Diskussion:Determinante

uebersetzung

Übersetzt aus dem englischen Eintrag auf www.wikipedia.org (nicht signierter Beitrag von Gothmog (Diskussion | Beiträge) 17:10, 14. Aug. 2003 (CEST))

Übersetzung schön und gut, aber was bedeutet nun der Wert der Determinante? Was sagt er über das Gleichungssystem aus ? MfG 212.201.37.138 19:35, 11. Jul 2004 (CEST)

Die Determinante "determiniert", ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante ungleich Null ist). (nicht signierter Beitrag von 194.171.252.100 (Diskussion) 17:53, 13. Sep. 2004 (CEST))

Matrixelemente

Hat es eigentlich einen tieferen Sinn, dass die Elemente einer Matrix in der Mitte des Artikels als A_i,j bezeichnet werden? --Philipendula 22:55, 1. Dez 2004 (CET)

Also wenn du dich auf den Abschnitt über den Laplace'schen Entwicklungssatz beziehst, dann ja. Hier sind ja Untermatrizen gemeint und keine einzelnen Matrixelemente.--Ente2k 19:53, 11. Jan. 2007 (CET)

Aber auch im Abschnitt über den Leibniz'schen Entwicklungssatz sind die einzelnen Matrixeinträge mit A statt a bezeichnet. Steht da ein Sinn dahinter ? (nicht signierter Beitrag von 91.66.137.67 (Diskussion) 18:42, 7. Feb. 2016 (CET))

Ich habe jetzt einheitlich auf $a$ für die Matrixelemente geändert. Danke für den Hinweis. -- HilberTraum (d, m) 19:38, 7. Feb. 2016 (CET)

Anregungen

Determinante eines Endomorphismus deutlicher herausheben. Die Determinante ist deshalb so erfolgreich, weil sie nicht von der Basis abhängt. Die Determinante ist auch eine (sogar i.w. die) alternierende Multilinearform $V^{\dim V}\to K$.-- Gunther 12:32, 16. Apr 2005 (CEST)

Mich graust's

Nabend. Bei "Determinante = Funktion die jeder Quadratischen Matrix eine Zahl zuordnet", da kräuselt sich bei mir der Nacken :-)

Zwar waren historisch erst Determinanten, dann Matrizen, dann Multilinearformen da, aber korrekt definiert ist die Determinante als:

Determinante = Alternierende, bezüglich der Basis normierte Multilinearform

Das schöne: Aus dieser Definition kann man die Eindeutig, die "explizite" Leibnitzformel und die Entwicklung nach Zeilen und Spalten elegant (mehr oder weniger) beweisen und man hat sofort eine Verallgemeinerung des Begriffes weg von Matrizen auf Tupel von Vektoren.

Werde mir mal exakte Definitionen suchen und schauen, wie man das einarbeiten kann --Prometeus 15:08, 8. Mai 2005 (CEST)

Hat sich erledigt, die allg. Definition ist ja ganz unten zu lesen. Trotzdem find ich die

Definition am Anfang nicht sehr gut gelungen. Man wäre versucht, JEDE Funktion, die einer Matrix eine Zahl zuordnet als Determinante zu verstehen, aber die Spur einer Matrix ist sicher keine Determinante, eben so wenig wie diverse Matrixnormen, die Condition, die Signatur, der größte Eigenwert und so weiter und so fort! --Prometeus 15:26, 8. Mai 2005 (CEST)

Liebe Mathematiker, nun benutze ich selbst gelegentlich Determinanten und bin auch nicht blöd, trotzdem verstehe ich bei der vorgeschlagenen Determinantendefinition erstmal nichts. Mich interessieren vor allem die Anwendungsmöglichkeiten, und nebenbei habe ich mir die Sache mit dem Volumen eines Spats gemerkt, denn sie ist einfach und anschaulich. Um es direkt zu sagen: solche Definitionen sind nicht allgemein verständlich und wirken eher abschreckend. Meiner Meinung nach sollte die genannte Formulierung unbedingt erhalten bleiben, am besten mit einem Verweis auf eine Stelle im Artikel, wo die Sache ganz genau erklärt wird. Ich schlage außerdem vor, aus didaktischen Gründen zu Beginn einige Anwendungsmöglichkeiten ihrem zeitlichen Auftreten nach zu präsentieren und erst danach die genaue Definition von Determinanten und der Leibnitzformel zu erklären (ich habe sie übrigens nicht in wenigen Augenblicken begriffen und danach schnell aufgegeben). Außerdem wäre eine Liste gut, die Artikel über Verfahren enthält, die auf Determinanten basieren. Nichts für ungut, Ulf-S. 11:02, 13. Nov 2005 (CET)

Falsche Definition!!

Die im Artikel angegeben angeblichen Definitionen für 1x1, 2x2, .., nxn Matrizen sind in Wahrheit Folgerungen, die sich aus den vier definierenden Eigenschaften der Determinantenfunktion ergeben - siehe Beutelspacher, A.: Lineare Algebra, 3. Auflage.

Die richtige Definition ist die folgende:

Es sei K ein Körper und es sei M ein Element aus K^(nxn). Man nennt eine Abbildung det: K^(nxn)->K eine Determinante, falls diese den folgenden vier Eigenschaften (D1 bis D4) genügt:

D1) Die Abbildung ist additiv in jeder Zeile.

D2) die Abbildung ist homogen in jeder Zeile.

D3) Jede Matrix mit Rang(M)<n wird auf 0 abgebildet.

D4) Die Einheitsmatrix wird auf 1 abgebildet.

Damit lässt sich leicht zeigen, dass die im Artikel angegebenen Funktionen - einschl. der Regel von Sarrus - tatsächlich Determinanten sind. Bleibt noch die Eindeutigkeit der Determinantenfunktion zu beweisen..

MFG B.C.

25.01.2006

___

Es gibt viele verschiedene Arten, die Determinante zu definieren.--Gunther 01:54, 25. Jan 2006 (CET)

Nein, es gibt nur eine - wie alles in der Mathematik. Der Rest sind nur Folgerungen.. B.C.

Sei doch froh, dass sich die verschiedenen Definitionen nicht auch noch widersprechen...--Gunther 02:03, 25. Jan 2006 (CET)

Eine Regel, wie z.B. die Regel von Sarrus ist keine Definition, sorry.. B.C.

Nein, behauptet das jemand? Man kann die Leibniz-Formel zur Definition erheben, oder den Entwicklungssatz, oder die Aussage über die Trigonalisierung, oder die allgemeine Definition als Homothetie auf der äußeren Potenz. Welche dieser Möglichkeiten man wählt, ist ziemlich egal.--Gunther 02:13, 25. Jan 2006 (CET)

Natürlich ist es egal, wie man Determinanten berechnet - insofern stimmt Deine Aussage. Die Leibnitzsche-Formel und/oder eines dieser Sätze - Sätze wohlgemerkt - als Ausgangspunkt zu betrachten ist meiner Meinung nach aus theoretischer Sicht problematisch, da diesen jegliche Intuition fehlt. Auf dem ersten Blick erscheint die obere Definition - zugegeben - zwar auch nicht intuitiv, allerdings gäbe es dann auf der anderen Seite z.B. keinen Grund - weder aus praktischer, noch aus theoretischer Sicht -, die Determinante einer 2x2-Matrix nicht als bc-ad zu definieren. (Die jeweiligen Sätze ließen sich dementsprechend korrigieren.)

B.C.

(Sorry wegen den falschen Formulierungen von vorhin)

Nun, ich würde es schon als Nachteil ansehen, wenn $\det(AB)$ auf einmal $-\det A\det B$ wäre.--Gunther 02:46, 25. Jan 2006 (CET)

Was heisst "schon"? Warum genau? - B.C.

Schon = doch, durchaus. Das wäre ein theoretischer Nachteil, weil die Determinante dann kein Gruppenhomomorphismus $\mathrm {GL} _{n}(K)\to K^{\times }$ wäre. Ganz praktisch werden die Formeln komplizierter, also z.B. $\det _{\mathrm {neu} }(A^{n})=(-1)^{n-1}(\det _{\mathrm {neu} }A)^{n}$. Die Determinante kommt "in der Natur" als Faktor für das Transformationsverhalten des Volumens vor, deshalb sollte sie für die Identität gleich 1 sein.

Mal grundsätzlich: Wie Definitionen aussehen, ist zunächst einmal egal; Definitionen müssen sich durch die sich aus ihnen ergebende Theorie rechtfertigen. Niemand würde spontan auf die Idee kommen, die Körperaxiome hinzuschreiben. Sondern man hat im Laufe der Zeit festgestellt, welche Eigenschaften der reellen oder rationalen Zahlen für gewisse Aussagen benötigt werden. Ringe wären zu allgemein z.B. für die lineare Algebra, speziellere Klassen von Körpern würden interessante Fälle ausschließen.

Wenn es mehrere äquivalente Charakterisierungen gibt, kann man natürlich die Frage stellen, welche davon in einem tieferen Sinne die "richtige" ist; allerdings darf man keine eindeutige Antwort erwarten. Für die Determinante ist meine Vorstellung der "richtigen" Definition im Abschnitt "Determinante eines Endomorphismus" nachzulesen. Für diese Definition spricht beispielsweise, dass sofort klar ist, dass die Determinante nicht von der Wahl der Basis abhängt; dafür muss ausgehend von Deiner Definition erst der Multiplikationssatz (oder eine schwache Version davon) bewiesen werden.--Gunther 03:15, 25. Jan 2006 (CET)

Ich bin nicht der Meinung, dass eine "2x2-Determinante" bc-ad - als Beispiel - die Determinantenformel und die resultierenden Sätze im Wesentlichen verkomplizieren würde; weder für einen Rechner, noch für einen Leien. Außerdem ließen sich damit exakt die gleichen Theorien rechtfertigen wie mit der wahren Definition auch; die Beiträge wären damit gleichwertig.

Wenn eine mögliche Definition A gegenüber einer Äquivalenz B jenen Vorteil besitzt, Intuition zu vermitteln, sehe ich keinen Grund, B gegenüber A als Definition vorzuziehen.

Der Multiplikationssatz lässt sich mit Hilfe der Definition in D1-D4 leicht zeigen.

B.C.

Den ersten Punkt dürften 99% der Mathematiker anders sehen. Formal ist das äquivalent, klar, aber wenn man eine multiplikative Funktion haben kann, dann nimmt man sie auch und nicht die Variante, bei der man sich mit Vorzeichen herumschlagen muss, das geht ohnehin meistens schief.

Intuition ist subjektiv. Meine Intuition sagt mir, dass Elemente von $\bigwedge \!^{n}\,V$ so etwas sind wie Volumenstücke, an die man nur noch ein Maß in Gestalt einer Linearform anlegen muss. Damit wird die Determinante ganz natürlich als der Transformationsfaktor für das Volumen definiert. Dagegen finde ich das Axiom D1 ziemlich unintuitiv: Also ich habe zwei lineare Abbildungen, deren Darstellungsmatrizen sich nur in einer Zeile unterscheiden, und diese Zeilen addiere ich und erhalte welche lineare Abbildung?

Ein gewisser Aufwand steckt im Beweis des Multiplikationssatzes, und alleine die Tatsache, dass man für Deine Definition der Determinante eine Basis wählen muss, stellt aus meiner Sicht einen Mangel dar.

Mir ist nicht klar, wohin diese Diskussion führen soll. Es gibt verschiedene Ansätze, die jeweils ihre Vor- und Nachteile haben: Leibniz kann man explizit hinschreiben, ist dafür viel zu aufwendig für explizite Berechnungen; Laplace ist für dünn besetzte, nicht allzu große Matrizen geeignet, aber nicht so flexibel wie Gauß; dafür ist Gauß vom theoretischen Standpunkt her unübersichtlich; der abstrakte Zugang über äußere Potenzen ist weniger für Anfänger geeignet, eher für theoretische Betrachtungen. Natürlich kann man da "Deine" Definition mit aufnehmen. Aber auch wenn sie oder die Variante als alternierende $n$-Form der Standardzugang vieler LA-Bücher und -Vorlesungen ist, sehe ich nicht, weshalb sie "besser" sein sollte als die anderen Definitionen. Sie hat natürlich den didaktischen Vorteil, dass man das Existenz- und Eindeutigkeitsproblem vorführen kann, und dass sie keine technischen Grundlagen wie das Vorzeichen einer Permutation oder äußere Potenzen erfordert. Aber mehr als eine Erwähnung als eine von vielen äquivalenten Definitionen rechtfertigt das nicht.--Gunther 04:37, 25. Jan 2006 (CET)

Ich denke, dass nicht nur 1% Mathematiker in der Lage wären - denn sonst hätten wir nämlich ein großes Problem.. - einen Rechner so zu programmieren, dass dieser auch mit der "alternativen Definition" bc-ad und den entsprechenden Sätzen jede beliebige "Determinante" ausrechnen kann, aber lassen wir das mal..

Aus welcher Sicht der Sachverhalt betrachtet wird - m.a.W. welche Definition als Basis zu Grunde gelegt wird -, ist - und da gebe ich Dir Recht - natürlich nicht relevant. Wenn man allerdings nicht bereit ist, sich auf eine Definition festzulegen - vielleicht um den Sachverhalt noch allgemeiner zu beschreiben -, dann sollte das zumindest erwähnt werden, um Missverständnisse zu vermeiden.

Meiner Meinung nach dürfte es für einen unerfahrenen Leser nicht klar sein, dass sich die einzelnen Äquivalenzen ineinander überführen lassen - und wie, das schon erst recht nicht. Und die Frage "was die Determinante nun eigentlich sei" lässt sich meiner Meinung nach nur unausreichend damit beantworten - auch dann, wenn dies richtg ist -, dass es sowohl A, B oder C sein könnte, je nachdem, welche Präferenzen man hat.

B.C.

bc-ad: In der Lage sicherlich, aber nicht willens.

"Was die Determinante nun eigentlich ist" kann eben nicht durch eine Definition alleine beantwortet werden, sondern nur die Kombination der verschiedenen Sichtweisen.--Gunther 22:17, 25. Jan 2006 (CET)

Ob sie es tun wollen oder nicht, ist völlig irrelevant, wenn es doch darum geht, ob es für sie das Leben schwer machen würde oder nicht.

Es geht ja nicht darum, dass im Artikel die Sichtweisen miteinander kombiniert werden, sondern wie das gemacht wurde - s.o.

B.C.

Also: was schlägst Du vor?--Gunther 02:09, 26. Jan 2006 (CET)

Ich fände es übersichtlicher, wenn nicht Rechenregeln zur Berechnung, wie z.B. für 3x3-Matrizen und Gauß-Algo, sowie die Determinante eines Endomorphismus mit einer klaren Definition gemischt wären. Ich schlage vor einen expliziten Abschnitt "Äquivalente Definitionen", der z.B. Leibniz und die axiomatische Definition enthält, und einen weiteren Abschnitt "Rechnenregeln zur Berechnung" mit 3x3-Matrizen, Gauß und Laplace einzuführen. Dies gliedert den Artikel besser, unterscheidet Allgemeines von Ableitungen (wie 3x3) und enthält dann vorallem auch die Axiome, die zur Zeit nicht einmal als hergeleitete Eigenschaften auftauchen.--maspnw 13:39, 28. Apr. 2007 (CEST)

Differenzieren komplex

Zitat:Die Determinante von reellen quadratischen Matrizen fester Dimension n ist eine Polynomfunktion \det:\R^{n\times n}\to \R und als solche überall differenzierbar. Gilt das nicht auch komplex? --Mathemaduenn 10:14, 16. Aug 2006 (CEST)

Natürlich. "Reell" steht hier vermutlich nicht, um den Unterschied zum Komplexen zu betonen, sondern den zu anderen Körpern oder Ringen, über denen man keine Differenzialrechnung betreiben kann. --Digamma 15:38, 7. Nov. 2007 (CET)

Spur

Habe bei der Ableitung tr(..) durch spur(..) ersetzt, da tr(.) nirgendwo sonst auftaucht und die meisten wohl nicht wissen, was das ist. Die Spurfunktion wird direkt darüber erwähnt und ist auch mit einem Link versehen zum nachschlagen

Invertierbarkeit

Was nicht rausskam : Eine Matrix ist invertierbar, genau dann wenn ihre Determinante ungleich 0 ist.

Erledigt, wenn auch stark verbesserungswürdig. --Squizzz 18:06, 4. Dez. 2006 (CET)

Ist eine quadratische Matrix nicht genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante eine Einheit der zugrundeliegenden "algebraischen Struktur" ist? Also macht bei Körpern nun eventell keinen Unterschied, aber bei kommutativen Ringen schon. Oder bin ich hier auf dem falschen Dampfer? --Ente2k 19:37, 11. Jan. 2007 (CET)

Du hast schon recht. Der Autor hatte vermutlich nur \R im Kopf.--Digamma 15:39, 7. Nov. 2007 (CET)

Ableitung 2x2

Ich habe diese Ableitung in die Diskussion geschoben, da sie Anforderungen an die Determinantenfunktion verwendet, welche nirgendwo im Artikel definiert sind. (2. und 3. Umformung). Außerdem scheinen manche Vektoren ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ vertauscht zu sein. Man kann die korrigierte Ableitung wieder in den Artikel nehmen, wenn die Voraussetzungen beschrieben sind. Das von B.C. oben geschriebene Axiomensystem scheint mir eine gute Definition zu sein. --194.138.39.37 10:36, 5. Apr. 2007 (CEST)

Ableitung

$\det {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$  $=\det {\begin{pmatrix}a_{11}\,{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+a_{21}\,{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}&a_{12}\,{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+a_{22}\,{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}$  $=a_{11}\,\det {\begin{pmatrix}{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}&a_{12}\,{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}a_{22}\,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}+a_{21}\,\det {\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}&a_{12}\,{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}a_{22}\,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}$  $=a_{11}\,a_{12}\,\underbrace {\det {\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}} _{{}=0}+a_{11}\,a_{22}\,\underbrace {\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}} _{{}=1}+a_{22}\,a_{12}\,\underbrace {\det {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}} _{{}=-1}+a_{22}\,a_{22}\,\underbrace {\det {\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}} _{{}=0}$  $=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$

Ich sehe keinen Bedarf für diese Ableitung im Artikel. --Stefan Birkner 11:45, 5. Apr. 2007 (CEST)

Bedeutung der Determinante

Ich finde die beschreibung der Determinanten sollte noch etwas klarer und für nicht "24/7" Mathematiker verständlicher Ausgedrückt werden. Ich persönlich habe erst den nutzen der Determinanten erkannt als ich über diesen[1] Link gestolpert bin.

Zwar war es mir dannach verständlich was auf auf dieser Wiki-Seite stand aber davor nicht. Vielleicht reicht es auch einfach wenn die die entsprechende Passage hervorgehoben wird.

--SpeedDisaster 16:17, 6. Sep. 2007 (CEST)

im von dir verlinkten dokument steht nicht mehr, als bereits im ersten satz des wikipedia-artikels steht.

wenn du der ansicht bist, dass dort etwas beschrieben wird, was noch nicht im artikel steht oder einfach besser beschrieben wird, versuche das bitte zu praezisieren. wir werden dann gemeinsam einen weg finden, das in den artikel einfliessen zu lassen. -- seth 00:30, 7. Sep. 2007 (CEST)

Das in dem Dokument nicht mehr steht als in diesem Artikel ist klar. Dennoch fehlt mir ein "Focus" auf das "eine eindeutige Zahl".

Zudem verwirrt die Sofortige Notation, so denke ich wäre es besser sich an dem Artikel Matrix_(Mathematik) Orientiert, und die Notation und exakte Erklärung nach unten zieht, das würde den Leser mehr auf die Punkte "[...] eine eindeutige Zahl" und "[...] ob ein Lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist." lenken. --SpeedDisaster 10:03, 7. Sep. 2007 (CEST)

eindeutigkeit (i.s.v. "eindeutige zahl") ist so gar nicht vorhanden. die determinante (als abbildung aufgefasst) ist nicht bijektiv.

afais muss es wohl als voraussetzung des lesers angesehen werden, zu wissen was eine matrix ist. ohne das zu wissen darueber macht der determinantenbegriff naemlich ohnehin kaum sinn. insofern finde ich es nicht verkehrt, dass man gleich die konventionelle matrix-notation verwendet.

die definition der determinante erfolgt doch schon ziemlich spaet nach einer langen einleitung. wo sollte sie deiner meinung nach sonst stehen?

unabhaengig von deinen anmerkungen ist der artikel auch meiner meinung nach noch ueberarbeitungsbeduerftig, allerdings weiss ich nicht, wo man da anfangen und wie man es gescheit strukturieren soll. -- seth 10:43, 7. Sep. 2007 (CEST)

Zwar habe ich nichts dagegen das man die konventionelle Matrix-Notation verwendet, dennoch würde ich es besser finden wenn man sich in der "Einleitung" nur auf die Definition beschränkt, und die Notation und besonderst die Beispiele als ersten Punkt des Artikels bringt( Wie bei matrix, und wie bei dem Englischen Determinanten Artikel[2] ), dies wäre zumindestens schon mal ein Anfang bei der Umstrukturierung. Leider habe ich selber keine Idee wie man den Rest des Artikels in eine "bessere" Form bringen könnte. --SpeedDisaster 11:07, 7. Sep. 2007 (CEST)

Vektoren in Determinanten

Darf man Vektoren in Determinanten einsetzen? --88.78.231.244 22:27, 1. Mai 2008 (CEST)

Je nachdem, was du damit meinst, wahrscheinlich nein. Wenn gemeint ist, die Determinante eines Vektors $v$ zu berechnen: Das geht nur dann, wenn dieser Vektor die Dimension 1 hat, denn dann ist $v=\left(r\right)$ für $r\in K$ (wobei $K$ der zugrundeliegende Körper ist) eine quadratische Matrix, andernfalls nicht. (Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert.) Es ist dann $\det v=\det \left(r\right)=r$. --78.50.231.106 17:38, 19. Mär. 2015 (CET)

Determinante für unendlich-dimensionale Matrizen?

Ist die Determinante auch für unendlich-dimensionale Matrizen definiert? (nicht signierter Beitrag von 79.201.254.99 (Diskussion) 22:25, 4. Jun 2008 (CEST))

Laut G. Stroth "Lineare Algebra" hat man gegen Ende des 19. Jahrhundert versucht, Determinanten durch Grenzübergang Dimension gegen unendlich zu definieren. Die entstehende Theorie wäre aber kompliziert gewesen und hätte nicht zu nennenswerten Ergebnissen geführt. Leider gibt der Autor kein Quellen an.--Theowoll 23:42, 24. Jun. 2008 (CEST)

Notation A Stern A

In der Einleitung steht der Satz: Diese Notation kann jedoch zu Verwechslungen führen, da sie auch für andere Matrix-Funktionen wie beispielsweise die Quadratwurzel aus $A^{*}A$ verwendet wird.

Was bedeutet in diesen Zusammenhang $A^{*}A$?? In dem Artikel zu Quadratwurzeln wird diese Notation nicht benutzt, in Mathematische Symbole wird sie auch nicht erwähnt. Ist damit vieleicht gemeint die Quadratwurzel von A ist $|A|=B$, mit $B\cdot B=A$ (bzw. mit $B\cdot B^{T}=A$)?? Ist das also nur ein Tippfehler, oder bedeutet das was anderes? Schönen Gruß "Wohingenau" 22:10, 29. Jan. 2009 (CET)

Die zitierte Behauptung aus dem Artikel ist ein typischer Fall von citation needed. Die Bezeichnung $A^{*}$ ist im Artikel über Matrizen erklärt. Es ist die adjungierte Matrix gemeint.

Mhm hätt ich auch drauf kommen können, aber trotzdem macht der Satz irgendwie noch nicht so richtig Sinn, also heißt dass $|A|=B\Leftrightarrow B\cdot B=A^{*}\cdot A$??? Oder müsste der Satz heißen: Diese Notation kann jedoch zu Verwechslungen führen, da sie auch für andere Matrix-Funktionen wie beispielsweise die Quadratwurzel aus A verwendet wird, wenn $|A|=B\Leftrightarrow A=B^{*}B$ ist.??? Vieleicht sollte man die Notation in Quadratwurzel erklären, oder den Satz im Artikel lieber zu Diese Notation kann jedoch zu Verwechslungen führen, da sie auch für andere Matrix-Funktionen verwendet wird. kürzen... So verwirrt er, meiner Meinung nach, mehr als dass er hilft. Schönen Gruß "Wohingenau" 19:12, 1. Feb. 2009 (CET)

Ich vermute es ist genau das gemeint, was dort steht, d. h. $|A|={\sqrt {A^{*}A}}$. Vielleicht lehnt sich die Bezeichnung an den eindimensionalen Spezialfall an, bei dem man den Betrag $|z|={\sqrt {z^{*}z}}$ einer komplexen Zahl erhält. Ich kannte diese Notation für Matrizen bisher nicht. Wenn sie existiert, dann sollte man sie in der Tat im Artikel über die Quadratwurzel erklären. --Theowoll 10:22, 2. Feb. 2009 (CET)

geometrischer Sinn

Dazu könnte man vllt. noch einen Abschnitt schreiben, ich seh manchmal Video wie http://www.youtube.com/watch?v=hdlOOYqSsR0&NR=1 Man könnte erklären, wie das mit Spieglungen etc. funktioniert und ein paar einfache Det. angeben (01)(10) etc. Hab dazu nur keine gute Literatur ... Grüße --WissensDürster 17:45, 13. Jul. 2009 (CEST)

Determinante 2x2-Matrix

Ich glaube, bei 2x2-Matrizen steckt in der Determinante der Sinus des Winkels zwischen den Zeilen-bzw. Spaltenvektoren drin

   betrag(det(a,b)) = betrag(a)*betrag(b)*betrag(sinus(a,b)),

a und b Spaltenvektoren. Vielleicht hat ja jemand Lust, dies in den Artikel einzuarbeiten. Dies kann ganz nützlich für das Verständnis sein. --194.156.172.86 12:02, 30. Jul. 2009 (CEST)

Mit anderen Worten, die Determinante liefert den Inhalt der aufgespannten Fläche (die z-Komponente Kreuzprodukts, wenn die Vektoren in der x-y-Ebene liegen). Im Raum liefert sie das Volumen (also das Spatprodukt), wie in der Einleitung bereits erwähnt. Diese Zusammenhänge verdienen in der Tat eine ausführlichere Erwähnung.--Theowoll 18:44, 30. Jul. 2009 (CEST)

Wird die Determinante aus einer 2x2-Matrix (1. Zeile (a b); 2. Zeile (c d)) nicht durch a*d-c*b gebildet? So haben wir es in der Schule zur Lösung von Gleichungssystemen nach Determinantenverfahren gelernt. --MrStefan 11:17, 16. Apr. 2013 (CEST)

Stimmt schon, steht auch so im Artikel. Das mit dem Spat und die Formel da oben stimmen aber auch. --Chricho ¹ ² ³ 15:31, 16. Apr. 2013 (CEST)

Laplacescher Entwicklungssatz

Im Abschnitt "Laplacescher Entwicklungssatz" ist die Beschriftung der Zeilenentwicklungsormel falsch. Es müsste heißen "Entwicklung nach der i-ten Zeile". ... also entweder in der Beschriftung oder in der Formel "j" durch "i" austauschen. (nicht signierter Beitrag von 84.144.65.38 (Diskussion | Beiträge) 18:04, 10. Dez. 2009 (CET))

Verallgemeinerung auf kommutative Ringe auch ohne Einselement?

Die im Artikel gegebene Definition der Determinante auf Ringe ist meiner Meinung nach fehlerhaft, da hier die Bedingung

• $f\left(e_{1},\ldots ,e_{n}\right)=1$, wobei $e_{i}$ das Element von $M$ ist, das eine 1 als $i$-te Koordinate hat und sonst Nullen.

für Ringe ohne Einselement für jede entsprechende Abbildung erfüllt ist. Z.B. wären für M =2Z¹ sowohl det(z):=z als auch det(z):=2z oder sogar det(z):=0 eine gültige Abbildung, was der Eindeutigkeitsforderung widerspricht. --J.B. (nicht signierter Beitrag von 95.208.70.1 (Diskussion) 15:11, 29. Jan. 2011 (CET))

Ich habe "Ring" durch "Ring mit Eins" ersetzt. Das ist die Voraussetzung, die man meistens in der Literatur findet (z.B. in Nicolas Bourbaki: Algebra 1, Chapters 1–3. In: Elements of mathematics. Springer, Berlin 1989, ISBN 3-540-64243-9, S. 522 (französisch: Éléments de mathématique, Algèbre 1–3.). ). Andererseits scheint es, das man die Determinante von Matrizen mit Hilfe der Leibniz-Formel problemlos auf beliebige kommutative Ringe verallgemeinern kann... -- Theowoll 16:07, 30. Jan. 2011 (CET)

Wie sieht es mit Verallgemeinerungen auf nichtkommutative Ringe aus? Ist das sinnvoll? (nicht signierter Beitrag von 137.250.27.6 (Diskussion) 12:13, 21. Jan. 2017 (CET))

In der englischen WP gibt’s dazu einen Abschnitt en:Determinant#Related notions for non-commutative rings. Ich selber hatte aber vorher von diesen Verallgemeinerungen noch nie gehört. -- HilberTraum (d, m) 17:13, 21. Jan. 2017 (CET)

Determinante der leeren Matrix

Die Determinante der leeren Matrix über einem Körper K, der Abbildungsmatrix der Abbildung vom Vektorraum, der nur den Nullvektor enthält, in sich selbst, wird in den Definition nicht wirklich erfasst. Wegen der Bijektivität und weil sie in der 1-elementigen Gruppe das neutrale Element ist, sollte sie die Determinante 1 haben. Mit einigen "Rückwärtsinduktionen" gelangt man zum selben Ergebnis. Kennt sich jemand damit aus? Gruß --J.B. (nicht signierter Beitrag von 95.208.70.1 (Diskussion) 18:51, 3. Feb. 2011 (CET))

Ich habe gerade festgestellt, dass doch alles konsistent bleibt. Mit den Allquantoren in der Determinantendefinition kommt man ja gar nicht in die Verlegenheit, Zeilen mit Skalaren zu multiplizieren oder zu addieren. Auch mit der Leibnitzformel bildet man mit der "leeren" Permutationsabbildung einfach die Summe über das leere Produkt, was ebenfalls zum Ergebnis 1 führt. -- J.B. (nicht signierter Beitrag von 95.208.70.1 (Diskussion) 20:30, 3. Feb. 2011 (CET))

eigenwerte

sollte man in der sektion eigenwerte als anzahl der eigenwerte nicht eine andere zahl als n wählen? wenn A eine nxn matrix ist, dann hat die maximal n eigenwerte und wenn die lambda_i paarweise verschieden sind würde das doch in diesem fall implizieren, dass alle r_i=1 sein müssen, bzw ist es klar, dass zumindest im reellen fall die anzahl der eigenwerte nicht unbedingt n sein muss (nicht signierter Beitrag von 77.80.23.15 (Diskussion) 18:11, 17. Okt. 2011 (CEST))

Habe das mal umformuliert, optimal ist es aber nicht. --Chricho ¹ 18:19, 26. Jan. 2012 (CET)

Laplacescher Entwicklungssatz - Beispiel

Moin, müsste bei dem Beispiel nach der ersten Zeile nicht hinten "=0-1+2=1" rauskommen?? Lerne das gerade und das verunsichert mich jetzt. -- Qnkel 13:20, 14. Feb. 2012 (CET)

Nein. Die Summe ist $0\cdot (-1)-1\cdot (-1)+2\cdot 1=0+1+2$. --Daniel5Ko 13:43, 14. Feb. 2012 (CET)

Formale Determinante

Was ist denn eine formale Determinante? Aus dem Abschnitt mit zwei Sätzen werde ich nicht schlau. --Christian1985 (Diskussion) 19:11, 5. Jul. 2012 (CEST)

Ich denke, den Abschnitt kann man sich sparen. Er bezieht sich auf

Eine Merkregel für diese Formel beruht auf einer symbolischen Darstellung über die Determinante. Dabei notiert man eine $(3\times 3)$-Matrix, in deren erster Spalte die Symbole ${\vec {e}}_{1}$, ${\vec {e}}_{2}$ und ${\vec {e}}_{3}$ für die Standardbasis stehen. Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors ${\vec {a}}$ und die dritte von denen des Vektors ${\vec {b}}$ gebildet. Diese Determinante berechnet man nach den üblichen Regeln, zum Beispiel indem man sie nach der ersten Spalte entwickelt

${\begin{aligned}{\vec {a}}\times {\vec {b}}&=\det {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&a_{1}&b_{1}\\{\vec {e}}_{2}&a_{2}&b_{2}\\{\vec {e}}_{3}&a_{3}&b_{3}\end{pmatrix}}\\&={\vec {e}}_{1}{\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}-{\vec {e}}_{2}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}+{\vec {e}}_{3}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}\\&=(a_{2}\,b_{3}-a_{3}\,b_{2})\,{\vec {e}}_{1}+(a_{3}\,b_{1}-a_{1}\,b_{3})\,{\vec {e}}_{2}+(a_{1}\,b_{2}-\,a_{2}\,b_{1})\,{\vec {e}}_{3}\,,\end{aligned}}$

im Artikel Kreuzprodukt #Komponentenweise Berechnung bzw.

In Koordinaten lässt sich das Kreuzprodukt im $\mathbb {R} ^{n}$ wie folgt berechnen. Es sei ${\vec {e}}_{i}$ der zugehörige $i$-te kanonische Einheitsvektor. Für $n-1$ Vektoren

${\vec {a}}_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{n1}\end{pmatrix}},\ {\vec {a}}_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{n2}\end{pmatrix}},\ \dots ,\ {\vec {a}}_{n-1}={\begin{pmatrix}a_{1\,(n-1)}\\a_{2\,(n-1)}\\\vdots \\a_{n\,(n-1)}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}$

gilt

${\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \cdots \times {\vec {a}}_{n-1}=\det {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&a_{11}&\cdots &a_{1(n-1)}\\{\vec {e}}_{2}&a_{21}&\cdots &a_{2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\vec {e}}_{n}&a_{n1}&\dots &a_{n(n-1)}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{1}&a_{11}&\cdots &a_{1(n-1)}\\{\vec {e}}_{2}&a_{21}&\cdots &a_{2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\vec {e}}_{n}&a_{n1}&\dots &a_{n(n-1)}\end{vmatrix}},$

analog zu der oben erwähnten Berechnung mit Hilfe einer Determinante.

im Abschnitt Kreuzprodukt #Kreuzprodukt im Rn

Früher stand da statt "symbolisch" mal "formal". --Digamma (Diskussion) 21:36, 5. Jul. 2012 (CEST)

Danke für die Aufklärung. Ich werde den Abschnitt nun streichen.--Christian1985 (Disk) 20:13, 31. Mai 2013 (CEST)

Konsistente Moglichkeit, Determinante auf End({0}) zu definieren?

Ich würde sagen nein, denn für V={0} (als VR über K) wäre {∅}, also Menge aller leeren Tupel, Definitionsbereich der Determinante. Man kann nun ∅ jeden Wert in K zuweisen, ohne Eigenschaften einer normierten alternierenden Multilinearform zu zerstören. Eindeutigkeit also futsch. (nicht signierter Beitrag von 78.94.39.190 (Diskussion) 01:09, 20. Nov. 2014 (CET))

Bildungssprachliche Bedeutung

Hallo, lt. Duden hat der Begriff zwei Ebenen. Zitat Bedeutungsübersicht:

   (bildungssprachlich) bestimmender Faktor
   (Mathematik) Rechenausdruck zur Lösung eines Gleichungssystems

Von daher würde ich es begrüßen, wenn sich hier nicht nur Mathematiker ausdrücken würden, da der bildungssprachliche Wert des Begriffes sicher im Alltag häufiger anzutreffen ist, wie im akademischen Betrieb der mathematischen Fakultät. Anders gesagt, auch wenn ich es selbst nicht leisten kann, wäre eine Befassung mit den sprachlichen Bezügen des Begriffes sicher ebenso im Sinne des Lesers, wenn nicht sogar wichtiger (Oma-Test).

Ein alter Wikipedianer 188.102.136.156 22:08, 30. Dez. 2016 (CET)

Das ist dann ein anderer Begriff, der durch dasselbe Wort bezeichnet wird. Das heißt, das ist kein Thema für diesen Artikel, sondern ggf. für einen eigenen Artikel. Deshalb gibt es ganz oben im Artikel den Begriffsklärungshinweis, der auf die Begriffsklärungsseite Determinante (Begriffsklärung) verweist. Möglicherweise findest du dort einen Verweis auf einen Artikel, in dem die von dir genannte Bedeutung behandelt wird. --Digamma (Diskussion) 13:13, 31. Dez. 2016 (CET)

Anwendungen

Kann die Determinante auch dazu verwendet werden, um festzustellen, ob ein HDTV-Programm in nativem HD sendet? --92.218.172.14 20:00, 29. Mai 2018 (CEST)

Leserfreundlichkeit

Der Artikel wird im Schnitt täglich von ca. 700 Interessenten aufgerufen. Die hohe Zahl kann ich mir nur dadurch erklären, dass viele Nicht-Mathe-Profis die Seite besuchen. Der Artikel sollte darauf vielleicht mehr Rücksicht nehmen. Mein Vorschlag:

1) Die Definition lässt sich ohne wesentliche Abstriche beispielhaft für den reellen Fall n=3 durchführen. Dann würden die vielen Indizes und "....." wegfallen und man würde das wesentliche der Aussagen optisch leichter erkennen. Die Multilinearität in der Definition wäre dann

• $\det(v_{1}+{\color {red}w},v_{2},v_{3})=\det(v_{1},v_{2},v_{2})+\det({\color {red}w},v_{2},v_{3})$

$\det({\color {red}r}v_{1},v_{2},v_{3})={\color {red}r}\det(v_{1},v_{2},v_{3})$

entsprechend für die 2. und 3. Komponente.

statt

${\begin{aligned}&\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i}+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\\&=\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})+\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\end{aligned}}$

$\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},r\cdot v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})=r\cdot \det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$

2) Auch die Leibniz-Formel wäre im Fall n=3 leichter zu verstehen.

3) Den Abschnitt "Determinante eines Endomorphismus" sollte man nach unten verschieben und "Berechnung" und "Eigenschaften" nach vorne verlagern. Auch der Abschnitt "Geschichte" wäre vielleicht besser weiter unten. --Ag2gaeh (Diskussion) 11:54, 5. Mär. 2021 (CET)

Gleichungssysteme

Die Einleitung und Geschichte erwähnt die ganze Zeit Gleichungssysteme. Der ganze Rest des Artikel erwähnt es gar nicht. Bin ich blind, oder sehe ich im ganzen Artikel kein einziges explizites Gleichungssystem, was diesen Zusammenhang mal an einem konkreten Beispiel zeigt? Wie kommt man von Gleichungssystem zu Matrix, um die Determinate dieses Gleichungssystems auszurechnen? Und was bringt es mir, von einem Gleichungssystem zu wissen, wie doll sich das "Volumen der linearen Abbildung ändert"? Ich habe Gleichungssysteme immer einfach durch Umstellen und Einsetzen gelöst. Was bringt mir die Determinante dabei?

Ich brauche keine kluge Antwort hier auf der Disk, sondern im Artikel, für alle Leute. --2003:DE:F0D:EC00:C156:960C:BF5C:50DD 20:54, 7. Jul. 2022 (CEST)