Diskussion:Diskrete Untergruppe

Gitter

Hallo! In dem Abschnitt muss etwas schiefgegangen sein. Der Quotient $G/\Gamma$ ist doch keine Teilmenge der Gruppe, der Quotient ist lediglich ein homogener Raum, auf dem die Gruppe operiert. Und auf diesem ist daher auch kein Haarmaß definiert – geht es um das Bildmaß unter der kanonischen Surjektion? --Chricho ¹ ² ³ 12:12, 17. Jun. 2013 (CEST)

Da war was vertauscht, ist jetzt korrigiert. Zum Haarmaß: es ist nicht ist das Bildmaß gemeint, sondern das Maß auf einem Fundamentalbereich, den man (bis auf eine Nullmenge) mit dem Quotientenraum identifizieren kann.--Suhagja (Diskussion) 14:14, 17. Jun. 2013 (CEST)

Jetzt im Artikel nachgetragen, Quelle ist Abschnitt 0.36 im angegebenen Buch von Margulis.--Suhagja (Diskussion) 15:13, 17. Jun. 2013 (CEST)

Ich habe noch nie gehört, dass dieses Maß Haarmaß genannt wird. Ansonsten: Die σ-Kompaktheit da forderst du nur, damit die genaue Konstruktion dieses Maßes funktioniert? Es gibt auch allgemein ein bis auf einen konstanten Faktor eindeutiges Maß mit passender Regularität und Invarianz bis auf die Modularfunktion der ursprünglichen Gruppe. --Chricho ¹ ² ³ 17:30, 17. Jun. 2013 (CEST)

Ich konnte mittlerweile auch einen Blick ins Buch von Margulis werfen: Er verwendet das allgemeine, bis auf einen Faktor eindeutige quasi-invariante Maß (ist ein Satz von Weil) auf dem homogenen Raum und braucht daher σ-Kompaktheit nicht. Er nennt dieses Maß auch nicht Haar-Maß. Die σ-Kompaktheit garantiert einem lediglich die Existenz eines Fundamentalbereichs (dafür verweist Margulis auf Bourbaki). Ich denke, die σ-Kompaktheitseinschränkung gehört auf jeden Fall weg, ich könnte das ändern. Willst du denn trotzdem die konkretere Darstellung für den σ-kompakten Fall drinhaben? --Chricho ¹ ² ³ 21:08, 17. Jun. 2013 (CEST)

Es gibt bei Margulis eine allgemeine Konstruktion für abgeschlossene Untergruppen, die man dann natürlich auch auf diskrete Untergruppenanwenden kann. Die explozite Formel in Abschnitt 0.36. ist aber nur für diskrete Untergruppen und sie braucht m.E. Die Sigma-Kompaktheit, weil man ja das Mass nur für bestimmte Mengen definiert und dann jede andere Menge als abzählbare Vereinigung solcher Mengen darstellen will. Ich halte diese spezielle Formel für sinnvoller, weil man ja mit dem explizot gegebenen Mass arbeiten und nicht nur seine Existenz beweisen will.--Suhagja (Diskussion) 03:02, 18. Jun. 2013 (CEST)

Wie da die Gegenbeispiel aussehen, weiß ich nicht. Hast du denn Einwände dagegen, auf dass allgemeine Maß hinzuweisen? Die Lage ist doch so: Es gibt ein eindeutiges, quasi-invariantes Maß, das liefert die Definition. Hat man einen Fundamentalbereich, so kann man das Maß durch den Fundamentalbereich ausdrücken. Das ist im $\sigma$-kompakten Fall garantiert, das ist aber keine notwendige Bedingung. An keiner Stelle ist die $\sigma$-Kompaktheit eine zentrale Eigenschaft, die sollte meines Erachtens höchstens in einer Randbemerkung auftreten, dass es dann einen Fundamentalbereich gibt. --Chricho ¹ ² ³ 11:24, 18. Jun. 2013 (CEST) PS: Soweit ich das sehe gibt es bei Margulis keine allgemeine „Konstruktion“, er verweist einfach nur auf Bourbaki. ;)

Mir war schon klar, dass die Konstruktion von Bourbaki (also wohl André Weil) stammt. Ich sehe inzwischen auch nicht mehr, wozu man die Sigma-Kompaktheit eigentlich benötigt. Man sollte aber die spezielle Definition mit dem Fundamentalbereich drinlassen, weil man "in der Praxis" so das Maß berechnen wird.--Suhagja (Diskussion) 12:58, 18. Jun. 2013 (CEST)

Gut, einverstanden. Falls dir zufällig die Bedeutung der σ-Kompaktheit auffällt, wär ich interessiert! Die Existenz eines Fundamentalbereichs im σ-kompakten Fall ist bei Bourbaki übrigens eine Übungsaufgabe, lässt mich immer etwas schmunzeln, wenn Aufgaben als Referenz herangezogen werden, nur am Rande. --Chricho ¹ ² ³ 13:38, 18. Jun. 2013 (CEST)