Diskussion:Einheitswurzel

Fundamentalsatz der Algebra

Berücksichtigt man die Vielfachheit der Wurzeln eines Polinoms, hat jedes Polinom n-ten Grades im komplexen auch n Wurzeln. Es muss daher heissen:

$\zeta _{i}^{n}=1;i=1,...,n$ (nicht signierter Beitrag von 217.84.84.223 (Diskussion) 11:13, 29. Jul 2012 (CEST))

Summe der Einheitswurzeln

Ist $\zeta _{i}$ eine $n$-te Einheitswurzel, so gilt

$1+\zeta _{i}+\zeta _{i}^{2}+\dots +\zeta _{i}^{n-1}={\begin{cases}n&\mathrm {falls} \ \zeta _{i}=1\\0&\mathrm {falls} \ \zeta _{i}\neq 1.\end{cases}}$

Für ein beliebiges $\zeta _{i}$, das keine Einheitswurzel ist, was ja "sonst" bedeuten würde, kann die Potenzsumme ja nicht immer gleich Null sein. (nicht signierter Beitrag von 217.84.84.223 (Diskussion) 11:13, 29. Jul 2012 (CEST))

Definition primitiv

Stimmt auch so noch nicht. Beispiel: $\mu _{4}(\mathbb {Q} )=\{\pm 1\}$, aber $-1$ ist keine primitive Einheitswurzel, obwohl es Erzeuger dieser zyklischen Gruppe ist. Ist der Begriff "primitive Einheitswurzel" im Kontext von Ringen üblich? Wäre es nicht vernünftiger, von einem Erzeuger der multiplikativen Gruppe zu sprechen?--Gunther 02:10, 9. Okt 2005 (CEST)

Definition korrigiert. Wenn Du das mit dem Erzeuger noch reinbringen willst, musst Du Dir halt eine korrekte Definition überlegen. Habe noch die Voraussetzung reingenommen, dass der Ring kommutativ ist, ansonsten haben die Einheitswurzeln ja kaum Eigenschaften (z.B. keine Gruppe).--Gunther 09:46, 9. Okt 2005 (CEST)

Danke für Deine Richtigstellungen. Nur 1 Punkt bleibt für mich noch offen: Die Bemerkung "$\zeta$ ist der griechische Buchstabe „zeta“ [...]" hast du gelöscht, das finde ich nicht ganz glücklich, da $\zeta$ einer der seltener genutzten griechischen Buchstaben ist und somit dem Einsteiger gar nicht geläufig ist, wie er den aussprechen soll.--JFKCom 20:31, 9. Okt 2005 (CEST)

Dann möge er entweder "griechisches Alphabet" links in die Suche eingeben oder im Quelltext nachschauen. Welche Buchstaben verwendet werden, muss man mMn nicht erwähnen, sie sind für die Bedeutung irrelevant. Wer Xeta liest (durchaus schon gehört), wird genausogut verstehen, was Einheitswurzeln sind.--Gunther 00:03, 10. Okt 2005 (CEST)

Naja, ich bin nicht ganz überzeugt, aber überredet. ;-) --JFKCom 22:38, 10. Okt 2005 (CEST)

Die k Lösungen wurden durch einen unteren Index nummeriert. Da es (so zumindest mein Eindruck!) die übliche Darstellung ist, Potenzen von primitiven Wurzeln zu benutzen, habe ich das entsprechend geändert. Der untere Index wurde frei für n (nur an einer Stelle zur Klarheit, danach fallengelassen). Die Änderungen habe ich auf der ganzen Seite durchgezogen, hoffentlich ist es jetzt transparenter. Um ganz sicher zu gehen, hab ihc noch erwähnt, welche EWn primitiv sind. --85.72.86.193 20:12, 9. Nov 2005 (CET)

Was zum Henker sind denn nun die 5. Einheitswurzeln? ... denke ich mir so beim Lesen des Artikels. Anregung: Vllt. könnte man eine Liste aller n-ten Einheitswurzeln (von 1-10 oder 1-20 oder so) anhängen? Klar kann man die ausrechnen, aber es liest ja auch mal jemand nicht so versiertes den Artikel bzw. wenn man z.B. die 7-ten Einheitswurzeln "mal schnell nachschlagen" will, wäre das sicher hilfreich. Für primitive Polynome z.B. gibts auch immer Listen. Da setzt sich ja auch niemand jedes mal neu hin. / Jul 2007

Die Liste der 5. Einheitswurzeln wäre wirklich nützlich. Ein Matheanfänger.91.46.193.31 14:58, 19. Nov. 2014 (CET)

Ich habe mir das inzwischen selbst abgeleitet, Step by Step, da ich auch kein Mathematiker bin. Aber ehrlich gesagt, ich trau mich gar nicht mehr, das hier zu veröffentlichen, denn die mathematischen Beiträge hier sind m. E. nicht so gemacht, dass Otto Normalverbraucher was damit anfangen kann - ganz entgegen der Grundidee der Wiki -, und da würde meine detaillierte Darstellung "aus der Reihe tanzen". Die Beiträge hier sind vielfach so, dass sie sich anscheinend an andere Mathematiker richten, und die Autoren überbieten sich darin, alles möglichst unanfechtbar-abstrakt darzustellen, damit ihnen nur ja kein Kollege am Zeug flicken kann. Ich spreche aus Erfahrung: Ich hatte schon einmal in einem anderen Artikel, der mir unverständlich war, da da nur eine Formel hingepfahlt war, mühsam für Laien wie mich die Ableitung, wie man zu dieser Formel kommt - ohne Gedankensprünge, aber mit Erläuterung und Begründung -, hinzugefügt (es kostete Stunden!). Der nächste hat dann die Formeln noch geschönt und der übernächste hat alles wieder hinausgelöscht - war ihm offenbar zu primitiv oder unnötig oder was auch immer. Ich hab schon überlegt, ob man eigen Artikel machen soll: "Artikelbezeichnung_dummies" oder so. Da können sich dann die Experten auf hohem Niveau im Hauptartikel äußern, und in den Artikeln für _dummies bemüht man sich, das Thema nachvollziehbar und verständlich für Laien (mit "normaler Schulbildung") darzustellen. Gruß, --Gkln (Diskussion) 18:33, 19. Nov. 2014 (CET)

Einheitswurzel - Unit root/root of unity

Ich bin auf die Seite gekommen, weil ich aus dem Bereich der Stochastik dem Begriff "Einheitswurzel" gefolgt bin. Ich befürchte das ist falsch verlinkt. Jedenfalls ergibt sich hier eine Verwechslung, denn die auf der Seite beschriebene Wurzel ist nicht die aus der Statistik (vgl. dazu im Englischen Unit root/Root of Unity). Es gibt daher vermutlich auch keinen Quervergleich von der englischen Seite Unit root. Vielleicht kann man einen Verweis machen, dass es Mißverständnisse geben kann. --217.235.220.160 00:52, 14. Nov. 2008 (CET)

Ob es den Begriff "Einheitswurzel" auch in der Stochastik gibt, kann ich nicht beurteilen. Den Artikel Unit root gibt es jedenfalls nicht. 213.179.145.222 08:36, 14. Nov. 2008 (CET)

Oh, da habe ich wohl falsch verlinkt (ein kleines r statt einem großen). Habe die Links in meinem ersten Beitrag korrigiert. Ich bin übrigens über Dickey-Fuller-Test auf die Seite gekommen (der Link ist gleich im ersten Abschnitt), es gibt diese Einheitswurzel also auch in der Statistik. --217.235.189.116 14:00, 14. Nov. 2008 (CET)

Dann muesste man jetzt rauskriegen, wie der entsprechende Begriff in der Statistik denn genau auf deutsch heisst und gegebenenfalls die Verlinkung im Artikel zum Test anpassen. --P. Birken 22:59, 14. Nov. 2008 (CET)

Wenn ich nach "'root of unity' einheitswurzel" bei google suche, finde ich hauptsächlich/fast nur Verlinkungen zu Wörterbüchern. Wenn ich aber nach "'unit root' einheitswurzel" suche, finde ich auch viele wissenschaftliche Texte mit statistischem Hintergrund. Die Übersetzung "Einheitswurzel" für "Unit Root" scheint also die korrekte zu sein. Es sieht also eher so aus, als würde der Begriff "root of unity" falsch übersetzt. Da aber offensichtlich beide Begriffe mit "Einheitswurzel" übersetzt werden, in der Sache aber fundamental verschieden sind, wäre auf jeden Fall richtig, darauf hinzuweisen, damit es nicht zu Mißverständnissen kommt. --217.235.252.160 19:25, 15. Nov. 2008 (CET)

Für die statistischen Anwendungen googelt man am besten nach "ARMA Einheitswurzel" oder "Einheitswurzel Zeitreihe". Im Zusammenhang von ARMA-Modellen spricht man von einer Einheitswurzel, wenn 1 eine Wurzel/Lösung der charakteristischen Gleichung ist. Der vorliegende Artikel geht dagegen um "Wurzeln der Eins", die Bezeichnung "Einheitswurzel" ist aber dafür üblich und wurde wohl "fälschlich" in der Zeitreihenanalyse übernommen. Der Link von Dickey-Fuller-Test ist daher falsch. Wenn sich jemand die Mühe macht, könnte man z.B. einen Artikel "Einheitswurzel (Zeitreihentheorie)" oder ähnlichen Namens erstellen und in einer BKL von hier dorthin verweisen. --NeoUrfahraner 17:23, 19. Nov. 2008 (CET)

Der erste Anfang ist gemacht: Einheitswurzel_(Zeitreihenanalyse). Jetzt bedarf es an Aufbau und Verbesserung und eben einer BKL --Maijaestro 00:40, 20. Nov. 2008 (CET)

Visualisierung auf youtube

Da gibt es ein Video, wo die ersten 100 Einheitswurzeln mal veranschaulicht sind. Vielleicht hilft es dem ein oder anderen. 88.130.179.222 13:58, 7. Dez. 2008 (CET)

Der Link funktioniert nicht mehr, da das Video (bzw. der zugehörige Account) gelöscht wurde. Pinoccio 15:03, 18. Nov. 2009 (CET)

Definition von "Einheitswurzeln in den komplexen Zahlen" stimmt nicht mit beispiel überein

In der Definition läuft k von 0 bis n-1, dann würde aber immer 1 bei der ersten der kten-Einheitswurzeln rauskommen und nicht bei der letzten. Also entweder läuft k von 1 bis n oder das beispiel sollte verändert werden. (nicht signierter Beitrag von 88.77.150.1 (Diskussion | Beiträge) 09:04, 23. Jun. 2009 (CEST))

Imaginäre Einheitswurzeln

Zur Diskussion:

Imaginäre Einheitswurzeln sind die n-verschiedenen Wurzelwerte der Kreisteilungsgleichung x hoch n = i und der Kreisteilungsgleichung x hoch n = -i , i ist eine der Quadratwurzeln von -1 und i ist eine der Biquadratwurzeln von +1

Das / ein Unikum von i ist : Eine der Kubikwurzeln von i ist -i Eine der Kubikwurzeln von -i ist i

Innerhalb dieses imaginären Einheitskreises können nicht soviele Punkte besetzt werden wie im Einheitskreis mit der Kreisteilungsgleichung x hoch n = 1 .

UND SPEZIELL FÜR SCHÜLER

Einheitswurzeln der negativen Zahl -1

x hoch 2n = -1 Die EinheitsWurzeln von x hoch 2n = -1 liegen im Einheitskreis genau zwischen den EinheitsWurzeln von x hoch 2n = +1

x hoch 2n+1 = -1 Die Einheitswurzeln von x hoch 2n+1 = -1 liegen genau ursprungsymmetrisch gegenüber den Einheitswurzeln von x hoch 2n+1 = +1

In Bedienungsanleitungen von Algebrarechnern für die Schule wird meist bei der Beschreibung des Rechnen mit komplexen Zahlen in etwa folgende vermerkt:

Beispiel: Kubikwurzel von -8 = -2 (reele Zahl) oder . = 1+ 1,732050808i (oder 1 - 1,732050808i)

Im ersten Fall handelt es sich um die (komplexe) Nebenwurzel und im zweiten Fall um die (komplexe) Hauptwurzel. Der Rechner zeigt je nach Eingabe die Hauptwurzel oder eine Nebenwurzel an.

Also Merke: Hauptwurzel ist ein anderer Ausdruck für ein reel Mehrfaches der primitiven Einheitswurzel. Und Beachte: Die Hauptwurzeln von negativen Zahlen sind nicht die der -1 im Einheitskreis folgenden Wurzeln, sondern die der +1 folgenden Wurzeln (Einheitskreisrichtung = 1 ; i ; -1 : -i ; 1)

So ist i die Hauptwurzel von -1. -i ist die Nebenwurzel von -1

Nun kannst du deinen Kollegen fragen: a) ist i die Nebenquadratwurzel von -1 ? oder b) ist i die Hauptbiquadratwurzel von +1 ?

(Ueberlege ...! )

-i ist die Nebenquadratwurzel von -1 . Und -i ist eine Nebenbiquadratwurzel von +1 (die andern beiden Nebenbiquadratwurzeln von +1 sind : -1 und +1 )

also: a) ist falsch und b) ist richtig --Oktonius 14:36, 1. Jul. 2010 (CEST)

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Bezug zur Charaktertheorie von Gruppen

Könnte der Bezug zu Charakteren von Gruppen im Abschnitt "Summe der Einheitswurzeln" bitte erläutert werden? --Das O2 (Diskussion) 22:21, 5. Jun. 2013 (CEST)

5. Einheitswurzel

„für $w=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}=\zeta +\zeta ^{4}=2\cos(72^{\circ })$.“

Könnte das jemand ausführen, wie man darauf kommt? Bis $w=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}$ kann ich es nachvollziehen. Für die nächsten beiden Schritte fehlt (mir) die Herleitung. --Gkln (Diskussion) 03:43, 21. Aug. 2014 (CEST)

Es ist ja $\zeta ^{5}=1$, also ${\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}\cdot \zeta ^{5}=\zeta ^{4}$. Für die zweite Gleichung kann man $\zeta =e^{2\pi i/5}$ in $\zeta +{\frac {1}{\zeta }}$ einsetzen und mit der Eulerformel ausrechnen. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 08:16, 21. Aug. 2014 (CEST)