suhagja (Diskussion) 09:53, 26. Feb. 2013 (CET)

Das verstehe ich nicht ganz. Alle Eigenschaften der reellen Zahlen folgen aus den Axiomen, die Art, wie ein Modell des Körpers der reellen Zahlen konstruiert wird, spielt keine Rolle. Den Zusammenhang mit Dedekindschen Schnitten kann ich noch nicht erkennen. Gibt es eine Definition einer nicht-abbrechenden Dezimalzahl, die direkt Dedekindsche Schnitte verwendet? --Digamma (Diskussion) 14:23, 26. Feb. 2013 (CET)

Naja, der Dedekindsche Schnitt ist ja eines dieser (möglichen) Axiome mit dem die (Ordnungs)Vollständigkeit der reellen Zahlen gesichert wird aus der dann wiederum $0.{\overline {9}}=1$ folgt. Der Hinweis, dass der Dedekindsche Schnitt, bei einem axiomatischen Aufbau der reelen Zahlen (Körperaxiome + Ordnungsaxiome + Vollständigkeitsaxiom (Dedekindscher Schnitt oder Supremumsprinzip)) die Rolle eines Axioms übernimmt fehlt allerdings derzeit im Artikel. --Kmhkmh (Diskussion) 14:51, 26. Feb. 2013 (CET)

In wiefern übernimmt "der Dedekindsche Schnitt" die Rolle eines Axioms? Sowie ich das sehe, ist die Menge der dedekindschen Schnitte ein mögliches Modell für den Körper der Reellen Zahlen, und dieser erfüllt dann die Axiome eines vollständig angeordneten Körpers. Wenn man dies nachrechnen will, verwendet man natürlich die Definition über die dedekindschen Schnitte. Also folgt die Ordnungsvollständigkeit über Umwege natürlich aus der Verwendung der Dedekindschen Schnitte. Aber dadurch wird "der dedekindsche Schnitt" noch nicht zu einem Axiom? --Cosine (Diskussion) 14:53, 27. Feb. 2013 (CET)

Wenn man die reellen Zahlen axiomatisch statt konstruktiv einführt, fordert man die oben in Klammern genannten Axiome. Der Dedekindsche Schnitt die axiomatische geforderte Eigenschaft, die Ordnungsvollständigkeit sichert bzw. er ist das Axiom der Ordnungvollständigkeit, man spricht in diesem Zusammenhang auch vom Schnittaxiom oder vom Axiom vom Dedekindschen Schnitt. Nachlesen kann man diesen Ansatz u.a. bei Heuser (Lehrbuch der Analysis - Band I, S. 36-38, 72-73, 150).--Kmhkmh (Diskussion) 15:11, 27. Feb. 2013 (CET)

Okay, ich muss zugeben, diesen Ansatz kannte ich bis jetzt noch nicht. Ich kannte das Wort "Dedekindscher Schnitt" immer nur in der hier verwendeten Bedeutung... Und schon wieder etwas dazugelernt. Vielen Dank. --Cosine (Diskussion) 17:18, 27. Feb. 2013 (CET)

Nach etwas Nachdenken: Für die Aussage $0.{\overline {9}}=1$ braucht man die Vollständigkeit nicht. Man braucht nur, dass die Folge $a_{n}={\frac {1}{10^{n}}}$ eine Nullfolge ist. Dies folgt aus dem schwächeren Axiom, dass der Körper der reellen Zahlen archimedisch geordnet ist, d.h., dass es zu jeder reellen Zahl eine größere natürliche Zahl gibt. --Digamma (Diskussion) 21:27, 27. Feb. 2013 (CET)

Schnittaxiom

Die Formulierung der Vollständigkeit der reellen Zahlen (oder allgemeiner einer vollständigen totalen Ordnung) mit Hilfe des Schnittaxioms kann meiner Meinung nach ruhig in den Artikel. Der Artikel heißt ja "Dedekindscher Schnitt" und nicht "Konstruktion der reellen Zahlen". Nur gehört das Schnittaxiom natürlich nicht in den Abschnitt "Definition", in dem definiert wird, was ein Dedekindscher Schnitt ist. --Digamma (Diskussion) 19:12, 15. Nov. 2013 (CET)

Im Prinzip schon, aber man kann es auch ruhig in ein separates Lemma packen.--Kmhkmh (Diskussion) 22:08, 15. Nov. 2013 (CET)

Kleinstes bzw. größtes Element

Die zwei Definitionen im Artikel (1. Paar aus Unter- und Obermenge, 2. nur die Untermenge) widersprechen einander in diesem Punkt. Nach der ersten Definition hat die Obermenge kein kleinstes Element, nach der zweiten hat die Untermenge kein größtes Element. --Digamma (Diskussion) 19:32, 15. Nov. 2013 (CET)

nach unten abgesclossen

Anlässlich der kürzlichen Falschkorrektur, wäre es eventuell sinnvoll den Begriff "nach unten abgeschlossen" explizit in Ordnungstopologie zu erwähnen und dann hier zu verlinken.--Kmhkmh (Diskussion) 14:10, 21. Feb. 2018 (CET)

Zu deiner heutigen Überarbeitung: "Nach unten unbeschränkt" ist nicht das gleiche. "Nach unten abgeschlossen" ist auch keine topologische Eigenschaft. --Digamma (Diskussion) 12:42, 11. Nov. 2023 (CET)