Diskussion:Differenzenquotient/Archiv/1

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[[Diskussion:Differenzenquotient/Archiv/1#Thema 1]]

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Kritikpunkte

I

• Verlinkung zu Ableitung fehlt.
• "Aus dem Differenzenquotienten ergibt sich durch Grenzwertbildung (Δx geht gegen Null) der Differentialquotient oder die Ableitung von f\left(x\right)" ist in dieser Allgemeinheit sachlich falsch. Die Aussage gilt bei an der Stelle x differenzierbaren Funktionen, hierfür ist die weiter oben erwähnte Stetigkeit aber gewiß nicht ausreichend. Und was heißt nun differenzierbar ? - Gerade, daß ein solcher Grenzwert existiert.
• Δx kann beiderlei Vorzeichen haben, eine Definition des Vorwärts- bzw. Rückwärtsdifferentialquotienten sollte also besser nicht das Vorzeichen vor Δx im Term f(x+Δx) ändern und zugleich abrupt die Voraussetzung Δx > 0 einführen, sondern besser Δx auf positive bzw. negative Werte beschränken.
• Wenn Vorwärts- bzw. Rückwärtsdifferentialquotient erwähnt werden, sollten auch linksseitige und rechtsseitige Ableitung und die Beziehung dazu angesprochen werden, sonst scheint das wenig sinnvoll.
• Beim zentralen Differentialquotienten sollte die Güte der Approximation der Ableitung diskutiert werden, sonst erscheint seine Erwähnung wenig sinnvoll.
• "Damit ist der Differenzenquotient wesentlich für die mathematische Basis der Analysis." Was soll das konkret heißen? Soll das heißen, die Analysis baue auf dem Begriff des Differentialquotienten auf? Dann halte ich es für unzutreffend. Denn die Analysis geht ja über die Analysis einer reeller Veränderlicher wesentlich hinaus, und nur wenn man sich auf einen Körper als Urbildraum beschränkt, kann man ja einen Begriff, der auf einem Quotienten, also eine Division aufsetzt, auch nur definieren.
• Ich finde eben und empfehle wärmstens einen Besuch bei Differentialrechnung#Einführung, dort ist das Wesentliche schon anschaulich wie begrifflich wie mit Bild zureichend abgehandelt, und erfreulicherweise wird auch die generischere Definition der Differenzierbarkeit als lineare Approximierbarkeit mit im Grenzwert verschwindender Störung gebracht.

--Silvicola 20:37, 11. Jan. 2008 (CET)

• Verlinkung zu Ableitung fehlt.

Ableitung führt den Leser zu einer Begriffsklärung, die auf Differentialrechnung verweist - und dazu ist der Artikel auch verlinkt; sowohl im Text als auch explizit unter "Siehe auch".

• "Aus dem Differenzenquotienten ergibt sich durch Grenzwertbildung (Δx geht gegen Null) der Differentialquotient oder die Ableitung von f\left(x\right)" ist in dieser Allgemeinheit sachlich falsch. Die Aussage gilt bei an der Stelle x differenzierbaren Funktionen, hierfür ist die weiter oben erwähnte Stetigkeit aber gewiß nicht ausreichend. Und was heißt nun differenzierbar ? - Gerade, daß ein solcher Grenzwert existiert.

Weiso ist das "sachlich falsch"? Es wird ja nicht behauptet, dass der Grenzwert immer und unter allen Umständen auch tatsächlich existieren muss. Hinzuschreiben, dass man den Grenzwert nur dann bilden kann, wenn er auch tatsächlich existiert, ist eine Tautologie.

Man kann auch schlecht "Differenzierbarkeit" als bekannt vorraussetzen um den Begriff "Differentialquotient" zu erklären.

Einen expliziten Hinweis darauf, dass der Grenzwert nicht zwangsläufig existieren muss könnte man aber tatsächlich im Artikel unterbringen.

• Δx kann beiderlei Vorzeichen haben, eine Definition des Vorwärts- bzw. Rückwärtsdifferentialquotienten sollte also besser nicht das Vorzeichen vor Δx im Term f(x+Δx) ändern und zugleich abrupt die Voraussetzung Δx > 0 einführen, sondern besser Δx auf positive bzw. negative Werte beschränken.

Δx auf ein bestimmtes Vorzeichen festzulegen ist eine unnötige und willkürliche Beschränkung. Die "aprupte" Vorraussetzung (Δx > 0) gilt hier ja nur im Kontext der Veranschaulichung der Begriffe Vorwärtsdifferenzenquotient und Rückwärtsdifferenzenquotient dazu, einen "Richtungswechsel" (auf dem Funktionsgraphen) zu vermeiden. Für Δx < 0 muss man beim Vorwärtsdifferenzenquotienten von $f\left(x\right)$ ausgehend "rückwärts" nach $f\left(x+\Delta x\right)$ gehen, um Δy zu ermitteln. Das ist mathematisch völlg korrekt, aber ich denke dem Leser sollte man diese unnötige Konfusion bei der Veranschaulichung des Begriffs wirklich ersparen - zumal die Definition davon ja unberührt bleibt.

Ich date zwar, das wäre klar, aber vielleicht könnte man ja etwas deutlicher herausstellen, dass sich (Δx > 0) bloß auf den Begriff "vorwärts" bzw. "rückwärts" im selben Satz bezieht. Vielleicht sollte man auch noch explizit darauf hinweisen, dass "vorwärts" und "rückwärts" sich auf einen gedachten Funktionsgraphen beziehen?

• Wenn Vorwärts- bzw. Rückwärtsdifferentialquotient erwähnt werden, sollten auch linksseitige und rechtsseitige Ableitung und die Beziehung dazu angesprochen werden, sonst scheint das wenig sinnvoll.

Gut, dass Du das ansprichst. Das ist nämlich ein weiterer Grund, weshalb man den Vorwärts- oder Rückwärtsdifferenzenquotienen gerade nicht am Vorzeichen von Δx festmachen sollte. Denn das Vorzeichen von Δx bestimmt darüber, ob der Grenzwertübergang die rechtsseitige oder die linksseitige Ableitung liefert. Man kann nun aber selbstverständlich sowohl für den Vorwärts-, für den Rückwärts- und den zentralen Differenzquotienten jeweils sowohl die linksseitige als auch die rechtsseitige Ableitung bestimmen (natürlich nur wenn beide existieren) - das Eine ist vom Anderen völlig unabhängig.

Eine Diskussion über rechtsseitige und linksseitige Ableitungen und Grenzwerte würde den Rahmen dieses Artikels wohl eindeutig sprengen - und ist sicher bei Artikeln über Grenzwerte und/oder Differentialquotienten besser aufgehoben.

• Beim zentralen Differentialquotienten sollte die Güte der Approximation der Ableitung diskutiert werden, sonst erscheint seine Erwähnung wenig sinnvoll.

Das wird im verlinkten Artikel zur numerischen Differentation betrachtet.

• "Damit ist der Differenzenquotient wesentlich für die mathematische Basis der Analysis." Was soll das konkret heißen? Soll das heißen, die Analysis baue auf dem Begriff des Differentialquotienten auf? Dann halte ich es für unzutreffend. Denn die Analysis geht ja über die Analysis einer reeller Veränderlicher wesentlich hinaus, und nur wenn man sich auf einen Körper als Urbildraum beschränkt, kann man ja einen Begriff, der auf einem Quotienten, also eine Division aufsetzt, auch nur definieren.

Dass die Analysis (unter anderem) auf dem Begriff des Differnzenquotienten aufbaut bedeutet ja nicht, dass sie auf nichts anderem als dem Differenzenquotienten beruht. Und dass eine Theorie über ihre Grundlagen hinausgeht scheint mir auch kein Widerspruch zu sein, sondern sogar selbstverständlich. Auch in historischem Kontext ist die Entwicklung der Analysis durch Newton und Leibnitz eng mit den Begriffen Sekantensteigung (=Differenzenquotient) und Tangentensteigung (=Differentialquotient) verknüpft.

• Ich finde eben und empfehle wärmstens einen Besuch bei Differentialrechnung#Einführung, dort ist das Wesentliche schon anschaulich wie begrifflich wie mit Bild zureichend abgehandelt, und erfreulicherweise wird auch die generischere Definition der Differenzierbarkeit als lineare Approximierbarkeit mit im Grenzwert verschwindender Störung gebracht.

Dass in diesem Artikel die Differenzierbarkeit abgehandelt wird, ist völlig in Ordnung. Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzenquotient werden jedoch nicht erwähnt, was auch in Ordnung ist, denn der Artikel behandelt ja nicht den Differenzenquotienten, sonden den Differentialquotienten.

In diesem Artikel hier geht es aber in erster Linie um den Differenzenquotienten und nicht um den Differentialquotienten. Deshalb werden hier auch Vorwärts- Rückwärts und zentraler Differantiolquotiant besprochen, nicht aber die rechts- oder linksseitige Ableitung.

Der Differenzenquotient ist ein so wichtiger Begriff, dass er definitiv einen eigenen Artikel verdient, er spielt auch noch in anderen Bereichen der Mathematik eine Rolle, wie der bereits erwähnten numerischen Differentation und anderen Näherungsverfahren.

Ich finde es auch wichtig, dass man den Begriff irgendwo so beschreibt, dass er auch von demjenigen Leser verstanden werden kann, der mit Begriffen wie "Links-Rechtsseitige Ableitung", "Differenzierbarkeit", "Differenzial" etc. noch nichts anfangen kann. Wer bei "Differenzenquotient" nachschlägt, weil er's noch nicht (genau) weiss, der weiss wohl auch kaum was "Differenzierbarkeit" ist.

Mschcsc 00:10, 12. Jan. 2008 (CET)

Ableitung führt den Leser zu einer Begriffsklärung, die auf Differentialrechnung verweist - und dazu ist der Artikel auch verlinkt; sowohl im Text als auch explizit unter "Siehe auch". - Zugegeben, über Differentialquotient im Text und die Verwandten Themen. Das fettgeschriebene Ableitung trug keinen Link.

...ist in dieser Allgemeinheit sachlich falsch... -> "Wieso ist das "sachlich falsch"? Es wird ja nicht behauptet, dass der Grenzwert immer und unter allen Umständen auch tatsächlich existieren muss. Hinzuschreiben, dass man den Grenzwert nur dann bilden kann, wenn er auch tatsächlich existiert, ist eine Tautologie. - Weiter unten in der Antikritik heißt es, sinngemäß, daß der Artikel sich vor allem auch an Laien wende - "dass man den Begriff irgendwo so beschreibt, dass er auch von demjenigen Leser verstanden werden kann, der mit Begriffen wie ...". Der wird nun aber nicht gerade annehmen, daß ein Grenzwert auch nicht existieren kann, wenn schlankweg dasteht "Aus dem X ergibt sich durch Grenzwertbildung der Y". Zumindest muß da relativiert werden, à la "Differentialquotienten haben bei vielen Funktion für Δx -> 0 einen Grenzwert, den man Differentialquotient nennt", "... bei den meisten praktisch auftretenden Funktionen...", o.ä. Aber nur nichts sagen, was falsch ist oder verstanden werden könnte. Die schlechte Saat geht leider oft besser auf als die gute.

"Man kann auch schlecht "Differenzierbarkeit" als bekannt vorraussetzen, um den Begriff "Differentialquotient" zu erklären." - Durchaus einverstanden. Aber dann sollte man auch nicht im Schweinsgalopp gleich zur Ableitung kommen.

"Einen expliziten Hinweis darauf, dass der Grenzwert nicht zwangsläufig existieren muss könnte man aber tatsächlich im Artikel unterbringen." - Nur zu.

"Δx auf ein bestimmtes Vorzeichen festzulegen ist eine unnötige und willkürliche Beschränkung. Die "aprupte" Vorraussetzung (Δx > 0) gilt hier ja nur im Kontext der Veranschaulichung der Begriffe Vorwärtsdifferenzenquotient' und Rückwärtsdifferenzenquotient' dazu, einen "Richtungswechsel" (auf dem Funktionsgraphen) zu vermeiden. Für Δx < 0 muss man beim Vorwärtsdifferenzenquotienten von $f\left(x\right)$ ausgehend "rückwärts" nach $f\left(x+\Delta x\right)$ gehen, um Δy zu ermitteln. Das ist mathematisch völlg korrekt, aber ich denke dem Leser sollte man diese unnötige Konfusion bei der Veranschaulichung des Begriffs wirklich ersparen - zumal die Definition davon ja unberührt bleibt." - Mir sind VDnQ, RDnQ, ZDnQ bisher nur in der Numerik begegnet(Diskretisierung und Differenzenmethode zur Lösung von DGL). Dort wird dann statt Δx meist h benutzt, und h bezeichnet die Schrittweite. Obgleich formal wohl anders möglich, wird h praktisch stets als positiv genommen, denn für Gitterweiten usw. nimmt man die Elementarlänge halt gerne positiv, damit "kleineres h" stets zu "feineres Gitter" synonym bleibt. Was die Bezeichnungsteile vorwärts und rückwärts motiviert, ist also wohl, daß das Steigungsdreieck an der Kurve in einem Fall nach rechts an die Stützstelle x anliegt ("vorwärts"), und im anderen nach links. Läßt man dagegen Δx bzw. h beliebiges Vorzeichen haben, dann geht diese Anschauung verloren, weil das Steigungsdreieck durch VZW umkippt. Eine Erklärung im Stile von "Der VorwärtsDnQ heißt vorwärts, weil er, wenn zudem noch Δx > 0 vorausgesetzt wird (also in der Hälfte der Fälle!), wirklich vorwärts ist (wohingegen er in der anderen Hälfte dann wohl rückwärts ist!)", die ist verwirrend. Da muß also dringends umformuliert werden. Übrigens wäre den Laien unter den Lesern auch sehr geholfen, wenn sie nicht nur den Begriff Steigung läsen, sondern auch eine Graphik sähen vergleichbar der unter Differentialrechnung. Läßt man das VZ von Δx bei der Definition der speziellen DnQ allerdings offen, scheitert diese graphische Veranschaulichung.

Übrigens sollte bei der Definition von VDnQ, RDnQ, ZDnQ immer der ganze definierende Ausdruck stehen, und nicht nur der Zähler unter der Hand umdefiniert werden.

"Das ist nämlich ein weiterer Grund, weshalb man den Vorwärts- oder Rückwärtsdifferenzenquotienen gerade nicht am Vorzeichen von Δx festmachen sollte. Denn das Vorzeichen von Δx bestimmt darüber, ob der Grenzwertübergang die rechtsseitige oder die linksseitige Ableitung liefert. Man kann nun aber selbstverständlich für den Vorwärts-, für den Rückwärts- und den zentralen Differenzquotienten jeweils sowohl die linksseitige als auch die rechtsseitige Ableitung bestimmen (natürlich nur wenn beide existieren) - das Eine ist vom Anderen völlig unabhängig." - Die linksseitige Ableitung an Stelle x, wenn existent, ist gleich dem rechtseitigen Grenzwert des VDnQ und dem linksseitigen des RDnQ (nur erlaubt, wenn der nicht VZbeschränkt definiert verstanden wird). Wenn rechte und linke Ableitung existieren, aber verschieden sind, dann sind die Limiten von VDnQ wie RVnQ - wenn h im Limes nicht VZbeschränkt sein soll - gar nicht existent.

Eine Diskussion über rechtsseitige und linksseitige Ableitungen und Grenzwerte würde den Rahmen dieses Artikels wohl eindeutig sprengen - und ist sicher bei Artikeln über Grenzwerte und/oder Differentialquotienten besser aufgehoben. - Nun gut. Aber als reine Formelsammlung wäre der Artikel doch reichlich sinnlos. Man sollte im Text etwas darüber sagen, wo er vorkommt, etwa in der numerischen Lösung von DGL. Und zwar nicht nur, daß er dort vorkommt und unbestimmt wichtig ist, sondern etwas wie - ich improvisiere und skizziere aber wirklich nur - "DnQ finden bei der numerischen Lösung von DGL Verwendung. Dabei werden in den DGL statt der vorkommenden Ableitungen näherungsweise DnQs eingesetzt, womit die entstehenden Gleichungen einer Lösung mit einfachen algebraischen Methoden zugänglich werden." Die direkte Beziehung zu den einseitigen Ableitungen opfert man selbstredend, wenn man VDnQ und RDnQ nicht vorzeichenbeschränkt definiert.

"Dass die Analysis (unter anderem) auf dem Begriff des Differenzenquotienten aufbaut bedeutet ja nicht, dass sie auf nichts anderem als dem Differenzenquotienten beruht. Und dass eine Theorie über ihre Grundlagen hinausgeht, scheint mir auch kein Widerspruch zu sein, sondern sogar selbstverständlich. Auch in historischem Kontext ist die Entwicklung der Analysis durch Newton und Leibnitz eng mit den Begriffen Sekantensteigung (=Differenzenquotient) und Tangentensteigung (=Differentialquotient) verknüpft." - Dann sollte man ziemlich genau das sagen: DnQs waren in der geschichtlichen Entwicklung der Mathematik bedeutsam, weil ... Leibniz, Newton, ... Entstehung des Grenzwertbegriff, ... Begründung der Infinitesimalrechnung ..."

Differenzen von Funktionswerten beliebiger mathematischen Funktionen können i.a. nicht den Zähler eines Bruches bilden. Der erste Satz muß umformuliert werden.

-- Silvicola 14:00, 12. Jan. 2008 (CET)

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Ableitung führt den Leser zu einer Begriffsklärung, die auf Differentialrechnung verweist - und dazu ist der Artikel auch verlinkt; sowohl im Text als auch explizit unter "Siehe auch". - Zugegeben, über Differentialquotient im Text und die Verwandten Themen. Das fettgeschriebene Ableitung trug keinen Link.

Aus gutem Grund. Denn Ableitung führt auch wieder bloß zu dem bereits verlinkten Differentialquotienten - nur muss der Leser noch die Begriffserklärung durchforsten und nochmal klicken!

...ist in dieser Allgemeinheit sachlich falsch... -> "Wieso ist das "sachlich falsch"? Es wird ja nicht behauptet, dass der Grenzwert immer und unter allen Umständen auch tatsächlich existieren muss. Hinzuschreiben, dass man den Grenzwert nur dann bilden kann, wenn er auch tatsächlich existiert, ist eine Tautologie. - Weiter unten in der Antikritik heißt es, sinngemäß, daß der Artikel sich vor allem auch an Laien wende - "dass man den Begriff irgendwo so beschreibt, dass er auch von demjenigen Leser verstanden werden kann, der mit Begriffen wie ...". Der wird nun aber nicht gerade annehmen, daß ein Grenzwert auch nicht existieren kann, wenn schlankweg dasteht "Aus dem X ergibt sich durch Grenzwertbildung der Y". Zumindest muß da relativiert werden, à la "Differentialquotienten haben bei vielen Funktion für Δx -> 0 einen Grenzwert, den man Differentialquotient nennt", "... bei den meisten praktisch auftretenden Funktionen...", o.ä. Aber nur nichts sagen, was falsch ist oder verstanden werden könnte. Die schlechte Saat geht leider oft besser auf als die gute.

Aber est ist totzdem nicht die Aufgabe eines Artikels über den Differenzenquotienten, hier die Existenzbedingungen für die Grenzwertbildung zu diskutieren - da gibt's doch wirklich bessere und ausführlichere Artikel, die nur einen Mausklick entfernt sind.

"Man kann auch schlecht "Differenzierbarkeit" als bekannt vorraussetzen, um den Begriff "Differentialquotient" zu erklären." - Durchaus einverstanden. Aber dann sollte man auch nicht im Schweinsgalopp gleich zur Ableitung kommen.

Naja, aber man muss auch nicht jeden einfachen Zusammenhang zugunsten der "reinen Mathematik" unnötig verkomplizieren. Man darf natürlich nichts falsches zugunsten der Anschaulichkeit behaupten, da bin ich völlig einig. Ich teile auch deine Meinung, dass man nichts Wesentliches unter den Tisch fallen lasen darf. Aber man muss nicht jedesmal, wenn man von einem Verhältnis oder Bruch redet, auch hinschreiben, dass der Nenner nicht Null sein darf oder dass der Zähler nicht über alle Grenzen wachsen darf.

Was aber nun konkret die Grenzwertbildung anbelangt, so ist es ja keineswegs so, dass der Grenzwertbegriff die Unterscheidung von "oberem" und "unterem" Grenzwert als bestandteil seiner Definition enthält. Ganz im Gegenteil baut der Grenzwertbegriff ganz explizit auf dem Begriff der $\varepsilon >0$-Umgebung auf. "Oberer" und "unterer Grenzwert" interessieren erst wenn's darum geht zwischen "differenzierbar" und "nicht-differenzierbar" zu unterscheiden. Für die Ableitung sieht das nochmals anders aus, denn eine stetige Funktion die in x0 nicht differenzierbar ist, hat trotzdem sehr wohl Ableitungen (nämlich die Rechtsseitige und Linksseitige). So gesehen ist die Gleichsetzung von "Differentialquotient" und "Ableitung" nicht richtig - ich werde das korrigieren; und vielleicht sogar noch kurz auf links- und rechtsseitige Grenzwerte bzw. Ableitungen eingehen.

"Einen expliziten Hinweis darauf, dass der Grenzwert nicht zwangsläufig existieren muss könnte man aber tatsächlich im Artikel unterbringen." - Nur zu.

Mal sehen, Steht aber auch Dir - und allen anderen frei, einzufügen.

"Δx auf ein bestimmtes Vorzeichen festzulegen ist eine unnötige und willkürliche Beschränkung. Die "aprupte" Vorraussetzung (Δx > 0) gilt hier ja nur im Kontext der Veranschaulichung der Begriffe Vorwärtsdifferenzenquotient' und Rückwärtsdifferenzenquotient' dazu, einen "Richtungswechsel" (auf dem Funktionsgraphen) zu vermeiden. Für Δx < 0 muss man beim Vorwärtsdifferenzenquotienten von $f\left(x\right)$ ausgehend "rückwärts" nach $f\left(x+\Delta x\right)$ gehen, um Δy zu ermitteln. Das ist mathematisch völlg korrekt, aber ich denke dem Leser sollte man diese unnötige Konfusion bei der Veranschaulichung des Begriffs wirklich ersparen - zumal die Definition davon ja unberührt bleibt." - Mir sind VDnQ, RDnQ, ZDnQ bisher nur in der Numerik begegnet(Diskretisierung und Differenzenmethode zur Lösung von DGL). Dort wird dann statt Δx meist h benutzt, und h bezeichnet die Schrittweite. Obgleich formal wohl anders möglich, wird h praktisch stets als positiv genommen, denn für Gitterweiten usw. nimmt man die Elementarlänge halt gerne positiv, damit "kleineres h" stets zu "feineres Gitter" synonym bleibt. Was die Bezeichnungsteile vorwärts und rückwärts motiviert, ist also wohl, daß das Steigungsdreieck an der Kurve in einem Fall nach rechts an die Stützstelle x anliegt ("vorwärts"), und im anderen nach links. Läßt man dagegen Δx bzw. h beliebiges Vorzeichen haben, dann geht diese Anschauung verloren, weil das Steigungsdreieck durch VZW umkippt. Eine Erklärung im Stile von "Der VorwärtsDnQ heißt vorwärts, weil er, wenn zudem noch Δx > 0 vorausgesetzt wird (also in der Hälfte der Fälle!), wirklich vorwärts ist (wohingegen er in der anderen Hälfte dann wohl rückwärts ist!)", die ist verwirrend. Da muß also dringends umformuliert werden.

Ein festlegen des Vorzeichens würde aber ebenfalls den gedanklichen Wechsel von f(x0) zu f(x0+Δx) erfordern, und das ist noch viel verwirrender - und ausserdem sogar falsch, denn f(x0+Δx) hat nach dem vollzogenen Grenzwertübergang einen anderen Wert (nämlich f(x0) weil das endliche Δx "verschwunden" ist) als vorher. Beim Differentialquotienten ist es egal, da nach der Grenzwertbildung f(x0+Δx) und f(x0) sowieso identisch sind, aber beim Differenzenquotienten kann der Unterschied von f(x0) und f(x0+Δx) z.B. den Unterschied zwischen Differenzierbarkeit und nicht-Differenzierbarkeit bedeuten.

Man darf auch nicht einfach klare formale Definitionen zugunsten der Anschauung "umbiegen" oder "einschränken"; es geht hier nämlich nicht um Geometrie.

Übrigens wäre den Laien unter den Lesern auch sehr geholfen, wenn sie nicht nur den Begriff Steigung läsen, sondern auch eine Graphik sähen vergleichbar der unter Differentialrechnung. Läßt man das VZ von Δx bei der Definition der speziellen DnQ allerdings offen, scheitert diese graphische Veranschaulichung.

Grafik ist ja inzwischen da... Dass man das Vorzeichen von Δx nicht festlegen darf scheint dir immer noch nicht klar zu sein. Damit würde man sich ja schon von vorneherein bei der Grenzwertbildung auf den linksseitigen oder rechtsseitigen Grenzwert festlegen, und sich damit jede Möglichkeit verbauen, den Differenzialquotienten überhaupt zu ermitteln, weil man ja nur einen der beiden Grenzwerte bestimmen könnte. Die Differenzierbarkeit einer Funktion wäre damit unendscheidbar.

Übrigens sollte bei der Definition von VDnQ, RDnQ, ZDnQ immer der ganze definierende Ausdruck stehen, und nicht nur der Zähler unter der Hand umdefiniert werden.

Einverstanden, könnte man besser darstellen.

"Das ist nämlich ein weiterer Grund, weshalb man den Vorwärts- oder Rückwärtsdifferenzenquotienen gerade nicht am Vorzeichen von Δx festmachen sollte. Denn das Vorzeichen von Δx bestimmt darüber, ob der Grenzwertübergang die rechtsseitige oder die linksseitige Ableitung liefert. Man kann nun aber selbstverständlich für den Vorwärts-, für den Rückwärts- und den zentralen Differenzquotienten jeweils sowohl die linksseitige als auch die rechtsseitige Ableitung bestimmen (natürlich nur wenn beide existieren) - das Eine ist vom Anderen völlig unabhängig." - Die linksseitige Ableitung an Stelle x, wenn existent, ist gleich dem rechtseitigen Grenzwert des VDnQ und dem linksseitigen des RDnQ (nur erlaubt, wenn der nicht VZbeschränkt definiert verstanden wird). Wenn rechte und linke Ableitung existieren, aber verschieden sind, dann sind die Limiten von VDnQ wie RVnQ - wenn h im Limes nicht VZbeschränkt sein soll - gar nicht existent.

Falsch, die Grenzwerte sind normalerweise sehr wohl vorhanden, sie sind nur nicht gleich. Linke und Rechte Ableitung sind nichts anderes als ebendiese links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte.

Eine Diskussion über rechtsseitige und linksseitige Ableitungen und Grenzwerte würde den Rahmen dieses Artikels wohl eindeutig sprengen - und ist sicher bei Artikeln über Grenzwerte und/oder Differentialquotienten besser aufgehoben. - Nun gut. Aber als reine Formelsammlung wäre der Artikel doch reichlich sinnlos. Man sollte im Text etwas darüber sagen, wo er vorkommt, etwa in der numerischen Lösung von DGL. Und zwar nicht nur, daß er dort vorkommt und unbestimmt wichtig ist, sondern etwas wie - ich improvisiere und skizziere aber wirklich nur - "DnQ finden bei der numerischen Lösung von DGL Verwendung. Dabei werden in den DGL statt der vorkommenden Ableitungen näherungsweise DnQs eingesetzt, womit die entstehenden Gleichungen einer Lösung mit einfachen algebraischen Methoden zugänglich werden." Die direkte Beziehung zu den einseitigen Ableitungen opfert man selbstredend, wenn man VDnQ und RDnQ nicht vorzeichenbeschränkt definiert.

Eine Erweiterung des Artikels halte ich auch für begrüssenswert.

"Dass die Analysis (unter anderem) auf dem Begriff des Differenzenquotienten aufbaut bedeutet ja nicht, dass sie auf nichts anderem als dem Differenzenquotienten beruht. Und dass eine Theorie über ihre Grundlagen hinausgeht, scheint mir auch kein Widerspruch zu sein, sondern sogar selbstverständlich. Auch in historischem Kontext ist die Entwicklung der Analysis durch Newton und Leibnitz eng mit den Begriffen Sekantensteigung (=Differenzenquotient) und Tangentensteigung (=Differentialquotient) verknüpft." - Dann sollte man ziemlich genau das sagen: DnQs waren in der geschichtlichen Entwicklung der Mathematik bedeutsam, weil ... Leibniz, Newton, ... Entstehung des Grenzwertbegriff, ... Begründung der Infinitesimalrechnung ..."

Man könnte darüber nachdenken, auch einen Abschnitt über die historische Entwicklung und Bedeutung einzufügen - halte ich aber für etwas übertrieben. Mit ging es eher darum dass die Differentialrechnung - und besonders der von dir genannte Artikel - "logisch" auf dem Bgriff des Differentenquotienten aufbaut, weil - wie im Artikel geschrieben - der Differentialquotient und die Ableitungen aus der Grenzwertbildung eines Differenzenquotienten hervorgehen.

Differenzen von Funktionswerten beliebiger mathematischen Funktionen können i.a. nicht den Zähler eines Bruches bilden. Der erste Satz muß umformuliert werden.

Zeig' mal ein Gegenbeispiel.

Noch eine Bemerkung am Rande: Ernstgemeinte Kritik in allen Ehren, aber die etwas "herben" Ausdrücke hier und auf der QS-Seite, von wegen Die schlechte Saat geht leider oft besser auf als die gute, Schweinsgalopp, enthält Unrichtigkeiten, was dort steht und mit sehr viel gutem Willen als stimmig angesehen werden könnte finde ich etwas unangebracht. Dass der Artikel noch sehr rudimentär und verbesserungswürdig sowie ausbaufähig ist, steht ausser Frage. Trotzdem solltest Du nicht ausser Acht lassen dass hinter den Artikeln Menschen stehen (die Autoren (bisher hauptsächlich ich selbst) und die "Nachleser") die sich redlich Mühe gegeben haben einen inhaltlich Korrekten, leicht verständlichen und übersichtlichen Artikel zu gestalten. Konstruktive Mitarbeit und "harte" aber sachliche Kritik ist sehr willkommen, das lautstarke "Heruntermachen" und Phrasenschwingen ("die schlechte Saat") ist aber eher kontraproduktiv und wirkt auch nicht besonders glaubwürdig.

Aber wie gesagt, das bloß am Rande als (freundlicher) Wink mit dem Zaunpfahl.

Mschcsc 17:21, 12. Jan. 2008 (CET)

"Aber est ist totzdem nicht die Aufgabe eines Artikels über den Differenzenquotienten, hier die Existenzbedingungen für die Grenzwertbildung zu diskutieren - da gibt's doch wirklich bessere und ausführlichere Artikel, die nur einen Mausklick entfernt sind." - Sicher nicht. Es geht nicht darum, hier etwa hinreichende - oder gar notwendige, viel Glück! - Bedingungen für Diffbarkeit zu nennen, sondern nur zu sagen, daß es solche gibt. Darum ja auch die Vagheit der genannten Vorschläge "Differenzenquotienten (Schreibfehler von mir korrigiert!) haben bei vielen Funktionen...", "... bei den meisten praktisch auftretenden Funktionen...".

"Man kann auch schlecht "Differenzierbarkeit" als bekannt vorraussetzen, um den Begriff "Differentialquotient" zu erklären." - Durchaus einverstanden. Aber dann sollte man auch nicht im Schweinsgalopp gleich zur Ableitung kommen.

"Was aber nun konkret die Grenzwertbildung anbelangt, so ist es ja keineswegs so, dass der Grenzwertbegriff die Unterscheidung von "oberem" und "unterem" Grenzwert als bestandteil seiner Definition enthält." - Oben und unten sind Begriffe, die eine Ordnung ("größer", "kleiner" etc.) voraussetzen. Es besitzen aber bei weitem nicht alle Räume, in denen Differentialrechnung betrieben werden kann, oder in denen bestimmte Grenzwerte existieren, eine Ordnung, vgl. die komplexen Zahlen. Umgekehrt gibt es geordnete Strukturen, in denen keine Differentialrechnung betrieben werden kann. Der Zusammenhang - böse gesagt die Verquickung - von Ordnungseigenschaften mit Grenzprozessen ist ein Spezifikum der reellen Zahlen.

"Ganz im Gegenteil baut der Grenzwertbegriff ganz explizit auf dem Begriff der $\varepsilon >0$-Umgebung auf." - Ja, mehr braucht es gar nicht.

"denn eine stetige Funktion die in x0 nicht differenzierbar ist, hat trotzdem sehr wohl Ableitungen (nämlich die Rechtsseitige und Linksseitige)" - Gegenbeispiel: f(x) := x*sin(1/x) für abs(x) > 0, f(0) := 0 ist stetig und hat in x=0 weder linke noch rechte Ableitung.

Ein festlegen des Vorzeichens würde aber ebenfalls den gedanklichen Wechsel von f(x0) zu f(x0+Δx) erfordern, und das ist noch viel verwirrender - und ausserdem sogar falsch, denn f(x0+Δx) hat nach dem vollzogenen Grenzwertübergang einen anderen Wert (nämlich f(x0) weil das endliche Δx "verschwunden" ist) als vorher. Beim Differentialquotienten ist es egal, da nach der Grenzwertbildung f(x0+Δx) und f(x0) sowieso identisch sind, aber beim Differenzenquotienten kann der Unterschied von f(x0) und f(x0+Δx) z.B. den Unterschied zwischen Differenzierbarkeit und nicht-Differenzierbarkeit bedeuten. - Das Vorgehende habe ich, glaube ich, nicht verstanden. Geht es etwa um die asymmetrische Behandlung der beiden Stellen der Funktion beim Grenzübergang, daß man nämlich die eine - die Stelle, für die man dann den DlQ - hoffentlich - durch Grenzübergang erhält, festhält, die andere aber variieren läßt? - Es gibt ja auch eine Definition des DnQ für zwei Stützstellen x, y als ((f(y)-f(x))/(y-x), die diese Asymmetrie nicht aufweist. Der Ausdruck mit x+Δx statt y ist wohl als eine vorbereitende Formulierung für einen danach bald angestrebten Grenzübergang anzusehen, der Ausdruck mit h+Δx statt y bereitet aufs - i.W. - äquidistante Gitter vor. - Aber ich habe wohl doch nicht verstanden, was mit dem Einwand gemeint war.

"Dass man das Vorzeichen von Δx nicht festlegen 'darf' scheint dir immer noch nicht klar zu sein. Damit würde man sich ja schon von vorneherein bei der Grenzwertbildung auf den linksseitigen oder rechtsseitigen Grenzwert festlegen, und sich damit jede Möglichkeit verbauen, den Differenzialquotienten überhaupt zu ermitteln, weil man ja nur einen der beiden Grenzwerte bestimmen könnte. Die Differenzierbarkeit einer Funktion wäre damit unentscheidbar." - Ich hatte bei diesen Beschränkungen für Δx sebstredend immer nur VDnQ und RDnQ im Auge, wegen der dortigen Üblichkeiten. Nicht den "normalen" DnQ.

"Wenn rechte und linke Ableitung existieren, aber verschieden sind, dann sind die Limiten von VDnQ wie RVnQ - wenn h im Limes nicht VZbeschränkt sein soll - gar nicht existent." -> "Falsch, die Grenzwerte sind normalerweise sehr wohl vorhanden, sie sind nur nicht gleich. Linke und Rechte Ableitung sind nichts anderes als ebendiese links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte." - Beispiel: Setze f(x) := abs(x) und betrachte die Stelle x = 0. Dann ist für Δx verschieden von 0 stets VDnQ = abs(Δx)/Δx = sign(Δx). Also kann kein Grenzwert (schlechthin, also bei beliebiger Annäherung!) für Δx gegen 0 existieren; von links bzw. von rechts ist er aber -1 bzw. 1. Ganz allgemein: VDnQ(Δx) = RDnQ(-Δx). Dies alles ergibt sich so, wenn man für das Vorzeichen von Δx volle Freiheit hat.

Man könnte darüber nachdenken, auch einen Abschnitt über die historische Entwicklung und Bedeutung einzufügen - halte ich aber für etwas übertrieben. - Ein Traktat muß es ja nicht werden.

Mir ging es eher darum dass die Differentialrechnung ..."logisch" auf dem Begriff des Differentenquotienten aufbaut. - Siehe nächsten Punkt.

Differenzen von Funktionswerten beliebiger mathematischen Funktionen können i.a. nicht den Zähler eines Bruches bilden. Der erste Satz muß umformuliert werden. -> Zeig' mal ein Gegenbeispiel. - Sei f1 die Funktion, die jedem Buchstaben des Alphabetes seine Nummer zuordnet, sei f2 die Umkehrung dazu. Sei f3 die Funktion, die jeder Zahl zwischen 0 und 1 die unendliche Folge ihrer Dezimalziffern zuordnet ( wobei bei Zahlen der Gestalt m / 10^n der entsprechende nichtabbrechende Dezimalbruch auf ...999999... genommen werden soll). Sei f4 die Funktion, die jeder reellen Zahl r die Einermenge mit nur r als Element zuordnet. ... Keine dieser Funktionen ist diffbar, aus z.T. verschiedenen Gründen. Sei f5 die Funktion von n reellen Argumenten, die ihren Argumenten deren Summe zuordnet. Diese Funktion ist zwar (total) differenzierbar, aber die Ableitung entsteht nicht als Grenzwert eines Differenzenquotienten - man müßte dazu durch einen Vektor differenzieren können -, so daß ein solcher für sie auch nicht wie auch immer fundamental sein kann, oder die Ableitung logisch auf ihn aufbauen.

"Heruntermachen" und Phrasenschwingen ("die schlechte Saat") - Erstmals beim Nachhilfegeben in meiner Schulzeit habe ich festgestellt, das Wichtigste ist es, ja nie versehentlich etwas Falsches zu sagen oder zu verstehen zu geben. Denn genau das merkten sich dann fatalerweise die Mitschüler besonders gut, vulgo: meine schlechte Saat ging besser auf als meine gute. Oder: Mißverständnisse können fatale Wirkungen zeitigen. Mehr war da nicht intendiert.

-- Silvicola 02:45, 13. Jan. 2008 (CET)

Kritikpunkte II

Mal ein neuer Abschnitt, der Übersichtlichkeit halber. Mir scheint ja dass sich einige unserer Standpunkte annähern. In anderem scheinen die Meinungen noch auseinanderzugehen.

Zu -- Silvicola 02:45, 13. Jan. 2008 (CET):

• "Aber est ist totzdem nicht die Aufgabe eines Artikels über den Differenzenquotienten, hier die Existenzbedingungen für die Grenzwertbildung zu diskutieren - da gibt's doch wirklich bessere und ausführlichere Artikel, die nur einen Mausklick entfernt sind." - Sicher nicht. Es geht nicht darum, hier etwa hinreichende - oder gar notwendige, viel Glück! - Bedingungen für Diffbarkeit zu nennen, sondern nur zu sagen, daß es solche gibt. Darum ja auch die Vagheit der genannten Vorschläge "Differenzenquotienten (Schreibfehler von mir korrigiert!) haben bei vielen Funktionen...", "... bei den meisten praktisch auftretenden Funktionen...".

Einverstanden. Ich denke das kommt in der jetzigen Version klar zum Ausdruck, dass die Möglichkeit zur Grenzwertbildung nicht zwangsläufig gegeben ist. Sogar die Bedungung für Differenzierbarkeit ist erwähnt. Weiterführende Erklärungen gehören aber wirklich nicht mehr hierher, sondern zum Differentialquotienten, einverstanden?

• "Was aber nun konkret die Grenzwertbildung anbelangt, so ist es ja keineswegs so, dass der Grenzwertbegriff die Unterscheidung von "oberem" und "unterem" Grenzwert als bestandteil seiner Definition enthält." - Oben und unten sind Begriffe, die eine Ordnung ("größer", "kleiner" etc.) voraussetzen. Es besitzen aber bei weitem nicht alle Räume, in denen Differentialrechnung betrieben werden kann, oder in denen bestimmte Grenzwerte existieren, eine Ordnung, vgl. die komplexen Zahlen. Umgekehrt gibt es geordnete Strukturen, in denen keine Differentialrechnung betrieben werden kann. Der Zusammenhang - böse gesagt die Verquickung - von Ordnungseigenschaften mit Grenzprozessen ist ein Spezifikum der reellen Zahlen.

Daher steht da auch ausdrücklich ..Angewandt auf stetige, reellwertige Funktionen..! Wo liegt also das Problem? Wenn irgendjemandem an dieser Stelle trotz ausrücklicher Ewähnung und Bildchen nicht klar ist, dass hier von der "Steigung eines des Funktionsgraphen" die Rede ist, und nicht von irgendwelchen exotischen "Räumen", dann ist ihm wirklich nicht mehr zu helfen...

Ich finde im ganzen Artikel weder "stetig" noch "reell". Mir ist jetzt, glaube ich, klar, daß alle Funktionen, die nicht von R nach R gehen, im Artikel willentlich außer Betracht bleiben. Keine geringe Einschränkung, und eine, die dann wenigstens schon eingangs explizit genannt werden sollte, sonst bezieht wohl mancher Definitionen und Aussagen auf Allgemeineres, und dann werden sie falsch. Z.B. bei den vordem genannten Funktionen f1, f2, ... f5.

"Der Differenzenquotient, auch Differenzquotient genannt, ist ein Bruch, der sich aus einer beliebigen mathematischen Funktion f(x) wie folgt ergibt..." Nehmen wir f2. Die Rechenzeichen +, - und / operieren nur auf Zahlen, also ist völlig unklar, was denn etwa die Differenz zweier Buchstaben sein sollte, und im DnQ dann durch etwas zu dividieren, wovon schon die Art, der Datentyp unklar - wenn überhaupt festlegbar - ist, das ist gänzlich unmöglich. Ein Bruch ist nach meinem Sprachverständnis immer nur aus zwei skalaren Zahlgrößen gebildet (beim Ausdruck Quotient mag es da größere Freiheiten geben, er mag etwa die Division eines Vektors durch einen Skalar erlauben). Also kann sich der DnQ auch nicht aus einer beliebigen Funktion ergeben. Denn dividiert kann eben nie durch Dingsda–Weiß-nicht-was-das-überhaupt-ist werden.

Noch ein Beispiel: Sei f6 die Abbildung, die jedem Menschen seinen Vater zuordnet. Was ist der Differenzenquotient von x=Einstein mit Δx = 0,01? Da ergibt sich nun wirklich nichts!

• "Ganz im Gegenteil baut der Grenzwertbegriff ganz explizit auf dem Begriff der $\varepsilon >0$-Umgebung auf." - Ja, mehr braucht es gar nicht.

Dann sind wir uns ja einig. einseitige Genzwerte ergeben sich jedoch erst aus einer Zusatzbedingung - da braucht es eben trotzdem ein ganz klein wenig "mehr"...

Den Begriff des linksseitigen/rechtsseitigen Grenzwertes gibt es etwa im Komplexen gar nicht. (Das nur noch mal zum Thema Alles-ist-natürlich-immer-reell)

• "denn eine stetige Funktion die in x0 nicht differenzierbar ist, hat trotzdem sehr wohl Ableitungen (nämlich die Rechtsseitige und Linksseitige)" - Gegenbeispiel: f(x) := x*sin(1/x) für abs(x) > 0, f(0) := 0 ist stetig und hat in x=0 weder linke noch rechte Ableitung.

Gut, erwischt, richtig wäre, dass eine Funktion, die in x0 nicht differenzierbar ist, trotzdem sehr wohl Ableitungen haben kann, ums's ganz genau und unmissverstöndlich zu sagen nämlich entweder die Rechseitige oder die Linkseitige oder beide (oder halt eben gar keine).

Abgesehen von dieser Stelle habe ich im restlichen Text diesbezüglich aber besser aufgepasst und korrekt von "nicht notwendigem Fehlen der Ableitungen" gesprochen.

Ich verstehe diese Formulierung nicht, zumal im ganzen Artikel auch das Wort notwendig nicht vorkommt. Sollte damit auf die Formulierung "Vorausgesetzt, die beiden links- und rechtsseitigen Ableitungen existieren überhaupt und sind zudem identisch, so heißt ..." verwiesen werden? - Ja, das ist eine klare Verbesserung.

• Ein festlegen des Vorzeichens würde aber ebenfalls den gedanklichen Wechsel von f(x0) zu f(x0+Δx) erfordern, und das ist noch viel verwirrender - und ausserdem sogar falsch, denn f(x0+Δx) hat nach dem vollzogenen Grenzwertübergang einen anderen Wert (nämlich f(x0) weil das endliche Δx "verschwunden" ist) als vorher. Beim Differentialquotienten ist es egal, da nach der Grenzwertbildung f(x0+Δx) und f(x0) sowieso identisch sind, aber beim Differenzenquotienten kann der Unterschied von f(x0) und f(x0+Δx) z.B. den Unterschied zwischen Differenzierbarkeit und nicht-Differenzierbarkeit bedeuten. - Das Vorgehende habe ich, glaube ich, nicht verstanden. Geht es etwa um die asymmetrische Behandlung der beiden Stellen der Funktion beim Grenzübergang, daß man nämlich die eine - die Stelle, für die man dann den DlQ - hoffentlich - durch Grenzübergang erhält, festhält, die andere aber variieren läßt? - Es gibt ja auch eine Definition des DnQ für zwei Stützstellen x, y als ((f(y)-f(x))/(y-x), die diese Asymmetrie nicht aufweist. Der Ausdruck mit x+Δx statt y ist wohl als eine vorbereitende Formulierung für einen danach bald angestrebten Grenzübergang anzusehen, der Ausdruck mit h+Δx statt y bereitet aufs - i.W. - äquidistante Gitter vor. - Aber ich habe wohl doch nicht verstanden, was mit dem Einwand gemeint war.

"Vorbereitung auf den angestrebten Grenzwertübergang" könnte man vielleicht sagen, es geht aber eigentlich nicht darum, irgendwelche darauf aufbauende Definitionen vorwegunehmen oder "vorzubereiten", sondern darum, sie nicht durch willkürliche Definitionen schon im vorneherein zu erschweren oder zu verunmöglichen. Die Einschränkung von Δx auf positive Werte stünde im Widerspruch zur Operaton des liksseitigen Grenzwertes, denn wie kann ich den zweiten Sekantenstützpunkt x0+Δx "von links" an x0 annähern wnn ich Δx per Definition auf positive Werte einenge? Wennich x0+Δx "von links" an x0 annähern will, so muss Δx zwingend negativ sein!

• "Dass man das Vorzeichen von Δx nicht festlegen 'darf' scheint dir immer noch nicht klar zu sein. Damit würde man sich ja schon von vorneherein bei der Grenzwertbildung auf den linksseitigen oder rechtsseitigen Grenzwert festlegen, und sich damit jede Möglichkeit verbauen, den Differenzialquotienten überhaupt zu ermitteln, weil man ja nur einen der beiden Grenzwerte bestimmen könnte. Die Differenzierbarkeit einer Funktion wäre damit unentscheidbar." - Ich hatte bei diesen Beschränkungen für Δx sebstredend immer nur VDnQ und RDnQ im Auge, wegen der dortigen Üblichkeiten. Nicht den "normalen" DnQ.

Ich halte es keineswegs für selbstredend zu Wissen was Du "im Auge" hattest. Ausserdem scheinst Du immer noch einer Verwechslung aufzusitzen. Die Wahl von "Vorwärts-", "Rückwärts" oder "zentralem Differenzenquotienten" hat mit dem Vorzeichen von Δx erstmal überhaupt nichts zu tun!

Zur Ermittlung des Differentialquotienten muss einfach immer sowohl der linksseitige (Δx negativ) als auch der rechtsseitige (Δx positiv) Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt werden, ganz egal ob ich nun zur Berechnung vom Vorwärts- vom Rückwärts, vom zentralen oder meinetwegen von sonst irgendeinen Differenzenquotienten dazwischen ausgehe! Um den Differentialquotienten zu erhalten, muss Δx in jedem Falle sowohl "von rechts (aus dem Positiven)" als auch "von links (aus dem Negativen)" gegen 0 streben.

Siehe nächsten Punkt.

Wenn der rechtsseitige Differenzenquotient einem positiven Δx entspräche, und der linksseitige einem negativen Δx, was für ein Vorzeichen nähme Δx denn beim zentralen Differenzenquotienten an? Eine Festlegung des Vorteichens zur Definition der "Richtung" des Differenzenquotienen verbietet doch die Definition eines "zentralen Differenzenquotienten"! Oder willst Du dafür etwa Δx=0 setzen?

Interessanter Punkt. Der ZDnQ(x,Δx) ist invariant bei VZW im zweiten Argument. Also kann man sich bei der Grenzwertbestimmung auf entweder positive oder negative Wert von Δx beschränken. Das VZ ist also wurst. Also muß nicht, wie im vorigen Punkt behauptet einfach immer der linke wie der rechte GW bestimmt werden, die sind vielmehr nach Konstruktion des ZDnQ gleich.

• "Wenn rechte und linke Ableitung existieren, aber verschieden sind, dann sind die Limiten von VDnQ wie RVnQ - wenn h im Limes nicht VZbeschränkt sein soll - gar nicht existent." -> "Falsch, die Grenzwerte sind normalerweise sehr wohl vorhanden, sie sind nur nicht gleich. Linke und Rechte Ableitung sind nichts anderes als ebendiese links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte." - Beispiel: Setze f(x) := abs(x) und betrachte die Stelle x = 0. Dann ist für Δx verschieden von 0 stets VDnQ = abs(Δx)/Δx = sign(Δx). Also kann kein Grenzwert (schlechthin, also bei beliebiger Annäherung!) für Δx gegen 0 existieren; von links bzw. von rechts ist er aber -1 bzw. 1. Ganz allgemein: VDnQ(Δx) = RDnQ(-Δx). Dies alles ergibt sich so, wenn man für das Vorzeichen von Δx volle Freiheit hat.

Ganz genau, das ergibt sich alles ganz richtig wenn Δx nicht eingeschränkt wird. Hinter der Bedingung für Differenzierbarkeit, dass beide Grenzwerte (Ableitungen) sowohl existieren, als auch gleich sein müssen verbigt sich genau dieser Fakt, dass es die Ableitung "schlechthin" eben nur dann gibt, wenn es sich bei den "individuellen" Ableitungen tatsächlich um ein und die selbe handelt.

Ich meinte: Wenn rechte und linke Ableitung des DnQ =(!) VDnQ existieren, aber verschieden sind, dann ist der Limes des VDnQ - wenn h im Limes nicht VZbeschränkt sein soll - gar nicht existent. Und der Limes des RDnQ - wenn h im Limes nicht VZbeschränkt sein soll - ist auch nicht existent. Usw.

Ich folgere aus diesem Verständnischaos: Man muß im höchsten Maße darauf achten, von welchem (V-, R-, Z-) DnQ man redet, und von welchem (links-, rechts-, beidseitigem) Limes derselben. Das macht es nicht einfach. Daran sehe ich die Dringlichkeit, unbedingt distinkte

Bereichungen einzuführen, s.o. bei Kritik III.

Der derzeitige Abschnitt Differentialquotient kommt vor der definitorischen Aufspaltung ("in der Praxis") des DnQ in sozusagen drei Rassen, von denen die eine mit der schlechthinnigen, vorangehenden des DnQ übereinstimmt. (Das Allgemeine = das Spezielle, heikel!) Der Gebrauch des Artikels ist also eine heikle Sache. Wessen linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung ist nun im Abschnitt Differentialquotient wohl gemeint gewesen, im Nachhinein vom Leser betrachtet, wenn er den folgenden noch dazu gelesen hat? Es ist einem mathematisch Vorgebildeten einfach zu sehen, daß Existenz und Gelichheit des linken und rechten Limes irgendeines der XDnQ den des nicht VZbeschränkten Limes von XDnQ impliziert, und dann dasselbe auch für die anderen zwei YDnQ gilt. Aber der Laienleser sieht das bestimmt nicht, und möchte in Verwirrung geraten.

Man muß klarhalten, wen man gerade immer meint, sonst tritt Verwirrung ein.

Angesichts dieser Fußeisen denke ich, daß es tunlich wäre, die genauere Beziehung von DnQ und DlQ tunlichst nur sehr dosiert 'und explizit auf den Standart-DnQ beschränkt zu erwähnen, und vielleicht die offensichtliche Tatsache DnQ = VDnQ gar nicht zu erwähnen, sondern diese beiden auch terminologisch zu scheiden. Etwa als $Delta2f(x)(h)$ und $Delta2^{<small>+</small>}f(x)(h)$. (zu Delta2 siehe unten)

• Man könnte darüber nachdenken, auch einen Abschnitt über die historische Entwicklung und Bedeutung einzufügen - halte ich aber für etwas übertrieben. - Ein Traktat muß es ja nicht werden.

Mal sehen. Vielleicht hast auch Du lesenswerte Informationen?

• Mir ging es eher darum dass die Differentialrechnung ..."logisch" auf dem Begriff des Differentenquotienten aufbaut. - Siehe nächsten Punkt.

Ich sehe da jetzt keinen Zusammenhang zum nächsten Punkt - aber siehe meine vorherigen Ausführungen betreffend den logischen Komplikationen eines willkürlich festgelegten Vorzeichens für Δx...

• Differenzen von Funktionswerten beliebiger mathematischen Funktionen können i.a. nicht den Zähler eines Bruches bilden. Der erste Satz muß umformuliert werden. -> Zeig' mal ein Gegenbeispiel. - Sei f1 die Funktion, die jedem Buchstaben des Alphabetes seine Nummer zuordnet,

(f1(x)-f1(x+Δx))/Δx

Was könnte Δx sein, wenn x durch die Buchstaben läuft?

• sei f2 die Umkehrung dazu.

(f2(x)-f2(x+Δx))/Δx

Hier geht Δx reell an, aber was ist f2(3,14159...)?

• Sei f3 die Funktion, die jeder Zahl zwischen 0 und 1 die unendliche Folge ihrer Dezimalziffern zuordnet ( wobei bei Zahlen der Gestalt m / 10^n der entsprechende nichtabbrechende Dezimalbruch auf ...999999... genommen werden soll).

(f3(x)-f3(x+Δx))/Δx

(f3(0,142857142857...)-f3(0,152857142857...+0,1))/0,1 = (0, .10, 0, 0, ...) , oder wie?

• Sei f4 die Funktion, die jeder reellen Zahl r die Einermenge mit nur r als Element zuordnet.

(f4(x)-f4(x+Δx))/Δx

(f4(1)-f4(1+0,01))/0,01 = (Menge(1)-Menge(0,1)) / 0,01 ????

• ... Keine dieser Funktionen ist diffbar, aus z.T. verschiedenen Gründen.

Stimmt. Ja und?

Ich bin's ja nicht, der Differenzierbarkart als Grundbedingung für den Differenzenquotienten behauptet.. ;-)

Will ich gar nicht. Aber der DnQ selbst sollte definiert sein!

• Sei f5 die Funktion von n reellen Argumenten, die ihren Argumenten deren Summe zuordnet. Diese Funktion ist zwar (total) differenzierbar, aber die Ableitung entsteht nicht als Grenzwert eines Differenzenquotienten - man müßte dazu durch einen Vektor differenzieren können -, so daß ein solcher für sie auch nicht wie auch immer fundamental sein kann, oder die Ableitung logisch auf ihn aufbauen.

Schön, aber was beweist das schon? Der Differentenquotient ist schlicht und bleibt trotrzdem schlicht (f5(x)-f5(x+Δx))/Δx

Das heißt, der DnQ ist fundamental für R^n -> R, taucht aber dort nie auf.

Ob's Sinn macht, die Summe von Buchstaben und Zahlen zu bilden steht auf einem anderen Blatt geschrieben, aber man sagt ja auch, ein Bruch mit dem Zähler 0 sei nicht definiert und nicht, dass ein Bruch mit Zähler 0 "eigentlich" gar kein Bruch sei.

Ein Bruch mit Nenner - buchstäblich - 0 ist kein Bruch. Wäre 1/0 ein Bruch, so wäre auch 1/0 + 1/0 ein Bruch, da jede Zahlenmenge bzgl. Addition abgeschlossen ist. Man könnte aber den Ausdruck nicht zu einem Bruch "zusammenrechnen". Man handelte sich also ein Termgebirge von Unsinn ein.

Oder willst Du den Begriff Bruch etwa auf Zahlen einschränken? Dann kannst Du aber den Differentialquotienten auch gleich mit abschreiben, denn Differentiale sind auch keine Zahlen.. Sowas wie $frac{\partial y}{\partial x}$ wäre sogar eine völlige Unmöglichkeit.

Ja, ich will. Diffentiale als "irgendwie ähnlich" zu Zahlen zu behandeln führt gewöhnlich in die Katastrophe. Es gibt, zugegeben, saubere Axiomatisierungen in der Nichtstandard-Analysis, aber das führt zu weit.

Ausserdem: Leser, die nicht mit jeden Abend mit einem Buch über abstrakte Mathematik oder Mengentheorie in's Bett gehen, verstehen unter "mathematischer Funktion" doch wohl das was in den Schulbüchern steht.

Dann besteht doch kein Problem, das zu Angang gleich zu sagen: "Wir betrachten hier nur Funktionen einer reeller Variablen in die reellen Zahlen" o.ä.

Die Anderen benutzen für den Vergleich von Buchstaben und/oder Mengen in der Regel lieber den Ausdruck Abbildung.

Lieber oder immer? Wenn nicht immer, bleibt die Möglichkeit des Mißverständnisses.

"Anfänger" bzw lernende und fachfremde kommen mit dem fett und deutlich hervorgehobenen Funktionsbegriff ganz am Anfang im verlinkten Artikel Funktion (Mathematik) wohl auch kaum in Konflikt mit dem Begriff beliebige matematische Funktion.

Dieser Artikel trifft damit Vorkehrung, daß es nicht zu Mißverständnissen kommt, er klärt seine Begriffe und setzt nicht stillschweigend etwas voraus. Jedenfalls ist es nicht hilfreich, in der eigenen Definition von einer "beliebigen mathematischen Funktion" zu reden, wenn man eine - salopp gesagt - eine "beliebige schulmathematischen Funktion" meint.

Will man mathematische Zusammenhänge auch noch eingermassen anschaulich beschreiben, so muss man bei der "mathematischen Vollständigkeit" eben gewisse Konzession eingehen. Sonst muss man man in einem kleinen Artikel, der nicht anderes als ein besonders Verhältnis (zwischen einer Funktion und einer Zahl) beschreibt auch noch den (algebraischen und Mengentheoretischen) Funktionsbegriff, den Zahlenbegriff, den Mengenbegriff, den Grenzwertbegriff, den Begriff der Abzählbarkeit bzw. Überabzählbarkeit erklärn und zudem noch die Grundlagen der Logik erläutern.

Mein Petitum ist allein: Nichts Falsches sagen, nichts Mißverständliches sagen. Was man liest, muß auch noch stimmen, wenn man einmal mehr weiß. Das manchen Lehrern eigene "Also eigentlich hab ich Euch da ja belogen, denn..." ist und bleibt ein Frevel.

Blöd für den Leser, der tatsächlich Informationen über den Differenzenquotienten sucht - der sucht nämlich wirklich, anstatt was zu finden...

Vergessen wir nicht, dass das eine online Enzyklopädie ist - da sind nicht nur Seitenlange Artikel mit Sternchen und vielen schönen Bildchen, die man sich gerne anschaut wichtig. Ich halte solche "Knotenpunkte", die das Wissen in kleinen "Dosierungen", aber an der Richtigen Stelle bereitstellen für genauso wichtig. Wenn jeder an Mathematik Interessierte gleich mit einem Wust an hochtheoretischen Definitionen und Links zu Artikeln, die vor "furchterregenden" Formeln und Sonderzeichen nur so strotzen, erschlagen wird, ist das für den Lernprozess und ein tieferes Verständnis nicht gerade förderlich.

Es ist wie im Straßenverkehr: Zuviele Schilder überfordern; zu wenige oder die falschen gefährden.

Es soll natürlich ausführliche und tiefergreifende mathematische Artikel geben, die naturgemäss dem Nicht-Fachmann nur sehr schwer zugänglich sind. Aber es soll auch Artikel geben, die einen mathematischen Sachverhalt - oder auch nur einen kleinen Aspekt - so erklären, dass auch ein Leser, der nicht in sämtlichen mathematischen Disziplinen studiert hat, nach der Lektüre nicht noch verwirrter ist als zuvor, weil ihm zwanzig neue Fachbegriffe um die Ohren geschlagen werden um einen einzigen, im Grunde einfachen Begriff erklärt zu bekommen. Und jeder dieser zwanzg Begriffe wird auf den entsprechenden Seiten wiederum durch ein Bündel noch abstrakterer Begriffe definiert, so dass einem am Ende eigentlich nur übrig bleibt, etwa zwanzig Jahre lang gründlich Mathematik zu studieren um die Erklärung, was ein Differenzenquotient sei, auch zu verstehen!

Nichts gegen einfache Formulierungen, Veranschaulichung und Beschränkung im Thema.

• "Heruntermachen" und Phrasenschwingen ("die schlechte Saat") - Erstmals beim Nachhilfegeben in meiner Schulzeit habe ich festgestellt, das Wichtigste ist es, ja nie versehentlich etwas Falsches zu sagen oder zu verstehen zu geben. Denn genau das merkten sich dann fatalerweise die Mitschüler besonders gut, vulgo: meine schlechte Saat ging besser auf als meine gute. Oder: Mißverständnisse können fatale Wirkungen zeitigen. Mehr war da nicht intendiert.

Wie gesagt, ich hab' auch keine wirklich bösen Absichten angenommen - ich halte solche Amerkungen einfach nicht für besonders dienlich in der Sache (und du hast ja auch sonst etwas "gepoltert") - und im Falle mathematischer Folgerungen auch nicht für richtig - da geht die "schlechte Saat" nicht wirklich besser auf; man könnte auch sagen dass bei der "schlechten Saat" eben am Ende buchstäblich die "Rechnung nicht aufgeht".. ;-)

Also nochmal, nix für ungut. Grüße Mschcsc 19:10, 13. Jan. 2008 (CET)

Kritik III

Abschnitt Grenzwertübergang–Ableitungen:

"Aus dem Differenzenquotienten ergibt sich durch beschränkte Grenzwertbildung ($\Delta x$ geht also von rechts bzw. links gegen null) die linksseitige bzw. die rechtsseitige Ableitung von $f\left(x\right)$." Begründung: Wenn es einen Grenzwert schlechthin gibt, so nur einen, also können sich keine zwei Dinge daraus ergeben. Also muß etwas variabel sein; es ist dies das beschränkte Vorzeichen von Δx beim Grenzübergang, einmal plus, einmal minus.

Gefällt mir eigentlich gut, allerdnings impliziert der Begriff beschränkt doch eher was ganz anderes und die Begriffe rechts- und linksseitiger Grenzwert sind im entsprechenden Artilel auch so definiert.

"Bezeichnet man die Ableitung einer Funktion $f$ mit $\ f'$, so gilt also ..." Was folgt, ist kein Ergebnis ("so gilt also"), sondern die Definition von linkem und rechtem Grenzwert. Da beide folgende Zeilen unterschiedliches Definieren, sollte das zu Definierende auch verschieden bezeichnet werden, sonst würde ja Gleichheit unterstellt. Etwa so:

$f_{+}'\left(x\right):=\lim _{\Delta x\downarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ für die rechtsseitige Ableitung von $f$ in $x$

$f_{-}'\left(x\right):=\lim _{\Delta x\uparrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ für die linksseitige Ableitung von $f$ in $x$.

Abschnitt Grenzwertübergang–Differentialquotient:

Vorausgesetzt, die beiden links- und rechtsseitigen Ableitungen existieren überhaupt und sind zudem identisch, so heißt die Funktion an der Stelle x differenzierbar, und man nennt den gemeinsamen Grenzwert den Differentialquotienten oder einfach die Ableitung, ohne den Zusatz links- oder rechtsseitig.

"Das Berechnen des Differentialquotienten erlaubt nicht nur eine näherungsweise, sondern eine exakte Berechnung der Steigung eines Funktionsgraphen." - besser: "Der Differnetialquotient liefert nicht nur eine Näherung der Steigung des Funktionsgraphen an einer vorgegebenen Stelle, wie ein Differenzenquotient es tut, sondern vielmehr den exakten Wert."

Abschnitt Varianten: (Skizzenhafte Umformulierung)

Vorwärtsdifferenzenquotient

Der oben definierte DQ heißt auch Vorwärtsdifferenzenquotient, weil - jedenfalls, wenn wir einmal $\Delta x>0$ annehmen - die Differenz der Funktionswerte an einem Argument $x+\Delta x$ rechts von $x$ und bei $x$ selbst genommen wird.

$\partial ^{+}f(x)(h):={\frac {f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}$,

Analog definiert man

Rückwärtsdifferenzenquotient

$\partial ^{-}f(x)(h):={\frac {f\left(x\right)-f\left(x-h\right)}{h}}$,

Zentraler Differenzenquotient

$\partial ^{0}f(x)(h):={\frac {f\left(x+h/2\right)-f\left(x-h/2\right)}{h}}$,

Achtung: Mit Delta2 meine ich das Runde Differentiationszeichen, wie etwa hier: [1] aufgeführt. Ich weiß leider nicht, wie man das Zeichen mit MATHML ausdrückt. Ohnehin ärgerlich genug, dieses Interface hier.

$\partial$ gefunden und eingesetzt.

Begründung für die vorgeschlagenen Änderungen: 1. Definitionen vollumfänglich hinschreiben. 2. In Definitionen stets die linke Seite mit einem distinktiven Bezeichner versehen. 3. "Gilt" geht in der Mathematik einer Aussage voran, aber nicht einer Definition. 4. "Vorwärts" mit "vorwärts" usw. zu erklären ist nicht sehr hilfreich.

Gute Kritik, werd' ich baldmöglichst versuchen - wenigstens ansatzweise - umzusetzen!

Mschcsc 21:13, 16. Jan. 2008 (CET)

Grüße -- Silvicola 17:35, 16. Jan. 2008 (CET)

Stetigkeit <-> Differenzierbarkeit

Für nicht oder unstetig differenzierbare Funktionen eine Näherung für die Steigung ermitteln zu wollen ist nicht möglich, da es keine gibt bzw. diese hin-und her springt. --Mathemaduenn 12:22, 12. Jan. 2008 (CET)

Das ist nicht ganz richtig, denn Differenzierbarkeit fordert sowohl die Existenz als auch die Gleichheit des linksseitigen und des rechtsseitigen Grenzwertes. Ist eine Funktion in f(x0) nicht differentierbar, so können dennoch die Sekanten durch f(x0) und f(x0±Δx) und deren Grenzwerte existieren. Daher kann der Differenzenquotient immer noch als Näherung für die Steigung des Funktionsgraphen benutzt werden, denn man erhält sowieso immer zwei meist verschiedene (richtige) Lösungen für die Sekantensteigungen, ganz egal ob f(x) in x0 nun differenzierbar ist oder nicht, je nachdem ob man Δx nun positiv oder Negativ wählt.

In diesem Beispiel sieht man sehr schön, dass die Sekantensteigung immer existiert, solange Δx wie vorrausgesetzt von Null verschieden ist. Die Existenz einer eindeutig definierten Tangentensteigung (=differenzierbarkeit) in f(x0) ist keine Vorraussetzung für die Existenz einer eindeutig definierten Sekantensteigung für f(x0+Δx)-f(x0) bzw. f(x0-Δx)-f(x0).

Umgekehrt ist schon richtig, die Existenz von Sekantensteigungen ist Vorraussetzung für die Existenz von Tangentensteigungen. Allerdings sind in der Regel die links- und rechtsseitigen Sekantensteigungen auch dann verschieden, wenn die links- und rechtsseitigen Tangentensteigungen zusammenfallen (und die Funktion somit dort differenzierbar ist).

Man darf auch nicht vergessen, dass der Differenzenquotient in der Praxis auch (und gerade) dann Verwendung findet, wenn die Funktionswerte durch Messungen ermittelt wurden und die mathematische Struktur der (aproximierten) Funktion gar nicht bekannt ist - und erst recht nicht Eigenschaften wie Differenzierbarkeit, Stetigkeit etc.

Man denke z.B. etwa an die Berechnung des durchschnittlichen Lohnzuwachses für die Budgetplanung, wo man es mit sehr "sprunghaften" und nicht differenzierbaren Funktionen zu tun hat.

Schliesslich werden auch in der Statistik Differenzenquotienten aus diskreten Zahlengrössen (Differenzen von Anzahlen) verwendet um Wachstumsraten und Ähnliches zu beschreiben - da entfällt dann sogar die Vorraussetzung der Stetigkeit. Und in der Differentialgeometrie wird sogar die Einschränkung auf reelwertige Funktionen hinfällig.

Wir sollten hier den Begriff des Differenzenquotienten nicht in das Kleid der Differentialrechnung hineinzwingen, der Begriff ist weit allgemeiner und "einfacher" als derjenige des Differentials.

Mschcsc 15:00, 12. Jan. 2008 (CET)

Für die Sekantensteigung ist der Diffquotient keine Näherung sondern er ist gleich der Sekantensteigung also geht es wohl im Satz "Angewandt auf stetige, reellwertige Funktionen kann der Differenzenquotiont als Näherung für die Steigung des Funktionsgraphen benutzt werden." um die Tangentensteigung gehen. Wenn diese nicht existiert weil die Funktion dort nicht differenzierbar ist was soll dann angenähert werden? Außerdem wäre der Fehler in der Umgebung einer solchen Unstetigkeit vergleichsweise groß.

Wenn man nur Funktionswerte hernimmt und darauf mittels Diffquotienten die Steigung ausrechnen möchte so steckt dahinter zumindest die Annahme das die zugrunde liegende Funktion stetig diffbar ist.

Grüße --Mathemaduenn 23:21, 12. Jan. 2008 (CET)

Ich habe den Artikel etwas überarbeitet - hoffentlich sind die Zusammenhänge dadurch etwas klarer geworden.

Doch noch ein Wort zu deinem Einwand:

• Für die Sekantensteigung ist der Diffquotient keine Näherung sondern er ist gleich der Sekantensteigung also geht es wohl im Satz "Angewandt auf stetige, reellwertige Funktionen kann der Differenzenquotiont als Näherung für die Steigung des Funktionsgraphen benutzt werden." um die Tangentensteigung gehen.

Die Sekantensteigung ist die Steigung der Sekante in einem bestimmten Intervall, die Tangentensteigung ist die Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt.

Die Steigung des Funktionsgraphen ist nun aber nicht dasselbe wie die Steigung der Sekante, und schon gar nicht dasselbe wie die Steigung der Tangente - sondern einfach die Steigung der Funktion!

Die Begriffe "Steigung" und "Wachstum" sind schliesslich nicht von der Analysis gepachtet; im Alltag, in der Technik - und nicht zuletzt in weiten Teilen der Mathematik - ist mit "Steigung" schlicht das Verhältnis zweier Intervalle bzw. Differenzen gemeint (Weg/Zeit, Höhe/Länge, Anzahl/Zeit etc.) und nicht die "Momentansteigung" bzw. das "Momentanwachstum" in einem Punkt im Sinne der Differentialrechnung.

Zugegeben, aus der Formulierung erschliesst sich nicht deutlich, was mit Näherung an die Steigung des Graphen gemeint ist - die Sekantensteigung ist zwar nicht die Näherung an die Steigung des Funktionsgraphen (sondern die Näherung an dir Tangentensteigung), sie ist auch nicht dasselbe wie die Steigung des Funktionsgraphen (der Verlauf der Steigung ist normalerweise unterschiedlich) - aber sie hat denselben Wert wie die Steigung des Funkionsgraphen im gewählten Intervall (weil sich der Funktionswert im Intervall um denselben Wert ändert).

So gesehen müsste es sinngemäss heissen: "Der Differenzenquotient entspricht der Steigung des Funktiongraphen im Interval (x0;x0+Δx)". Das ist aber einigermassen witzlos; interessant wird es schliesslich erst dadurch, dass wir Δx möglichst klein machen und die Steigung lokal in einem kleinen (aber immer noch von Null verschiedenen) Intervall betrachten. Solange wir den Grenzwertübergang nicht vollzogen haben können wir noch gar nicht von einer Tangentensteigung in einem Punkt sprechen. Wir können bestenfalls von einer Steigung in einem beliebig kleinen (aber von 0 verschiedenen) Intervall sprechen. Erst die Grenzwertbildung lässt das Intervall auf einen Punkt zusammenschrumpfen, und von da an dürfte man auch eigentlich nicht mehr von "Steigung" sondern von "Momentansteigung" oder eben von "Differential" oder "Ableitung" sprechen...

• Wenn diese [Tangentensteigungen] nicht existiert weil die Funktion dort nicht differenzierbar ist was soll dann angenähert werden?

Die (lokale) Steigung der Funktion (und nicht diejenige der Tangente). Ausserdem bedeutet nicht differenzierbar nicht, dass die Tangentensteigungen in diesem Punkt nicht existieren. Nicht differenzierbar kann auch bedeuten dass der links- und rechtsseitige Grenzwert einfach verschieden sind. Aber wie gesagt, um die Tangentensteigung(en) geht's hier gar nicht.

• Außerdem wäre der Fehler in der Umgebung einer solchen Unstetigkeit vergleichsweise groß.

Das ist tatsächlichg so, dass der Fehler u.U. recht gross werden kann. Allerdings nicht, wenn die Funktion an der Stelle x0 nicht differenzierbar ist, sondern dann, wenn zwischen x und Δx eine Unstetigkeit auftritt. Die Kur dagegen ist, Δx zu verkleinern, so dass die Unstetigkeit ausserhalb des Intervalls liegt.

Ist die Funktion an der Stelle x0 nicht differenzierbar, so bekommt man u.U. immer noch richtige und "genaue" (aber verschiedene) Werte für den linksseitigen bzw. rechtsseitigen Grenzwert.

Schliesslich sei auch erwähnt, dass einige Funktionen auch bei sehr ungenaue Werte wete liefer, wenn sie an der betrachteten Stelle stetig und differenzierbar sind.

• Wenn man nur Funktionswerte hernimmt und darauf mittels Diffquotienten die Steigung ausrechnen möchte so steckt dahinter zumindest die Annahme das die zugrunde liegende Funktion stetig diffbar ist.

Ich hoffe, es ist mir gelungen aufzuzeigen, dass die (lokale) "Steigung" einer Funktion nicht dasselbe ist wie die "Tangentensteigung", "Ableitung" oder "Momentansteigung". Erstere ist nichts anderes als die Zunahme bzw. Abnahme des Funktionswertes in einem (beliebig kleinen) Intervall, letztere ist die durch einen Grenzwertübergang ermittelte Tangentensteigung in einem bestimmten Punkt.

Grüße Mschcsc 05:08, 13. Jan. 2008 (CET)

Du definierst hier einfach eine "Steigung der Funktion(in x?)". Was soll denn das sein wenn nicht die Ableitung? Oder anders gesagt Was hat denn diese Funktion für eine Steigung, sagen wir mal um die 0?

Auf jeden Fall läßt sich meine Ansicht dass man mit Diffquotienten Ableitungen annähert auch belegen siehe z.B.hier Kannst Du auch eine Quelle angeben? Grüße --Mathemaduenn 07:48, 13. Jan. 2008 (CET)

Ich sage auch nicht, dass deine Ansicht falsch ist. Wenn eine stetige Funktion an der Stelle x differenzierbar ist, so ist der Differentenquotient für kleine Δx tatsächlich eine gute Näherung für den Differenzialquotienten. Da widerspreche ich nicht. Man kann daraus aber nicht schliessen, die Existenz des Differentialquotienten sei zwingende Vorraussetzung für die Existenz des Differenzenquotienten. Oder nenn' mir eine Quelle, wo das sinngemäss so geschrieben steht...

Dein Trugschluss besteht darin, dass Du Differenzierbarkeit mit Existenz einer Ableitung gleichsetzt. Das ist aber so nicht richtig, differenzierbar bedeutet, dass die Ableitungen existieren und identisch sind! Deshalb darf man nicht schliessen, dass eine Funktion an einer nicht-differenzierbaren Stelle keine Ableitung (und keine Steigung) besitzt. Bei stetigen Funktionen bedeutet nicht-differenzierbarkeit in aller Regel, dass die links- und rechtsseitigen Ableitungen in dem Punkt sehr wohl existieren - aber einfach verschieden sind.

Dass "Die Ableitung" (=der Differentialquotient) nicht existiert, bedeutet in diesen Fällen einfach, dass die beiden (rechts- und linksseitigen) Ableitungen nicht identisch sind.

• Du definierst hier einfach eine "Steigung der Funktion(in x?)". Was soll denn das sein wenn nicht die Ableitung?

Da gebe ich dir recht, die Formulierung (in x) impliziert dass damit eine Ableitung gemeint wäre. Tatsächlich ist aber die "Steigung einer Funktion" auch lokal nichts anderes als der Wertezuwachs im betrachteten Intervall. Lokal heisst ja schliesslich nicht, dass wir irgendeinen Grenzwertübergang machen, sondern nur, dass wir eine beliebig keine Umgebung (sozusagen eine ε-Umgebung) des Graphen betrachten.

• Was hat denn diese Funktion für eine Steigung, sagen wir mal um die 0?

Die Funktion im Beispiel ist aber sowohl stetig, als auch überall differenzierbar!! Hat also mit der hier disskutierten Frage was an einem Punkt passiert, an dem die Funktion nicht differenzierbar ist, überhaupt nichts zu tun; sie ist ja überall differenzierbar...

Die Funktion ist aber ein gutes Beispiel für die von mir weiter oben mal erwähnte Tatsache:

• "..Schliesslich sei auch erwähnt, dass einige Funktionen auch bei sehr ungenaue Werte wete liefer, wenn sie an der betrachteten Stelle stetig und differenzierbar sind..."

Zugegeben, da haben sich einige Tippfehler eingeschlichen (meiner Drahtlostastatur scheint der Saft auszugehen...), sollte natürlich sinngemäss heissen:

• "..Schliesslich sei auch erwähnt, dass einige Funktionen auch bei kleinem Δx sehr ungenaue Werte liefern, wenn sie an der betrachteten Stelle stetig und differenzierbar sind..."

• Auf jeden Fall läßt sich meine Ansicht dass man mit Diffquotienten Ableitungen annähert auch belegen siehe z.B.hier

Wie gesagt, dieser Aussage widerspreche ich in dieser Form auch gar nicht.

• Kannst Du auch eine Quelle angeben?

Kann ich so aus dem Stehgreif nicht, müsste erst etwas stöbern. Allerdings erachte ich es auch nicht wirklich für nötig, denn ist es nicht bereits die Logik und der gesunde Menschenverstand, der es verbietet, dem Begriff der "Näherung durch den Differenzenquotienten" den Begriff der Differenzierbarkeit zugrundezulegen, um dann danach durch den Grenzwertübergang den Begriff des Differentialquoutienten zu definieren? Das ist doch ein Begrifflicher Kurzschluss, wenn man zur exakten Definition des Differentialquotienten, schon vor dem Grenzwertübergang den Differentialquotienten in die Definition des Differenzenquotienten (bzw. dem Begriff der Steigung) reinstecken muss!!

Ich kann nicht deutlich genug darauf hinweisen, dass "(Momentan)Steigung" im Sinne der Differentialrechnung etwas ganz anderes ist als "Steigung" im althergebrachten und gebräuchlichen Sinne! Es fällt - oberflächlich betrachtet - anschaulich sehr leicht, den Grenzwertübergang im Geiste durch stetiges Verkleinern des Differenzenquotienten nachzuvollziehen, aber man darf sich dadurch nicht täuschen lassen und den Differenzenquotienten mit dem Differentalquotienten gleichsetzen. Der Grenzwertübergang ist in Wahrheit eine ziemlich subtile, aber trotzdem "massive" Operation, die beim Differenzenquotienten ausdrücklich vorrausgesetzte Bedingung, dass Δx von Null verschieden sei, wird durch die Bedingung ersetzt das Δx zu 0 wird! Damit wechselt man von der Betrachtung der Eigenschaften der Funktion innerhalb eines Intervalls zu der Betrachtung der Eigenschaften einer Funktion in einem bestimmten Punkt.

Und erst dadurch wird es dann ja auch notwendig, den althergebrachten Begriff der Steigung neu zu interpretieren, weil einem durch den Grenzwertübergang ja das Intervall (und damit auch die Wertedifferenz) abhanden gekommen ist!

Mschcsc 15:21, 13. Jan. 2008 (CET)

Wenn Du hier vom Differenzenquotienten zum Differentialkoeffizienten willst sollte imho einfach nicht "Näherung der Steigung" sondern "entspricht der Steigung der Sekante" da stehen. Ansonsten besteht eben Verwechslungsgefahr mit der Tangentensteigung. Dann kann man ja danach schreiben das dieser auch für eine Näherung der Tangentensteigung für stetig diffbare Funktionen genutzt werden kann. Grüße --Mathemaduenn 21:53, 13. Jan. 2008 (CET)

Ich verstehe deinen Einwand, und so wie's jetzt im Artikel steht (mit der Erwähnung der Sekantensteigung) finde ich's auch noch nicht ganz koscher.

Aber: wenn man's genau nimmt, so sagt doch Steigung der Sekante nicht mehr darüber aus, was die Steigung eigentlich ist, als Steigung der Funktion. Die Sekante ist doch auch nur eine Funktion, nur halt einfach eine linenare und besonders einfache; und vor allem normalerweise eine andere als die eigentliche Funktion! Es ist doch erstmal weder Begrifflich, noch mathematematisch noch anschaulich etwas damit gewonnen, wenn ich den Begriff "Steigung" von der Funktion, die mich interessiert, zu einer Sekante verschiebe. Erklärt ist dadurch doch erstmal gar nichts, der Leser könnte höchstens den (falschen!) Eindruck gewinnen, der Begriff "Steigung" mache nur bei Funktionen mit linearen Zuwachsraten einen Sinn.

Die Steigung einer Funktion ist doch nichts weiter als ihr Wertezuwachs im betrachteten Intervall (das ist fast schon eine wörtliche Übersetzung von Δy/Δx...). Das ist bei der Sekante ganz genauso wie bei jeder anderen Funktion - also warum sollte man den Begriff "Steigung" hier ohne Zwang auf "Sekantensteigungen" einengen? Vorher sollte er ja schonmal auf "Tangentensteigung" eingeengt werden... Die Gründe, die das Verbieten, sind zum Teil genau dieselben: Man kann nicht dem allgemeinen Begriff "Steigung" (bzw. "Wertezuwachs") einer Funktion den Begriff "Sekantensteigung" (oder gar "Tangentensteigung") zugrunde legen, weil die "Sekantensteigung" selbst erst als als Steigung (bzw. Wertezuwachs) einer (in diesem Falle linearen) Funktion definiert ist!

Auch hier würde sich die Katze also wieder in den Schwanz beissen; es sei denn man würde Begriffe wie "Steigung" und "Wertezuwachs" schon von Vorneherein per Definitionem ausschliesslich auf lineare Funktionen festlegen. Damit würde man aber praktisch die ganze Mathematik linearisieren und könnte sich von Grenzwertbetrachtungen schonmal ganz vferabschieden...

Vielleicht liegt's auch an dem weitverbreiteren Irrtum, erst die Infinitesimalrechnung habe den Begriff der Steigung und des Wertezuwachses definiert. Das ist definitiv nicht so, die Begriffe werden bereits bei der Betrachtung von Reihen und Folgen vorrausgesetzt - und damit werden sie auch für die Bildung des Grenzwertbegriffs vorrausgesetzt und dürfen nicht erst im Nachhinein durch diesen selbst definiert werden!

Mathematsche Begriffe, Definitonen und Sätze sind das Herzstück der Mathematik, man darf nicht - so verlockend es auch sein mag - klar definierte Begriffe zugunsten der Anschauung verbiegen. Einschänken darf man zugunsten der Anschaulichkeit zu einem gewissen Grad, allerdings sollte man dies dann jeweils austrücklich entsprechend deklarieren oder die Einschränkung später durch Verallgemeinerung auflösen. (Wenn's nicht gar zu offensichtlich ist; man muss natürlich nicht jedesmal hinschreiben dass man von Zahlen redet und darf auch allgemein übliche Konventionen und/oder Schreibweisen als bekannt vorraussetzen). Es gibt zweifellos auch Sachverhalte, wo es durchaus Sinn macht, zu anschaulichen Zwecken auch mal ausnahmsweise den Karren vors Pferd zu spannen und von der folgerichtigen Reihenfolge der Begriffsbildungen abzuweichen - natürlich auch mit entsprechender Deklaration. Man sollte meiner Meinung nach aber keinesfalls unnötige Einschränkungen einbauen oder noch gar nicht abgeleitete Begriffe vorrauszusetzen (wenn's nicht wirklich unumgänglich ist) um den Leser sozusagen "vorbereitend" irgendwo hinzudenken wo er womöglich überhaupt nicht hin will...

Grüße Mschcsc 14:49, 14. Jan. 2008 (CET)

-- Silvicola 22:53, 20. Jan. 2008 (CET)

Differentialquotient

@Mschcsc: Es ist nicht erlaubt, $x_{0}=x_{1}$ zu setzen, um einen Differentialquotienten zu erhalten. Dieser ist der Grenzwert für $x_{1}\rightarrow x_{0}$. Dies ist allgemein bekannt, und es gibt gute Gründe, warum man nicht durch null teilen darf.

Du tust so, als wäre das Vorgehen erlaubt: Differenzenquotienten bilden -> falls im Zähler $x_{1}-x_{0}$ ausfaktorisiert ist, darf man kürzen, und anschließend wäre in dem resultierenden Ausdruck $x_{1}=x_{0}$ zu setzen. Das Ergebnis nennst du Differentialquotient.

Diese Vorgehensweise ist natürlich falsch. Als einfachstes Gegenbeispiel von unendlich vielen könnte man $f(x):=|x|$ nehmen. Dann ist nämlich ${\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}={\frac {(x-0){\rm {sgn}}(x)}{x-0}}={\rm {sgn}}(x)$. Gemäß deiner Vorgehensweise wäre der Differentialquotient ${\rm {sgn}}(0)=0$, welches natürlich falsch ist. Der Differentialquotient der Betragsfunktion existiert nun mal nicht im Nullpunkt.

Und damit es nicht heißt, es hätte irgendwas mit einseitigen Grenzwerten zu tun, hier noch ein brutaleres Gegenbeispiel: Setze $g(x):=\left\{{\begin{array}{ll}\sin({\frac {1}{x}}),&x\neq 0,\\0,&x=0,\\\end{array}}\right.$ sowie $f(x):=x\cdot g(x)$. Dann ist ${\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=g(x)$ für alle $x\neq 0$. Trotzdem ist der Differentialquotient nicht $0=g(0)$, er existiert schlichtweg nicht. --Tolentino 09:30, 18. Jan. 2008 (CET)

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Wo ist mein Text abgeblieben??

Und wieso ist er aus der History verschwunden?

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• Du tust so, als wäre das Vorgehen erlaubt: Differenzenquotienten bilden -> falls im Zähler $x_{1}-x_{0}$ ausfaktorisiert ist, darf man kürzen, und anschließend wäre in dem resultierenden Ausdruck $x_{1}=x_{0}$ zu setzen.

Und du tust so als sei alles verboten oder nicht erlaubt.. Diese Vorgehensweise ist "selbstverständlich" erlaubt, wieso auch nicht?

However - Diese Herleitung

• $f(x):=|x|$ nehmen. Dann ist nämlich ${\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}={\frac {(x-0){\rm {sgn}}(x)}{x-0}}={\rm {sgn}}(x)$.

musst Du mir schon mal vorrechnen!

Wie Du durch Umformen von $|x|-|0|$ auf $(x-0){\rm {sgn}}(x)$ kommen willst, ist mir ein völliges Rätsel.??

Wegen x = x - 0 und wegen abs(x) = x * sgn(x). Letzteres wiederum wegen 1 * 1 = -1 * -1 = 1 und 0 * 0 = 0. Ersteres, weil 0 das neutrale Element ist. -- Silvicola 16:32, 18. Jan. 2008 (CET)

Einfacher noch so: ((f(x)-f(0))/(x-0) = (abs(x)-0)/x = abs(x)/x = sgn(x). -- Silvicola

Was dein zweites Beispiel betrifft: was genau willst damit beweisen?

Dass der Differentialquotiont nicht existiert heisst eben einfach dass er nicht existiert. Es gibt halt eifach keine Lösung für x0=x0, egal ob der Differenzenquotient nun als Grenzwert oder als algebraischer Term mit der Zusatzbedingung x0=x1 hingeschrieben wird. Daraus dass man ihn mit Grenzwertbetrachtungen auch nicht ermitteln kann, kannst Du ja schlecht ableiten, dass man Grenzwerte braucht, um das momentane Wachstum zu beschreiben.

Es sollte Dir doch leicht fallen, bei unendlich vielen Gegeneispielen eins zu finden, das auch richtig gerechnet und nachvollziehbar ist.

Ansonsten müsstest Du dich schon fragen ob nicht doch was Wahres dran ist, dass das mit Grenzwerten an dieser Stelle noch gar nichts zu schaffen hat.

Also, ich erwarte ein echtes Gegenbeispiel!

Wenn Du keins findest, ist auch nicht so schlimm, dann zeig mir doch mal an einem einfachen Beispiel "den Grenzwertübergang", ich will gern mal schwarz auf weiss sehen, wo genau der Grenzwertprozess "zuschlägt"!

Mschcsc 15:42, 18. Jan. 2008 (CET)

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P.S: Ah ja, wollte noch am Rande anmerken: Als Schweizer stehe ich mit dem ß etwas auf Kriegsfuß, in der Beziehung musst Du etwas Nachsicht mit mir walten lassen.. ;-) Mschcsc 15:46, 18. Jan. 2008 (CET)

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An Silvicola: Also erstmal dankem dass Du dir die Mühe gemacht hast und meinen Einwand erst genommen hast;, das mein' ich ganz ehrlich.

Doch zur Sache:

Ein hübscher Versuch, das mit der Betragsfunktion, aber leider leider.... ist die Vorraussetzung falsch!

$abs(x)=x*sgn(x)$ ist leider falsch, umgekehrt ist's richtig definiert:

$x=abs(x)*sgn(x)$

... und das ist was ganz anderes. Man kann 's drehen und wenden wie man's will, ohne 'faule Tricks' kann man das eine nicht in's andere verwandeln.

Rechnen wir's mal richtig durch:

${\frac {abs(x)-abs(0)}{x-0}}={\frac {abs(x)-0}{x}}={\frac {1}{sgn(x)}}$

Und ${\frac {1}{sgn(x)}}$ schaut nach meiner Meinung überhaupt nicht differenzierbar aus.

Also, ich warte immer noch auf korrekte Gegenbeispiele! Oder wenigstens auf ein einziges von den unendlich vielen Gegenbeispielen... ;-)

Mschcsc 17:34, 18. Jan. 2008 (CET)

Ich fürchte, mit dir ist sachliches Diskutieren nicht möglich, siehe hierzu die furchtbar entartete Diskussion in Differentialrechnung. Es tut mir leid, du hast keinen mathematischen Fachverstand, glaubst aber, dass alle anderen im Unrecht und du allein die Wahrheit gepachtet hast trotz sachlicher Einwände. --Tolentino 19:45, 18. Jan. 2008 (CET)

Sachliche Einwände? Du meinst wohl eher Rechenfehler?

Ich geb' mir ja nun wirklich die allergrösste Mühe, sachlich zu bleiben, da wirkt dein Gepolter und die künstliche Empörung auf mich doch eher wie der (missglückte) Versuch für einen "eleganten" Abgang.

Find' ich schade, ganz ehrlich.

Von mathematisch Gebilteten Leuten hätte ich eigentlich etwas mehr Chuzpe erwartet und vor allem auch etwas mehr Bereitschaft mathematische Fragen mit den Mitteln der Mathematik anstatt der Rhetorik auszufechten...

Falls dir doch noch irgendein vermeintliches Gegenbeispiel oder ein Beweis für deine willkürlichen Verbotspostulate einfällt, oder du mir einen Grenzwertübergang konkret zeigen kannst, lass sehen. Ansonsten machs gut, Grüße Mschcsc 20:33, 18. Jan. 2008 (CET)

Es geht hier nicht um willkürliche Verbotspostulate, sondern um Logik und darum, dass die Division durch 0 nicht definiert ist. Damit der Differenzenquotient an der Stelle $x_{0}$ überhaupt definiert ist, muss $x\neq x_{0}$ gelten, weil die Division durch 0 nicht definiert ist. Die nachfolgende Umformung gilt deshalb auch nur unter der Voraussetzung $x\neq x_{0}$. Die letzte Umformung gilt aber nur unter der Voraussetzung $x\neq x_{0}$, denn Du setzt ja für $x_{0}$ für $x$ ein. Insgesamt erhältst Du also eine Gleichheitskette, die nur unter der Voraussetzung gilt, dass sowohl $x\neq x_{0}$ als auch $x\neq x_{0}$ beides gilt, was aber nicht möglich ist. Was Du damit zeigst ist also etwa "Wenn $0\neq 0$, dann ist $(x^{2})'=2x$. Diese Aussage hat keinerlei Wert, weil die Voraussetzung niemals erfüllt ist. --Digamma 21:07, 18. Jan. 2008 (CET)

Die Umformung einer Gleichung ist doch universell gültig, ganz egal ob die konreten Werte nun bekannt sind oder nicht. Man darf doch beim Umformen nicht irgendwelche Vorrausetztungen über die Beziehung zweier Variabler annehmen; von so einer Regel hab ich jedenfalls noch nie was gehört.

Zeig mir doch bitte ein Beispiel, (oder einen anderen mathematisch zwingenden Beweis) wie die Umformung zu einem falschen Resultat führen kann.

Mschcsc 21:24, 18. Jan. 2008 (CET)

Es befinden sich sogar zwei Beispiele, die ich zu Beginn dieses Abschnitts gepostet habe. --Tolentino 10:40, 19. Jan. 2008 (CET)

Dass dein erstes Beispiel falsch ist, weil du von der falschen Vorraussetzumg $abs(x)=x*sgn(x)$ ausgehst, habe habe ich doch gerade gezeigt - und sogar noch richtig nachgerechnet.

Nein, das Beispiel ist richtig. Man kann leicht mit einer Fallunterscheidung nachrechnen, dass $|x|=x\cdot \operatorname {sgn}(x)$ gilt:

1. Fall: $x<0$: Dann ist $|x|=-x$ und $\operatorname {sgn}(x)=-1$, also $x\cdot \operatorname {sgn}(x)=-x=|x|$
2. Fall: $x=0$: Dann sind beide Seiten der Gleichung gleich 0.
3. Fall: $x>0$: Dann ist $|x|=x$ und $\operatorname {sgn}(x)=1$, also $x\cdot \operatorname {sgn}(x)=x=|x|$

Dein "Beweis" oben war von der Art "2 + 7 kann nicht gleich 9 sein, denn 3 + 6 ist gleich 9.--Digamma 12:57, 19. Jan. 2008 (CET)

Man darf doch nicht einen Wertevergleich hernehmen um die Identität zweier formaler Ausdrücke zu beweisen um sie dann einfach generell durcheinander zu ersetzten!

Doch, denn genauso ist Gleichheit (oder "Äquivalenz") von Termen definiert. Und wenn man genau ist, dann muss man auch dazusagen, für welche Einsetzungen die Gleichheit gilt. Es geht hier nämlich nicht um "formale" Ausdrücke, sondern um reelle Zahlen. Gleicheit von zwei Ausdrücken heißt hier, dass sie für jede mögliche Einsetzung denselben Wert ergeben. --Digamma 20:49, 19. Jan. 2008 (CET)

Dazu müsste man zusätzlich noch stetigkeit nachweisen.

Ich kann auch durch so einen faulen Zauber nachweisen dass $x=-x$ ist:

Laut Wertevergleich ist$\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}$ für alle x. Daraus folgt nun selbstverständlich nicht, dass x^2 dasselbe ist wie (-x)^2 und dass man einfach hingehen kann und in arithmetischen Ausdrücken (-x)^2 anstelle von x^2 hinschreiben darf!

Selbstverständlich darf man das. Der Fehler tritt erst im nächsten Schritt auf.--Digamma 20:49, 19. Jan. 2008 (CET)

Aus $(-x)^{2}=x^{2}$ folgt nämlich unmittelbar, dass $x=-x$

Das folgt eben gerade nicht. Weil nämlich das erste wahr ist und das zweite falsch (zumindest für $x\neq 0$). --Digamma 20:49, 19. Jan. 2008 (CET)

und das ist ja wohl ganz offensichtlich falsch!!

Erst kommst Du mit irgendwelchen Verbotsregeln und jetzt mit irgendwelchen selbsterfundenen "Umformungsregeln" auf Basis eines Wertevergleichs an, um aus $abs(x)=x*sgn(x)$ doch noch irgendwie den Ausdruck $x=abs(x)*sgn(x)$ "hinzubiegen"...

Wenn Du erst die Algebra neu defiieren musst, um mir einen Fehler nachzuweisen (oder den eigenen Fehler "richtigzustellen"), so ist das mathematisch nicht gerade sehr überzeugend...

Du bist derjenige, der hier die Algebra neu definierst. --Digamma 20:49, 19. Jan. 2008 (CET)

Eas das zweite "Gegenbeispiel" betrifft:

Da setzt Du noch ausdrücklich hin

• Dann ist ${\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=g(x)$ für alle $x\neq 0$

und wunderst dich dann dass für $\displaystyle x=0$ logischerweise gerade gerade nicht $g(0)={\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}$ ist??? Was für eine Art Gegenbeweis soll denn das sein?

Es ist genau Deine Argumentation. --Digamma 12:57, 19. Jan. 2008 (CET)

Nichts da, ich käme bestimmt nicht auf den Gedanken, zu behaupten, man dürfe x=0 setzen, wo es ausdrücklich verboten ist. Das denkst Du dir bloß so, weil du meinst es gäbe irgendein ominöses Verbot dass es generell verbietet dass ein Ausdruck im Zähler eines Bruches Null wird - aber da irrst Du.

Also, ich warte immer noch auf einen richtigen Beweis, der nicht auf falschen oder unter den Teppich gekehrten Vorraussetzungen beruht.

Mschcsc 12:33, 19. Jan. 2008 (CET)

Ich warte weiter... Mschcsc 18:41, 19. Jan. 2008 (CET)

@

@

• Du bist derjenige, der hier die Algebra neu definierst. --Digamma 20:49, 19. Jan. 2008 (CET)

Ah ja? Schau'n wir mal, was wir mit deiner Kongruenztheorie über den Wertevergleich alles zaubern können... Du behautest also allen Ernstes, dass, wenn ein Wertevergleich zeige, dass zwei algebraische Ausdrücke, also z.B. ${\frac {x}{f(x)}}$ und ${\frac {x}{g(x)}}$, in allen Punkten numerisch übereinstimmen, sie auch formal gleichgesetzt werden dürfen, also dass gilt:
${\frac {x}{f(x)}}={\frac {x}{g(x)}}$
????
Das würde dann ja implizieren, dass $\displaystyle f(x)=g(x)$ und dass das nicht stimmen kann sieht man sofort wenn man für f() und g() setzt:

$f(x):={\begin{cases}\ \;\,27&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=0\\x&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\neq 0\end{cases}}$

$g(x):={\begin{cases}\ \;\,42&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=0\\x&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\neq 0\end{cases}}$

Das würde natürlich bedeuten, dass $\displaystyle f(0)=g(0)$ und also $\displaystyle 27=42$

Mit dieser Art von *Superalgebra* kann man natürlich alles widerlegen oder beweisen, ganz wie's beliebt... ;-)
Mschcsc 03:19, 20. Jan. 2008 (CET)

Die Behauptung "Das würde natürlich bedeuten..." trifft nicht zu. Denn wie käme man von ${\frac {x}{f(x)}}={\frac {x}{g(x)}}$ zur angeblichen Implikation? $\displaystyle 0/f(0)=0/g(0)$ trifft in der Tat zu, also 0/27 = 0/42. Wie aber sollte daraus $\displaystyle f(0)=g(0)$ folgen? Ich vermute, stillschweigend und unbedacht war die folgende Umformung im Sinn:

${\frac {x}{f(x)}}={\frac {x}{g(x)}}$, also

${\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{g(x)}}$ durch Division mit x, also

$f(x)=g(x)$ durch Reziprokenbildung.

Das geht gut unter der Voraussetzung, daß x nicht 0 ist, weil es eine Division durch x einschließt, für x=0 bekanntlich ein gewisses Problem und um die volle Wahrheit zu sagen: ein Fehler. Man sieht, es ist wichtig, gerade die stillschweigenden Voraussetzungen kritisch zu sehen und die gemachten Voraussetzungen unterwegs nicht zu verlieren.

Völlig einverstanden.

Und genau aus demselben Grund funktioniert die Gleichsetzung von $|x|=x*sign(x)$ nur unter der Vorraussetzung, dass x≠0!

Man darf nicht einfach sagen:

• Fall: $x=0$: Dann sind beide Seiten der Gleichung gleich 0.
  

und daraus schliessen dass |x| auch formal dasselbe wie $x*sgn(x)$ ist - denn das würde implizieren dass $sgn(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {0}{0}}$ und ${\frac {0}{0}}$ ist nunmal nicht definiert. Man muss sich entscheiden, ob man sich auf die vorrausetzte Definition bezieht, die ausdrücklich sagt $sign(0):=0$ (oder in meinen Beispielen x=27 bzw. x=42) oder ob man es implizit über die Betragsfunktion zu $sign(x)={\frac {|x|}{x}}$definiert. Man kann aber nicht hingehen und zwei sich widersprechende Definitionen gleichzeitig als wahr setzen; bzw. wie bei dem vermeintlichen Gegenbeweis aus der einen Definition etwas richtig ableiten und dann am Ende einfach die Definition wechseln und ausrufen: "Falsch, das ist ja gar nicht 0". Das Resultat ist völlig richtig, wenn man die Vorraussetzung beibehält, dass $sign(x)={\frac {|x|}{x}}$ sein soll; es ist dann nämlich einfach ${\frac {0}{0}}$ und damit schlicht nicht definiert - und damit ist das ein richtiges Resultat für die Ableitung der Betragsfunktion.

Der ganze "Zaubertrick" besteht darin, die Definitionen Klammheimlich zu wechseln.

Das polemisch mit "Kongruenztheorie" bezeichnete Verfahren ist eine gängige Methode der Mathematik, sie heißt auch: Gleiches kann immer für Gleiches substituiert werden. Sie führte zu Fehlern nur, wenn man Definitionen aufstellte, die "natürlich nur gelten sollen, wenn sie Sinn machen", oder die ähnliche Laxheiten à la discrétion du maître einschließen, das sollte man deshalb lassen und in einer Theorie, Ableitung, einem Beweis von Anfang an genau sein, sonst platzt die eingeschlichene Widersprüchlichkeit später als Bombe.

Du sprichst mir aus der Seele!

Das Ableiten einer Funktion ist übrigens nur sekundär das Anwenden von Term-Transformationen auf die die Funktion beschreibende Formel. Weil die meisten Funktionen gar keine Formel besitzen. Und wenn die Ableitung nicht existiert, und die Formeltransformation gemäß Formelsammlung o.ä. trotzdem eine ergibt, hat man immer eine Voraussetzung vergessen; typischerweise eine Beschränkung des Definitionsbereichs.

Das ist völlig richtig, deshalb ist es auch vergebene Liebesmüh, irgendwelche Gegenbeispiele dafür finden zu wollen, dass man mit Formeltransformationen und Nullsetzen zu irgendwelchen falschen Ableitungen gelangen kann.

Differenzierbar sind Funktionen, nicht Formeln, die Differnzierbarkeit hängt nur vom - metaphorisch gesprochen - Wertverlauf der Funktion ab, nicht vom etwa angegebenen Rechenausdruck. Insofern ist formales Gleichsetzen auch kein Problem. Es gibt wohl so etwas wie "formales Differenzieren" in der Algebra (für gebrochen rationale Terme in einer Unbekannten o.ä), mit Anwendung etwa in der Kombinatorik ("Erzeugende Funktion"), das ist dann ein rein formales Vorgehen, das keine analytischen Aussagen trifft, etwa über die Existenz dieser "Ableitungen" nach analytischer Auffassung.

-- Silvicola 13:45, 20. Jan. 2008 (CET)

Der Werteverlauf ist ja nichts anderes als die Abbildungsvorschrift einer Funktion und letztlich können ja auch alle Zahlenausdrücke als konstante Funktionen hingeschrieben werden, also

null(x)=0, f(x)=1, ff(x)=2, fff(x)=3 etc.

Rein Formal gesehen sind die Zahlen (ausser der Null) und die Rechenoperationen ja auch nichts anderes als rekursive Funktionen.

Nicht im Sinne der Rekursionstheorie, wenn Du das meinen solltest. Denn die rekursiven Funktionen sind abzählbar, aber schon die reellen Zahlen, also auch alle in R konstanten Funktionen, sind überabzählbar. Ohne mindestens ganz R, also nur mit Q etwa, ist aber jedwede Analysis, wegen fehlender Vollständigkeit, hinfällig. Da fielen ständig die Grenzwerte heraus.

Im Grunde genommen ist doch alles in der Mathematik letztlich symbolisch und rein formal.

Formal hat viele Bedeutungen. Was ich weiter oben meinte ist formelhaft, also daß Ableiten keine Operation bloß auf Formeln ist. Grund s.o., es fehlt einfach an Formeln für alle Funktionen.

Und ob z.B. man die Konstruktion von R aus Q über einen Prozess wie die Vervollständigung per Cauchy-Folgen noch symbolisch nennen kann, ist doch sehr zweifelhaft. Die eingehenden Mengen sind einfach zu groß.

Ist natürlich schon richtig, das hatte ich auch nicht unbedingt im Sinn - meinte eher sowas wie algorithmisch.

Differenzierbarkeit sagt aus, dass der beidseitige Grenzwert eines Ausdrucks der Form ${\frac {f(x1)-f(x0)}{x1-x0}}$ existiert und dass er nicht $+\infty$ oder $-\infty$ ist (welches beide definierte und gültige Grenzwerte sind)

Nein, sind sie nicht. Man braucht Vollständigkeit. Nähme man $+\infty$ $-\infty$ zu R hinzu, verlöre man bei der erweiterten Menge die Körpereigenschaften.

Nein, das ist nur eine Frage der richtigen Interpretation. $+\infty$, $-\infty$ (und manchmal auch noch -0 und +0) sind doch einfach nur Symbole für die kleinsten Umgebungen von Häufungspunkten, aber sie sind natürlich nicht die Häufungspunkte selbst. Nützlich ist das z.B. um das Verhalten von Funktionen im Unendlichen zu studieren, so kann man z.B. auch noch von positiver oder negativer Steigung einer Funktion sprechen, die im betrachteten Punkt über alle Schranken wächst - oder man kann das Verhalten der Signumfunktion bzw. von (x/|x|) an der Stelle 0 beschreiben, obwohl sie da gar nicht definiert ist.

- nicht mehr und nicht weniger.

Bitte C nicht zu vergessen. In C spielen etwaige links- und rechtsseitige Grenzwerte nicht die Rolle wie in R.

Ja, schlimmer noch, in C hat man es plötzlich sogar mit vier Grenzwerten zu tun, je einem Links- und rechtsseitigen Grenzwert für den reelen Teil und je einem Links- und rechtsseitigen Grenzwert für den Imaginären Teil.

Bei der Grenzwertbildung zerfällt die komplexe Signumfunktion $sgn({\frac {z}{|z|}})$ dann in vier Teile:

1. $(dx+i\cdot dx)$
2. $(dx+i\cdot -dx)$
3. $(-dx+i\cdot dx)$
4. $(-dx+i\cdot -dx)$

Deshalb ist in C auch $sgn(x)^{2}$ nicht differenzierbar im Gegensatz zu $sgn(x)^{2}$ in R, weil es immer noch in zwei verschieden Teile zerfällt nämlich in:

1. $(0+i\cdot {\sqrt {2}}\cdot dx)$
2. $(0+i\cdot -{\sqrt {2}}\cdot dx)$
3. $(0+i\cdot -{\sqrt {2}}\cdot dx)$
4. $(0+i\cdot {\sqrt {2}}\cdot dx)$

Selbst $sgn(x)^{3}$ ist in R noch nicht differenzierbar, es zerfällt immer noch in zwei verschieden Lösungen:

1. $(-2dx+i\cdot 2\cdot dx)$
2. $(-2dx+i\cdot -2\cdot dx)$
3. $(2dx+i\cdot -2\cdot dx)$
4. $(2dx+i\cdot 2\cdot dx)$

Erst $sgn(x)^{4}$ ist in R differenzierbar, es zerfällt viermal in:

1. $(-4dx+i\cdot 0dx)=$

Die wichtigste "Aufgabe" der Grenzwerte ist es vor allem, den Widersprich zwischen $\displaystyle sgn(x):=0$ und $sgn(x):={\frac {|x|}{x}}$ und änlich gelagerter "sprunghafter" Funktionen zu entschärfen, indem explizit gefordert wird, dass $\lim _{x\to 0}(sgn(x))$ gar nicht existiert, weil der rechtsseitige Grenzwert $\lim _{x\searrow 0}=1$ mit dem linksseitigen $\lim _{x\nearrow 0}=-1$ nicht übereinstimmt.

Das vorgehende verstehe ich nicht. Wieso eine Diskussion über Zwecke?

Ach komm, ich benutze sogar noch Gänsefüsschen um anzudeuten, dass "Aufgabe" nicht ganz wortwörtlich zu sehen ist.

Und wieso sollte man sgn(x) nicht einfach über eine dreiteilige Fallunterscheidung definieren können? Bei einer dann wie auch immer gegebenen Funktion kann man anschließend eine Grenzwertdiskussion führen. Nur weil eine Funktion sprunghaft ist, ist sie jedenfalls nicht "widersprüchlich". Widersprüchlich sind nur Aussagen, keine Funktionen.

Eine Funktionen der Art $f(x):=f(x)+1$ ist widersprüchlich in dem Sinne dass die Abbilungsvorschrift(en) nicht erfüllt werden können. Du hast natürlich Recht in dem Sinne, dass der Widerspruch nicht unbedingt in einer einzelnen Funktion verpackt sein muss, es können auch zwei für sich gesehen einwandfreie Definitionen wie $f(x):=g(x+1)$ und $g(x):=f(x+1)$ oder eben wie $sgn(x):=0$ und $sgn(x):={\frac {|x|}{x}}$ zum Widerspruch führen, wenn sie beide gleichzeitig wahr sein sollen. Letztlich sind meist es nicht die einzelnen Aussagen, die widersprüchlich sind, sondern die Tatsache dass sich aus ihnen ergibt dass überhaupt jede logische Aussage sowohl wahr als auch falsch sein muss.

Es geht mir natürlich nicht darum, dass die Widersprüchlichkeit in irgendeiner Wiese mit der Stetigkeit einer Funktion etwas zu tun hat - aber die Aufspaltung der Grenzwerte in einen "rechten" und einen "linken Teil" hat damit zu tun.

Ein Widerspruch tut sich erst dann auf, wenn ich sgn(0) einerseits Per Dekret als Null definiere und andererseits als |x|/x, weil dann damit plötzlich auch ${\frac {0}{0}}=0$ bestimmt ist - und damit kann man dann alles beweisen oder widerlegen z.B. ${\frac {5}{0}}=0$ und ${\frac {42}{0}}=0$ also gilt auch $5=42$.

Definiert man $\displaystyle sgn(0)$ konsistent, also z.B. dass $sgn(x):={\frac {|x|}{x}}$ gelten soll und damit für 0 nicht definiert ist, so tut sich auch da kein Widersprich mehr zwischen $\lim _{x\to 0}(sgn(0))={\frac {0}{0}}$ und $\displaystyle sgn(0)={\frac {|0|}{0}}$ mehr auf.

Keine eindeutig definierte, aber wie auch immer irreguläre Funktion ist deshalb widersprüchlich.

S.o. Deshalb schrieb ich auch: "..tut sich kein Widerspruch auf.."

..weil für sich gesehen die beiden Funktionsdefinitionen natürlich völlig in Ordnung sind. Mit der sprunghaftigkeit oder

sonstigen konkreten Eigenschaften der Funktion hat das erstmal natürlich gar nichts zu tun.

Hab' ich auch nirgendwo behauptet - wie gesagt, die "Sprunghaftigkeit" hat mit der "Einseitigkeit" der Grenzwerte zu tun - weil sgn(x) im der Umgebung von Null je eine positive und eine negative Lösung besitzt.

In eine Grenzwert zu verwandeln braucht man den Ausdruck nur, wenn man keine (eindeutige) Lösung durch einsetzen von 0 finden kann (sgn(0) ist natürlich keine Lösung) - dann kann man links und rechts getrennt weiterrechnen und zeigen dass man beide male dasselbe Resultat bekommen hat.

In dem Vorstehenden ist zu viel können, müssen, sollen, brauchen. Was ist der Fall, was ist nicht der Fall, das sind die Fragen, die zu behandeln sind. Natürlich hat der Aufsteller einer Definition damit etwas im Sinn. Aber nicht dieser Sinn ist zu diskutieren, sondern ob, was er damit an Aussagen formuliert, zutrifft oder nicht.

Ganz deiner Meinung.

Ich habe ja an anderer Stelle bereits erwähnt, dass man die Grenzwerte für die meisten Funktionen gar nicht benötigt, und dass wenn man den "Grenzwertprozess", der Differenzieren schon anhand von Grenzwerten erklärt, dann sollte man das Wichtigste, das "Zerfallen" von sgn(0) in einen rechts- und linksseitigen Teil zuallererst erklären - sonst muss gar nicht erst von Grenzwerten sprechen; das Umstellen von Gleichungen gehört in die Algebra.

Mschcsc 17:26, 20. Jan. 2008 (CET)

Im übrigen verstehe ich aufgrund der angeschwollenen Diskussion den Bezug zum Artikel nicht mehr.

Deshalb zum Artikel zurück. Ich finde, in derzeitiger Form bietet er eine schlecht brauchbare Einführung für den Leser, s.u.

(Einwände zum Vorgehenden auf dieser Stufe eingeflochten.)-- Silvicola 22:53, 20. Jan. 2008 (CET)

Hab' ich mir auch gedacht und den Artikel um einiges ergänzt - ist sicher noch nicht das Gelbe vom Ei, aber ich denke der Artikel ist so etwas "klarer" und weniger ausschweifend. Zwar auch umfangreicher, aber ich denke dass das für einen ersten Überblick über das Wesen des Differenzenquotienten und seiner Stellung als "Schnittstelle" zur Differentialrechnung schon taugen könnte...

Mschcsc 10:55, 21. Jan. 2008 (CET)

Die neue Definition am Kopf mit Variablen x0, x1 empfinde ich als Verbesserung. Denn die zweite Stützstelle wird damit gleichberechtigt, die begriffliche Entfernung zum Differentialquotienten wird deutlicher. -- Silvicola 15:38, 20. Jan. 2008 (CET)

Mschcsc, dein vorsätzliches Zerstören dieses mathematischen Artikels kommt Vandalismus nahe. Wir haben lang und breit genug diskutiert, dass deine angebliche Vorgehensweise mathematisch unhaltbar ist. Trotz genügend sachlicher Arguemnte sträubst du dich dagegen. Es ist jedoch keine Art und Weise, den Artikel gemäß deiner Privatmeinung gegen die Meinung aller übrigen Beteiligten durchzusetzen. --Tolentino 09:41, 21. Jan. 2008 (CET)

Gegen ausufernde Voraussetzungen

(Titel semantisch rückkorrigiert und verdeutlicht) -- Silvicola 10:01, 21. Jan. 2008 (CET)

Ah! Sorry... :-) --Tolentino 10:10, 21. Jan. 2008 (CET)

Ich finde, in derzeitiger Form bietet der Artikel eine schlecht brauchbare Einführung für den Leser, weil er in seinen Verständnis-Voraussetzungen ausufert. Er setzt fortlaufend mehr voraus, um damit dann immer vager zu werden, über ungenaue Synonymik, die nur verwirrt. Kenntlich u.a. an den wuchernden Links, die deutlich genug zeigen, daß man Unerklärtes voraussetzt. Und

• was hat denn das harmonische Mittel mit Differenzenquotienten zu tun?
• wieso zusätzlich noch physikalische Kenntnisse voraussetzen?
• Das Ladungsträgerbeispiel ist ohnehin unpassend. Die Ensemble-Mittelung ist irrelevant, wo es - um im vorangehenden Bild zu bleiben - um eine zeitliche Mittelung (des Weges?) für einen Ladungsträger ginge. Natürlich wird das Beispiel dann unbrauchbar, weil der Alltagsanschauung zu fern, in der (makroskopische) Ströme auftreten aber keine Ladungsträger.

-- Silvicola 22:53, 20. Jan. 2008 (CET)

Überarbeitung

Ich schlage vor, auf diese Version zurückzusetzen und den Artikel von da aus zu überarbeiten. Die aktuelle Version enthält vor allem private Begriffsbildung (lokales Wachstum) und sehr viel, was eigentlich gar nicht zum Thema gehört. --P. Birken 05:42, 26. Jan. 2008 (CET)

Zustimmung. Das mit dem lokalen Wachstum klingt nach WP:TF, also entweder Quellen angeben oder streichen. Welche Version als Ausgangsversion für eine weitere Überarbeitung genommen wird, ist mir egal, solange kein grober Unfug drinnen steht: Die von Dir vorgeschlagene schaut jedenfalls halbwegs brauchbar aus. --NeoUrfahraner 07:14, 26. Jan. 2008 (CET)

Sehe ich genauso, solange nicht wieder dieses $x_{0}=x_{1}$ drinsteht... Apropos, kann man irgendwann diese obigen Diskussionen entfernen? Ich glaube nicht, dass jemand was damit anfangen kann, und diese Abschnitte sind doch ziemlich länglich (ebenso bei Differentialrechnung). Jedoch kenne ich mich mit dem üblichen Prozedere nicht so aus. --Tolentino 08:34, 26. Jan. 2008 (CET)

Hilfe:Archivieren. Ich habe jetzt einen Auto-Archiv Baustein eingebaut, in einem knappen Monat sollte damit obige Diskussion archiviert werden. --NeoUrfahraner 09:22, 26. Jan. 2008 (CET)

Ah, besten Dank. Ich hatte mal einen Zusammenstoß beim Kürzen einer Diskussionsseite, so dass ich mich erst mal nicht selber dran wagen wollte. Könntest du das vielleicht auch bei Differentialrechnung machen, oder geschieht das da auch automatisch? Grüße, --Tolentino 10:43, 26. Jan. 2008 (CET)

Differentialrechnung wurde anscheinend von Benutzer:Lustiger seth manuell archiviert. Ich habe bei ihm nachgefragt. --NeoUrfahraner 16:26, 26. Jan. 2008 (CET)

jau, ich wuerd's gern weiterhin manuell machen. -- seth 18:13, 26. Jan. 2008 (CET)

ich kenne zwar deinen zusammenstoss nicht, @Tolentino, moechte dich jedoch ermuntern, weiter auf diskussionsseiten aufzuraeumen. bots koennen nicht so gut entscheiden, wann eine diskussion ueberfluessig/erledigt/erhaltenswert/sonstwas ist, wie wir dies koennen. und so richtig geloescht wird dabei ja ohnehin nichts. in der history bleibt alles erhalten. insofern empfehle ich auch fuer solche extrem langen diskussionen die sparsame variante des archivierens: d.h. permalinks mit mini-zusammenfassungen. das haelt eine DS schlank, uebersichtlich und macht bots ueberfluessig. -- seth 18:13, 26. Jan. 2008 (CET)

Ach, es war auf Summenregel, wo ich den Abschnitt entfernen wollte, der sich auch eine Passage bezog, die auf den Artikel Mächtigkeit (Mathematik) umverteilt wurde, so dass ich keinen Sinn sah, in Summenregel etwas über Subadditivität zu schreiben. Aber seis drum. Viele Grüße, --Tolentino 10:33, 27. Jan. 2008 (CET)

Bitte kein Revert-Terror

Benutzer:Tolentino, Ich erbitte mir ein zivilisiertes Verhalten. Änderungen können vernünftig Diskutiert werden, Revert-Terror ist nicht notwendig! Danke. Mschcsc 11:01, 21. Jan. 2008 (CET)

Wer macht denn hier den Revert-Terror? Ich muss jetzt zum vierten Mal den Unsinn korrigieren. Wenn du nicht den blassesten Schimmer von Ahnung von Mathematik hast, dann halte dich bitte aus mathematischen Arikeln heraus. --Tolentino 11:11, 21. Jan. 2008 (CET)

Es reicht. Es ist ja (mit Ausnahme dieser einen Person Mschcsc) in dieser Diskussion völliger Konsens, dass seine Methode Unsinn ist. Trotzdem widersetzt sich Mschcsc penetrant gegen jede Einsicht. Schlimmer noch, er zerstört regelmäßig den Artikel, indem er ständig den Grenzübergang durch logisch fehlerhafte Umformungen ersetzt.

Welche Möglichkeiten bietet Wikipedia gegen solche Vandalierer und wie kann ich dagegen vorgehen? --Tolentino 11:15, 21. Jan. 2008 (CET)

Ich finde es eine Unverschämtheit, dass Du meine Arbeit als "Vandalismus" kennzeichnest. Was Du uns hier Vorgerechnet hast spricht für sich, das muss Du dich nicht mir gegenüber als Autorität aufspielen, Wenn Du nicht die Chuzpe hast, hier eine richtige Rechnung vorzüführen oder über das Thema zu Diskutieren, dann lass einfach die Finger von dem Thema. Gerade Du könntest noch etwas dabei Lernen - aber die glauben, sie wüssten schon alles, sind eben meist unbelehrbahr; und deswegen Wissen sie in Wahrheit auch nicht sehr viel.

Mathematische Wahrheit ist zum Glück keine Frage des Konsens einiger selbsternannter Autoritäten. Aber das passt zu deiner Art, mathematische Regeln nach belieben zu verbiegen und algebraische Verbotsregeln aufzustellen um "Beweise" zu konstruieren.

Und von "völligem Konsens" ist sowieso leicht reden wenn nur drei, vier Leute miteinander Diskutieren.

Du kannst gegen meine Arbeit "Vorgehen", indem Du dich zivilisiert an der Diskussion beteiligst und mal stichhaltige Gründe und Argumente lieferst, weshalb der unanschauliche Grenzwertbegriff eingeführt werden soll.

Ich begründe meine Änderungen schliesslich auch - oft sogar ohne Aufforderung, und bin auch durchaus imstande zu konstruktiver Zusammenarbeit - aber nicht auf der Basis "Wer hat den Grösseren IQ"....

Mschcsc 11:31, 21. Jan. 2008 (CET)

Meine Rechnung ist richtig. Dies wurde auch genügend hier bestätigt. Deine fachlichen Mängel hast du selber hinreichend dokumentiert. Ich denke alleine an das Leugnen der Identität $x^{2}=(-x)^{2}$, aber deine übrigen Beiträge sprechen ebenfalls für sich. Das ist keine Frage von IQ (die Verwendung der Anführungszeichen ist irreführend, ich habe niemals etwas derartiges behauptet), sondern von wahr oder falsch. Ich glaube vielmehr, dass du etwas von uns hier lernen könntest, dich aber dagegen weigerst. --Tolentino 12:30, 21. Jan. 2008 (CET)

Der Differentialquotient ist in der heutigen Standard-Analysis der Grenzwert des Differenzenquotienten. Daher würde ich die Änderungen von Mschcsc ebenfalls als Vandalismus betrachten. --NeoUrfahraner 13:00, 21. Jan. 2008 (CET)

PS: der Unsinn mit dem harmonischen Mittel ist ja immer noch drin. Sollten wir nicht auf eine noch ältere Version revertieren? Auf welche? --NeoUrfahraner 13:10, 21. Jan. 2008 (CET)

Hm, dann wären einige gute Sachen herausgeflogen. Die Tabelle beispielsweise (die von Mschcsc stammt) finde ich gar nicht mal so schlecht (nach der inzwischen erfolgten Korrektur der oben genannten Fehler). Aber das mit dem harmonischen Mittel muss natürlich raus. --Tolentino 13:13, 21. Jan. 2008 (CET)

OK; der Rest schaut nach kurzem Überfliegen vernünftig aus. --NeoUrfahraner 13:20, 21. Jan. 2008 (CET)

Es geht in die nächste Runde: Der Artikel wurde wiederum revertiert. --Tolentino 15:50, 21. Jan. 2008 (CET)

Es ist zwar vergebene Liebesmüh' aber trotzdem so am Rande angemerkt, von wegen:

• Ich denke alleine an das Leugnen der Identität $x^{2}=(-x)^{2}$, aber deine übrigen Beiträge sprechen ebenfalls für sich

Wenn $x^{2}=(-x)^{2}$, dann ist auch $1^{2}=(-1)^{2}$. Aber das scheint dich ja nicht besonders zu kümmern...

• kopfschüttel* Mschcsc 16:50, 21. Jan. 2008 (CET)

Das spricht für sich... Tipp mal in deinen Taschenrechner (-1)*(-1) ein... --Tolentino 16:52, 21. Jan. 2008 (CET)

Immer noch nicht verstanden worum's geht?

Sag mir dochmal für welches x die Identität überhaupt zutrifft? Lös' deine "Identität" mal auf für x=5 oder x=-5.

Merkst Du was?

Deine "Identität" kann doch nur für x=0 erfüllt werden und besagt somit nichts anderes, als dass 0=0 (welche überraschung) und dass x=0 ist. Das ist eher eine Art "Nicht-Idendität" die nichts anderes sagt als dass keine Zahl ausser der Null ihre eigene Negation ist. Genausogut könnte man -x=x hinschreiben - auch ohne Taschenrechner sieht man leicht, dass das genau dasselbe ist und nur sagt dass x=0 ist.

Würdest Du -x=x etwa auch als "zutreffende Identität" bezeichnen, nur weil man einfach ausser x=0 gar nichts vernünftiges einsetzen kann?

Du hast behauptet, aufgrund der "Identität" könne man in einem Ausdruck deshalb auch x^2 durch (-x)^2 ersetzten, der Fehler passiere dann erst "im nächsten Schritt"....

Das stimmt aber nicht, denn wenn Du aufgrund deiner vermeintlichen Identität x^2 durch (-x)^2 ersetzt, dann stimmt das nur dann wenn x=0 ist. In allen anderen Fällen ist es unter Garantie falsch, dann könntest Du genausogut einfach willkülich irgendwo das Vorzeichen einer Variablen umdrehen!

x^2 ist eben nicht dasselbe wie (-x)^2, es ist in gewisser weise das genaue Gegenteil davon und ist für x≠0 nie wahr!!

Mschcsc 17:57, 21. Jan. 2008 (CET)

Die zitierte Behauptung war von mir und nicht von Tolentino. Aber Tolentino hat natürlich recht. Es gilt $(-5)^{2}=(-5)\cdot (-5)=25$ und das ist dasselbe wie $5^{2}$. Das können schon Sechstklässler. --Digamma 18:27, 21. Jan. 2008 (CET)

Meine Güte, das weiss ich natürlich auch, dass $\displaystyle 5\cdot 5$ denselben Wert hat wie $\displaystyle -5\cdot -5$.

Aber deswegen ist a^2 noch lange nicht dasselbe im Sinne von derselbe Ausdruck wie (-a)^2. Man kann a^2 nicht algebraisch in (-a)^2 umformen, und genau darum gings doch bei diesen ganzen faulen Zaubertricks., dass man aus einer mathematischen Idendität klammheimlich eine Umformungsvorschrift der Art: Aus x^2 folgt (-x)^2 um damit Terme auszutauschen die algebraisch gar nicht ineinander umgeformt werden können.

$\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}$ ist einfach nur eine Tatsache, schlicht eine (natürlich richtige) "Feststellung"; aber man darf keine Rechenvorschrift im Sinne von $x^{2}\Leftrightarrow (-x)^{2}$ zu machen.

Wäre $\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}$ dann folgte daraus, dass $\displaystyle x=-x$ und das ist nur wahr für x=0. Und komm mir keiner dass sei "der Fehler" passiere erst ¨"im nächsten Schritt" wenn man später die Wurzel ziehen würde, denn aus $x\cdot x\Leftrightarrow -x\cdot -x$ folgt schon rein formallogisch dass $x\Leftrightarrow -x$ ist.

Man darf nicht die Wertegleicheit mit der formalen Gleichheit verwechseln und sagen zwei algebraische Terme seien dasselbe und könnten durcheinander ersetzt werden, nur weil sie für dieselben dieselben "Eingabewerte" auch dieselben "Ausgabewerte" liefern. Wenn mir heute dieslbe Pizza geliefert wierd wie gestern, bedeutet das nicht, dass es in beiden Fällen derselbe Kurier war, der sie mir geliefert hat.

Mschcsc 20:23, 21. Jan. 2008 (CET)

Ich habe nicht den Eindruck, dass es hier um wirklichen Erkenntnisgewinn geht, dafür sind die Behauptungen inzwischen zu absurd. --Tolentino 18:33, 21. Jan. 2008 (CET)

In der Tat, es geht eher darum, mathematische Wahrheit mit rhetorischen Mitteln, Revert-Terror und Zwang durchzusetzen, und das was man selbst nicht kennt unter dem Mantel der Verschwiegenheit zu verstecken. Die Verdrehung Logik und der Bedeutungsebenen in diesen Beiträgen hat allerdings schon was skurril-bizarres...

Schade finde ich nur, dass es hier offenbar nicht ohne Beleidigungen und Machtkämpfe abgehen kann. Naja Mschcsc 20:23, 21. Jan. 2008 (CET)

Mschcsc 20:23, 21. Jan. 2008 (CET)

Ich habe auf deine Version zurückgesetzt und den Artikel erstmal gesperrt. Ohne Zeit für eine konkrete Überprüfung zu haben, kommt mir Mschscs in seiner Fachkenntnis doch arg limitiert vor. --Scherben 17:37, 21. Jan. 2008 (CET)

Eine Frechheit, über meine Fachkenntnis zu urteilen ohne die Zeit für eine konkrete Überprüfung aufbringen zu können.

Naja, wer laut genug schreit hat wohl auch in mathematischen Belangen per se recht - traurig das...

Mschcsc 17:57, 21. Jan. 2008 (CET)

Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. Du kannst ein Analysis-Lehrbuch angeben (möglichst in deutsch, englisch oder französisch, damit genügend Leute es objektiv lesen können), in welchem deine Aussagen wie "$x^{2}=(-x)^{2}$ ist nur für $x=0$ richtig" stehen.
2. Du findest keine ernstzunehmende Referenz.

Im ersteren Fall könnte man darüber diskutieren. Im letzteren Fall ist deine ganze Aufregung nur künstlich produziert und ohne jeglichen fachlichen Rückhalt.

Ich für meinen Teil kann für meine Aussagen problemlos Heuser zitieren.

• Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 12. Auflage, Teubner

Auf Seite 105 steht: "Die Funktionen $f_{1}:X_{1}\rightarrow Y_{1}$ und $f_{2}:X_{2}\rightarrow Y_{2}$ nennt man gleich, wenn $X_{1}=X_{2},Y_{1}=Y_{2}$ und $f_{1}(x)=f_{2}(x)$ für alle $x\in X_{1}$ ist."

Auf Seite 117 steht: "Treten in eienm Polynom $f$ nur gerade Potenzen von $x$ auf, gat es also die Form $f(x)=a_{0}+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{2n}x^{2n}$, so ist stets $f(-x)=f(x)$." --Tolentino 08:42, 22. Jan. 2008 (CET)

Wertegleichheit ist nicht dasselbe wie Äquivalenz

Meine Quellen:

[[2]]

Über's Umformen von Gleichungen steht da:

• Eingeschränkt möglich sind darüber hinaus:

Potenzieren beider Seiten mit demselben positiven ganzzahligen Exponenten (z. B. Quadrieren).

Dies ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Exponent ungerade ist. Bei anderen Exponenten - wie beim Quadrieren - erhält man sogenannte Scheinlösungen, die durch eine Probe ausgeschlossen werden müssen.
Zum Beispiel ist die Gleichung x = -1 nicht äquivalent zur Gleichung x² = (-1)², denn die letztere Gleichung hat auch x = 1 als Lösung.

Mschcsc 11:25, 22. Jan. 2008 (CET)

Das ist eine schöne Seite, aber kein Beleg für deine Behauptungen. Auf der angegebenen Seite steht nicht, dass $x^{2}=(-x)^{2}$ für alle $x\neq 0$ falsch ist, wie du behauptest. Gib eine Referenz an. --Tolentino 11:29, 22. Jan. 2008 (CET) Offenbar sind nicht die logischen Symbole klar. Beispielsweise unterstellst du uns etwas von der Art "$x^{2}\Leftrightarrow (-x)^{2}$". Dabei kann man Äquivalenz nur von Gleichungen schreiben, nicht von Funktionen. Wir reden hier nur von Termumformungen! Und die Termumformung $x^{2}=(-x)^{2}$ ist selbstverständlich für alle reellen Zahlen wahr. --Tolentino 11:53, 22. Jan. 2008 (CET)

Kleine Anmerkung: konkret auf das betrachtete Problem bezogen, bedeutet die zitierte Aussage, dass eben die Gleichung $x^{2}=(-x)^{2}$ nicht äquivalent zur Gleichung $x=-x$ ist, dass diese beiden Gleichungen also unterschiedliche Lösungen haben können (erstere ganz $\mathbb {R}$, zweitere nur $x=0$. --NeoUrfahraner 12:42, 22. Jan. 2008 (CET)

Völlig richtig.

Die Frage, ob eine Umformung eine Äquivalenzumformung ist, tritt bei der Lösung von Gleichungen auf, aber nicht bei der Umwandlung von Termen. Zum Lösen von Gleichungen nimmt man eben oft Umformungen vor, bei denen die Folgegleichung zwar von der vorherigen impliziert wird, aber diese ihrerseits nicht impliziert, etwa weil die Folgegleichung dann leichter zu lösen ist. Die Ergebnisse muss man folglich noch einer Probe unterziehen, ob sie auch die vorige Gleichung lösen.

Das ändert aber nichts daran, daß man in einem Term immer Gleiches für Gleiches einsetzen kann. Speziell in der Analysis ist es auch völlig irrelevant, durch welche Formel o.ä. eine Funktion definiert ist, wenn sie nur - mengentheoretisch gesehen - aus denselben Argumentwert-Funktionswert-Paaren besteht. Insofern kommt auch niemand auf die Idee, die Signum-Funktion, die ja einfach und durchsichtig mittels einer dreigliedrigen Fallunterscheidung zu definieren ist, nun irgendwie kompliziert mittels x/abs(x) plus Ausnahmefall zu definieren, aus ganz pragmatischen Gründen: Man baut sich doch selber keine Stolperfallen! Ist sie aber einmal unzweideutig definiert, und wäre es auch zu kompliziert, ist es völlig gleichgültig, welche Formel o.ä. dazu benutzt wurde, wenn sie nur auch wirklich definiert ist, also keine stillschweigenden Voraussetzungen enthält, so daß sie etwa nicht total definiert ist.

Am Beispiel ausgeführt: Wer

$x^{2}=(-x)^{2}$

hinschreibt, schreibt eine wahre Aussage hin. Wer

$x=-x$

$x^{2}=(-x)^{2}$

hinschreibt, schreibt etwas -insgesamt - Falsches. Aber die zweite Zeile stimmt! Der Fehler liegt nur in der ersten. Wer

$x^{2}=(-x)^{2}$ => $x=-x$

hinschreibt, macht auch einen Fehler. Dieser Schluß ist falsch, aber die Prämisse bleibt gleichwohl wahr.

Grüße -- Silvicola 14:44, 22. Jan. 2008 (CET)

Richtig.

Und wer hinschreibt:

"die Termumformung $x^{2}=(-x)^{2}$ ist selbstverständlich für alle reellen Zahlen wahr

Der kann damit ja bloss meinen dass man den Term $x^{2}$ "irgendwie" algebraisch in den Term $(-x)^{2}$ umformen könnte also z.B.

$<\displaystyle t=x^{2}$

$t=x\cdot x$

$-t=-x\cdot -x$

.....

$t=-x\cdot -x$

$t=-(x\cdot x)$

$\displaystyle t=(-x)^{2}$

Und das ist selbstverständlich unmöglich.

Was sonnst könnte mit die "Termumformung" $x^{2}=(-x)^{2}$ denn sonst gemeint sein?

Mschcsc 16:19, 22. Jan. 2008 (CET)

$x^{2}=1\cdot x^{2}=(-1)^{2}\cdot x^{2}=((-1)\cdot x)^{2}=(-x)^{2}$ --NeoUrfahraner 16:30, 22. Jan. 2008 (CET)

$((-1)\cdot x)^{2}=(-x)^{2}$ ... ? ? ? ?.... Räusper... Mschcsc 17:10, 22. Jan. 2008 (CET)

Bezweifelst Du $(-1)\cdot x=-x$? --NeoUrfahraner 17:51, 22. Jan. 2008 (CET)

@

• lach". Nein, das bezweifle ich nicht. Aber dass die Wurzel von ${\sqrt {(-1)^{2}}}=1$ sein Soll...

Ist das jetzt Ironie? Selbstverständlich gilt für $x\in \mathbb {R}$ ${\sqrt {x^{2}}}=|x|$, siehe auch Wurzel (Mathematik)#Eindeutigkeit_von_Wurzeln_aus_positiven_Zahlen --NeoUrfahraner 08:59, 23. Jan. 2008 (CET)

Nein, keine Ironie, sollte natürlich heissen , dass ${\sqrt {(-1)^{2}}}=(-1)$ sein soll, du hat ja (-1)^2 'am Stück' zerteilt und in die Klammer gezogen, anstatt es erst auszurechnen - dann wär's 1 und damit 1^2 geworden - und dann in die Klammer zu ziehen. Ist natürlich beides richtig,

Nein!!! ${\sqrt {x^{2}}}=x$ ist falsch für $x<0$. --NeoUrfahraner 20:18, 23. Jan. 2008 (CET)

aber es ist eben ein Unterschied, ob ich ${\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}$ sozusagen rein formal ausernandernehme und sage, ${\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=(-1)$ das ist dann eben (-1) oder ob ich's erst ausrechne und sage das gibt dann eben ${\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$

Das Problem dabei ist natürlich, dass man damit herleiten kann, dass $1=-1$ ist...

Genau. Lies Dir bitte Wurzel (Mathematik)#Eindeutigkeit_von_Wurzeln_aus_positiven_Zahlen durch - die Gleichung $x^{2}=a$ hat zwar zwei Lösungen, ${\sqrt {a}}$ bezeichnet aber nur eine davon, nämlich die eindeutig definierte nichtnegative Lösung. --NeoUrfahraner 20:18, 23. Jan. 2008 (CET)

Sorry, die Sache mit den Termen habe ich schlampig formuliert.

Räuspern musste ich mich ein bisschen weil Du x^2 auseinandergenommen und die sozusagen die Quadratwurzel gezogen hast. Und dass Du eine Grösse (-1)^2 eingeführt hast deren Wurzel in der Klammer dann nicht 1 sondern -1 ist, ist auch ziemlich lustig, sieht schon verdammt imaginär aus das... :-)

Wo siehst Du Wurzeln und imaginäre Zahlen? Es geht um Potenz_(Mathematik)#Rechenregeln für ganzzahlige Exponenten: $(a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}$ für alle $a,b$ und nichtnegative ganze Zahlen $r$ oder für alle $a,b\neq 0$ und beliebige ganze Zahlen $r$. --NeoUrfahraner 08:46, 23. Jan. 2008 (CET)

Diene Gleichung ist natürlich trotzdem völlig richtig.

Ursprünglich gings ja darum dass ich sagte, $x*f(x)=x*g(x)$ bedeutet nicht, dass $f(x)=g(x)$ ist (und zwar weil bei x=0 f(x) und g(x) verschiedene Werte haben können).

Wo wurde denn was anderes behauptet? --NeoUrfahraner 07:05, 23. Jan. 2008 (CET)

In den sogenannten Gegenbeweisen wurde "hergeleitet", dass $x\cdot \operatorname {sgn}(x)=|x|$ für alle x gelte und damit $x\cdot \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{sgnx}}=x\cdot {\frac {1}{\operatorname {sgn}(x)}}$ und dass dann aus der Gleichung $x\cdot \operatorname {sgn}(x)=x\cdot {\frac {1}{\operatorname {sgn}(x)}}$ folge, beide Ausdrücke seien identisch

Sind sie ja auch für $x\neq 0$ --NeoUrfahraner 20:42, 23. Jan. 2008 (CET)

und man dürfe deshalb $lim_{x\to 0}{\frac {f(x)}{sgn(x)}}$ einfach in $lim_{x\to 0}{f(x)\cdot sgn(x)}$ umwandeln - was nunmal falsch ist, ob ihr's wahrhaben wollt oder nicht.

Doch, der Grenzwert ist gleich; der Grenzwert einer Funktion wird ja über die punktierte Umgebung definiert - der Funktionswert an der Stelle $x=0$ ist irrelevant für $\lim _{x\to 0}\varphi (x)$. Manchmal gilt $\lim _{x\to 0}\varphi (x)=\varphi (0)$, nämlich genau dann, wenn $\varphi$ stetig an der Stelle 0 ist, aber es gibt kein Gesetz, das Stetigkeit vorschreibt. --NeoUrfahraner 20:42, 23. Jan. 2008 (CET)

Du hast vollkommen recht! Das ist ja gerade das, was ich anderer Stelle dauernd predige, dass Grenzwerte erst dann wirklich eine Rolle spielen, wenn man es mit Unstetigkeiten zu tun hat, und das der ganze Witz an den Grenzwerten der ist, dass sie (in R jedenfalls) immer in einen linken und rechten Teil zerfallen - links oder rechts von f(x) eben und dass der Wert von f(x) selbst erstmal völlig irrelevant ist. Dass die Grenzwerte "zweiseitig" sind, ist eine Folge davon, dass die punktierte Umgebung von 0 kein eindeutiges Vorzeichen besitzt. Es ist doch im Zusammenhang mit der Differentialrechnung und dem Differenzenquotienten wichtig zu verstehen, dass man durch das Nullsetzen des Zählers (und damit auch des Nenners) des Differenzenquotienten die Vorzeichen "vernichtet", und dass die Grenzwertschreibweise im Grunde vor allem dazu dient, dies zu verhindern, indem der Grenzwert in einen positiven und negativen Teil aufgespalten wird, ganz ähnlich, wie man ein Polygon durch die Schreibweise $x=\pm {\sqrt {x^{2}}}$ in zwei Lösungen zerlegt - weil beim Quadrieren von x dessen Vorzeichen "zerstört" wird (weshalb auch schliesslich x^2=(-x)^2 wahr ist - das Quadrieren "vernichtet" das Vorzeichen).

Beim Wurzelziehen erhält man z.B. für $\pm {\sqrt {\operatorname {sgn}(x))}}$ fast immer zwei verschiedene Lösungen (ausser wenn x=0) und beim Grenzwertübergang ist es genau umgekehrt, da erhält man für $\lim _{t\to x}\operatorname {sgn}(t)$ eben fast immer zwei gleiche Lösungen (ausser wenn x=0).

Wenn ich aber irgendwo was von einseitigen Grenzwerten in einem Artikel schreibe, wird's gleich wieder gelöscht!

Ich hab's extra noch an zwei Funktionen illustriert, die wie $sgn(0)$ und ${\frac {1}{sgn(0)}}$ überall, ausser x=0 "gleich" sind um zu zeigen weshalb $x*f(x)=x*g(x)$ nicht bedeutet dass $f(x)=g(x)$.

Das zweite Beispiel basiert genau auf demselben faulen Trick:

• Und damit es nicht heißt, es hätte irgendwas mit einseitigen Grenzwerten zu tun, hier noch ein brutaleres Gegenbeispiel: Setze $g(x):=\left\{{\begin{array}{ll}\sin({\frac {1}{x}}),&x\neq 0,\\0,&x=0,\\\end{array}}\right.$ sowie $f(x):=x\cdot g(x)$. Dann ist ${\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=g(x)$ für alle $x\neq 0$. Trotzdem ist der Differentialquotient nicht $0=g(0)$, er existiert schlichtweg nicht. --Tolentino 09:30, 18. Jan. 2008 (CET)

Dieses brutale Gegenbeispiel ist genau gleich und durchschaubar aufgebaut. Aus $f(x)=x\cdot g(x)$ folgt $g(x)={\frac {f(x)}{x}}$

für $x\neq 0$, steht doch dort. --NeoUrfahraner 20:42, 23. Jan. 2008 (CET)

und damit ist der Wert von g(0) zweideutig, weil $0\neq {\frac {f(0)}{0}}$ ist. Mschcsc 18:28, 23. Jan. 2008 (CET)

Wer hat Dir erlaubt, $x=0$ in ${\frac {f(x)}{x}}$ zu setzen? --NeoUrfahraner 20:42, 23. Jan. 2008 (CET)

Niemnd hat mir das erlaubt, hab' ich auch nirgendwo gemacht.

Die "Gegenbeispiele" basieren doch genau auf diesem "Trick", das sag' ich ja die ganze Zeit!

• Als einfachstes Gegenbeispiel von unendlich vielen könnte man $f(x):=|x|$ nehmen. Dann ist nämlich ${\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}={\frac {(x-0){\rm {sgn}}(x)}{x-0}}={\rm {sgn}}(x)$. Gemäß deiner Vorgehensweise wäre der Differentialquotient ${\rm {sgn}}(0)=0$, welches natürlich falsch ist.

Wer hat Tolentino denn "erlaubt" im Differenzenquotienten einfach $|0|$ durch $0*sign(0)$ zu ersetzten? Das ist doch gerade der springende Punkt. Ich hab' nie gesagt man dürfe solche Ersetzungen vornehmen, ganz im Gegenteil!

Ich sagte bloß, dass man, wenn man solche Fehler nicht macht, man auch keine "falschen" Lösungen bekommen kann. $x{\frac {1}{\operatorname {sgn}(x)}}=x\operatorname {sgn}(x)$ ist zweifellos wahr - aber eben nur für x≠0 - aber gerade nicht für x=0! Mschcsc 04:05, 24. Jan. 2008 (CET)

Das Beispiel mit der Quadratfunktion sollte ja auch bloß illustrieren, dass man analog nicht aus $x^{2}=(-x)^{2}$ die Beziehung $x=-x$ "herzaubern" kann.

War sicher nicht der beste Vergleich und er hat eine Reihe böser Missverständnisse ausgelöst - das war nicht meine Absicht, mir ging's nur darum zu zeigen, wie der "faule Zauber" mit der Signumfunktion und dem anderen "Gegenbeweis" mit den in sich widersprüchlichen Funktionen:

$g(x):=\left\{{\begin{array}{ll}\sin({\frac {1}{x}}),&x\neq 0,\\0,&x=0,\\\end{array}}\right.$ und $f(x):=x\cdot g(x)$

genau funktioniert.

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sowas kann nicht widersprüchlich sein, allenfalls nicht wohldefiniert. Das ist hier aber offenbar nicht der Fall. --Tolentino 11:14, 23. Jan. 2008 (CET)

Zurück zum Thema.

Inzwischen ist ja wohl klar geworden, dass algebraische Umformungen des Differentialquotienten niemals zu falschen Resultaten führen können - sondern allenfalls zu mehrdeutigen oder gar keinen Lösungen, und somit hat sich der eigentliche Knackpunkt für mich soweit erledigt.

Diese Nebenschauplätze sind eigentlich unnötig, ich gehe davon aus, dass jeder der hier Beteiligten die Grundrechenarten und algebraiesche Umformungen im Griff hat und weiss dass die Gleichung $x^{2}=(-x)^{2}$ wahr ist, und auch dass man nicht in einem Term x einfach durch -x ersetzen darf. Ich gehe bestimmt nicht davon aus, dass ich es mit Idioten zu tun habe, genausowenig wie ich davon ausgehe dass ich es mit allwissenden und Unfehlbaren zu tun habe.

Der Artikel wurde ja leider wieder so umformuliert, dass der Wissbegierige möglichst nicht merkt, dass es beim Ableiten vor allem ums Umformen des Differenzenquotienten geht, und dass man nur wenn man keine Lösung bekommt, überhaupt mit Grenzwertgleichungen arbeiten muss.

Diese Aussage ist falsch. Das versuchen wir ellenlang zu erklären. Der Artikel wurde umformuliert, damit der Wissbegierige lernt, immer einen Grenzprozess durchzuführen und nicht verbotene Einsetzungen vornimmt, die manchmal per Zufall funktionieren, jedoch bei geeignet gewählten Gegenbeispielen zu falschen Ergebnissen führen. --Tolentino 11:14, 23. Jan. 2008 (CET)

Kleine Anmerkung: Wie die Geschichte der Mathematik von Gottfried Wilhelm Leibniz bis Karl Weierstraß zeigt, ist diese Erkenntnis nicht gerade trivial, aber das sollte ein Grund mehr sein, in der Wikipedia die heute anerkannte Vorgangsweise zu verwenden. --NeoUrfahraner 11:39, 23. Jan. 2008 (CET)

Wenn's darum geht, die Geschichte Mathematik ab Newton und Leibnitz zu beschreiben, bin ich völlig einverstanden. Man sollte am besten auch gleich sagen, dass Newton der eigentliche Begründer des Grenzwertbegriffs war.

Egal wo Du den Anfang ansetzt, der Punkt ist, dass die Mathematik im 18. Jahrhundert auf völlig wackeligen Fundamenten gestanden ist, bis im 19. Jahrhundert durch Leute wie Augustin Louis Cauchy und Karl Weierstraß die Fundamente gesichert wurden. Es mag schon sein, dass Du mit Newton auskommst; in der Wikipedia sollten aber auch die "neueren" Erkenntnisse des 19. Jahrhunderts berücksichtigt werden. --NeoUrfahraner 20:57, 23. Jan. 2008 (CET)

Stimmt, und ich habe den Grenzwertbegriff ja auch nicht unterschlagen, ganz im Gegenteil habe ich sogar sehr ausfürlich den Übergang vom algebraischen Begriffs des Differenzenquotienten (um darum handelt sich dieser Artikel, und nicht vom Differentialquotienten) und den Zusammenhang mit den Grenzwerten erläutert, wurde aber sofort wieder "Revert"iert. War sicher nicht der Weisheit letzter Schluss und diskutirbar, was ich geschrieben hatte, einiges würde ich sogar selbst als nicht korrekt bezeichnen, aber es ist nicht mehr und nicht weniger als eine etwas andere Herangehensweise, die Begriffe zu erklären, und sicher kein "Vandalismus", wie mir vorgeworfen wurde. Mschcsc 04:05, 24. Jan. 2008 (CET)

Aber die Geschichte Der Mathematik hat nicht erst mit Leibnitz begonnen, die Lösung von Tangentenproblemen und noch viel komplexerer Berührungen von Linien, Kreisen, Parabeln etc. und Flächen- und Voluminabestimmungen krummlinig begrenzter Körper wurden schon in der Antike durchgeführt. Descart löste gewisse Tangentenprobleme durch geometrische resp. algebraische Bestimmung eines Schmiegekreises. Kepler berechnete Volumina verschiedener Rotationskörper, Cavalieri und Toricelli rechneten mit Indivisiblen die sich durch Umformungen aushebeln liessen - das alles ging ohne Grenzwerte ab.

Dann kommt noch die Sache mit der "Tangentensteigung". Da wird einfach der Begriff der Steigung einer Kurve durch den Begriff der Steigung einer anderen Kurve ersetzt. Wie aber erkläre ich jemandem, was die "Steigung der Tangente" selbst ist - etwa die Tangentensteigung der Tangente? Die Steigung einer Geraden im Punkt x als "Tangentensteigung" einer Tangente an die Gerade im Punkt x zu erklären ist ja nicht gerade hilfreich - mal abgesehen davon, dass eine Gerade auch gar keine "Tangente" im geometrischen Sinne hat.

Wenn man den Differentialquotienten als Tangentensteigung der Tangente, die den Graph einer Funktion im Punkt f(x) berührt, beschreibt, dann kommt man grundsätzlich auch ohne den Grenzwertbegriff aus. Dann ist es ein geometrisches bzw. algebraisches Problem. Dann ist der Grenzwertbegriff in diesem Zusammenhang sogar falsch, weil $\lim _{x\to 0}x$ nicht"dasselbe" ist wie $0$. $\operatorname {sgn}(x)^{2}$ hat eine Ableitung aber im Punkt 0 keine Tangentensteigung - es gibt schlicht keine Tangente in f(0). Die "Tangentensteigung" ist - anschaulich gesprochen (dafür werd' ich von den "Experten" wohl wieder verspottet werden) - doch eher eine Art Sekantensteigung, einer Sekante, die den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert des Punkres f(x) schneidet und den Punkt f(x) selbst "überspringt" bzw. "überspannt" - und nur bei der Geraden tatsächlich auch "schneiden" würde.

Aber vielleicht liegt's auch daran, dass ich keinen Schimmer vom Mathe habe und die Einseitigkeit bei den Grenzwerten überhaupt und ganz und gar nicht wichtig ist, schon gar nicht bei der Erklärung des DIfferenzierens, nur die Grenzwerte selbst sind wahnsinnig wichtig - kann zwar keiner genau sagen wieso und muss was mit Folgen und Reihen und Häufungspunkten und vielen, vielen ganz wichtigen und hochmathematischen Definitionen zu tun haben, die man so einem Trottel wie mir eben nicht vermitteln kann.

Sei's drum, versteht ihr mich eben nicht - Schade, aber es gibt wichtigeres. Mschcsc 18:28, 23. Jan. 2008 (CET)

Und wenn man wirklich mal mit Grenzwerten arbeiten muss, dann doch auch nur deshalb, weil man mit den einseitigen Grenzwerten überprüfen will, ob die Funktion an der Stelle differenzierbar ist oder nicht.

Der Grenzprozess hat nichts mit einseitigen Phänomenen zu tun. Das besagt ja gerade mein zweites Gegenbeispiel. --Tolentino 11:14, 23. Jan. 2008 (CET)

Wenn ich einen Ausdruck nicht Umformen kann, so bringt mich der Übergang zur Grenzwertschreibweise doch keinen Deut weiter, denn $\lim _{\Delta x\to 0}{\Delta y}{\Delta x}$ kann ich auch nicht "ausrechnen", solange $\Delta y$ noch im Zähler steht.

Grenzwerte kann man ausrechnen, ohne den Nenner auszukürzen. Nur wirds dann halt schwieriger. --Tolentino 11:14, 23. Jan. 2008 (CET)

Ich find's halt ein bisschen schwierig für den Lernenden oder interessierten Laien, wenn er schon bei der Vorbereitung auf die Differentialrechnung mit dem Grenzwertbegriff konfrontiert wird, ohne dass er überhaupt wirklich zur Anwendung gelangt. Ich hab' ja gar nichts dagegen, dass man dem Leser klar sagt, dass ein Differentialquotient in der Mathematik als Grenzwert definiert ist, das habe ich in dem Artikel ja auch deutlich gemacht, aber ich finbd's etwas unfair wenn man ihm ganz bewusst verschweigt, dass das in den meisten Fällen nichts weiter als ein umgeformter Differenzenquotient ist, bei dem am Ende nicht Null rauskommt.

Mschcsc 01:25, 23. Jan. 2008 (CET)

Was erwartest du denn von einem, mit dem ich in Grenzwert (Funktion) diskutieren muss, warum $\operatorname {sgn}(x)^{2}$ für $x\rightarrow 0$ gegen 1 konvergiert, ohne einseitige Grenzwerte zu benutzen? --Tolentino 19:06, 22. Jan. 2008 (CET)

@ Tolentino

Es macht mich traurig, wie Du mich hier ständig - und leider scheinbar sogar mit Erfolg - versuchst bloßzustellen und lächerlich zu machen. Anstatt dass du mir wenigstend die Chance gibst, meinen Standpunkt zu vertreten, lässt Du dich auf nichts ein, machst sämtliche meiner Änderungen hier und in anderen Artikeln gleich wieder rückgängig, wirfst mit "Vandalismus" und "Zerstörung dieses Mathematischen Artikels vor (dessen Urheber übrigens ich bin), sorgst dafür das er gesperrt wird.

Ich bin überzeugt, wir könnten beide voneinander profitieren, wenn Du nur ein bisschen guten Willen und die Bereitschaft, auch andere Standpunkte und Sichtweisen wenigstens ernsthaft zu diskutieren, aufbringen könntest.

Ich wünschte, ich könnte sagen: Mich trifft dein Spott nicht, aber das wäre leider gelogen. Er trifft mich sogar sehr; ich habe viel Arbeit in diesen und andere Artikel gesteckt, habe mir grosse Mühe gegeben, auf den Diskussionsseiten meinen Standpunkt zu vermitteln - und jetzt treffe ich auf eine Mauer von Sturheit, Spott und Arroganz, und ich denke dass meine ganze Mühe reine Zeitverschwendung war - ja, ich bereue es inzwischen, den Artikel überhaupt ins Leben gerufen zu haben.

Mschcsc 01:25, 23. Jan. 2008 (CET)

Wir haben mit unglaublich viel Mühe versucht, dir alles zu erklären, jedoch scheint alles nicht zu fruchten. Dass der Artikel aus Schutz vor deinen Zerstörungen gesperrt werden musste, spricht ebenfalls für sich. Wenn du mal in aller Ruhe diese Diskussion anschaust, siehst du, dass alle ausnahmslos auf allen drei aktuellen Diskussionsseiten mit dir deinen Standpunkt für unhaltbar halten. Wie kommt das? Offenbar scheint dir der Gedanke völlig abwegig zu sein, du könntest im Unrecht sein und alle anderen recht haben. Ich habe nichts gegen deine Edits der außermathematischen Seiten einzuwenden. Deine Bearbeitungen (wie die Tabellen) habe ich, soweit sie mathematisch haltbar waren, auch im Artikel gelassen und nicht stur revertiert. Jedoch treffe ich bei dir nur auf eine Mauer von Uneinsicht und Beleidigtspielerei. Daher ist offenbar jegliche Diskussion mit dir von vorneherein zum Scheitern verurteilt. --Tolentino 10:09, 23. Jan. 2008 (CET)

Zu Mschcsc 04:05, 24. Jan. 2008 (CET). Ich geb's auf. Es hat wohl keinen Sinn, Dir alles zum x-ten Mal nochmals erklären zu müssen. Ich kann nur Tolentino wiederholen Offenbar scheint dir der Gedanke völlig abwegig zu sein, du könntest im Unrecht sein und alle anderen recht haben. Was Vandalismus betrifft: der liegt auch dann vor, wenn Du wiederholt auf eine Version revertierst, die keinen Konsens findet, unabhängig davon, welche Vesion jetzt "korrekt" ist. Was Dein Jammern betriffst, dass Du nichts von einseitigen Grenzwerten schreiben darfst: Ich habe sogar vorgeschlagen, einen eigenen Artikel über einseitige Ableitungen zu schreiben, aber das wurde bekanntlich von Dir abgelehnt. --NeoUrfahraner 06:34, 24. Jan. 2008 (CET)

Und vielleicht noch ein letztes Wort: "Wer hat Dir erlaubt, $x=0$ in ${\frac {f(x)}{x}}$ zu setzen?" NeoUrfahraner 20:42, 23. Jan. 2008 (CET) "Niemnd hat mir das erlaubt, hab' ich auch nirgendwo gemacht." Mschcsc 04:05, 24. Jan. 2008. Doch, hast Du, in der beanstandeten Version http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Differenzenquotient&oldid=41462229 "Vom momentanen Wachstum spricht man, wenn die Differenz $\Delta x$ Null wird, also wenn $x_{1}=x_{0}$ ist." Genau darum wird diese Version ja von allen anderen abgelehnt. Um es nochmals deutlich zu sagen: $\Delta x$ wird nie Null und $x_{1}$ ist immer von $x_{0}$ verschieden! --NeoUrfahraner 06:47, 24. Jan. 2008 (CET)

Ich denke, ich gab's auch auf - seid ja auch in der Überzahl.

Dein Schlusswort solltest Du Dir einrahmen und an die Wand hängen, dass:

$\lim _{\Delta x\to 0}\Delta x\neq 0$ ist...

Darfst auch schreiben $\lim _{x_{1}\to x_{0}}(x_{1}-x_{0})\neq 0$, ist genauso falsch.

Aber keine Sorge, ich weiss genau was Du meinst und ich stimme sogar zu, dass $\lim _{\Delta x\to 0}\Delta x$ in einem fundamentelan Sinn nicht dasselbe ist wie die Zahl $0$.

Ein klein wenig anders: $\lim _{x\to 0}f(x)$ ist ein einem fundamentalen Sinn nicht dasselbe wie $f(0)$. Aber Du hast den entscheidenden Punkt anscheinend verstanden. Können wir es damit abschließen? --NeoUrfahraner 15:18, 27. Jan. 2008 (CET)

Jedenfalls, wenn $\Delta x$ wie du behauptest nie Null ist, dann muss es ein Vorzeichen haben, den alle Zahlen ungleich Null haben immer ein (und genau ein einziges) Vorzeichen.

Sag' mir doch wenigstens mal einer, was $\lim _{\Delta x\to 0}\Delta x$ für ein Vorzeichen hat? Hat's keins dann muss es Null sein, isses nicht Null, dann muss es ein Vorzeichen haben; entweder oder, beides zusammen geht nunmal nicht.

Mschcsc

Die links/rechtsseitigen Grenzwerte sind ein völlig anderer Punkt, um die es hier aber nicht geht. Jeder stimmt Dir zu, dass in der Topologie der reellen Zahlen ein eigentlicher (nicht aber ein uneigentlicher) Grenzwert genau dann existiert, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte existieren. Spätestens wenn's um $\lim _{x\to \infty }f(x)$ geht, schaut's schon wieder anders aus. Strittig ist lediglich die Frage, wie wichtig die einseitigen Grenzwerte sind, und hier geben die meisten Leute diesem zweifellos nützlichem Werkzeug weniger Bedeutung als Du. --NeoUrfahraner 15:18, 27. Jan. 2008 (CET)

Na also, ich wusste duch, dass wir uns im Grundsatz gar nicht uneinig sind.

Ich bin der Letzte, der sich einer Diskussion über die Bedeutung der dopelseitigen Natur der Grenzwerte von Funktionen verweigert, noch denke ich dass meine Sicht der Dinge die allein seeligmachende sei.

Die Sache mit der Einseitigkeit und diese Diskussion hier hängen natürlich sehr wohl zusammen. Wenn Du darauf beharrst, dass immer $x_{1}\neq x_{0}$ sein soll, und dass $\Delta _{x}$ nie Null wird, dann gibt es nicht den geringsten Grund, weshalb man den Term nicht einfach algebraisch umformen darf. Wenn $x_{1}-x_{0}$ im Nenner des DQn tatsächlich nie 0 ist, dann darf ich auch immer $x_{1}-x_{0}$ aus dem Bruch herauskürzen, wenn es geht. Es gibt keine Regel die das verbieten würde, wenn der Nenner nie 0 ist, denn es gilt eben immer ${\frac {x}{x}}=1$ für $x\neq 0$.

Das Problem ist einfach, dass man es im Falle von $x_{1}\neq x_{0}$ gar nicht mit einem Differentialquotienten, sondern mit einem Differenzenquotienten zu tun hat! Dass die Differenzen tatsächlich verschwinden, ist ja gerade das, was den Differentialquotienten vom Differenzenquotienten überhaupt unterscheidet - es ist das Einzige, was die beiden voneinander unterscheidet!

Nach meinem Empfinden tun sich hier einfach enorme Widersprüche auf, und dass man den Differentialquotienten als Grenzwert eines Differenzenquotienten beschreibt macht das Ganze noch schlimmer.

Ist es etwa nicht so, dass die Differenzenquotienten selbst schon die Folgeglieder einer mit kleiner werdendem $\Delta _{x}$ gegen den Differentialquotienten strebenden Grenzwertfolge bilden? Es ist doch einfach unsinnig, den Grenzwert ebendieser Folge widerum als Grenzwert eines ihrer eigenen Folgeglieder zu beschreiben ?!

Der "Übergang" vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten durch das "herauskürzen" der Differenzen ist doch im Grunde genommen der eigentliche Grenzwertprozess. Man "tut einfach so" als sei die Differenz in Wirklichkeit gar nicht nicht Null sondern eine (beliebig kleine) Zahl und rechnet ganz normal weiter. Wenn man sich um Unstetigkeiten nicht schert, dann war's dass, dann ist das "der" Grenzwertprozess!

Darauf aufbauend könnte man dann z.B. die h-Schreibweise einführen um Unstetigkeiten zu besprechen und zu behandeln.

Wie gesagt, es geht mir hier wirklich nicht darum, meine private Sicht zum Mass aller Dinge zu erklären, aber das was jetzt im Artikel steht ist mit Sicherheit auch nicht der Weisheit letzer Schluss, und die begrifflichen und logischen Widersprüche sind gerade für einen Analysis-Einsteiger unnötige Stolpersteine. Hier könnte er eigentlich selbst sehen und nachvollziehen, weshalb die Folgen der Differenzenquotienten in diesen einfachen Fällen überhaupt konvergieren; stattdessen wird er zuerst zu den Grenzwerten verwiesen, wo er - wenn er Glück hat und nicht die Flinte ins Korn wirft - irgendwann beim Grenzwert von Folgen auf folgendes stösst:

• Ist $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \;$ stetig im Punkt $a\;$ und konvergiert $a_{n}\;$ gegen $a\;$, so gilt

$\lim _{n\to \infty }f(a_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)=f(a)$;

sowie den bedeutungsvollen Satz:

• Für stetige Funktionen sind also Grenzwertbildung und Funktionsauswertung vertauschbar. Die oben angegebenen Rechenregeln folgen damit direkt aus der Stetigkeit der Addition, Subtraktion, Multiplikation und, falls der Nenner ungleich Null ist, Division.

Ist leider nunmal tatsächlich so, da ändern auch die faulen "Gegenbeispiele" nichts dran. Und ich meine, da darf man sich doch wohl wirklich fragen, ob es nötig ist, den Leser schon ganz am Anfang buchstäblich in die "Unendlichkeit" und zurück zu schicken, wenn das für die meisten praktischen Probleme überhaupt gar keine Relevanz hat.

Und man nimmt die Verallgemeinerung dessen vorweg, was der Artikel ja gerade erklären soll.

Just my 2 cents. Mschcsc 00:22, 28. Jan. 2008 (CET)

Zum einen muss ich festhalten: Die Gegenbeispiele sind aber nicht faul.

Nicht?

Na dann machen wir deinen "Wertevergleich" doch nochmal, aber nicht mit der Signumfunktion, sondern mit der Funktion:

$s(x):={\begin{cases}+1&\;x>0\\\;\;\,0&\;x=17\\-1&\;x<0\\\end{cases}}$

Man kann nun mit exakt derselben Falluntescheidung "beweisen", dass $|x|=x\cdot s(x)$ gilt:

1. Fall: $x<0$: Dann ist $|x|=-x$ und $s(x)=-1$, also $x\cdot s(x)=-x=|x|$
2. Fall: $x=0$: Dann sind beide Seiten der Gleichung gleich 0.
3. Fall: $x>0$: Dann ist $|x|=x$ und $s(x)=1$, also $x\cdot s(x)=x=|x|$

So, damit ist bis hierher noch richtig (!) nachgewiesen, dass $|x|=x\cdot s(x)=x\cdot \operatorname {sgn}(x)$ ist.

Soweit ist noch alles in Ordnung, aber damit ist eben noch lange nicht bewiesen, dass auch $s(0)=\operatorname {sgn}(0)$ und damit $0=17$ ist!

Mit einem Wertevergleich kannst Du die Gleichheit zweier Funktionen $f(x)=g(x)$ nachweisen, aber ein Wertevergleich der Form $f(x)=x\cdot g(x)$ wird für x=0 zu $f(x)=0\cdot g(0)$ und damit wird sämtliche "Information" über das Verhalten von g(0) im Nullpunkt "vernichtet". Bei x=0 kannst Du im Grunde nach dem x alles hinschreiben was Du willst, es "verschwindet" einfach. Noch schlimmer ist natürlich, dass wenn $|x|=x\cdot sgn(x)$ für alle x sein soll, dass dann auch $\operatorname {sgn}(0)={\frac {|0|}{0}}={\frac {0}{0}}=0$ gelten müsste - aber ${\frac {0}{0}}$ ist nunmal beim besten Willen nicht dasselbe wie 0.

Hast Du's jetzt verstanden, weshalb dein "Wertevergleich" im Falle von x=0 nichts taugt?

Oder lass es mich so sagen, wenn Du schon vorraussetzt, dass ${\frac {|x|}{x}}=\operatorname {sgn}(x)$ für alle x, auch für x=0 gelten soll, dann musst Du dich nicht wundern, wenn Du für den Dfferentialquotienten ${\frac {|\Delta x|-|0|}{\Delta x-0}}={\frac {|\Delta x|}{\Delta x}}={\frac {|0|}{0}}$ dann auch tatsächlich gemäss Vorraussetzung wieder ${\frac {|0|}{0}}=\operatorname {sgn}(0)$ für x=0 als Resultat herausbekommst - es kommt einfach nur seshalb ${\frac {|0|}{0}}=sgn(0)$ hinten raus, weil Du das vorne ja bereits reingesteckt hast!

Man kann die die Signumfunktion gar nicht vollständig (d.h. für alle x) über die Betragsfunktion definieren und gleichzeitig die Betragsfunktion vollständig über die Signumfunktion, ohne dass nicht eine der beiden Funktionen in x0 eine Definitionslücke hätte! Genauswenig kann $\operatorname {sgn}(x)={\frac {1}{\operatorname {sgn}(x)}}$ für alle x sein - bei x=0 hat einer der beiden Ausdrücke zwangsläufig eine Definitionslücke; sonst könnte man immer alle Ausdrücke der Form ${\frac {0}{t}}$ einfach durch 0 ersetzen.

Ich zeige Dir mal, wie man die Ableitung der Betragsfunktion richtig berechnet:

Man definiert die Betragsfunktion am besten als $|x|={\sqrt {x\cdot x}}$ und schreibt den Differenzenquotienten hin:

${\frac {{\sqrt {x_{1}\cdot x_{1}}}-{\sqrt {x_{0}\cdot x_{0}}}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {\pm x_{1}\mp x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {\pm (x_{1}-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}=\pm 1$

Das ist die komplexe Signumfunktion und sie hat - wie sich's gehört - bei x=0 eine Definitionslücke und die beiden einseitigen Grenzwerte -1 und +1.

Mschcsc 05:53, 30. Jan. 2008 (CET)

Zum anderen: Das Zitieren der Stetigkeit ist die wahre Tautologie: Falls ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=:h(x)$ stetig in $x_{0}$ ist, so ist $h(x_{0})$ die Ableitung von $f$ in $x_{0}$, doch was heißt stetig? Stetigkeit von $h$ in $x_{0}$ ist per definitionem dasselbe wie die Existenz von $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$. Man sieht also, dass man am Grenzprozess eben nicht vorbeikommt. Und zu fordern, dass $h$ in $x_{0}$ stetig ist, ist eine deutliche verkomplizierung als von vorneherein klar und deutlich zu sagen, dass die Konvergenz von $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ relevant ist. Wir haben es hier mit echten Grenzprozessen zu tun.

Hier wurde aber nicht die Stetigkeit von ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ "zitiert", sondern es geht um die Stetigkeit der Funktion $f(x)$ selbst!

Aus ihr folgt eben nicht zwangsläufig die Stetigkeit der Ableitung f'(x) - sprich die Differenzierbarkeit vom f(x) - das ist nur dann sicher, wenn f(x) in x zudem noch ohne "Knick" ist.

Es wäre deshalb ziemlich unsinnig, (und wahrhaftig eine Tautologie) die Stetigkeit von f'(x) in x zu "fordern".

Im Grunde finde ich es ja sehr sinnvoll, den Begriff der Stetigkeit in diesem Zusammenhang an geeigneter Stelle auch klar zu erläutern, am besten anhand des Epsilon-Delta-Kriteriums

• Epsilon-Delta-Kriterium:$f\colon D\to \mathbb {R}$ ist (lokal) stetig in $x_{0}\in D$ genau dann, wenn
  zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x_{1}\in D$ mit $\displaystyle -\delta <(x_{1}-x_{0})<\delta$ gilt: $-\varepsilon <(f(x_{1})-f(x_{0}))<\varepsilon$

Man erkennt leicht, dass es sich bei der $\epsilon$- bzw. $\delta$-Umgebung um nichts anderes als um die beiden Differenzen eines Differenzen - bzw. Differentialquotienten handelt. Und man erkennt wohl ebenso leicht, dass es sich solange um die Differenzen eines Differenzenquotienten - und nicht eines Differentialquotienten - handelt, wie $x_{0}\neq x_{1}$ ist. Das Epsilon-Delta-Kriterium sagt ausdrücklich, dass für alle $x_{1}\in D$ ein $\epsilon$ bzw. $\delta$ existieren soll und uns interessiert beim Differentialquotienten ausschliesslich der Fall in dem $x_{1}=x_{0}$ ist und $(x_{1}-x_{0})$ tatsächlich verschwindet! Der ganze Witz dabei ist, dass $\epsilon$ und $\delta$ dabei nicht ebenfalls Null werden; sie können ja gar nicht 0 werden, denn sie sollen ja ausdrücklich grösser als 0 sein. Würde $x_{1}$ niemals gleich $x_{0}$ werden, so wäre das Epsilon-Delta-Kriterium gar nicht erfüllt weil der Definitionsbereich von $x_{1}$ dann ja $D\setminus \{x_{0}\}\neq D$ wäre!

Du hast schon recht, wir haben es hier mit "echten" Grenzwertprozessen zu tun - aber ich hab' dich schonmal gefragt, worin denn der eigentliche Grenzwertprozess besteht? Wie rechnest Du Grenzwerte konkret aus? Ich nehme an, nicht indem Du unendlich viele unendliche Folgen berechnest (dauert nämlich jeweils ein bisschen lange). Oder hast Du ein dickes Buch in dem für ganz viele Funktionen die Grenzwerte für ganz viele Punkte verzeichnet sind? Oder machst Du am Ende etwa auch algebraische Umformungen und vollziehst dann den "Grenzwertprozess" indem du die Differenzen aus dem Nenner rauskürzt und in eventuell verbleibende Differenzen Null einsetzt?

Zeig mir doch mal, wie man die Ableitung - z.B der Betragsfunktion - mit einem "echten" Grenzwertprozess berechnet!

Mschcsc 05:53, 30. Jan. 2008 (CET)

Ich versuche es nochmal in aller deutlichkeit: Falls es eine stetige Funktion $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ gibt mit ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=:h(x)$ für alle $x\in \mathbb {R} \setminus \{x_{0}\}$, so ist $f$ in $x_{0}$ differenzierbar mit Ableitung $h(x_{0})$:

Falsch!

Es sei $f(x):=x-sgn(x)$. Dann existiert eine stetige Funktion $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=:h(x)$ für alle $x\in \mathbb {R} \setminus \{x_{0}\}$. Für $x_{0}=0$ gilt nämlich ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}={\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}={\frac {x-\operatorname {sgn}(x)}{x}}$.

für alle $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ ist ${\frac {x-\operatorname {sgn}(x)}{x}}$ zweifellos stetig, denn für jede Folge m, die gegen x≠0 konvergiert, konvergiert auch ${\frac {m-\operatorname {sgn}(m)}{m}}$.

Wenn Du den wichtigsten und interessantesten Punkt 0 schon am Anfang aus dem Definitionsbereich nimmst, dann darfst du nicht erwarten, dass dir der "Grenzprozess" irgendwas nützliches über das Verhalten von h(x) im Punkt 0 sagen kann.

Es interessiert schliesslich niemanden, ob h(x) in irgendeinem (oder allen) von x0 verschiedenen Punkt(en) stetig ist oder nicht; wichtig ist allenfalls, ob h(x) in x0 selbst stetig ist, also ob für alle Folgen m, die gegen x0 konvergieren, die Funktionen $h(m)={\frac {m-\operatorname {sgn}(m)}{m}}$ ebenfalls alle gegen denselben (endlichen) Wert g konvergieren!

Auf gut deutsch gesagt, man möchte wissen, ob h(x) für x=x0 eine eindeutige und endliche Lösung g besitzt! Genau das ist mit "Stetigkeit" gemeint.

Mschcsc 05:53, 30. Jan. 2008 (CET)

Umgekehrt ist aber: Falls $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion ist mit ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=:h(x)$ für alle $x\in \mathbb {R} \setminus \{x_{0}\}$, so ist aus diesen Voraussetzungen keinerlei Implikation für Differenzierbarkeit möglich. Es kann sein, dass $f$ nicht differenzierbar in $x_{0}$ist, es kann jedoch auch sein, dass $f$ in $x_{0}$ differenzierbar ist, und die Ableitung trotzdem nicht mit $h(x_{0})$ übereinstimmt. Und genau das ist der Knackpunkt, dass man nicht einfach so in den $h$-Ausdruck $x=x_{0}$ setzen darf. Entscheidend ist nämlich die Konvergenz von $\lim _{x\rightarrow x_{0}}h(x)$! Darum ist immer der Grenzprozess nachzuprüfen, da alles $h(x_{0})$-Setzen per Gegenbeispiele zu falschen Ergebnissen führen kann. --Tolentino 08:18, 28. Jan. 2008 (CET)

Falls eine Funktion $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit $h(x):={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ für $\displaystyle h(x_{0})$ eine eindeutige und endliche Lösung besitzt, und f(x) in x0 stetig ist, dann ist f(x) in x0 differenzierbar.

Die Stetigkeit von h(x) in x0 heisst nicht zwangsläufig, dass auch die Funktion f(x) in x0 stetig ist!

Stetigkeit ist deshalb eine zwingende Vorraussetzung für Differenzierbarkeit.

Z.B. ist $\displaystyle f(x):=x-\operatorname {sgn}(x)$ in x=0 nicht stetig (die Funktion macht einen "Sprung" von +1 nach -1) aber die "Ableitung" ist dennoch stetig (die Steigung der Funktion ist in jedem Punkt genau 1). Zum Beweis der "Grenzwertprozess":

$h(x):={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {x_{1}-\operatorname {sgn}(x_{1})-(x_{0}-\operatorname {sgn}(x_{0}))}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {x_{1}-x_{0}-\operatorname {sgn}(x_{1})+\operatorname {sgn}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {x_{1}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-{\frac {\operatorname {sgn}(x_{1})-\operatorname {sgn}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$

Für $x_{1}=x0$ ist auch immer $\operatorname {sgn}(x_{1})-\operatorname {sgn}(x_{0})=0$ also wird schliesslich (durch auskürzend der Differenz (x1-x0)):

${\frac {x_{1}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-{\frac {0}{x-x_{0}}}=1-0=1$

Besonders im letzten Schritt wird deutlich, dass es absolut wesentlich ist, dass x1 tatsächlich genau gleich x0 wird, ansonsten würde der Ausdruck $\operatorname {sgn}(x_{1})-\operatorname {sgn}(x_{0})$ im Zähler für $x_{0}=0$ niemals null werden und man erhielte ein falsches bzw. zweideutiges Resultat von 0 oder 2 für die Ableitung!

Auch wenn's niemand wahrhaben will, aber genau das ist der "Grenzprozess"! Die Differenzen selbst verschwinden, aber nicht die Quotienten. $\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1$ besagt nichts anderes, als dass Gleiches zu Gleichem immer im gleichen Verhältnis (1) zueinander steht, also dass ${\frac {12}{12}}$, ${\frac {-\pi }{-\pi }}$, ${\frac {x}{x}}$ etc. Im letzten Fall gilt das auch für x=0, solange immer dieselbe Null gemeint ist!

Wenn y=2*x und x=0, dann wird zwar sowohl der Ausdruck ${\frac {x}{x}}$ als auch ${\frac {y}{x}}$ einfach zu ${\frac {0}{0}}$ Aber bei ${\frac {y}{x}}$ ist die Null im Nenner von der Null im Zähler verschieden, und deshalb ist der Grenzwert $\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}={\frac {(\delta -\delta )}{(\delta -\delta )}}=1$ aber $\lim _{x\to 0}{\frac {2\cdot x}{x}}=2\cdot {\frac {(\delta -\delta )}{(\delta -\delta )}}=2$.

Das Auskürzen mit der ausgeschriebenen 0 ist beim Rechnen ist im Grunde genommen nur deshalb "verboten", weil jegliche "Information" bezüglich der Multiplikation "gelöscht" wurde, und man es einer Null normalerweise nicht mehr ansieht, womit sie multipliziert (bzw. was durch sie dividiert) wurde. Weil eine Null auch wie ein Ei dem anderen gleicht, kann man nicht wissen, ob man mit dem Ausdruck ${\frac {0}{0}}$ wirklich Gleiches mit Gleichem vergleicht.

In einem Differentialquotienten weiss man aber immer dass bei ${\frac {x_{1}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ dieselbe Null im Zähler und Nenner steht, und daher das Verhältnis 1:1 ist oder auch dass ${\frac {x_{1}}{x_{0}}}=1$ ist (weil $x_{1}$ auch haargenau dasselbe ist wie $x_{0}$. Als Differenz (oder als Variable) geschrieben vergisst die Null auch keine auf sie angewandten Rechenoperationen wie Multiplikation oder Division mehr (Division natürlich nicht mit der bzw. durch die Zahl 0). Alle Operationen bleiben umkehrbar; es können z.B. alle Faktoren wieder "herausdividiert" werden wie aus jedem anderen, von Null verschiedenen Ausdruck.

Das ständige Gerede, dass sich da irgendwelche esoterischen Fehler "einschleichen" können ist schlichtweg Humbug und basiert auf der Verwchslung von "formaler Gleichheit" und "Wertegleichheit".

Das Ausfaktorisieren und anschliessende Kürzen von Ausdrücken, die auch den Wert Null annehmen können ist bei Polynomfunktionen gang und gäbe, und da hat man es sogar besonders oft mit Termen zu tun, die zu Null werden. Man benutzt das Verfahren auch schon seit Jahrhunderten um die Werte von hebbaren Lücken zu finden (eine "hebbare Lücke" ist im Grunde nichts anderes als der Grenzwert einer Funktion die an der Stelle x eine Definitionslücke hat).

Wenn man sauber arbeitet, kann man mit diesem Verfahren - auch bei nicht-rationalen Funktionen - gar keine "falschen" Lösungen erhalten. Man erhält schlimmstenfalls gar keine Lösung, was meistens daran liegt, dass einfach gar keine Lösung existiert. Oder man erhält zwei verschiedene Lösungen, nämlich genau dann, wenn die Funktion f(x) stetig, aber nicht differenzierbar ist - also wenn sie in x einen "Knick" macht. Dass man auch eine Ableitung finden kann, wenn f(x) selbst gar nicht stetig (und damit nicht differenzierbar) ist, liegt nicht an dem angewandten Verfahren, und ist auch kein Fehler; es liegt einfach daran, dass aus der Unstetigkeit von f(x) nicht zwangsläufig die Unstetigkeit von f'(x) folgt. Will man Differenzierbarkeit in x0 nachweisen, so muss im Grunde zuallererst die Stetigkeit von f(x) in x0 erweisen sein.

Das bedeutet natürlich nicht, dass man jedesmal wenn man etwas im Zusammenhang mit rationalen Funktionen schreibt, erst einen Exkurs über "Stetigkeit" an den Anfang stellen müsste.

Wie schon öfters erwähnt, ich hab' ja wirklich nichts dagegen, dass man Grenzwerte im Zusammenhang mit dem Differenzenquotienten und dem Differentialquotienten zur Sprache bringt, ganz im Gegenteil. Mich stört aber, dass der abstrakte mathematische Grenzwertbegriff hier gleich als bekannt und sonnenklar vorrausgesetzt wird - dabei versteht kaum einer was ein Grenzwert - oder gar "der Grenzwertprozess" - wirklich ist - nicht weil die meisten Trottel sind, sondern weil der mathematisch exakte Grenzwertbegriff relativ abstrakt und hochgradig unanschaulich ist - "normale" Menschen (bzw. Leser) haben üblicherweise ein klein bisschen Schwierigkeiten mit dem Umgang mit dem Unendlichen - und sind schlicht überfordert, wenn sie sich vorstellen sollen, dass unendlich viele Folgen - deren Glieder die Werte einer Funktion sind, deren Argumente aus den Gliedern einer (von unendlich vielen) unendlichen, gegen x konvergierenden Folge besteht - gegen den Grenzwert g konvergieren oder aber divergieren sollen...

Um Grenzwerte im allgemeinen und Ableitungen im besonderen wirklich zu "begreifen" und mit ihnen praktisch arbeiten zu können genügt es nicht, Unendlichkeiten über Unendlichkeiten zu häufen. Man muss an erster Stelle das mathematische Handwerkszeug beherrschen - insbesondere muss man die Rechenregeln für's Rechnen mit algebraischen Ausdrücken beherrschen und auch konsequent anwenden (anstatt irgendwelche selbsterfundenen "Verbotzskriterien" aufzustellen) und man sollte auch wissen, was 0 bedeutet, und was der Unterschied zwischen $\displaystyle 0$, $\displaystyle (3-3)$ und $\displaystyle (12-12)$ oder auch zwischen ${\frac {0}{0}}$, ${\frac {(12-12)}{(3-3)}}$ oder ${\frac {(3-3)}{(12-12)}}$ ist!

Mschcsc 05:53, 30. Jan. 2008 (CET)

Mit verlaub, ich hab keine Zeit, um mich mit unsinnigen Romanen zu beschäftigen. Entweder du verstehst es oder nicht, und hier ist definitiv letzteres der Fall. Ich werde mich jetzt aus dieser Diskussion ausklinken. --Tolentino 09:44, 30. Jan. 2008 (CET)

1. Ableitung

Wenn am Ende sowieso die erste Ableitung rauskommt, warum mach ich die dann nicht gleich am Anfang? (nicht signierter Beitrag von 77.6.29.173 (Diskussion) 2008-01-08T21:46:31)

Wenn beim Melken von Kühen am Ende sowieso Milch rauskommt, warum mach' ich dann nicht gleich am Anfang Milch?

Sorry, aber ich versteh' die Frage wirklich nicht.

Mschcsc 14:30, 9. Jan. 2008 (CET)

Naja, wenn ich die Funktion f(x) = x^2 habe, dann ist f'(x) = 2x. Das habe ich jetzt ohne Differenzquotient hinbekommen, verstehe den Artikel aber so, dass immer die 1. Ableitung rauskommt. Oder ist "Differenzquotient berechnen" nur der richtige Ausdruck für das, was ich unwissentlich "Ableitung machen" nenne? (nicht signierter Beitrag von 77.6.24.20 (Diskussion) 2008-01-22T22:49:59)

bin mir nicht sicher, ob ich deine frage richtig verstehe. ich versuche mich mal an einer antwort: um die regel aufstellen zu koennen, durch welche du die funktion x^2 ableiten kannst, brauchst du den d'quotienten. -- seth 11:33, 9. Feb. 2008 (CET)

Kürzungen, Definitionsbereich

Ich sehe keinen Grund für die extremen Kürzungen. Der Artikel handelt primär vom "Differenzenquotienten" und nicht vom "Differentialquotienten" oder Differenzieren.

Die (völlig willkürliche) Einschränkung auf Funktionen deren Definitions- und Wertebereich $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ ist auch nicht nachvollziehbar (und alles ander als sinnvoll). Ich stelle daher die vorhergehende Version wieder her.

Mschcsc 08:07, 20. Feb. 2008 (CET)

Deine ausufernden Beispiele und Erklärungen sind hier fehl am Platz. In einem enzyklopädischen Artikel über den Differenzenquotienten will man vor allem eines: die Definition über den Differenzenquotient lesen und keine historische Abhandlung, Begriffsfindung und auch keine Beispiele. Sowas kann in einem Buch stehen aber nicht in einem Artikel, der prägnant das Wichtigste nennen sollte. – Wladyslaw [Disk.] 08:39, 20. Feb. 2008 (CET)

Wikipedia ist eine Universalenzyklpoödie' und kein Fachlexikon.

Mschcsc 09:34, 20. Feb. 2008 (CET)

Wikipedia ist eher Universallexikon oder Fachlexikon als Lehrbuch oder Geschichtsbuch. – Wladyslaw [Disk.] 10:35, 20. Feb. 2008 (CET)

Naja, ich erwarte von einem guten mathematischen Artikel in der Wikipedia schon, dass er ein wenig über den Tellerrand blicken lässt und auch etwas über Nebenaspekte (z.B. die Geschichte des Begriffs) verrät, die in einem Standardlehrbuch üblicherweise keinen Platz haben. Ausgezeichnete Artikel wie z.B. Kreiszahl oder Differentialrechnung beschränken sich auch nicht auf die reine Definition. Unabhängig davon stimme ich allerdings zu, dass das Pfeil-Paradoxon nicht wirklich in einen Artikel über Differenzenquotienten passt. --NeoUrfahraner 14:05, 20. Feb. 2008 (CET)

Über den Tellerrand schauen und eine Darstellung, die mehr bietet als nur ein Definition ist auch vollkommen in Ordnung. Nicht in Ordnung ist es, wenn man einen Artikel wie eine Art Vorlesung oder ein Buch aufbaut. Spricht mit eine Motivation, mit Beispielen und einer deduktiven Einführung. Wer so schreibt hat nicht verstanden, was eine Enzyklopädie ist und was sie nicht ist und nie sein will. Das ist ungefähr so als würde der Artikel über irgendeine Stadt so aufgezogen werden wie ein Reiseführer. Dabei muss der „Reiseführerstil“ nicht einmal schlecht sein – aber es ist eben deplatziert. – Wladyslaw [Disk.] 22:36, 20. Feb. 2008 (CET)

Wo ich aber zustimmen muss, ist, dass es unnötig ist, den Definitionsbereich als ganz $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ vorauszusetzen. Es reicht aus, wenn es eine zusammenhängende Menge ist. --Tolentino 10:43, 20. Feb. 2008 (CET)

Ohne diese Diskussionsseite, geschweige denn die Archive, genauer daraufhin studiert zu haben, ob das schon vorgeschlagen wurde: Gerade habe ich in Emil Artin, Einführung in die Theorie der Gammafunktion (siehe Gammafunktion) für den Differenzenquotienten die Definition

$\varphi (x,x')={\frac {f(x)-f(x')}{x-x'}}$

gesehen und rege an, das hier ähnlich zu machen, also ausdrücklich eine Funktion von zwei Variablen zu definieren. Es ist natürlich nur eine Kleinigkeit in der Notation, aber vielleicht ganz praktisch. --80.129.121.225 14:47, 20. Feb. 2008 (CET)

Ich habe so eine ähnliche Notation auch schon gesehen und halte sie grundsätzlich für sinnvoll. --NeoUrfahraner 15:04, 20. Feb. 2008 (CET)

Der von mir entfernte Abschnitt erscheint mir Theoriefindung zu sein bzw. keineswegs so allgemeingültig wie dargestellt. Siehe bspw. Wachstumsrate. Daher hatte ich das entfernt. Grüße --Mathemaduenn 22:31, 20. Feb. 2008 (CET)

EInige Quellen die die von mir benutzten Begriffe verwenden:

http://www.dom-gymnasium.de/mathpage/11/Steigung/Aenderungsrate.htm

http://www.tibs.at/nlk/8kl1/diff_th07.htm

http://www.gymmuenchenstein.ch/weiss/offene_Lehrmittel/Mathematik/Skript/Mathematik-Skript.doc.pdf

Mschcsc 00:44, 21. Feb. 2008 (CET)

Auch bei Weblinks gilt weniger ist manchmal mehr. Wenn der Begriff Wachstumsrate schon im ersten gar nicht auftaucht? Soll ich mir dann alles durchlesen? Zum "mittleren Wachstum" kannst du z.B. [3] vergleichen. Wachstum muss eben nicht linear sein. Entsprechend unterscheidet sich auch die Verwendung des Begriffes "mittleres Wachstum". Grüße --Mathemaduenn 01:27, 21. Feb. 2008 (CET)

Sorry, ausgerechnet der erste Link unter Wachstum ging ein wenig am Thema vorbei. Ich nenne hier also beispielhaft [:http://www.tibs.at/nlk/8kl1/diff_th07.htm diese Quelle].

Im Artikel stand nirgends, dass mitleres Wachstum linear sei, es hiess :

• Beim mittleren Wachstum wird eine betragsmäßig große Differenz Δx der unabhängigen Variablen betrachtet. Das mittlere Wachstum erlaubt es, lokale Schwankungen oder Störungen der tatsächlichen Wachstumsrate herauszumitteln.

Ist das mittlere Wachstum einer Größenrelation für jedes beliebige Δx (außer 0) konstant, so spricht man von linearem Wachstum.

In deineer Quelle werden zwar auch Wachstumsprozesse betrachtet, aber nicht in Zusammenhang mit dem Differenzen- oder Differentialquotienten.

Solche allgemeinen und nicht streng formalisierten Begriffe wie "Steigung", "Wachstum" oder "Änderung" sind eben oft vom konkreten mathematischen und praktischen Kontext abhängig. Stand auch so einleitend im Artikel und auch dass der Begriff "Wachstum" hier beispielhaft zur Erläuterung des Sachverhalts dienen solle - möglicherweise wäre "Änderungsrate" die glücklichere Wahl gewesen...

Was mich an der jetzigen Form stört, ist dass sich einem Nicht-Mathematiker die konkrete Bedeutung des Differenzenquotienten nun kaum mehr erschliesst. Und dass der fundamentale Zusammenhang mit dem Phänomen der "Bewegung" getilgt wurde, finde ich auch sehr bedauerlich.

Mschcsc 03:16, 21. Feb. 2008 (CET)

Siehe [4] – Wladyslaw [Disk.] 09:32, 21. Feb. 2008 (CET)

An Wladyslaw

Siehe hier und hier. Mschcsc 09:42, 21. Feb. 2008 (CET)

Und genau der Verständlichkeit hilft es eben gar nicht weiter wenn man einen prägnanten Artikel mit ausladenden Erklärungen verwässert. Zumal derartige Beispiele/ Motivationen bereits im Artikel Differentialrechnung vorkommen und dort im historischen Abriss über dieses Thema auch durchaus ihre Berechtigung haben. – Wladyslaw [Disk.] 14:18, 21. Feb. 2008 (CET)

*Gegebenenfalls lassen sich Teile des Artikels in weiterführende Artikel auslagern. In diesem Fall sollte eine nicht zu knappe Zusammenfassung des ausgelagerten Textes an seine Stelle treten.

Der Artikel in der jetzigen Form besteht den Oma-Test keinesfalls. Meine Version war sicherlich noch verbesserungswürdig aber ich würde behaupten, dass sie den Oma-Test bestanden hätte. Zumindest habe ich mich redlich (und mit einigem Aufwand) um die Einhaltung der Grundsätze bemüht. Jeder sollte sich gelegentlich fragen, ob er hier ist um zu geben oder um zu nehmen.

Mschcsc 14:30, 21. Feb. 2008 (CET)

Und ich sehe nicht so. Zumal „Oma-Tauglichkeit“ nicht das einzige Qualitätskriterium eines Artikels ist. – Wladyslaw [Disk.] 14:35, 21. Feb. 2008 (CET)

In meinen Augen gibt es kaum eine Rechtfertigung dafür, den Grundsatz, dass möglichst Viele von den Artikeln profitieren sollen zu ignorieren.

Welche besonderen "Qualitätskriterien" sollen das sein, die es hier rechtfertigen, praktisch sämtliche WP-Grundsätze zu ignorieren und die Arbeit derjenigen Autoren, die sich an diesen Kriterien orientieren, einfach zu vernichten?

Mschcsc 00:40, 22. Feb. 2008 (CET)

Welche „sämtlichen WP-Grundsätze“ sollen das denn sein, die hier ignoriert werden? Bislang sehe ich es außerdem so, dass deine „Version“ von niemandem sonst unterstützt wird. – Wladyslaw [Disk.] 08:46, 22. Feb. 2008 (CET)

Da niemand die Löschunge nachvollziehbar begründen kann, stelle ich den stelle ich das Gelöschte wieder her. Mschcsc 00:28, 24. Feb. 2008 (CET)

1. Die von Dir eingeführten Begriffe werden keineswegs synonym nur im Zusammenhang mit Differenzenquotienten verwendet.
2. Der gesamte entfernte Abschnitt kann man als Hinführung zum Differentialquotienten auffassen. Im Artikel soll's aber um den Differenzenquotienten gehen.
3. Wenn man dies alles als Beispiele für die Verwendung des Differenzenquotienten auffasst ist das einfach zuviel an Beispielen. Man könnte hier sicher die Platzierung diskutieren aber soviele braucht's sicher nicht.

--Mathemaduenn 00:50, 24. Feb. 2008 (CET)

@@@@@

An Mathemaduenn:

• Die von Dir eingeführten Begriffe werden keineswegs synonym nur im Zusammenhang mit Differenzenquotienten verwendet.

nicht "nur" aber das ist schliesslich kein Grund, sie überhaupt nicht zu erwähnen.

• Der gesamte entfernte Abschnitt kann man als Hinführung zum Differentialquotienten auffassen. Im Artikel soll's aber um den Differenzenquotienten gehen.

Das muss man aber nicht zwingend als "Hinführung zum Differentialquotienten" auffassen. War von mir auch gar nicht so beabsichtigt, ganz im Gegenteil wollte ich hier den Schwerpunkt auf den Differenzenquotienten legen weil der Differentialquotient schon mehr als genügend in diversen Artikeln beschrieben wird. Aber das wurde ja alles mit Gewalt schon vor der Sperrung gelöscht.

• Wenn man dies alles als Beispiele für die Verwendung des Differenzenquotienten auffasst ist das einfach zuviel an Beispielen. Man könnte hier sicher die Platzierung diskutieren aber soviele braucht's sicher nicht.

Für drei Begriffe habe ich drei (oder eher zweieinhalb) Beispiele angegeben. Wenn das wirklich zuviel ist, dann ist wohl gar kein Beispiel das rechte Mass...

Eine Alternative zum Löschen wäre es auch, die Beispiele zu überarbeiten oder bessere, kürzere und anschaulichere Beispiele anzufügen. Und ab und an vielleicht auch mal akzeptieren, dass es auch verschiedene Ansichten und Möglichkeiten gibt und man nicht immer "seins" durchsetzen muss...

Ich finde solche Diskussionen sowieseo übrigens äusserst unfruchtbar, weil jeder einen anderen "Geschmack" und sein eigenes Mass hat. Dafür sind die WP:Grundsätze da, weil nicht jeder seine Meinung durchsetzen kann. Das wiederholte Löschen von Beiträgen die den Grundsätzen im wesentlich genügen ist egoistisch und kontraproduktiv - besonders wenn der Artikel danach dann die wichtigsten WP:Grundsätze nicht mehr erfüllt. Der Oma-Test ist nicht bloss ein Jux den man leichtfertig einfach ignorieren kann.

Bitte belege doch anhand von irgendwas konkretrem (WP:Grundsätze) weshalb der Artikel gekürzt "besser" sein soll, so wie ich's getan habe. Über Geschmacksfragen und das rechte Mass zu diskutieren bringt uns hier auf keinen grünen Zweig.

Du solltest auch bedenken, dass ein Wikipedia-Artikel kein abgeschlossenes, fixfertiges Gebilde ist. Wikipedia lebt davon, dass Artikel erweitert werden, vielleicht wird jemand inspieriert etwas über den Differenzenquozienten zu schreiben, das weder ich noch du bereits wissen. Wenn Artikel "zu gross" und umfangreich werden, dann sollte man Teile in neue oder bestehende Artikel auslagern aber sicher nicht einfach löschen weil man eine bestimmte Vorstellung davon hat, wie der Artikel "am Ende" aussehen soll. Die Artikel in WP sollen andere Autoren zur Bearbeitung und Erweiterung einladen und nicht abschrecken und bewusst "klein" gehalten werden.

Aber auch das sollte man hier nicht erst diskutieren müssen...

Grüsse Mschcsc 01:47, 24. Feb. 2008 (CET)

Höhere Differenzenquotienten

Da ich das, obwohl Mathematiker, überhaupt nicht kenne: Wo kann man das nachlesen? Der Artikel gibt leider weder Literatur noch Quellen an. --Digamma (Diskussion) 19:34, 22. Jan. 2020 (CET)

Ich habe zwei Referenzen auf Paper hinzugefügt, in welchen auf höhere Differenzenquotienten eingegangen wird. Neben den höheren Ableitungen können auch höhere Fehlerordnungen erreicht werden. Dazu gibt es auch wieder verschiedene Typen. Die in diesem Artikel angegbenen sind alles zentrale Differenzenquotienten. In den englischen Artikeln ist das ein wenig ausführlicher. Es lassen sich prinzipiell auch belibige Verschiebungen durchführen, sodass der Ort in welchem die Ableitung genähert wird auch an den Rändern des Gitters sitzen kann. Zur Anwendung ist die Finite-Differenzen-Methode zur Lösung von Differentialgleichungen zu nennen, bei welcher mit der Erhöhung der Fehlerordnung eine deutlich exakteres Ergebnis erzielt werden kann. Anbei noch die Links. https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference_coefficient --Funkmich008 (Diskussion) 00:24, 20. Jun. 2020 (CEST)

OK. Danke. --Digamma (Diskussion) 12:15, 20. Jun. 2020 (CEST)

Partielle Differenzenquotienten

Dieser neue Abschnitt erscheint mir von der Notation sehr seltsam und kommt auch ganz ohne erklärenden Text daher. Und selbst mit erklärendem Text würde ich bezweifeln, ob so ein Abschnitt sinnvoll ist. -- HilberTraum (d, m) 21:14, 21. Jun. 2020 (CEST)

Kritik ist berechtigt. Ich habe es zunächst vollständigkeitshalber hinzugefügt. Text werde ich noch ergänzen. Falls es nochmal derartig vorkommt versuche ich es direkt zu machen. Die partiellen Differenzenquotienten zu erwähnen ist auf jeden Fall sinnvoll, da diese z.B. bei der Finite-Differenzen-Methode auch zum Lösen von partiellen Differentialgleichungen verwendet werden können. Vielleicht ist Finite-Elemente populärer und deshalb wird es auch nicht so oft verwendet. Wie würdest du denn die Notation gestalten? Ein anderer Index als "alpha"? Oder gibt es ein generelles Problem mit der Notation? Die Rekursionsgleichung kann zur Entwicklung höherer Ableitungen verwendet werden. Existiert dazu etwas eleganteres? --Funkmich008 (Diskussion) 09:55, 25. Jun. 2020 (CEST)