Diskussion:Dualraum

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Dualer Operator

Es fehlt ein Hinweis auf den dualen Operator sowie ein paar Rechenregeln (am liebsten samt Beweisen) zu ihm. Richardigel 13:20, 3. Mai 2006 (CEST)

Was hättest Du denn gerne? Spontan fällt mir ein:

Zu jeder linearen Abbildung $f\colon V\to W$ gibt es eine natürliche duale Abbildung $f^{\lor }\colon W^{\lor }\to V^{\lor }$, die durch

$f^{\lor }(\lambda )(v)=\lambda (f(v))$

definiert ist. Ist $g\colon W\to X$ eine weitere lineare Abbildung, so gilt

$(g\circ f)^{\lor }=f^{\lor }\circ g^{\lor }.$

Ist $f\colon V\to W$ ein beschränkter Operator zwischen Banachräumen, so liefert dieselbe Definition einen beschränkten Operator $f^{*}\colon V^{*}\to W^{*}$, den dualen Operator zu $f$. Aus dem Satz von Hahn-Banach folgt, dass

$\|f^{*}\|=\|f\|$

gilt.

Sonst noch was?--Gunther 14:07, 3. Mai 2006 (CEST)

Ja. Ich hätte gern: ein linearer Operator ist genau dann beschränkt, wenn er stetig ist. Ich nenne den dualen Operator mal $'$. Nun gilt:

$\forall \alpha ,\beta \in K:(\alpha S+\beta T)'=\alpha S'+\beta T'$

Dann:

id'_X = id_X'

Und: für S in L(X,Y), T in L(T,Z) : (TS)' = S' T'

Zuletzt id_X' = K_X K_X'

Und weil ich mir schon lang nix mehr wünschen durfte hätte ich gern: ||K_Xx|| = ||x|| Richardigel 18:38, 3. Mai 2006 (CEST)

Was ist denn K_X? Der erste Punkt gehört nicht hierher, dazu haben wir aber auch keinen passenden Artikel, das könnte höchstens nach linearer Operator.--Gunther 22:47, 7. Mai 2006 (CEST)

Die Kanonische Injektion in X. Gerd Fischer schreibt dafür einen merkwürdigen Buchstaben, der starke Ähnlichkeit mit einem c aus der Sütterlinschrift hat. Richardigel 14:08, 9. Mai 2006 (CEST)

Ah, ich glaube, jetzt kann ich es erraten. Du meinst nicht in X, sondern von X in $X''$, und die Gleichung oben soll $\operatorname {id} _{X'}=(K_{X})'K_{X'}$ heißen?--Gunther 14:15, 9. Mai 2006 (CEST)

normierte Basis oder Nicht?

Im einleitendem Abschnitt steht, man könne Wirkung dualer Basisvektoren übersichtlich mit dem Kroneker-Delta so schreiben: $\langle x_{i}^{*},x_{j}\rangle =\delta _{ij}$ das sehe ich aber nicht so. Das ist doch nur für normierte Basisvektoren so, oder nicht? Genau das gleiche bei der Definition der dualen Basis etwas weiter oben: Sei $X=\left\{x_{i}\right\}_{i=1,2,...,n}$ eine endliche Basis von $V$, dann heißt $X^{*}=\left\{x_{i}^{*}\right\}_{i=1,2,...,n}$ mit

$x_{i}^{*}:$	$V\,$	$\rightarrow$	$K\,$ linear und
	$x\,$	$\mapsto$	${\begin{cases}1,&{\text{falls}}\;x=x_{i}\\0,&{\text{falls}}\;x=x_{j}{\text{ mit}}\;j\neq i\end{cases}}$

die duale Basis zur Basis $X$ und ist eine Basis des Dualraumes $V^{*}$. Auch hier sehe ich nicht, dass die Definition von $x_{i}^{*}$ hier auch für nicht normierte Basisvektoren von V gelten soll. Alles zusammen würde das nämlich bedeuten, dass das Skalarprodukt eines Basisvektors von V mit sich selber immer 1 ist, sprich dass auch nicht normierte Basen normiert sind und das ist ein offensichtlicher Widerspruch. Oder habe ich hier einen Denkfehler? --Senior hombre 16:55, 5. Nov. 2009 (CET)

Die Normiertheitsbedingung $\|x_{i}\|=\|x_{i}^{*}\|=1$ ist nicht nötig. Es genügt die Bedingung $\langle x_{i}^{*},x_{j}\rangle =\delta _{ij}$, denn mit dieser allein zeigt man sofort, dass für jedes x die Summe $x-\sum _{i}\langle x_{i}^{*},x\rangle x_{i}$ im Kern von $x_{j}^{*}$ liegt, für alle j (um das zu sehen, wenn einfach $x_{j}^{*}$ auf diesen Ausdruck an. Im endlich-dimensionalen Fall folgt daraus bereits $x=\sum _{i}\langle x_{i}^{*},x\rangle x_{i}$. Ist damit alles klar? --FerdiBf 19:47, 5. Nov. 2009 (CET)

Das ist klar, ich meine nur das man für $\langle x_{i}^{*},x_{j}\rangle =\delta _{ij}$ schon die Normiertheitsbedingung braucht, bzw., dass diese Äquivalent sind --Senior hombre 22:38, 5. Nov. 2009 (CET)

Zur Basis $x_{1}=({\frac {1}{2}},0),x_{2}=(0,1)$ des $\mathbb {R} ^{2}$ lautet die duale Basis $x_{1}^{*}=(2,0),x_{2}^{*}=(0,1)$. Dabei ist für $x=(a,b)$ und $x^{*}=(c,d)$ wie üblich $\langle x^{*},x\rangle =ac+bd$. Was soll Normierung in diesem Zusammenhang überhaupt bedeuten? --FerdiBf 14:35, 8. Nov. 2009 (CET)

Bidualraum

Der einleitende Satz zum Abschnitt bidual

- Da der Dualraum V' eines Banachraums wieder ein Banachraum ist, kann man den Dualraum des Dualraums, den sogenannten Bidualraum V'' betrachten.

scheint mir nicht ganz glücklich zu sein, weil er zu zwei Mißverständnissen führen könnte.

1. Für die Definition des (topologischen) Dualraums muss $V$ kein Banachraum sein. Im Prinzip reicht ein topologischer Vektorraum, weil man nur den Begriff der Stetigkeit braucht.
2. Der (topologische) Dualraum ist nicht deshalb ein Banachraum, weil $V$ ein Banachraum ist, sondern, weil $L(V,W)$ ein vollständiger normierter Raum ist, wenn $W$ ein Banachraum ist. Dies ist für R oder C der Fall. D.h. auch wenn wir den Dualraum eines normierten, aber unvollständigen Vektorraums betrachten, so ist dieser vollständig. Natürlich steht das etwas anders formuliert bereits im Abschnitt zum topologischen Dualraum.

Siehe hierzu z.B. Dobrowolski, Angewandte Funktionalanalysis, Springer. -- 141.84.9.25 11:53, 18. Dez. 2009 (CET)

Einige Formulierungen waren tatsächlich unglücklich. Ich habe den Bidual-Abschnitt überarbeitet, im Abschnitt Topologischer Dualraum eines normierten Raums habe ich die von Dir angeregte Formel V'=L(V,K) eingefügt. --FerdiBf 13:31, 20. Dez. 2009 (CET)

selbstdual

Im Artikel hei"st es

Da jeder endlich-dimensionale Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen isomorph zu einem Hilbertraum ist, sind endlich-dimensionale Räume stets selbstdual.

Was soll selbstdual hier hei"sen? 92.225.33.4 11:57, 24. Feb. 2010 (CET)

Soll heißen: zu sich selbst dual. Ich habe das genauso im Artikel umformuliert.--FerdiBf 19:07, 24. Feb. 2010 (CET)

Danke. Ich hatte ja schon im Satz dar"uber ein 'reell' hinzugef"ugt. In diesem Satz hei"st es nun

• Da jeder endlich-dimensionale Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen isomorph zu einem Hilbertraum ist, sind endlich-dimensionale Räume stets zu sich selbst dual.

Die Abbildung, die der Satz von Frechet-Riesz liefert, ist zwar im reellen Fall ein isometrischer Isomorphismus, im Komplexen ist die Homogenit"at aber nicht gegeben; Skalare werden beim 'Rausziehen' konjugiert. Der Satz ist also so nicht haltbar. 85.179.71.222 16:47, 25. Feb. 2010 (CET)

Der im Satz von Frechét-Riesz genannte Isomorphismus, der das Skalarprodukt verwendet, ist tatsächlich nur konjugiert-linear. Da der Raum und sein Dualraum aber gleichmächtige Basen haben, gibt es nach dem Satz von Fischer-Riesz auch im komplexen Fall C-lineare Isomorphismen; die sind halt nicht mit der durch das Skalarprodukt gegebenen Dualitätsbeziehung verträglich. Es bleibt aber richtig, dass ein Hilbertraum (auf nicht-kanonische Weise) zu seinem Dualraum isomorph ist; zu jeder Orthonormalbasis kann ein Isomorphismus angegeben werden. Ist $(e_{i})_{i\in I}$ eine Orthonormalbasis von H, so bilden die durch $f_{i}:=\langle \cdot ,e_{i}\rangle$ definierten Funktionale eine Orthonormalbasis von H'. Dann folgt $H\cong \ell ^{2}(I)\cong H\,'$.--FerdiBf 09:32, 27. Feb. 2010 (CET)

Oh ja, ein guter Punkt -- vielen Dank. 92.225.90.188 19:19, 8. Apr. 2010 (CEST)

Was (mir) noch fehlt

Hallo zusammen, ich hätte folgende Vorschläge zur Verbesserung:

• In den ersten Absatz sollte etwas "Geschichtliches". Wo kommt der Begriff her? Wer hat ihn eingeführt?

Ich konnte das leider nicht herausfinden. Aber mit einem Google Ngram etwas eingrenzen:

• Vor 1925 konnte Google nichts finden
• Um 1970 scheint sich der Begriff bereits etabliert zu haben
• "The Theory of Groups and Quantum Machanics" von Hermann Weyl, Erstveröffentlichung 1950 erwähnt z.B. den Dualraum

• Gibt es ein (möglichst einfaches) Beispiel, wozu der Dualraum häufig benutzt wird? (Ich weiß, dass ich nach der eierlegenden Wollmilchsau frage ... aber vielleicht fällt ja jemandem was ein)
• Siehe auch: Kann man ein bisschen was über den Dualen Operator schreiben? Wie hängt dieser mit dem Dualraum zusammen? Warum wird er hier erwähnt? (Vielleicht ist es möglich entweder einen kleinen Abschnitt „Dualer Operator“ aus „Siehe auch“ zu machen. Oder vielleicht kann man den Link auch an anderer Stelle einfügen und so das „Siehe auch“ entfernen.)
• Hier würde ich auch eine formale Definition erwarten. Vielleicht etwas in dieser Richtung:

Seien $V$ ein Vektorraum über den Körper $K$.

$\operatorname {Hom} (V,K):=\{\Phi :V\rightarrow K|\Phi {\text{ ist linear}}\}$

$\operatorname {Hom} (V,K)$ heißt Dualraum.

Grüße, --Martin Thoma 18:55, 27. Aug. 2012 (CEST)

Wichtige Anwendungen der Dualitätstheorie sind der Rieszsche Darstellungssatz (1907) und der Satz von Hahn-Banach (1927/29). Dualräume werden jedenfalls in Banachs Buch Théorie des opérations linéaires (1932) erwähnt. Ich denke, der Begriff des Dualraums wurde irgendwann gegen Ende der 1920er Jahre geprägt, mit Linearformen haben sich die Mathematiker aber schon lange vorher beschäftigt (Frechet, Riesz, ...). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:31, 27. Aug. 2012 (CEST)

Ok, vielen Dank für die Antwort. Ich glaube es wird schwer, eine Quelle zu finden, die besagt dass eine andere Quelle den Begriff geprägt hat. Da kommt man glaube ich leider recht schnell in Wikipedia:TF rein.

Zu der Anwendung: Da hätte ich gerne etwas, was in der Physik, Chemie, Biologie, Wirtschaftswissenschaft oder in der (angewandten) Informatik von bedeutung ist. Es kann sein, dass es für die beiden Sätze gilt, die du genannt hast. Das kann ich jedoch leider nicht beurteilen.

Für die Suche nach passenden Anwendungen habe ich hier mal eine neue Diskussion aufgemacht.

Grüße, --Martin Thoma 11:30, 1. Sep. 2012 (CEST)

Mir fehlt die Darstellung über nicht kommutativen Körpern (Schiefkörpern). Denn erst dann wird die Pointe der Dualitätstheorie deutlich: Der Dualraum eines Links-Vektorraums ist ein Rechts-Vektorraum, gehört also einer anderen Kategorie an. Der Bidualraum ist dann wieder ein Links-Vektorraum. So stehen sich Raum und Dualraum wie Spiegelbilder einander gegenüber. Das ist der Clou der Dualität. Das würde ich gerne herausstellen. Dabei geht es mir nicht darum, alles umzuwerfen, sondern ich würde dafür gerne eine möglichst "minimal-invasive" Vorgehensweise suchen. „Anwendung“ findet diese Sichtweise schlicht durch die Schreibweise als Spalten- und Zeilenvektoren. :-) --Filomusa (Diskussion) 17:57, 2. Dez. 2020 (CET)

Anwendungen des Dualraumes

Ich habe gerade folgende Aussage auf StackOverflow gelesen:

Dual space is used in the lemma's Lax- Milgran wich guarantees the existence of severals solutions of PDE wich this describe describe movements, minimal surfaces, heat distribution and other.

Quelle: StackExchange

Ich würde das gerne so in den Artikel einbinden:

Der Dualraum wird im Lemma von Lax-Milgram benutzt. Dieses Lemma garantiert die Existenz von Lösungen von partiellen Differentialgleichung, die wiederum zur Beschreibung von Bewegungen, minimale Oberflächen und in Wärmeleitungsgleichung vorkommen.

Kann jemand sagen, ob diese Aussage richtig ist? Grüße, --Martin Thoma 20:37, 31. Aug. 2012 (CEST)

Ich finde den Satz nicht sonderlich treffend. Um das Lemma von Lax-Milgram anwenden zu können, braucht man zuerst den Satz von Fréchet-Riesz, der besagt, dass ein Hilbertraum nicht von seinem Dualraum zu unterscheiden ist und aus diesem Grund tauchen im Lemma von Lax-Milgram explizit keine Dualräume auf.

Außerdem finde ich es seltem, dass das Lemma von Lax-Milgram auch bei der Wärmeleitungsgleichung die Existenz einer Lösung vorhersagen soll. Meines Wissens nach ist das Lemma von Lax-Milgram nur bei elliptischen Differentialgleichungen anwendbar und die Wärmeleitungsgleichung ist eine parabolische Differentialgleichung. Viele Grüße--Christian1985 (Diskussion) 11:57, 1. Sep. 2012 (CEST)

Ok, der Abschnitt ist also Falsch. Kann man das irgendwie beheben? Oder kennst du andere Anwendungen des Dualraums in der Physik?

Grüße, --Martin Thoma 14:35, 1. Sep. 2012 (CEST)

In der Quantenmechanik verwendet man jedenfalls Dualräume (von Hilberträumen) zur Beschreibung quantenmechanischer Zustände, siehe zum Beispiel die Bra-Ket-Notation. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:03, 1. Sep. 2012 (CEST)

Das Lax-Milgram-Lemma ist vielleicht etwas zu speziell, aber allgemein die Schwache Lösung von Differentialgleichungen halte ich schon für ein gutes Beispiel zur Anwendung von Dualräumen, in en:Weak formulation ist das ganz gut beschrieben. Eine weitere Anwendung, die noch nicht genannt wurde, wäre die Dualität bei Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen, etwa Lineare Optimierung#Dualität. Das ist z. B. in der Wirtschafts- und Finanzmathematik wichtig. -- HilberTraum (Diskussion) 20:02, 1. Sep. 2012 (CEST)

Topologische Vektorräume

Ich habe mir erlaubt, den Abschnitt über topologische Dualräume für topologische Vektorräume zu verallgemeinern. Jetzt ist mir noch folgendes ins Auge gestochen. Im Artikel steht:

Da jeder endlichdimensionale Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen isomorph zu einem Hilbertraum ist, sind endlichdimensionale Räume stets zu sich selbst dual.

Dass diese Isomorphie in der linearen Algebra gilt, ist klar. Aber gilt das auch noch für topologische Vektorräume? -- PatrickC (Diskussion) 11:20, 10. Okt. 2012 (CEST)

OK, hab's eingesehen. Der algebraische Isomorphismus ist auch ein topologischer, da es ja eine Abbildung auf endlichdimensionalen Räumen ist und deswegen stetig (mit stetiger Inverser). -- PatrickC (Diskussion) 12:26, 11. Okt. 2012 (CEST)

Endlichdimensionale Prä-Hilberträume

Dem möchte ich gerne etwas hinzufügen: Vektorräume gleicher Dimension sind stets isomorph zueinander allerdings nicht kanonisch isomorph. Dazu braucht's gar kein Bilinear- oder Sesquilinearfrom (kein hermitesches Skalarprodukt), geschweige denn einen Hilbertraum. Was hier gemeint ist, ist offenbar. „Endlichdimensionale Prä-Hilberträume sind in kanonischer Weise zu sich selbst dual.“ Das gilt sogar nicht nur für reelle oder komplexe Vektorräume, sondern auch über beliebigem Körper $K$. Also mit anderen Worten: "Eine duale Paarung $<\cdot ,\cdot >:V\times V\rightarrow K$ auf einem Vektorraum $V$ endlicher Dimension über einem Körper $K$ liefert einen 'kanonischen' Isomorphismus $V{\stackrel {\sim }{\to }}V^{*},v\mapsto <v,\cdot >\in V^{*}$. Das gilt nicht nur für nicht-ausgeartete Bilinearformen, sondern auch für nicht-ausgeartete Sesquilinearformen (hermitesche Formen) auf komplexen Vektorräumen. Insbesondere ist also jeder Prähilbertraum kanonisch selbstdual." Weil hierbei die Topologie gar keine (argumentative) Rolle spielt, notiere ich diese Tatsache beim Dualraum. --Filomusa (Diskussion) 17:51, 2. Dez. 2020 (CET)

Hier liegen zwei Fehler vor:

(1) Kanonisch ist nicht dasselbe wie naheliegend. Kanonisch bedeutet immer eine natürliche Transformation zwischen zwei Funktoren. Wenn man statt der Kategorie der Vektorräume in die Kategorie der Vektorräume mit einer Sesquilinearform wechselt, dann sind die strukturerhaltenden Abbildungen nur noch die linearen Isometrien. Wenn man nach wie vor alle linearen Abbildungen zulassen will, dann funktioniert der übliche Beweis, warum keine Natürlichkeit vorliegen kann, immer noch. Du gibst oben einen Isomorphismus $\varphi _{V}:V\mapsto V^{*}$ an. Die Gesamtheit $\varphi =(\varphi _{V})_{V}$ ist aber keine natürliche Transformation zwischen dem identischen Funktor und dem (kontravarianten) Dualraumfunktor, denn sonst müsste für jede lineare Abbildung $f:V\rightarrow W$ die Beziehung $\varphi _{V}=f^{*}\circ \varphi _{W}\circ f$ bestehen. Ist $f$ der Nullmorphismus, so erhält man den Widerspruch $\varphi _{V}=0$.

(2) Die von Dir angegebene Abbildung ist im Falle einer Sesquilinearform nicht einmal ein Isomorphismus, denn die Abbildung ist nicht $\mathbb {C}$-linear, sondern nur konjugiert-komplex-linear.

Ich habe diese Änderungen daher zurückgerollt.--FerdiBf (Diskussion) 12:59, 3. Dez. 2020 (CET)

Das ist zutreffend -- allerdings m.E. nicht vollständig; im Einzelnen:

zu (2): Das hängt natürlich davon ab, in welchem Argument die Paarung semilinear ist. :-) Aber irgendwo bekommt man natürlich -- Dein Einwand trifft im Falle des komplexen Körpers $K$ völlig zu -- die komplexe Konjugation hinein, also eine Antilinearität (Semilinearität). Das muss also für den Fall der komplexen Vektorräume präzisiert werden. Korrekt.

zu (1): Dass das Attribut „kanonisch“ nur auf Funktoren beziehbar sei, ist mir neu. Ich sehe das anders (unten Literatur-Referenzen dazu). Man spricht doch laufend von kanonischen Abbildungen, gerade im Sinne von in „natürlicher Weise definiert, ohne Willkür“, nicht wahr? So meinte ich das hier. Das Vorliegen einer Bilinearform (und im komplexen Falle einer Sesquilinearform) gibt in kanonischer Weise Anlass zu einer linearen (bzw. anti-linearen) Abbildung $V\to V^{*}$. Dass hiermit eine Funktor in der Kategorie der Vektorräume mit Bi-/Sesquilinearform etabliert ist, der sogar für alle (bloß) linearen Abbildungen (also auch nicht isometrischen Abbildungen, wie z.B. die Nullabbildung) Funktoreigenschaften hat, wird in dieser Aussage nicht behauptet. Es geht nur um die Natürlichkeit der Abbildung. Freilich ist auf diese (kanonische) Weise auch ein Funktor definiert. Allerdings ist für ihn zu beachten, dass die Nullabbildung eben kein (in dieser Kategorie der Vektorräume mit nicht-ausgeartetem innerem Skalarprodukt, insbesondere also der euklidischen oder unitären Vektorräume, insbesondere der Prä-Hilberträume) zulässiger Morphismus ist. Damit kann der genannte Einwand nicht mehr greifen. Im Ergebnis bleibt es ein kanonischer Funktor und zwar einer, der durch die kanonische Festlegung einer Abbildung, also durch eine kanonische Abbildung induziert ist.

Zurückrollen ist auch keine Lösung: Die Aussage, "jeder endlichdimensionale Vektorraum zu einem Hilbertraum isomorph" sei, provoziert (wenn man denn schon die kategorielle Perspektive im Blick hat) die Rückfrage: In welcher Kategorie wird diese Aussage getroffen? Isomorph als Hilberträume? Und wenn ja, warum denn eigentlich die unnötige Beschränkung auf die beiden archimedischen, topologisch vollständigen Grundkörper $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$? Das lenkt ab vom Wesentlichen, nämlich eben von der kanonischen Abbildung, die durch die duale Paarung (bei beliebigem Grundkörper) induziert ist. Die Topologie eines Hilbertraumes muss dazu gar nicht bemüht werden – schon gar nicht im endlich-dimensionalen Falle –, auch wenn sich die Tatsache im Falle von Prä-Hilbert- und Hilbert-Räumen wunderbar [und natürlich :-)] mit der induzierten Topologie verträgt. Bei endlichdimensionalen Vektorräumen gelangt man mit elementaren Überlegungen zum Ziel.

Hier ein paar Referenzen auf den mir gewohnten Sprachgebrauch des Wortes „kanonisch“: Die hier angegebenen Beispiele sind zwar auch beschränkt auf den Fall des reellen oder komplexen Körpers, das hat aber pädagogische Gründe: Hirzebruchs Werk ist eine Einführung in die Funktionalanalysis (und lässt die Fälle nicht-archimedischer Funktionalanalysis natürlich außen vor). Gerd Fischers bekanntes Lehrwerk ist ebenfalls eine Anfänger-Lehrwerk. Allerdings lässt er durchblicken, dass der Grundkörper beliebige Gestalt haben kann.

• Friedrich Hirzebruch/Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis, BI-Hochschultaschenbücher, Band 296, Seite 94, Paragraph 22 (Hermitesche Operatoren): Sei $X$ ein reeller oder komplexer Hilbert-Raum. Wir haben in Satz 20.9 bewiesen, dass die kanonische Abbildung $j_{X}:X\to X';j_{X}(x)(y)=\langle y,x\rangle$ eine anti-lineare bijektive Isometrie ist.

Die Beschränkung auf reelle oder komplexe Hilbert-Räume ergibt sich im Rahmen dieses Buches natürlich aus der Tatsache, dass es um Funktionalanalysis geht. Aber auch im allgemeinen Falle eines Vektorraums über einem beliebigen Körper (dann allerdings endlicher Dimension) bleibt es eine kanonische Abbildung.

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg, 7. Auflage, 1983; Seite 195, Abschnitt 6.3. Dort heißt es zu Beginn: In Abschnitt 3.1 hatten wir zu jedem $K$-Vektorraum $V$ den dualen Vektorraum $V^{*}={\text{Hom}}(V,K)$ eingeführt, aber es war nicht möglich gewesen eine kanonische Abbildung $V\rightarrow V^{*}$ anzugeben. Wir wollen nun zeigen, wie sich dies in euklidischen und unitären Vektorräumen erreichen lässt. In Korollar 6.3.3 wird dann genau die Abbildung $\phi$ als eine kanonische Abbildung bezeichnet.

• Zu guter Letzt zitiere ich noch Joseph Maurer aus seinem Mathemecum (Vieweg, 1981) zum Eintrag „kanonisch“: Im mathematischen Sprachgebrauch bedeutet kanonisch soviel wie „natürlich“, „besonders ausgezeichnet“, „schöner als alle anderen“, vor allem aber „unabhängig von der Willkür des Mathematikers“ (der z.B. bei einer Konstruktion manchmal irgend etwas frei wählen kann). Beispiele: kanonische Quotientenabbildung (siehe Äquivalenzrelation), kanonischer Isomorphismus (siehe Bidualraum), kanonische Faktorisierung einer Abbildung, kanonische Projektion.

Das sind alles Beispiele von Abbildungen, die das Attribut „kanonisch“ oder „natürlich“ erhalten. Bis auf die Präzisierung „(bzw. antilineare bijektive Abbildung im Falle des komplexen Grundkörpers)“ kann ich keinen Fehler in meinem Vorschlag erkennen. Ich bitte um restlose Klärung des Falles ... :-)

--Filomusa (Diskussion) 23:50, 3. Dez. 2020 (CET)

Mir schwebt aber bereits eine Verbesserung vor, die ich gerne zur Diskussion notiere. Das Schöne an der Mathematik ist ja, dass keine womöglich faulen Kompromisse entstehen, wenn zwei nach der besten Lösung suchen, sondern stets eine echte Verbesserung. :-)

zu (1): Die Formilierungen „natürlich“, „besonders ausgezeichnet“, „schöner als alle anderen“ sind ganz offenbar für mathematische Verhältnisse erschreckend unpräzise. Dies mathematisch zu präzisieren war einer der Gründe für die Einführung der Kategorientheorie. Und ja, es ist dann stets eine natürliche Transformation zwischen Funktoren gemeint.

zu (2): Das hängt natürlich nicht davon ab, in welchem Argument die Paarung semilinear ist, aber das ist Dir, so schließe ich aus Deiner Formulierung, auch klar. Man hat nur einen linearen Slot, den benötigt man für die Linearität der Elemente des Dualraums. Der andere Slot ist dann nur semilinear, d.h. auch die Abbildung zwischen dem Vektorraum und seinem Dualraum ist nur semilinear.

Ja, manche Autoren lassen sich, gerade in einführenden Lehrwerken, dazu hinreißen, kanonisch wie naheliegend zu verwenden. Beachte bitte auch folgendes: Hat man eine nicht-ausgeartete Bilinearform gegeben, so kann man tatsächlich zu jeder Basis die entsprechende Dualraumbasis auszeichnen, und man erhält auch auf dem Dualraum eine Bilinearform, das will ich nicht in Abrede stellen. Aber das alles hängt natürlich von der Bilinearform ab, und die ist natürlich auch nicht kanonisch. Aber auch hier gibt es Ausnahmen, siehe etwa Killingform. Zur "restlosen Klärung" kann ich eigentlich nur wieder auf (1) verweisen.--FerdiBf (Diskussion) 14:58, 4. Dez. 2020 (CET)

Hallo, FerdiBf! Ich will ja gerne verstehen, was sich denn inzwischen so getan hat, dass also der Begriff "kanonisch" inzwischen inzwischen strenger gehandhabt wird als früher, genauer gesagt: dass er im Rahmen der Kategorientheorie klar definiert ist. Nun gibt es dort ja die Funktoren mit ihren funktoriellen Eigenschaften. Ferner gibt es natürliche Transformationen zwischen Funktoren. Frage: Wird also im modernen Jargon das Attribut "kanonisch" nur noch auf "Transformationen" bezogen und zwar synonym mit "natürlich"? Gibt es also nur noch "kanonische Transformationen", die dasselbe sind wie "natürliche Transformationen" (von Funktoren, scil.)?

Meine bisherige Sicht ist so: Wenn bei der Betrachtung einer Kategorie mit Hilfe der in ihr befindlichen Gegebenheiten (die als natürlich angesehen werden dürfen, wie z.B. das Einselement eines Körpers "von Natur aus" vorgegeben ist) etwas konstruiert wird, ohne dass der Mathematiker etwas "Eigenes, Willkürliches" (z.B. die Auswahl einer konkreten Basis) einfließen lässt, dann wurde es gerne als "kanonisch" oder "natürlich" bezeichnet. In diesem Sinne sprach man (um ganz basale Beispiele zu nennen) von der kanonischen Basis des $\mathbb {R} ^{n}$ und den kanonischen oder natürlichen Projektionen. Das Schöne war dabei: Es ergab sich eigentlich immer (ich erinnere mich an kein Gegenbeispiel) etwas "Natürliches", dass sich aus kategorieller Sicht dann auch "funktoriell" verhielt. Ich räume unumwunden ein, dass diese Sprechweise (ganz wie Maurers Definition) eher intuitiv geprägt war. Es bewahrheitete sich jedoch immer wieder auf den verschiedensten Gebieten, dass Natürlichkeit (oder Kanonizität) sich durch die kategorischen Strukturen hindurchzogen, sich mit ihr vertrugen. Welcher Sprachgebrauch ist jetzt an diese Stelle getreten?

Du schreibst oben: „(1) Beachte bitte auch folgendes: Hat man eine nicht-ausgeartete Bilinearform gegeben, so kann man tatsächlich zu jeder Basis die entsprechende Dualraumbasis auszeichnen, und man erhält auch auf dem Dualraum eine Bilinearform, das will ich nicht in Abrede stellen. (2) Aber das alles hängt natürlich von der Bilinearform ab, und die ist natürlich auch nicht kanonisch.“ Dazu hätte ich zwei Anmerkungen bzw. Nachfragen:

Zu Satz (1): Um auf dem Dualraum eine Bilinearform zu erhalten, benötigt man keine (willkürliche) Basisauswahl. Erinnerung: Ausgangspunkt war ja eine Aussage über endlich-dimensionale Vektorräume mit nicht-ausgearteter Bilinearform und meine Kritik daran, dass zu ihrer Begründung eine Isomorphie mit Hilberträumen herangezogen wurde, die ich für unnötig einengend hielt. Stattdessen sollten wir [ganz kategorisch, kanonisch und natürlich :-)] die Kategorie der endlich-dimensionalen Vektorräume mit nicht-ausgearteter Bilinearform zugrunde legen, weil ich doch darüber eine Aussage treffen möchte. Und da geht es gaaanz naheliegend.

Zu Satz (2): Liegt hier ein Tippfehler vor? Denn: Ja, von der Bilinearform hängt das ab, aber wo wäre der Makel, wenn wir doch die Kategorie der endl.dim. VR mit nicht-ausgearteter Bilinearform betrachten? Sollte hier "Basis" anstelle von "Bilinearform" stehen? Wie gesagt: Die Basis benötigt man nicht, wie sicher klar ist, weil es "naheliegend" (wenn nicht gar "kanonisch") ist. :-) Und das ist ja gerade der Clou: Es geht kanonisch (oder naheliegend) -- und ich gehe sehr stark davon aus, dass dieses "Naheliegen" auch Deine Ansprüche (also Deinem modernen Sprachgebrauch) an "Kanonizität" vollständig zufrieden stellt. Dazu allerdings müsste ich (wie schon angemerkt) besser verstehen, auf welche Bedeutung der Begriff kanonisch heutzutage eingeengt worden ist. --Filomusa (Diskussion) 18:02, 7. Dez. 2020 (CET)

Da der Fall eine etwas detailliertere Betrachtung verdient, würde ich eine eigene Überschrift spendieren, nämlich diese hier:

Natürliche Selbstdualität

Es sei $K$ ein (kommutativer) Körper. Es sei $V$ ein Vektorraum über dem Grundkörper $K$. Wenn $b:V\times V\rightarrow K$ eine beiderseits nicht-ausgeartete Bilinearform (also eine duale Paarung) bezeichnet, (genau) dann sind die beiden partiellen Abbildungen

$b_{1}:V\to V^{*},v\mapsto [b(v,\cdot ):w\mapsto b(v,w)]$ und

$b_{2}:V\to V^{*},w\mapsto [b(\cdot ,w):v\mapsto b(v,w)]$

(wohldefinierte) $K$-lineare Abbildungen, die injektiv und daher bei endlicher Dimension $\dim V_{K}<\infty$ Isomorphien sind. Auf diese kanonische Weise stiftet eine nicht-ausgeartete Bilinearform eine natürliche Selbstdualität endlichdimensionaler Vektorräume, m.a.W.: Ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit nicht-ausgearteter Bilinearform ist in natürlicher Weise zu sich selbst dual, d.h. isomorph (als Vektorraum) zu seinem Dualraum. Man nennt dann $b$ (gemäß Artikel Duale Paarung) eine perfekte Paarung.

Man kann darüber hinaus zeigen, dass ein solcher Vektorraum zu seinem Dualraum auch als Vektorraum mit nicht-ausgearteter Bilinearform isomorph ist. Dazu muss zunächst der Dualraum mit einer nicht-ausgearteten Bilinearfrom ausgestattet werden. Dies geschieht auf folgende Weise:

Der endlichen Dimension wegen sind die partiellen Abbildungen $b_{1},b_{2}$ nicht nur injektiv (wegen „nicht-Ausartung“, furchtbares Wort), sondern auch surjektiv. Um also $b^{*}(\lambda ,\mu )$ für das Linearformenpärchen (Kovektorenpaar) $(\lambda ,\mu )\in V^{*}\times V^{*}$ „kanonisch“ zu definieren, wähle (dank Surjektivität) zwei Vektoren $v,w\in V$ mit: $\lambda =b_{1}(v)=b(v,\cdot )=:v^{*}$ und $\mu =b_{2}(w)=b(\cdot ,w)=w^{*}$. Nun setze (auf natürliche Weise): $b^{*}(\lambda ,\mu ):=b_{1}(v)(w)=\lambda (w)=b(v,w)=\mu (v)=b_{2}(w)(v)$. Es steht hier also also die (auch im kategoriellen Sinne) schöne Beziehung: $b^{*}(v^{*},w^{*})=b^{*}(\lambda ,\mu )=b(v,w){\stackrel {!}{=}}b(\lambda ^{*},\mu ^{*})$. Man kann – funktoriell gesehen – gar nicht glücklicher sein, oder? :-) Die Gleichung (!) wäre noch verifizieren, aber ich bin sicher, dass auch sie "kanonisch" passt, denn dahinter steckt ja lediglich die (erneut) kanonische Isomorphie eines endlichdimensionalen Vektorraums mit seinem Bidualraum, so dass $v^{**}=v$ und entsprechend $\lambda ^{**}=\lambda$.

Mit anderen Worten zu sagen: In der Kategorie der endlichdimensionalen VR ist die Isomorphie zwischen VR und seinem Dualraum nicht kanonisch; die duale Paarung $V^{*}\times V\to K,\langle \lambda ,v\rangle :=\lambda (v)$ liefert nur die kanonische Identifikation $V\cong V^{**}$. Aber in der Kategorie der endlichdimensionalen VR mit nicht-ausgearteter Bilinearform gelingt die kanonische Identifikation $V\to V^{*}$ durchaus, nämlich vermöge $v\mapsto v^{*}:=b_{1}(b)$.

Bei nicht endlicher Dimension wird die Sache freilich delikat, so dass topologische Aspekte hilfreich werden. Ausgangspunkt war jedoch die Aussage über endlichdimensionale Vektorräume, für die topologische Überlegungen nicht notwendig sind: Die Beschränkung auf Hilbert- oder Prähilberträume (und damit auf die archimedische Primstellen als Körper) ist nicht nötig. Eine beliebige nicht-ausgeartete Bilinearform über beliebigem Körper genügt vollauf. Und darüber hinaus, so meine ich, wird dies auch Deinen Sprachgebrauch zur "Kanonizität" nicht verletzen. Daher würde ich auch die Autoren in Schutz nehmen wollen. :-) --Filomusa (Diskussion) 18:23, 7. Dez. 2020 (CET)

Die Fälle $K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$

... lohnen einen gesonderte Betrachtung:

$K=\mathbb {R}$: Für relle Vektorräume fordert man von einer solchen Bilinearform häufig noch die folgenden Eigenschaften:

$b(v,v)>0\qquad \forall v\in V\setminus \{0\}$ (positive Definitheit) und

$b(v,w)=b(w,v)$ (Symmetrie).

Dann nämlich erhält man einen euklidischen Vektorraum (nochmal verifizieren, dass ich nichts vergessen habe) und nennt $b(\cdot ,\cdot )=\langle \cdot ,\cdot \rangle$ das innere oder euklidische Skalarprodukt auf dem Vektorraum. Ein solches stiftet also bei endlicher Dimension eine kanonische Selbstdualität, d.h. euklidische Vektorräume endlicher Dimension sind kanonisch selbstdual. (Hinweis: Manche Autoren versehen unter euklidischen Vektorräumen bereits endlich-dimensionale Vektorräume.)

$K=\mathbb {C}$: Für komplexe Vektorräume lassen sich Bilinearität und Symmetrie nicht mit der – auch hier – häufig gewünschten positiven Definitheit vereinen. Daher fordert man in diesem Falle anstelle der Bilinearität die Sesquilinearität (d.h. Antilinearität in einer der beiden Komponenten) und die Antisymmetrie:

$b(v,w)={\overline {b(w,v)}}$ (Anti-Symmetrie)

Dadurch lässt sich auch positive Definitheit fordern, und der Vektorraum heißt dann ein unitärer Vektorraum oder Prähilbertraum. Die partiellen Abbildungen liefern dann entweder Antilinearformen aus dem "Antidualraum" (anstelle von Linearformen aus dem Dualraum) oder aber sind selbst antilineare Injektionen. Salopp gesagt: Für unitäre Vektorräume (endlicher Dimension) gilt die Aussage der kanonischen Selbstdualität nur cum grano salis: Bei der Linearität ist auch die „Verschränkung“ mit der komplexen Konjugation $z\mapsto {\overline {z}}$ zu berücksichtigen. (Hinweis: Manche Autoren messen anscheinend dem Begriff des unitären Vektorraums (im Ggs. zum Prähilbertraum) bereits die endliche komplexe Dimension bei.)

Das wäre mal eine rasche Skizze. Ich hoffe, dass keine Schnitzer drin sind und dass deutlich wird, worum es mir geht. Im Prinzip ist das schon beim Artikel duale Paarung angerissen. Ich finde aber, dass es auch hier beim Artikel zum Dualraum erwähnenswert ist: Unter welchen Umständen besteht eine natürliche Isomorphie (oder Anti-Isomorphie) zum Dualraum?

Allerdings ist die Definition einer dualen Paarung im Artikel zur dualen Paarung zu eng gefasst. Vergleiche dazu auch den Literaturhinweis: Serge Lang, Algebra, 2nd Edition, Seite 495f. (Chap XIII, § 5 (Duality)), dort formuliert für kommutative Ringe. Dort ist der Begriff „duale Paarung“ (dual pairing) entsprechend weiter gefasst. Die Kanonizität der Abbildung wird dort so formuliert: „The form $f$ gives rise to a homomorphism [\dots]“.

--Filomusa (Diskussion) 12:53, 4. Dez. 2020 (CET)

Ja, das ist alles richtig. Mit einer Formulierung wie "gives rise to a homomorphism..." kann ich mich anfreunden. Aber wenn Du eine Formulierung wie "natürliche Isomorphie" verwendest (das tust Du in obigem Text), dann sollte damit eigentlich die Definition aus der Kategorientheorie gemeint sein. Du solltest anderenfalls wenigstens eine Abgrenzung bringen und klar sagen, was die Natürlichkeit in diesem Zusammenhang mathematisch bedeuten soll, denn sonst wäre das Wort "natürlich" entbehrlich. In der Kategorientheorie ist die Isomophie zwischen einem endlichdimensionalen Raum und seinem Dualraum das einfachste Standardbeispiel für eine unnatürliche Isomorphie. Bleib dran! --FerdiBf (Diskussion) 15:17, 4. Dez. 2020 (CET)

Rückfrage: Wie ist also heutzutage "natürliche Isomorphie" in der Kategorientheorie definiert? Ich kenne nur den Begriff der natürlichen Transformation. Aber dazu müsste ich hier ja noch zwei Funktoren betrachten. Ich bin ziemlich sicher, dass das auch möglich ist, so dass angegebene Identifikation $V\to V^{*},v\mapsto b_{1}(v,\cdot )$ eine natürliche Transformation ist, oder irre ich mich? Interessant: Auch $b_{2}(\cdot ,v)$ liefert eine natürliche Transformation. Oder geht da etwas schief? Ist deshalb die Symmetrie aus Deiner Sicht unabdingbar, um von Kanonizität oder Natürlichkeit zu sprechen? Ich bin immer noch auf der Suche nach dem zweiten von zwei Fehlern ... Der eine ist ja klar, da war ich ungenau. Aber wo ist der andere? --Filomusa (Diskussion) 18:23, 7. Dez. 2020 (CET)

Ein natürlicher Isomorphismus ist eine natürliche Transformation $\alpha =(\alpha _{C})_{C}$, bei der jeder Morphismus $\alpha _{C}$ ein Isomorphismus ist. Am besten wird es sein, wenn Du das Wort natürlich einfach vermeidest.--FerdiBf (Diskussion) 07:24, 9. Dez. 2020 (CET)

Ok, ich hätte nur noch umblättern und Schubert I, 2.6.7, lesen müssen, da steht es ja. Und nun habe ich tatsächlich schmerzhaft lernen müssen, dass an einer entscheidenden Stelle etwas zu Bruch geht! In der Kategorie der endlich-dimensionalen Vektorräume $(V,b)$ mit nicht-ausgearteter (meinetwegen auch symmetrischer) Bilinearform kann man zwar folgerichtig die Morphismen (Isometrien) betrachten, den Dualraum $(V^{*},b^{*})$ (wie gehabt) betrachten, aber man muss leider feststellen, dass sich schon der Übergang von $(V,b)$ zu $(V,b)^{*}=(V^{*},b^{*})$ für Morphismen $f:V\to W$ leider nicht funktoriell verhält! (Und dabei geht es noch gar nicht um die natürliche Transformation, die wir diskutiert haben.)

Wenn man allerdings als Morphismen $[V,W]$ nur Epimorphismen zulässt (also letztlich auf (isometrische) Isomorphismen), dann wäre die Funktorialität allerdings gegeben, und die Kommutativität das fraglichen Diagramms (zur natürlichen Transformation) wäre m.E. kein Problem. Das könnte eine Rechtfertigung für die Autoren sein, auch wenn man über eine Kategorie schmunzeln mag, die per definitionem nur isomorphe Objekte enthält ... :-)

Wie auch immer – ich verstehe jetzt endlich Deinen Einwand: Die berüchtigte "kanonische", "natürliche" Abbildung $V\rightarrow V^{*}$ (auch für euklidische oder unitäre Vektorräume) ist "schön", sie ist (finde ich) auch mehr als nur "naheliegend", weil durch die Struktur unwillkürlich vorgegeben, aber leider enttäuscht sie, wenn man sie in den ihr gebührenden kategoriellen Zusammenhang stellt, denn schon dieser „funktioniert“ nicht, es sei denn man verkleinert sie auf die Kategorie der isomorphen Objekte. Die Kommutativität des Diagramms ist dann aber m.E. gegeben. Hier ist also das Beispiel, nach dem ich oben schon gefragt habe. Näher als ich dachte ... wie schade. Ich werde mir also angewöhnen müssen, nur davon zu sprechen, dass eine Abbildung (unwillkürlich) induziert wird. Ob sie (auch kategoriell gesehen) kanonisch oder natürlich ist, hängt von der Kategorie ab und zieht sich (schon in solch einem einfachen Falle) nicht ohne weiteres durch. Dies ist natürlich ein viel interessanterer Fehler als der erste! Danke für die Klarstellung, auch wenn sie schmerzt. :-)

Was ich jetzt hier daraus mache ... schauen wir mal. Meine Kritik daran, dass hier unnötig und einschränkend Prä-Hilberträume herangezogen werden, bleibt dennoch bestehen. --Filomusa (Diskussion) 23:18, 11. Dez. 2020 (CET)

Ich denke, wir haben jetzt dasselbe Verständnis des Problems, das ja eigentlich nur ein Formulierungsproblem ist. "Induzierte Abbildung" ist sicher eine gute Redeweise. Vielleicht solltest Du in Deinem zukünftigen Text sogar darauf hinweisen, dass dies nicht "natürlich" im Sinne der Kategorientheorie ist und vielleicht sogar das ausführen, was Du im Schubert gefunden hast. Dann vergeht auch der Schmerz, aber so schlecht ist der Schubert auch wieder nicht ;-). --FerdiBf (Diskussion) 17:06, 12. Dez. 2020 (CET)