Diskussion:Differentialgeometrie

Es tut mit leid das sagen zu müssen, aber ich verstehe den Inhalt dieses Artikels nicht. Was soll etwa dieses Beispiel? Ich erstelle eine Funktion um Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umzuwandeln. Dann differenziere ich diese Funktion (bzw. die Komponentenfunktionen). Und dann? Wozu habe ich das Ganze gemacht? Ich habe zwar noch nicht Mathematik studiert, habe aber ein gewisses Grundwissen und sollte daher (meiner Meinung nach) einem Artikel, der ein Teilgebiet der Mathematik vorstellt, folgen können. Dies ist leider bei diesem Artikel nicht der Fall. Da ist sogar der sehr kurze [englische Artikel] hilfreicher, bei dem man auf den ersten Blick sieht, worum es geht.
Könnte bitte jemand mit entsprechendem Fachwissen den Artikel überarbeiten. --Caramdir 21:38, 20. Aug 2003 (CEST)

Großes Lob, so stelle ich mir einen guten Artikel vor! --Caramdir 10:48, 23. Aug 2003 (CEST)

Überschneidung mit Mannigfaltigkeit

Vieles in diesem Artikel überschneidet sich mit Mannigfaltigkeit, nimmt aber praktisch keinen Bezug darauf. Wir müssten das umorganisieren.

Gruß Klaus

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Meines Wissens gibt es zwei grundverschiedene Zweige der Differentialgeometrie, die klassische Differentialgeometrie und die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten (die übrigens durch einen Link referenziert wird).

Das kann man direkt an Hand von Literatur nachvollziehen (vgl. z.B. Wheeler, Walter und Straumann mit Weinberg, Fliessbach, Landau-Lifschitz, Born, Einstein). Vorlesungen über Allgemeine Relativitätstheorie an der Uni München (um 1990 herum) verwendeten die klassische Differentialgeometrie (ohne das äußere Produkt der Differentialformen oder den Tensorformalismus auch nur zu erwähnen).

In der klassischen Differentialgeometrie gibt es keine topologischen Mannigfaltigkeiten, Homomorphismen auf Tangentialräume, Atlanten und Karten, und der Formalismus unterscheidet sich wesentlich in den beiden Zweigen.

Der mathematische Zweig wird von vielen Physikern nicht akzeptiert, somit gibt es Entwicklungen in der Wissenschaft, die auseinanderlaufen.

Die verschiedenen Dinge zusammenzubringen, ist nicht so einfach.

Was aber will man in Wikipedia erreichen? Beschränkt man sich ausschließlich auf die Angabe von Begriffen und deren Interpretation, so fällt der unterschiedliche Formalismus vielleicht gar nicht ins Gewicht. Dennoch ist es schwierig, Atlanten und Karten in der klassischen Differentialgeometrie unterzubringen.

Ich persönlich halte eine darstellungsunabhängige Beschreibung der Mathematik und Physik für nicht sehr ergiebig.

Tensorprodukte und das äußere Produkt werden in dem Buch von Heil sehr gut dargestellt, dafür sollte eigentlich der entsprechende Link dienen.

Also, für die Umorganisation wären konkrete Vorschläge ganz hifreich.

Gruss --WoSa 22:50, 22. Aug 2003 (CEST)

Hmm, leider weiss ich nicht genau, was Du mit "klassischer Differentialgeometrie" meinst. Unter klassischer Differentialgeometrie wuerde ich (und ich glaube die meisten anderen Geometer auch) die Geometrie von Flaechen und Kurven (eingebettet in $\mathbb {R} ^{3}$) und moeglicherweise einige aeltere Beispiele fuer nicht-euklidische Geometrie hyperbolische Ebene und so etwas verstehen.

Anscheinend verstehst Du unter klassischer Differentialgeomtrie die Verwendung von Differentialformen?

Ich stimme Dir zu, dass die meisten Physiker lediglich eine einzige Karte einer Mannigfaltigkeit betrachten (die meistens dicht liegt), aber dass die Mathematik und die Mathematische Physik etwas unterschiedliches unter Differentialgeometrie verstehen ist mir so nicht bekannt.

Von den Buechern, die im Anhang des Artikels stehen, kenne ich eigentlich nur den Straumann (sehr schoen) und den do Carmo einigermassen gut, aber beim Straumann steht doch eine nette Beschreibung der Differentialgeometrie drin, mit einem starken Schwerpunkt auf explizite Berechnung von Tensoren und Vektoren...

Bin verwirrt. Sorry.

-- Klaus

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Sorry, Verwirrung stiften wollte ich nicht.

Unter "klassisch" verstehe ich die Art von Differentialgeometrie, wie sie z.B. von Einstein verwendet wurde, ohne Bezug auf Mannigfaltigkeiten.

Der Begriff "klassische Differentialgeometrie" ist auch nicht von mir geprägt, allerdings kann ich meine diesbezüglichen Quellen momentan nicht angeben, da muss ich verschiedene Werke noch einmal durchlesen.

Das Problem, was ich mit Straumann habe, ist die Verwendung einer Unmenge bedeutungstragender Begriffe in komplexen Zusammenhängen, deren Verständnis ohne ein eingehendes Studium gar nicht möglich ist. Hierzu gehören Begriffe wie Topologie, offene Mengen, Umgebungen, Zusammenhang, Homomorphismen, Tangentialräume, Karten, Atlas, multilineare Abbildungen, alternierende Differentialformen, Tensorprodukte, etc.

Das liegt wohl auch an meiner Überzeugung, dass ein Verständnis mathematischer Begriffe ohne Zurückführung auf ihre axiomatischen Grundlagen gar nicht möglich ist. Ich denke, wenn man das nicht tut, kann man die Mathematik für die Lösung von Problemen gar nicht anwenden.

Um die ersten 50 Seiten von Straumann zu lesen, habe ich mehrere Monate gebraucht, und das obwohl ich Mathematikvorlesungen über Differentialgeometrie, Topologie und Lineare Algebra erfolgreich absolviert habe, und es führte zu keinem besseren Verständnis der physikalischen Inhalte.

Deswegen versuche ich den Gegenstand zunächst ohne Bezug auf die mathematische Theorie der Mannigfaltigkeiten zu erforschen, und wenn ich die Bücher von Fliessbach oder Landau-Lifschitz lese brauche ich das auch gar nicht.

Reine Mathematik ist für mich interessant, wenn es unklare Aussagen zu präzisieren hilft, und davon gibt es genug im Bereich der Theoretischen Physik. Wenn ich aber Bücher wie die von Straumann lese, verstehe ich zunächst die verwendeten Begriffe überhaupt nicht und brauche sehr viel Zeit sie zu analysieren. Die Zeit geht aber für das Erforschen der physikalischen Inhalte verloren.

Die Erfahrung, die ich gemacht habe ist die, dass die Abstraktionen in der Mathematik immer komplizierter werden, und dennoch viele Physiker völlig unabhängig davon ihre Wissenschaft betreiben, zum Teil mit Formalismen, die schon 100 Jahre alt sind. Nicht zuletzt deswegen, weil sie die Mathematik überhaupt nicht (mehr) verstehen.

Das meinte ich mit Auseinanderlaufen der Forschungstätigkeiten.

Das erste Buch von Wheeler stammt aus d en 30er Jahren des letzten Jahrtausends, so dass seine Differentialgeometrie auch nicht mehr ganz so jung ist, und die Darstellungen sind ähnlich wie die von Straumann.

Vielleicht kann Wikipedia helfen verschiedene Standpunkte und deren Ausprägungen so aufzubereiten, dass sie für jedermann nutzbar werden.

Was ich allerdings nicht möchte, ist die Theorie der Mannigfaltigkeiten zur Grundlage meiner eigenen Artikel zu machen. Dazu muss ich mich noch wesentlich eingehender damit beschäftigen.

Gruss --WoSa 21:34, 1. Sep 2003 (CEST)

Mathematik?

Ich muss hier leider eine grundlegende Kritik äußern. Wenn man sich, so wie ich, jahrelang mirt Diffgeo beschäftigt hat, fragt man sich bei diesem Artikel, ob er eigentlich das beschreibt, was er sollte. Dies ist ein Artikel der einen der großen Bereiche der Mathematik beschreiben sollte. Ich sehe aber eher einen Artikel über die differentialgeometrischen Methoden in der Physik. Daher wohl auch obige Diskkusion über klassische Diffgeo. Das ist nur von historischem Interesse für Physiker. Tatsächlich kommt nicht einmal der Name Gauß vor!!! Als hätte Einstein die Diffgeo erfunden... Ich meine das nicht böse und der Artikel ist auch nicht schlecht, aber es liegt ein grundlegendes Missverständnis vor. Und zu guter letzt: Es gibt keine Diffgeo ohne Mannigfaltigkeiten. Auch wenn Fließbach da nicht so drauf rumreitet wie ein Mathebuch, ist es völlig klar (Fließbach wird das bestätigen...) das auch im Ricci-Kalkül (so heißt der von einstein etc. benutzte Indexkalkül) das zugrunde liegende Objekt eine Mannigfaltigkeit ist.--CWitte 13:56, 13. Nov 2004 (CET)

• Noch einmal zur Erklärung: ich denke nicht, dass dieser Artikel völlig abgehoben mathematisch sein sollte. Aber sicher sollte er nicht abgehoben physikalisch sein. Es sollte klar werden, was das Gebiet der Differentialgemometrie in der Mathematik ist. Und da fehlen die wesentlichen Punkte einfach.--CWitte 13:56, 13. Nov 2004 (CET)

• • Ich denke, wenn jemand jahrelang auf diesem Gebiet gearbeitet hat, wird er sicher andere Schwerpunkte finden. Meine Beiträge geben im wesentlichen wieder, wie ich das Gebiet kennengelernt habe, und was mir davon wichtig erschien, und das war nun einmal die Theoretische Physik. Dass Einstein die Differentialgeometrie nicht erfunden hat, ist richtig, aber zur damaligen Zeit hat man sich nicht mit differenzierbaren Mannigfaltigkeiten beschäftigt. Wenn man das alles in einem Artikel unterbringen will, wird man das ganze wahrscheinlich besser aufspalten, in allgemeine Betrachtungen zur Differentialgeometrie, und spezielle im Hinblick auf ihre Anwendungen in der Physik etc., wobei es da auch wieder unterschiedliche Ansätze gibt. Oder man verzichtet ganz auf Details und schreibt nur einen Übersichtsartikel.

• • Dass die obige Diskussion nur von historischem Interesse ist, glaube ich nicht. Ich habe beide Studiengänge (Mathematik, Physik) absolviert (bis 1998) und dabei sowohl die Arbeitsweise der Mathematiker als auch der Theoretischen Physiker kennengelernt. Die Schwerpunkte sind da einfach unterschiedlich, und in den Seminaren zur Theoretischen Physik, die ich besucht habe (LMU München, Hadronenphysik), Vorlesungen über Allgemeine Relativitätstheorie (Prof. Fritsch, Prof. Weigel), sowie in den Artikeln zur Kosmologie am Max Planck Institut für Astrophysik habe ich nichts über differenzierbare Mannigfaltigkeiten (Atlanten, Karten, Ismorphismen etc.) gefunden.

• • In dem Artikel Tensor wird von einer Gabelung der Begriffswelten gesprochen, das gibt die Fakten in etwa korrekt wieder (meiner Meinung nach). Nichtsdestoweniger, es gibt auch Kritik an den mathematischen Formalismen, sonst wären sie wohl schon längst übernommen worden. Die Terminologie der Differentialgeometrie, wie sie von den Mathematikern benutzt wird ist so neu auch nicht, sie wurde bereits 1930 von Wheeler eingeführt.

• • Wenn ich einen Artikel schreibe, habe ich mich einige Zeit mit einem Gebiet befasst. Falls sich im Laufe der Zeit jemand findet, der sich auf dem Gebiet besser auskennt, und das kann fast immer der Fall sein, kann sich auf der Grundlage des bereits beschriebenen ein besserer Artikel ergeben, oder alles wird noch einmal neu geschrieben. Manchmal wird es dadurch besser, manchmal aber auch nicht. Ein Artikel im Hinblick auf mathematische Exaktheit leidet vielleicht unter der Verständlichkeit, ein allzu verständlicher Artikel ist vielleicht fachlich nicht korrekt. Wie das Beispiel Walter Greiner zeigt (Buchreihe über Theoretische Physik) werden manche Darstellungen besser, wenn sie von Studenten geschrieben werden, die sehr daran interessiert sind, ihr Wissen an andere Studenten zu vermitteln.

• • Da in Wikipedia viele an den Artikeln arbeiten, ergibt sich letztendlich hoffentlich ein wirklich fruchtbares Ergebnis. Und Kommunikation ist ein schwieriges Gebiet, ich arbeite daran, wenn ich dabei einmal fehl gehen sollte, bitte ich um Rückmeldung.

Gruss WoSa 18:02, 14. Nov 2004 (CET)

Bevor das hier wie ein Konflikt aussieht: ich stimme fast allen Aspekten zu. Aber das meiste davon habe ich auch nicht kritisiert. Ich glaube, wir streiten uns hier nur über eine Bezeichnung für eine Darstellung. Ob Mannigfaltigkeiten im Ricci (Index-)- oder im Cartan (koordinatenfreier)-Kalkül beschrieben werden, ist einerlei, bzw. persönlicher Geschmack. Ich kritisiere nur die Bechreibung des Indexkalküls als Kalkül ohne Mannigfaltigkeiten. Die Raumzeit in der ART z.B. ist im allgemeinen immer eine Mannigfaltigkeit, sonst könnte man z.B. gar keine räumlich kompakten Kosmen beschreiben. Der Physiker muss sich oft gar nicht mit den Datails (Atlas, Karten etc...) groß auseinander setzen, aber im Hintergrund steht die Theorie der Mannigfaltigkeiten. Und diese Theorie ist die Differentialgeometrie. Sie hat ihren Ursprung in der Gauß'schen Theorie der Flächen und wurde dann u.a. von Riemann auf abstrakte Objekte verallgemeinert. Diese Theorie inspirierte Einstein zur ART (bzw. Einsteins Kollegen Marcel Grossmann, der Einstein damit vertraut machte). Die oben angesprochene Gabelung der Begriffswelt ist eine Gabelung der Darstellung. Das es Kritik an den mathematischen Formalismen gäbe, halte ich für übertrieben. Es gibt ein gesundes nebeneinander und miteinander, da beide Darstellungen äquvalent sind. Je abstrakter der Forschungszweig, desto abstrakter die Darstellung: wenn ich einen Neutronenstern berechne, muss ich nicht unbedingt vom Tangentialbündel palavern, wenn ich Hauptfaserbündel verstehen will, wäre abstraktes Verständnis allerdings hilfreich.

Damit bin ich beim eigentlichen Punkt: Dieser Artikel sollte mehr mit Faserbündeln als mit Neutronensternen zu tun haben. Nein, nicht konkret, sondern als Zielrichtung. Differentialgeometrie ist Mathematik, Physik benutzt die Differentialgeometrie. Ich finde, dass sollte der Artikel auch ausdrücken. Daher meine ich, dass der Zweig der Mathematik hier vorgestellt werden sollte und das ist mE zur Zeit nicht genug der Fall. Aber wie WoSa sagt: das macht ja nichts, denn dafür ist die Wikipedia ja da. Man kann einen Artikel ja ausbauen. Deshalb möchte ich mich auch für den vielleicht etwas scharfen Ton oben entschuldigen. Das sollte eigentlich ein Aufforderung zur Expansion sein. Gruß, --CWitte 14:27, 15. Nov 2004 (CET)

Hiho, wenn ihr den Artikel ueberarbeitet, ich faends prima, ich habe da schon von einigen Seiten Kritik gehoert. Selbst habe ich keine fundierte Ahnung, moechte aber ein paar Anmerkungen machen: ein historischer Abriss sollte auf jedenfall rein (wobei man sich ueberlegen sollte, ob einiges davon mehr in Riemannsche Geometrie soll, der Artikel hier kann ja nur einen Ueberblick bieten) und die Bedeutung der Differentialgeometrie in der theoretischen Physik ebenfalls. Wenn ein Begriff von Bedeutung in mehreren Disziplinen ist, sollte er auch aus mehreren Blickrichtungen enzyklopaedisch beleuchtet werden. Viele Gruesse --DaTroll 16:44, 16. Nov 2004 (CET)

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Hallo Cwitte und DaTroll,

ich stimme zu, dass der Artikel nur einen bestimmten Aspekt der Differentialgeometrie beschreibt. Meine Intuition war es physikalisch interessierten Lesern einen vielleicht etwas einfacheren Zugang zur Literatur zu ermöglichen und weitergehende Verzweigungen anzugeben. Über Faserbündel kann ich nicht sehr viel aussagen, da bin ich kein Fachmann, und was Mannigfaltigkeiten und ihre Begriffsterminologie betrifft, ich habe auf diesem Gebiet nie gearbeitet, und daher nur ein etwas rudimentäres Verständnis. Um den Artikel in einem viel allgemeineren Sinn zu überarbeiten, muss ich mich in die Spezialliteratur einlesen, die gibt aber meine augenblicklichen Interessenschwerpunkte nicht wieder. Vielleicht ist es da günstiger, wenn sich entsprechende Fachleute ans Werk machen. Momentan beschäftige ich mich mit Quantenmechanik, Quantentheorie, Dirac-Notation und baue eine private Formelsammlung für theoretische Physik auf, die von den Formeln ausgehend zu Erklärungen verzweigt - im Grunde versuche ich dabei meine ganzen Zettel für Prüfungsvorbereitungen aus dem Physikstudium aufzuarbeiten

Gruß WoSa 17:48, 5. Dez 2004 (CET)

Literatur

Gehören die Beschreibungen der Literatur wirklich in den Artikel? Ich finde die sehr subjektiv und meine daher, dass sie entfernt werden sollten.-- Hero Wanders 01:28, 7. Mai 2008 (CEST)

• Sehe ich genauso, bin zufällig auf die Seite gestoßen und eigentlich nur deswegen zur Diskussionsseite. 85.216.120.2 21:09, 22. Apr. 2009 (CEST)

Ich lösche sie nun raus! --Christian1985 (Diskussion) 22:22, 3. Nov. 2011 (CET)

Differentiale und Derivationen

Ich habe den Satz

Ferner bekommen Differentiale wie z. B. ${\rm {d}}f$, die in der klassischen Differentialgeometrie als „infinitesimale Funktionsdifferenzen“ interpretiert werden, jetzt die Bedeutung von Derivationen, das sind Operatoren, die jedem Vektor $\mathbf {v}$ des Tangentialbündels die Ableitung der Funktion f nach $\mathbf {v}$ zuordnen, ${\rm {d}}f[\mathbf {v} ]:={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\,.$

entfernt, weil er falsch ist. Das "Differential" ist eine 1-Form, also eine Linearform auf dem Tangentialraum. "Derivationen" sind die Tangentialvektoren. -- Digamma 21:07, 3. Nov. 2010 (CET)

Anwendungsgebiet "Theorie der Defekte"

Zitat: "Ein anderes wichtiges Anwendungsgebiet liegt in der Theorie der Defekte..." Was für ein Defekt ist damit gemeint?--KMic 12:59, 18. Apr. 2011 (CEST)

Moderne Differentialgeometrie

Gibt es den Bereich der modernen Differentialgeometrie wirklich? Oder dient das nur zur Gegenüberstellung zur elementaren Differentialgeometrie? Wie wärs wenn man diesen Abschnitt mit dem Abschnitt zur Differentialtopologie zusammenfügt? --Christian1985 (Diskussion) 01:22, 4. Mai 2011 (CEST)

Ich habe dies mal so umgesetzt. --Christian1985 (Diskussion) 22:23, 3. Nov. 2011 (CET)