Diskussion:Elliptische Kurve

was ist denn mit der verknüüpfung zu shamura?

Hier fehlt noch eine Menge, schließlich sind sie nicht nur für Kryptographie interessant sondern haben viele andere Anwendungen. Habe erstmal die Reihenfolge geändert. Eigenschaften im Komplexen sollten zuerst kommen (mit Anwendungen). Außerdem ist Verhalten elliptischer Kurven über rationalen Zahlen noch nicht erfaßt. Das Bild zeigt nur einen typischen Fall elliptischer Kurve, der andere hat zusätzlich geschlossene Kurve.

-- Claude J 19:12, 10. Mär. 2007 (CET)

Poincaré

Die geometrische Addition für rationale Punkte auf einer kubischen nicht-singulären Kurve war vor Poincaré wohl bekannt (z. B. Newton !). Poincaré führt die Idee des Ranks ein (Anzahl von unabhängigen Punkten von denen alle rationale Punkte mit Sekanten und Tangente konstruiert werden können). Die Gruppe selbst ist auch nicht in dem Poincaré Artikel ! Ich bin nicht sicher, wo genau in dme Artikel diese Information einzustellen. Hilfe und Ideen darüber sind willkommen. Ref. : Norbert Schappacher, Développement de la loi de groupe sur une cubique, Séminaire de théorie des nombres de Paris 1988-1989, Birkhäuser, 1990, pp. 158-184. --Cgolds 18:29, 13. Jan. 2008 (CET)

Habe das in eine Fußnote in Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer und teilweise bei Henri Poincare eingefügt.--Claude J 09:45, 26. Mär. 2008 (CET)

rationale Punkte

Zitat: Ist P nicht der 0-Punkt kann auf diese Weise jeder Punkt der Kurve E erreicht werden (d. h. zu jedem Punkt Q auf der Kurve existiert eine natürliche Zahl k mit Q = kP), wenn man die richtigen Erzeugenden P der Gruppe kennt.

Ist so nicht richtig. ist beispielsweise Q irrational und P rational, so wird niemals Q = kP gelten. es mueßte heissen, ist p nicht der 0-punkt und ist q aus der Gruppe die von P erzeugt wird, so gilt Q = kP.

Nichanzeigen des Weblinks mit Firefox

Hallo Xario,

Du willst folgenden Link (von anderem Benutzer):

• Umfassende Einführung in elliptische Kurven und ECC (englisch)

nicht im Artikel haben, da Dein Browser (Firefox) ihn nicht anzeigt.

Mit meiner Version (3.0.4 auf Ubuntu-Hardy Heron) zeigt die Seite an. Bevor das Zertifikat akzeptiert werden kann, muß es jedoch zuerst heruntergeladen werden (anderer Button bei der Meldung vom Firefox).

Ganz abgesehen davon würde ich sagen, das ist ein lokales Problem mit Deinen Einstellungen oder System. Das begründet also nicht, daß der Link nicht in der Wikipedia stehen sollte.

Gruß Adromel 01:29, 5. Dez. 2008 (CET)

Ich hab kein Urteil über den Link, da ichs bisher nicht sehen kann. Die Fehlermeldung hat nur einen OK-Button und ich hab eigentlich ein Stanni-System, weshalb ich vermute, daß es auch anderen so geht, ansonsten unterstreicht WP:WEB gute Erreichbarkeit/Barrierefreiheit - ein Link, der für einen (noch genauer zu bestimmenden) Anteil der Wikipedianer nicht einsehbar ist, ist kaum von feinsten. Ich will keinen Editwar - bitte um Meinungen. --χario 02:11, 5. Dez. 2008 (CET)

OK, ich muß zugeben, mit Epiphany ist es auch nicht so einfach die Seite angezeigt zu bekommen. --Adromel 02:47, 5. Dez. 2008 (CET)

Ich kriege die Seite mit dem Firefox zwar angezeigt, muß aber ständig irgendwelche Fehlermeldungen klicken. Bitte nachbessern und wiederkommen. --P. Birken 09:21, 5. Dez. 2008 (CET)

Die Seite ist jetzt ohne https (also per http) erreichbar und sollte nicht so viele Fehlermeldungen erzeugen. Ich setzte den Link also wieder. Maike 23:07, 12. Apr. 2009 (CET)

Allgemeinverständlichkeit des Artikels / Wartungsbausteine

Trotz einiger mathematischer Vorbildung erscheint mir der Artikel wenig verständlich. Der Artikel ist voll von Fachbegriffen, es fehlen aber meiner Einschätzung nach konkrete Beispiele und auch passende Grafiken. Der englischsprachige Artikel erscheint mir insgesamt um einiges besser, verständlicher und auch vollständiger. --KMic 23:04, 24. Jan. 2011 (CET)

Habe gerade die Einleitung überarbeitet - sollte nun passen. Weitere konkrete Vorschläge:

• Neuer Abschnitt "Elliptische Kurven über den reellen Zahlen" mit Klassifizierung der beiden Fälle
• Neuer Abschnitt "Gruppengesetze" mit sämtlichen Rechenregeln aus dem jetzigen Abschnitt "Elliptische Kurven über endlichen Körpern und über den rationalen Zahlen", dabei die Rechenregeln besser ausformulieren
• Abschnitt "Elliptische Kurven über endlichen Körpern und über den rationalen Zahlen" auftrennen in zwei Abschnitte "Elliptische Kurven über den rationalen Zahlen" und "Elliptische Kurven über endlichen Körpern"
• Dem Abschnitt "Elliptische Kurven über den komplexen Zahlen" würden ein paar allgemeinverständliche Sätze auch nicht schaden.

--KMic 13:24, 25. Jan. 2011 (CET)

Update: Punkt 1 (s.o.) ist erledigt und die Abschnitte sind neu aufgeteilt. Was noch zu tun ist:

• Abschnitt "Gruppengesetze": Allgemeinverständlich überarbeiten und Bilder dazu (siehe englischer Artikel)
• Abschnitt "... über den rationalen Zahlen": Sollte noch deutlich erweitert werden.
• Abschnitt "... über den komplexen Zahlen": Da sollte evt. mal jemand darüber schauen, der Ahnung hat - ich versteh in den Unterabschnitten kein Wort.--KMic 22:04, 25. Jan. 2011 (CET)

Addition zweier verschiedener Punkte

Die Formel * $x_{R}=s^{2}-2x_{P}$ stimmt nicht für jede Elliptische Kurve. Für die Elliptische Kurve * $c*y^{2}=x^{3}+a*x+b$ stimmt sie lediglich für * $c=1$. (nicht signierter Beitrag von 84.226.244.154 (Diskussion) 14:41, 21. Aug. 2011 (CEST))

Weierstraß-Gleichung

Gibt man in die Suche "Weierstraß-Gleichung" ein, wird man zum Artikel zu ell. Kurven weitergeleitet - an sich sinnvoll, nur leider taucht der Begriff dann im gesamten Artikel nicht mehr auf. Stattdessen werden elliptische Kurven (über $\mathbb {R}$) definiert als glatte Kurven gegeben durch

$y^{2}=x^{3}+ax+b,$

ohne daß irgendwo erwähnt würde, daß dies gerade die kurze Weierstraß-Gleichung ist (welche wegen Charakteristik von $\mathbb {R}$ gleich 0 für jede elliptische Kurve über den reellen Zahlen existiert).

Vorschlag: Einfügen erstmal einer allgemeinen Definition und eines Abschnitts zu Weierstraß-Gleichungen.

Außerdem könnte die affine und projektive Darstellung von ell. Kurven thematisiert werden.

Definitionen:

• Eine elliptische Kurve $E$ über einem Körper $K$ ist eine glatte projektive Kurve über $K$ vom Geschlecht 1 mit einem Punkt ${\mathcal {O}}$, dessen Koordinaten in $K$ liegen.
• Eine elliptische Kurve $E$ über einem Körper $K$ ist eine glatte projektive Kubik über $K$ mit einem Punkt ${\mathcal {O}}$, dessen Koordinaten in $K$ liegen.

Äquivalent zur Definition ist:

$E$ ist eine glatte, durch eine Weierstraß-Gleichung

$Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}YZ^{2}=X^{3}+a_{2}X^{2}Z+a_{4}XZ^{2}+a_{6}Z^{3}$

gegebene projektive Kurve mit Koeffizienten $a_{i}\in K$. Schreibt man

$F(X,Y,Z)=Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}YZ^{2}-X^{3}-a_{2}X^{2}Z-a_{4}XZ^{2}-a_{6}Z^{3}$

so ist $E$ gerade die Nullstellenmenge des homogenen Polynoms $F\in K[X,Y,Z]$. (Beachte: Der Punkt $(0:1:0)={\mathcal {O}}$ erfüllt auf jeden Fall die Polynomgleichung, liegt also auf $E$.)

Faßt man $E$ als affine Kurve auf, so erhält man eine affine Weierstraß-Gleichung

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.$

In diesem Fall ist $E$ gerade die Menge der (affinen) Punkte, die die Gleichung erfüllen, zusammen mit dem so genannten "unendlich fernen" Punkt ${\mathcal {O}}$. --Artin (Diskussion) 21:04, 3. Dez. 2012 (CET)

Update: Hab was eingefügt. Der Artikel ist weiter verbesserungswürdig ... vielleicht wäre es gut, die Rechengesetze weiter nach oben zu holen, ehe man anfängt, ell. Kurven mit Tori in Verbindung zu bringen?! Immerhin läßt sich die Addition von Punkten anschaulich geometrisch erklären - so wird das ja auch im Artikel gemacht. --Artin (Diskussion) 01:01, 4. Dez. 2012 (CET)

Gruppenstruktur

Ich finde die Gruppenstruktur weder vom abstrakten noch vom anschaulichen, intuitivem Standpunkt aus gut erklärt. Abstrakt ist es der Kern der Grad-Abbildung der Cartier-Divisoren auf Z, anschaulich setzt man eine Wendetangente als Null, sodaß P+Q gleich -R ist, wenn R der Schnittpunkt der Kurve mit der Gerade durch P und Q ist (bzw. der Tangente durch P, falls P=Q). Mir fängt das zu schnell mit Rechenregeln an, bevor die grundsätzliche geometrische Situation erklärt und veranschaulicht wird. Gruß--Frogfol (Diskussion) 22:57, 13. Jan. 2014 (CET) Edit: Vielleicht aber auch insgesamt ein Fall für die QS und nicht für Allgemeinverständlichkeit. Struktur, Länge der Einleitung usw.--Frogfol (Diskussion) 23:20, 13. Jan. 2014 (CET)

Namensgebung

Was genau ist an diesen Kurven denn „elliptisch“? Für mich sehen die eher aus wie Nasen von Puzzleteilen.

Laut der englischen Wikipedia kommt man von elliptischen Integralen (die tatsächlich was mit Ellipsen zu tun haben) über elliptische Funktionen zu elliptischen Kurven. Vielleicht könnte jemand diesen Zusammenhang im Artikel verständlich erklären.

Stilistisches

Gleich im ersten Satz steht: „auf denen eine geometrisch definierte Addition definiert ist.“ Zweimal „definiert“ in einem Satz: Das versteht man nicht und es sieht gräßlich aus. (nicht signierter Beitrag von 85.180.4.243 (Diskussion) 14:12, 7. Okt. 2015 (CEST))

„um Singularitäten auszuschließen“

Na, wer’s schon kennt, der weiß, was damit gemeint sein könnte. (nicht signierter Beitrag von 93.205.113.73 (Diskussion) 22:44, 13. Jul 2016 (CEST))

Der Text ist zwischenzeitlich wesentlich verbessert worden, als IP 93 205 (<128) xx dies hier anmahnte lautete der Text noch „Die (reellen) Koeffizienten {\displaystyle a} und {\displaystyle b} müssen dabei die Bedingung {\displaystyle 4a^{3}+27b^{2}\neq 0} erfüllen, um Singularitäten auszuschließen.“ (ich selber war weder auf der einen noch der anderen Seite beteiligt, danke an alle) --Himbeerbläuling (Diskussion) 19:54, 14. Sep. 2020 (CEST)

Edit vom 14. September 2020, 18 Uhr

Vorbemerkung: Verzeiht bitte einem Neuling die Diskrepanz zwischen K-Edit und Verweis auf die Disku, aber ich könnte Rückmeldung brauchen. Ich habe in der Bildunterschrift das „and“ zum „und“ gemacht, ganz sicher K, und den Begriff „4-Torsionspunkte“ ersetzt durch „Torsionspunkte vierter Ordnung“, die Schreibweise mit Bindestrich kommt nun nur noch ein einziges Mal im Artikel vor, direkt links von dem Bildchen.

Außerdem habe ich die Füllwörter „die Gleichung“ eingesetzt, die textlich nichts verbessern und nicht verschlechtern, aber die die zwei <math> - Umgebungen davor und dahinter typographisch trennen. --Himbeerbläuling (Diskussion) 18:12, 14. Sep. 2020 (CEST)

Wozu?

Außerhalb der Kryptographie haben diese Kurven keine wesentliche praktische Bedeutung und auch für die Kryptographie brauchen wir sie nicht wirklich. Siehe dazu die Schnorr-Signatur und Spezielle Schnorr-Signatur. --Franz Scheerer aus Wiesbaden (Diskussion) 12:17, 30. Jan. 2023 (CET)

Elliptische Kurven haben eine ganz wesentliche Bedeutung in der Zahlentheorie. Siehe zum Beispiel auch Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer. Viele Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 12:55, 30. Jan. 2023 (CET)

Hasse-Ungleichung

Im Text steht: "Für die Anzahl der Punkte einer elliptischen Kurve über einem Körper mit Elementen zeigte Helmut Hasse (1936) die Abschätzung (riemannsche Vermutung) ... und bewies damit eine Vermutung aus der Dissertation von Emil Artin (1924)."

War es nun eine Vermutung von Riemann oder von Artin? --Benji104 (Diskussion) 20:35, 7. Sep. 2024 (CEST)

Von Artin (und in deutlich größerer Allgemeinheit von Weil). Sie wird Riemannsche Vermutung genannt, weil sie vom „Typ“ einer Riemannschen Vermutung ist - d.h. das Analogon der RH für elliptische Kurven über endlichen Körpern. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:10, 7. Sep. 2024 (CEST)