Diskussion:Differentialoperator

Differentialoperator erster Ordnung

Mir scheint nun die erste Definition von Differentialoperator (erster Ordnung) doch etwas zu allgemein. Hier ist jede Abbildung der einmal differenzierbaren Funktionen auf die stetigen ein solcher. D.h. sie muss nichts mit differenzieren zu tun haben, ebenso wenig wie sie R-linear zu sein hat.

Ebenso scheint mir die Definition von Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten merkwürdig. Hier wird zuerst motiviert, dass man kein globales Koordinatensystem hat, um dann zu fordern, dass es für jede offene Menge U in M eine Trivialisierung gibt. Da insbesondere M in M offen ist, läuft das darauf hinaus, dass man doch eine globale Trivialisierung verlangt. Hier sollte vielleicht eher so etwas wie: jeder Punkt hat eine offene Umgebung U für die es so eine Trivialisierung gibt, oder für jede Karte im Atlas... (nicht signierter Beitrag von 78.34.209.130 (Diskussion | Beiträge) 18:07, 5. Mär. 2010 (CET))

Hallo, mit der Anmerkung bezüglich der koordinaten-invarianten Definition eines Differentialoperators hast Du auf jeden Fall recht. Hast Du einen Vorschlag wie man den Abschnitt des Differentialoperators erster Ordnung einfacher machen kann? --Christian1985 18:59, 5. Mär. 2010 (CET)

Formaler Differentialoperator

Habe die unzulässig enge Definition des Begriffs erweitert. Weiss jemand die Tex-Syntax für das Quadrat-Symbol Quabla?

Was soll eigentlich ein formaler Differentialoperator sein? Dieser Begriff tauchte bis eben hier noch als Bezeichung für Nabla auf und er wurde auch als Redirect angelegt. Eine google-Suche danach verläuft erfolglos. Ich kann zwar z. B. sagen Die Divergenz ist ein formales Skalaprodukt aus einem Differentialoperator in Form eines formalen Vektors und einem Vektor, aber ein sinnvoller Satz mit formaler Differentialoperator will mir nicht gelingen. Worin sollte denn der Unterschied zu einem echten Differentialoperator bestehen? Bin nur Physuíker und kein Mathematiker und lerne gerne etwas dazu ;-) Wolfgangbeyer 12:09, 22. Feb 2004 (CET)

Interessante Frage. Wenn es eine Unterscheidung gibt, liegt die wohl darin, was man mit dem Operator macht. Wenn ich ihn auf eine Funktion anwende, ist es ein (richtiger) Differentialoperator. Wenn ich dagegen ein Skalarprodukt oder Kreuzprodukt mit ihm berechne, wird er ja nicht direkt auf eine Funktion angewendet, sondern als Vektor betrachtet. Ich kann also ein "formales Skalarprodukt aus einem Differentialoperator und einem Vektorfeld" berechnen, oder ein "(eigentlich ebenso formales) Skalarprodukt aus einem formalen Differentialoperator und einem Vektorfeld". Hmm... *gruebel*

Noch'n Versuch: Ein richtiger Differentialoperator ist eine Abbildung; die kann ich in der Form $\nabla$ f = (df/dx, df/dy, df/dz) angeben. Der Ausdruck ${\vec {\nabla }}$ = (d/dx, d/dy, d/dz) (zur Unterscheidung mit Pfeil geschrieben) ist eigentlich kein Operator, sondern nur ein formaler Ausdruck, den ich nicht als Abbildung ansehen würde; höchstens als Kurzschreibweise für die erstgenannte Abbildung $\nabla$. Mit diesem formalen Ausdruck kann ich aber formal rechnen, indem ich eine "skalare Multiplikation" definiere, mit der ${\vec {\nabla }}\cdot f=\nabla f$ wird und das formale (weil auf die formale Multiplikation aufsetzende) Skalarprodukt ${\vec {\nabla }}\cdot F=divF$ wird.

Da ich eigentlich von Differentialgleichungen nix wissen will, und Differentialoperatoren mir nur in zwei Vorlesungen begegnet sind (von denen nur die über Distributionen interessant war), weiss ich keine endgültige Antwort auf diese Frage. Hast du Paddy gefragt, was er darunter versteht? --Sir Jective 12:43, 22. Feb 2004 (CET)

Dein Beispielsatz mit "formaler Differentialoperator" ist genau der, dem ich eben keinen rechten Sinn abringen kann, anders als dem davor. Der Differentialoperator ist doch nicht das formale Ding an der Sache. Auch kann ich gar keinen strukturellen Unterschied zwischen ${\vec {\nabla }}$ und $\nabla$ erkennen. Es sind für mich beides nur unterschiedliche Schreibweisen für den selben (echten) Differentialoperator. Mit dem Pfeil wird lediglich angedeutet, das er formal als Vektor interpretierbar ist, aber man kann ihn auch weglassen, weil keine Verwechslung mit einen gleichlautenden (formalen) Skalar möglich ist, anders als bei x und ${\vec {x}}$. Aber selbst wenn ich einen Unterschied zwischen ${\vec {\nabla }}$ und $\nabla$ sehen will, warum soll dann ${\vec {\nabla }}$ kein (echter) Operator sein? Ich könnte mir den Standpunkt vorstellen, dass man

$\nabla {\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

als direkte Definition versteht, die nicht über die Interpretation von $\nabla$ als formaler Vektor läuft. Aber spätestens, wenn ich so was wie $\nabla \times {\vec {F}}$ oder $\nabla \times \nabla$schreibe, muss ich $\nabla$ doch wieder als formalen Vektor ansehen, trotz fehlendem Pfeil. Mit der Definition

${\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$ wird ${\vec {\nabla }}{\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

dagegen zu einer daraus abgeleitete Beziehung statt einer Definition. ${\vec {\nabla }}$ ist damit als Funktion von Differentialoperatoren definiert und damit wie jede andere Funktion von Differentialoperatoren selbst wieder ein Differentialoperator. Seine Gestalt ist ein formaler Vektor aber was soll an ihm selbst formal sein? Das Adjektiv formal gibt doch hier nur in bezug auf Vektor einen Sinn und nicht auf Operator. Ich weiss nicht, ob dazu wirklich zusätzliche Kenntnisse aus Differentialrechnung nötig sind. Mir scheint das eher eine Frage der Logik zu sein. Wolfgangbeyer 14:51, 22. Feb 2004 (CET)

Ich habe das geschrieben, weil der Nablaoperator ein symbolischer Vektor ist. Das Argument mit google überzeugt mich persönlich sehr. Ich wäre dafür es nicht formaler Vektor sondern formaler oder symbolischer Vektor zu nennen. --Paddy 16:43, 22. Feb 2004 (CET)

Ganz schön länglich, aber soweit ich das sehe, kommt's nur in Nabla-Operator vor. Habe mal den Redirect Formaler Differentialoperator zum Löschen beantragt. Ferner geistert Formaler Differentialoperator womöglich noch in einigen Artikel rum. Paddy müsste wissen ob und wo. Wolfgangbeyer 17:57, 22. Feb 2004 (CET)

Es gibt keine weiteren! Das mit dem Löschen ist OK. --Paddy 18:00, 22. Feb 2004 (CET)

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Du hältst einen ganz schon auf Trab, Paddy:

1. Hatte die Definition des d’Alembert-Operators bewusst ausgeschrieben, um deutlich zu machen, dass er nur für 3 Raumkoordinaten definiert ist. Der Laplace-Operator, der ein paar Zeile darüber definiert ist, ist n-dimensional. Habe das wieder hergestellt.

2. Was hattest Du denn gegen den Differentialoperator D? Sowas exotisches wie $(\cdot )$ habe ich ja überhaupt noch nicht gesehen, und $(\cdot )(cf)=c((\cdot )f)$ strotzt auch nicht gerade vor Lesbarkeit. Das muss wirklich nicht sein. Sieht grafisch so aus, als hättest Du das irgendwoher, wo Operator als Verküpfungsoperator verstanden wie + - * /. Das würde ich dann als ziemliches inhaltliches Missverständnis bezeichnen. Habe das wieder hergestellt.

3. Wenn schon := dann überall, aber ich finde ,das gehört zu den formalen Spielerein, auf die man gut verzichten kann, und in vielen Büchern wird das ja auch so gemacht. Und in der Wikipedia wird's auch meist weggelassen.

4. Der Artikel soll ja nur definieren, was Differentialoperatoren sind, welche Eigenschaften sie haben und ein paar Beispiele vorstellen. Die Rechenregel gehören meiner Ansicht nach in die Artikel zu den einzelnen Operatoren und nicht hierher. Die, die Du hingeschrieben hast, gehören daher nach Nabla-Operator. Habe sie dorthin verschoben. Habe sie dort auch ausschließlich mit ${\vec {\nabla }}$ geschrieben, was sowieso viel eleganter aussieht, Ferner mit ${\vec {\nabla }}$ statt $\nabla$, weil dann die formalen Skalarprodukte besser ins Auge springen, aber das ist Geschmackssache. Und ans Ende der Abschnitte Rechenregeln von Gradient, Divergenz und Rotation sollte man einen Verweis setzen wie Weitere Rechenregeln siehe Nabla-Operator für die gemischten Ausdrücke.

Also alles wieder zurück - sorry. Wolfgangbeyer 19:33, 24. Feb 2004 (CET)

zu 1. so wie es da steht gilt es nur für kartesischen Koordinaten und n=3.

zu 2. habe es so (·) in einem Skript gelesen. Der Vorzug ist, daß es nicht mit den Skalaren oder Vektoren verwechseln kann. Finde ich persönlich lesbarer. Ist aber Geschmacksfrage.

zu 3. O.K. Habe ich nur so drinnen, das es mir ab und zu mal rausrutscht.

zu 4. Von mir aus. Aber wenigstens die gemischten wie:

$\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,\varphi =\Delta \varphi$

$\operatorname {rot} \,\operatorname {grad} \,\varphi ={\vec {0}}$

sollten da rein. Danach der Verweis. Allerdings muß ich dazu sagen, daß es im Bronstein so ähnlich drin steht (habe es jetzt nachgeschlagen) wie ich es gemacht habe. Teile der Rechenregeln sind unter Differentialoperator zu finden, die anderen unter grad, div und rot. Ich finde es ein nette Zusatzinformation. Habe es aus meiner selbst erstellten Übungsaufgaben Sammlung zur Theoretischen Elektrotechnik http://www.stud.uni-hannover.de/~paddy/download/tet.pdf.gz übernommen (sie muß allerdings noch ein wenig überarbeitet werden).

Zu 1.: Stimmt eigentlich. n muss nicht unbedingt gleich 3 sein, wie ich erst dachte. n=2 wäre ja sogar realistisch.

Zu 4: Die gemischten sollten wo rein? Schon mal bei Nabla-Operator geschaut?

Den Link auf Quabla habe ich entfernt, da er wohl nur auf einen Redirect auf d'Alembert-Operator verweisen würde. Wolfgangbeyer 20:30, 24. Feb 2004 (CET)

zu 4.: Habe ich überlesen! Sorry. Naja, ich hoffe ich habe nicht zu viel Arbeit gemacht. Wenigstens wurde darüber gesprochen. --Paddy 20:39, 24. Feb 2004 (CET)

Operatorgleichungen

Hallo 198.73.252.11, auch die Definition der Schreibweise eines Operators über eine Gleichung, die nur Operatoren enthält, ist eine Operatorgleichung. Ich sehe im Moment nicht, warum das irreführend sein soll. Zur Not könnte man wie beispielsweise durch wie beispielsweise die Definitionsgleichung ersetzen. --Wolfgangbeyer 20:13, 24. Feb 2005 (CET)

Definition

Es wäre schön, wenn der Artikel definieren könnte, was ein DO ist. Ich nehme jedenfalls nicht an, dass ich den Link Ableitungsvorschrift als Definition auffassen soll (der Link zeigt momentan auf die BKS Ableitung, aber das ist ein anderes Problem). Lineare DOs sollten relativ einfach zu definieren sein, und es wimre gibt es eine koordinatenfreie Definition eines PseudoDO. Bin aber mit Sicherheit nicht der richtige, dazu etwas zu schreiben.--Gunther 01:49, 2. Apr 2005 (CEST)

Ich habe das (vor ewigen Zeiten) tatsächlich als Definition so formuliert. Besser weiß ich es als Physiker nicht. Vorher stand hier wenig sinnvolles. Wenn es jemand besser weiß, nur zu. Aber es wäre nett, wenn der interessierte Laie, der ja unser Zielpublikum ist, es dann auch noch verstehen könnte ;-). --Wolfgangbeyer 14:16, 3. Apr 2005 (CEST)

Ich bezweifle, dass der Laie mit "Ableitungsvorschrift" wirklich eine soviel genauere Vorstellung bekommt als mit "Differentialoperator". Es gibt Ableitungen, ja, aber eigentlich nur auf eine Weise. Sind Ableitungsvorschriften vielleicht dasselbe wie Ableitungsregeln? Verstehst Du, was ich meine?

Und: Weder daraus noch aus den Beispielen wird klar, dass zB $x{\frac {\partial }{\partial x}}$ beispielsweise auch ein DO ist.--Gunther 14:23, 3. Apr 2005 (CEST)

Wie wär's mit: Ein Differentialoperator ist in der Mathematik die Interpretation einer Transformation einer Funktion als Operator, der auf diese Funktion angewendet wird, wobei die Transformationsvorschrift die mathematische Ableitung nach einer oder mehreren Variablen der Funktion enthält. Das Ergebnis ist wiederum eine Funktion. ? --Wolfgangbeyer 16:53, 3. Apr 2005 (CEST)

Ich würde den Teil mit dem Operator weglassen, also eher so etwas wie Ein Differentialoperator ist in der Mathematik eine Transformationsvorschrift, die einer Funktion eine Funktion zuordnet und die Ableitung nach einer oder mehreren Variablen benutzt. So richtig gut gefällt mir das aber auch noch nicht.--Gunther 17:10, 3. Apr 2005 (CEST)

Die Erwähnung von Operator finde ich eigentlich gerade ganz nett, da ja mancher Leser gar nicht weiß, was das ist, und über den Link gleich die Möglichkeit hat, sich schlauer zu machen. Außerdem wäre ich nicht so recht glücklich darüber, eine Transformation prinzipiell als Operator zu bezeichnen. Für mich ist das eher eine Sache der Interpretation oder Entscheidung, das so zu sehen und dann entsprechend damit umzugehen. Man kann es ja auch lassen. --Wolfgangbeyer 17:30, 3. Apr 2005 (CEST)

Eben weil der zu erwartende Leser nicht weiß, was ein Operator im allgemeinen ist, würde ich den Begriff weglassen. Für den Anfang genügt es völlig, sich unter einem Operator einen Differentialoperator vorzustellen. (Ehrlich gesagt kenne ich auch gar nicht so viele interessante Operatoren, die keine DOs sind.)

Ich verstehe nicht, was Du damit meinst, "eine Transformation prinzipiell als Operator zu bezeichnen". Meinst Du damit, dass der Satz nahelegt, dass jede Transformation, die Ableitungen involviert, ein Differentialoperator ist? Diese Ungenauigkeit würde ich im Einleitungssatz in Kauf nehmen. Eine präzise Definition kann man ja später noch geben. Falls ich Dich da missverstehe, würde ich mich über eine Klärung freuen.--Gunther 17:51, 3. Apr 2005 (CEST)

Nach Deiner Formulierung ist jede solche Transformation automatisch ein DO. Aber geht das nicht etwas zu weit? Ich kann ja auch ableiten ohne mich um das Konzept von DOs im geringsten zu kümmern, so wie es z. B. in der Schulmathematik gemacht wird. Die Zuordnung von DOs zu diesen Transformationen (oder eben ihre Interpretation als DOs) ist für mich so was wie ein zusätzlicher Akt, den man machen oder auch lassen kann. --Wolfgangbeyer 18:23, 3. Apr 2005 (CEST)

Natürlich kann man ableiten, ohne zu wissen, was ein DO ist. Aber wenn man aus dem Ableitungsvorgang ein mathematisches Objekt macht, dann ist das Ergebnis ein DO. Und ich denke, dass man das Prinzip eines DOs verstehen kann, ohne diesen Abstraktionsvorgang durchzuführen.--Gunther 01:54, 4. Apr 2005 (CEST)

Naja, ich hätte gedacht, dass man es damit leichter versteht, aber ich könnte schon auch ohne das damit leben. "enthält" hätte ich sprachlich etwas vorteilhafter empfunden als "benutzt". Aber Du warst ja selbst noch nicht ganz glücklich über Deine Formulierung. Vielleicht fällt Dir noch etwas besseres ein. Wenn nicht, dann setzte einfach irgendeine Version rein ;-). --

[x] Done. Ich kann mich noch gut erinnern, dass ich es für unmöglich hielt, dass die Faktorisierung von

$D^{2}+bD+c$ als $(D-\lambda _{1})(D-\lambda _{2})$

mehr als nur formale Bedeutung hat. Ich fand es auch überhaupt nicht klar, wenn nicht sogar überraschend, dass Lösungen von $(D-\lambda _{1})f=0$ auch Lösungen von $(D^{2}+bD+c)f=0$ sind. Mein Problem war, dass es das $D$ als mathematisches Objekt "ja gar nicht gab, das war ja nur ein Symbol".--Gunther 22:56, 4. Apr 2005 (CEST)

Hinweis zur "Umkehrung" bzw. Integraloperatoren

Da hier unter anderem die Differentialoperatoren wie div, rot, grad dargestellt werden, fehlen irgendwie Hinweise auf die dazu "verwandten" Integraloperatoren wie div^-1, rot^-1, grad^-1. Eigentlich fehlen Integraloperatoren als eigener Artikel in der Wikipedia gänzlich. Stichworte wie Laplace^-1 ($\Delta ^{-1}$) und das sehr weite Feld der Greenschen Funktionen/kerne. Da ich mich da auch nur am Rande damit beschäftige, vielleicht gibts Berufenere die sich über Integraloperatoren und Umfeld wagen? --wdwd 20:58, 27. Jan. 2007 (CET)

weitere Begriffe

Da ich den Artikel Atiyah-Singer-Indexsatz übersetzt habe und den Begriff Symbol irgendwo unterbringen will, habe ich ihn hier reingesetzt. Außerdem habe ich dann gleich die Unterscheidung hyperbolisch, elliptisch etc. eingeführt (gehört zwar eher zu partiellen Differentialgleichungen, hängt aber mit Symbol zusammen), wenn die entsprechenden Gleichungen schon als Beispiele auftauchten. -- Claude J 10:18, 2. Apr. 2007 (CEST)

Matrixdarstellung?

Ich gehe davon aus, dass man die Ableitung eines Polynoms $P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$, welches als Vektor mit den Koeffizienten ${\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\...\\a_{n}\end{pmatrix}}$ auffassen kann. Mit einer Matrix die überall null ist und nur auf der 1. Nebendiagonalen die Einträge n hat ableiten lässt. Ist das richtig? Gibt es schon einen Arikel dazu (ich habe keinen gefunden)? Sollte das hier ergänzt/verlinkt werden? --Schubi87 15:39, 30. Jun. 2007 (CEST)

Die Aussage ist richtig. Ich weiß nicht, ob sie irgendwo hier zu finden ist. Ich wüßte auch auf Anhieb nicht, wo man sie unterbringen sollte. Hier, denke ich, ist nicht der richtige Ort dazu. --Digamma 19:30, 20. Mai 2010 (CEST)

Aussprache?

Wie wird ein Differentialoperator ausgesprochen?

${d \over dx}$ => "de durch de ix"? (nicht signierter Beitrag von 85.181.103.7 (Diskussion | Beiträge) 02:04, 14. Jul 2009 (CEST))

Statt "durch" ein "nach": "d ... nach d x".--wdwd 08:23, 14. Jul. 2009 (CEST)

Also eine Wellengleichung, wie z. B. die Schrödinger Gleichung u. a. bleibt, Quantenmechanik hin, Analysis her, eine Wellengleichung, die Differentialoperatoren als Komponenten enthält, sie ist aber keiner, wie gesagt! (nicht signierter Beitrag von 92.198.30.156 (Diskussion | Beiträge) 08:02, 8. Okt. 2009 (CEST))

Partielle Differentialoperatoren

Die Definition $D(f)(x):=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{k}a_{ij}(x)\left({\frac {\partial ^{i}f}{\partial x_{j}^{i}}}(x)\right)^{\beta _{i}}$ ist unvollständig. Sie schließt gemischte partielle Ableitungen wie z.B. ${\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}$ nicht mit ein. Ich fürchte, für eine anständige Definition wird man um Multiindizes nicht herumkommen. Oder man belässt es bei aussagekräftigen Beispielen. --Digamma 19:22, 20. Mai 2010 (CEST)

Ja Du hast Recht. Ich fürchte so eine allgemeine Darstellung wird man für einen patiellen Differentialoperator nicht finden oder es würde beliebig kompliziert.... --Christian1985 (Diskussion) 17:49, 20. Jan. 2011 (CET)

Habe auch mal versucht dieses Problem zu lösen. Bitte schaut einmal darüber. --Christian1985 (Diskussion) 22:40, 13. Mär. 2012 (CET)

Kovariante Ableitung

Hallo Christian, warum ist die kovariante Ableitung kein Differentialoperator? --Digamma (Diskussion) 20:53, 11. Mär. 2012 (CET)

Ich denke das kommt etwas darauf an, wie man die kovariante Ableitung genau auffasst. Die kovariante Ableitung ist doch ein spezieller Zusammenhang

$\nabla \colon \Gamma ^{\infty }(TM)\times \Gamma ^{\infty }(T_{l}^{k}M)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(T_{l}^{k}M)\,.$

Damit dieser Zusammenhang ein Differentialoperator wird, müsste doch zuerst die Variable in $\Gamma ^{\infty }(TM)$ fixiert werden, oder? Daher fand ich das Beispiel nicht so ganz gelungen. --Christian1985 (Diskussion) 21:57, 11. Mär. 2012 (CET)

Das ist natürlich richtig. Man könnte zum Beispiel schreiben: Für jedes Vektorfeld X ist $\nabla X\colon \Gamma ^{\infty }(T_{l}^{k}M)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(T_{l}^{k}M),T\mapsto \nabla _{X}T$ ein Differentialoperator.

Dein Bearbeitungskommentar hat sich für mich so angehört, als ob die kovariante Ableitung manchmal ein Differentialoperator wäre aber nicht immer. --Digamma (Diskussion) 20:09, 12. Mär. 2012 (CET)

Ja mein Bearbeitungskommentar, war wirklich nicht sonderlich aussagekräftig. Ich habe versucht die kovariante Ableitung wieder aufzunehmen. Grüße --Christian1985 (Diskussion) 12:41, 13. Mär. 2012 (CET)

Definition

Die Definition

Ein Differentialoperator erster Ordnung ist eine Abbildung

$D\colon C^{1}(M)\to C(M),$

diese ordnet also einer einmal-stetig differenzierbaren Funktion eine stetige Funktion zu.

ist doch Unsinn, oder? Nicht jede solche Abbildung ist ein Differentialoperator. Ich habe leider keine Literatur hier. Aber meines Erachtens muss mindestens noch so etwas dastehen wie dass der Operator lokal ist, d.h. der Wert von $Df$ an der Stelle $x$ hängt nur von den Werten von $f$ in einer Umgebung von $x$ ab. Sonst fallen auch Integraloperatoren unter die Definition. --Digamma (Diskussion) 00:37, 13. Mär. 2012 (CET)

Ja, eigentlich völlig unausreichend. Auch $f\mapsto \sin$, wäre damit ein Differentialoperator erster Ordnung ;). Vielleicht ist/war das als Klassifizierung von später wirklich definierten DiffOps gemeint. Aber auch das scheint mir nicht sinnvoll zu funktionieren. --Daniel5Ko (Diskussion) 03:23, 13. Mär. 2012 (CET)

Ich habe mal versucht diesen Fehler zu beheben. Ist das Okey? --Christian1985 (Diskussion) 22:15, 13. Mär. 2012 (CET)

Ich glaube nicht. Zumindest Konstanten muss man noch als Koeffizienten zulassen, möglicherweise auch Funktionen, außerdem braucht ein Differentialoperator erster Ordnung ja nicht linear zu sein. Ich vermute mal, dass es genügt, wenn der Operator lokal ist. Ich weiß aber auf jeden Fall zu wenig darüber. Ohne ein Buch würde ich mich daran trauen. Beim jetzigen Stand würde ich eher auf eine Definition verzichten und nur aussagekräftige Beispiele angeben. --Digamma (Diskussion) 22:57, 13. Mär. 2012 (CET)

Naja ich wollte eine halbwegs einfache Definition am Anfang stehen haben, daher habe ich die Vorderung der Linearität aufgenommen. Natürlich ist nicht jeder Differentialoperator erster Ordnung linear. Dass eine Abbildung lokal sein muss, um ein Differentialoperator zu sein, legt die Definition für Vektorbündel nah, aber dort wurde ja auch Linearität gefordert. Ich habe in einige Bücher reingeschaut, dort aber leider nichts passendens gefunden. Die Koeffizientenfunktionen habe ich in der Definition vergessen, ich werde sie mal noch ergänzen. --Christian1985 (Diskussion) 23:07, 13. Mär. 2012 (CET)

Ich habe nirgendwo eine Definition für Differentialoperator gefunden (englische Wiki, mathworld, planetmath), die halbwegs allgemein und verständlich wäre. Mein Vorschlag: Man beginnt mit ein paar einfachen Beispielen, ohne eine Definition voranzustellen. Und dann definiert man ein paar Klassen von Differentialoperatoren. Ich würde auf jeden Fall nicht mit der jetzigen Definiton anfangen, sondern die einfachen Beispiele (einfache Ableitung, etc) voranstellen. --Digamma (Diskussion) 23:43, 13. Mär. 2012 (CET)

Konkreter: Ich würde den Abschnitt "Linearer Differentialoperator erster Ordnung" wieder umbenennen in "Differentialoperator erster Ordnung" und die Definition einfach streichen und es bei den Beispielen belassen. --Digamma (Diskussion) 23:47, 13. Mär. 2012 (CET)

Okey, magst Du es mal umsetzen, wie Du es Dir vorstellst? --Christian1985 (Diskussion) 13:15, 14. Mär. 2012 (CET)

Typographie

Wenn ich das richtig sehe, wird der Operator aufrecht stehend notiert. Ist das irgendwo genormt? Und wie sieht es mit Abständen zur Variable oder anderen Teiltermen aus (z.B. unter Integralen)? --Robb der Physiker (Diskussion) 15:36, 21. Feb. 2013 (CET)

Du schreibst "der Operator". Meinst du einen bestimmten? Oder beliebige Differentialoperatoren?

Vorneweg: In der Mathematik gibt es keine Normen, die allgemein beachtet werden. Es gibt aber wohl DIN- und ISO-Normen aus dem technischen oder physikalischen Bereich, die auch die mathematische Notation normieren.

In der Mathematik werden Operator-Symbole wie Funktionssymbole behandelt. Das heißt im Wesentlichen:

• Symbole, die aus mehreren Buchstaben bestehen, werden aufrecht und mit Abstand gesetzt. Dies betrifft z.B. "grad", "div", "rot".
• Symbole, die aus einem einzelnen Buchstaben bestehen, werden kursiv gesetzt.
• Verbreitet ist auch die Konvention, einzelne Buchstaben, die für einen bestimmten Operator stehen, aufrecht zu setzen (gemäß der Konvention, dass Konstantensymbole aufrecht gesetzt werden) und einzelne Buchstaben, die für variable Operatoren stehen, kursiv. Dieser Konvention gemäß wird oft das "d" aufrecht gesetzt. --Digamma (Diskussion) 16:13, 21. Feb. 2013 (CET)

Ich meine das „d“ für das totale Differential. Wenn ich dich richtig verstehe, ist ${\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}={\frac {df}{dx}}$. Soweit so gut. Gibt es auch Konventionen für Integrale, also bspw. $\int fdxdy$, $\int f\,dx\,dy$, $\int f{\rm {d}}x{\rm {d}}y$ oder $\int f\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y$? --Robb der Physiker (Diskussion) 14:38, 25. Feb. 2013 (CET)

Da ist es im Prinzip genauso. Man sollte es innerhalb eines Textes auf jeden Fall einheitlich handhaben. Wenn man ${\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}$ schreibt, sollte man auch $\int f\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y$ schreiben. Schreibt man ${\frac {df}{dx}}$, so sollte man $\int f\,dx\,dy$ schreiben. Ob es bezüglich des Abstands Konventionen gibt, weiß ich nicht. Ich setze immer kleine Abstände vor den Differentialen, damit man sieht, was zusammengehört. --Digamma (Diskussion) 17:07, 25. Feb. 2013 (CET)

Vielen Dank! --Robb der Physiker (Diskussion) 23:41, 1. Mär. 2013 (CET)