Diskussion:Energie-Zeit-Unschärferelation

zusammenlegen mit Heisenbergschen Unschärferelation

Anmerkung: Der Artikel Energie-Zeit-Unschärferelation wird gelöscht, nachdem er in den Hauptartikel Unschärferelation integriert wurde. (nicht signierter Beitrag von 46.115.228.131 (Diskussion) 21:45, 11. Dez. 2010 (CET))

Im Prinzip bin ich für Zusammenlegungen. Wenn dieser Artikel aber dort integriert wird, wohin dann mit der Unschärferelation zwischen Frequenz und Zeit, die ja allgemein gilt, nicht nur in der QM? Ein eigener Artikel Frequenz-Zeit-Unschärferelation oder Frequenzmessung/Frequenzschätzung? Siehe auch die Diskussion über Frequenz in der QS-Physik. – Rainald62 23:56, 17. Mär. 2011 (CET)

Eine Zusammenlegung unter dem Titel Unschärferelation wäre aus meiner Sicht sinnvoll. Bislang führt Unschärferelation allerdings zur Heisenbergschen Unschärferelation, welche in ihrer allgemeinen Form Aussagen über die Standardabweichungen anhand der Kommutatorrelation der zugehörigen selbstadjungierten Operatoren macht. Die Zeit ist allerdings in der Quantenmechanik kein Operator und die Heisenbergsche Unschärferelation zumindest im Rahmen des mathematischen Formalismus damit nicht anwendbar. Eine Zusammenlegung unter dem Namen Heisenbergsche Unschärferelation würde jedoch bei vielen verlinkten Artikeln gerade diesen Eindruck hinterlassen. Im Nolting wird eine Herleitung der Energie-Zeit-Unschärferelation über die Heisenbersche Unschärferelation und das Ehrenfest-Theorem gemacht, werde dies mal bei Gelegenheit (im Laufe der nächsten Woche) einarbeiten. -- Geralt 15:04, 7. Mai 2011 (CEST)

NeeNee, nicht zusammenlegen. Es gibt in der QM keinen Zeitoperator ${\hat {t}}$, somit ist die Relation nicht auf die heisenbergsche Unschärferelation zurückführbar. Fazit: Nicht Zusammenlegen--biggerj1 (Diskussion) 09:39, 9. Mär. 2014 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. biggerj1 (Diskussion) 09:40, 9. Mär. 2014 (CET)

Ich finde, bevor man in Erwägung zieht den Artikel in Unschärferelation zu integrieren, sollte er vorher in ein qualitativ angemessenes Niveau gebracht werden. Dazu könnte man den Übersichtsartikel über die Energie-Zeit Unschärfe von P. Busch etal zugrunde legen (vgl. arxiv.org). (nicht signierter Beitrag von 79.228.76.200 (Diskussion) 14:43, 9. Mär. 2014 (CET))

Ist damit dieses Buch gemeint? (DOI: 10.1007/978-3-540-37205-9) --Nix schlecht (Diskussion) 20:39, 3. Nov. 2015 (CET)

Vermerk zur Korrektur defekter ext. Weblinks

die defekte URL "http://osulibrary.oregonstate.edu/specialcollections/coll/pauling/bond/papers/corr155.1.html" durch eine URL auf eine andere Kopie der Arbeit ersetzt. Allerdings ist die Ressource mit dem defekten Link auch noch bei webarchive verfügbar Kopie eines pers. Exemplars von L Pauling - sie enhält einen Widmungsvermerk von L. Pauling --ArchibaldWagner (Diskussion) 12:59, 6. Jul. 2016 (CEST)

Herleitung=Spiegelfechterei?

Da, wie oben bemerkt, die Zeit keine Observable ist, ihr also kein Operator zugeordnet werden kann, hat sie auch keinen (von einer Konstante verschiedenen) Erwartungswert. Das Ehrenfesttheorem gilt daher nicht, und die ganze Herleitung ist eine Spiegelfechterei. Es handelt sich bei der sogenannten „Energie-Zeit-Unschärfe“ um eine semiklassische Abschätzung! Vergleiche Siegfried Großmann: Heisenbergsche Unschärferelation, Abschnitt IV: Energie-Zeit-Unschärfe https://www.weltderphysik.de/fileadmin/user_upload/Redaktion/Gebiete/theorien/Grundzuege_der_QM/201011_unschaerfe.pdf --Alsfeld (Diskussion) 19:57, 8. Okt. 2020 (CEST)--Alsfeld (Diskussion) 21:45, 8. Okt. 2020 (CEST)

Ähm, wo wird denn Deiner Meinung nach im Artikel das Ehrenfest-Theorem auf einen vermeintlichen Zeitoperator angewendet? --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:30, 8. Okt. 2020 (CEST)

Hallo, Bleckneuhaus, du hast recht, ich muss mich korrigieren: es wird in der Herleitung nirgends behauptet, dass der Zeitparameter $t$ eine Observable ist. Der etwas windige („semiklassische“) Teil des Arguments, das sonst völlig quantenmechanisch ist, liegt in der Definition von $\Delta t_{A}$ und der folgenden Weglassung des Subskripts $A$.
Vergleiche auch Landau/Lifschitz: Quantenmechanik, 2. Aufl., S. 158/9, der ein komplizierteres Argument verwendet und ebenfalls darauf hinweist, dass die Größe $\Delta E$ „Differenz der beiden in zwei verschiedenen Zeitpunkten genau[!] gemessenen Energiewerte“ und „keineswegs eine Unschärfe in dem Energiewert zu einer bestimmten Zeit“ ist. Man sollte auf die Bezeichnung „Unschärfe“relation verzichten. Gruß--Alsfeld (Diskussion) 16:58, 9. Okt. 2020 (CEST)

1. Zeile des Texts:

Der erste Satz:

"Die Energie-Zeit-Unschärferelation beschreibt eine Grenzbedingung für die erreichbare Messgenauigkeit von Energie und Zeit in der Quantenmechanik"

stimmt so nicht! Ausserdem steht diese Aussage im Widerspruch zum Folgenden Text.

NB: Die Heisenberg'schen Unschärfe-Relationen sagen nichts über Messungen

(oder "Unbestimmtheit") aus, sondern über die (Nicht-)Existens von ZUSTÄNDEN: --DD4Q (Diskussion) 18:10, 5. Mär. 2023 (CET)

Bezieht sich Deine Anmerkung wirklich auf die Energie-Zeit-Unschärfe (um die es hier allein geht), und nicht auf die anderen Unschärferelationen mit wirklichen Observablen? Und um welche Zustände würde es dann gehen? Hättest Du auch einen Textvorschlag? --Bleckneuhaus (Diskussion) 11:01, 6. Mär. 2023 (CET)

Kreisfrequenz

Was soll “Wegen des quantenmechanischen Zusammenhangs $E=\hbar \omega$ zwischen Energie und Kreisfrequenz $\omega$ …” heißen? Welcher quantenmechanische Zusammenhang? — Wassermaus (Diskussion) 02:44, 10. Nov. 2023 (CET)

Nach nochmaligem Nachdenken vermute ich: gemeint ist E=h.ny was aber nicht QM sondern Quantenphysik ist. — Wassermaus (Diskussion) 09:50, 10. Nov. 2023 (CET)

2 x richtig gedacht (ich glaube, der Satz war von mir). --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:48, 10. Nov. 2023 (CET)

Sorry, aber ich mag deine ganze Argumentation nicht. Du hast (sinngemäß) geschrieben: wegen $E=\hbar \omega$ (QM) lässt sich die Energie-Zeit-Unschärfe als Frequenz-Zeit-Unschärfe schreiben. Das ist das Pferd vom Schwanz aufgezäumt. Wenn ich eine Sinusschwingung über einen Zeitraum $\Delta t$ beobachte, sehe ich $\Delta t\cdot \nu$ peaks. (Oder $2\Delta t\cdot \nu$ peaks, wenn man max und min separat zählt). Da die Zahl der Peaks eine diskrete (natürlich) Zahl ist, messe ich eine Frequenzunschärfe von $\Delta \nu =1/\Delta t$. Und das hat rein gar nichts mit QM zu tun. Es gilt auch für die Akustik: Musikhalbtöne sind jeweils um den Faktor 2 hoch 1/12 entfernt. Um einen Halbton sauber zu identifizieren zu können, muss er im Bass länger gehalten werden als im Sopran. (Keine wilden Koloraturen im Bass) Die Argumentation müsste also anders herum lauten: Aus rein mathematischen Gründen ist $\Delta \nu =1/\Delta t$ (ggf. mit einem Faktor 2 bzw. 1/2). Und wenn wir jetzt das gequantelte Photon nehmen mit $\Delta E=h\cdot \Delta \nu$, bekommen wir eine Energie-Zeit-Unschärfe. -- Wassermaus (Diskussion) 19:57, 11. Nov. 2023 (CET)

Deine Anmerkung ist richtig, wenn man die Frequenzbestimmung aufs Abzählen ganzer Perioden reduziert. Zur Bestimmung der Frequenz ist prinzipiell aber jedes(!) endliche Zeitintervall auch geeignet, egal wie kurz, wenn man die Schwingung nur genau genug beobachtet. Mathematisch: für die Taylorentwicklung ist schon die Kenntnis in einer Epsilonumgebung genug, man muss nur alle Zeitableitungen darin bestimmen können. Hier geht es aber doch um eine physikalische Unschärfe, nicht um die Ungenauigkeit eines Schätzwerts. --Bleckneuhaus (Diskussion) 20:56, 11. Nov. 2023 (CET)

Da muss ich mich noch mal schlau machen. Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass ein Stück infinitesimal klein sein kann und trotzdem unbeschadet durch die Fouriertranformation kommt. Es geht nicht um “Schätzwert”. Und dass man in der Hochfrequenztechnik mit infinitesimal kleinen Teilstücken aus einer einzigen Sinusschwingung arbeitet, kann ich mir auch nicht vorstellen. Bei der Signalverarbeitung mit DFT jedenfalls gilt das Limit Delta f = 1 / Delta t, siehe Diskrete_Fourier-Transformation#Unschärfe-Relation_der_gleitenden_DFT. P.S. Kann es einen Attosekunden-Laserpuls geben mit Frequenz im Petahertz (1/Femtosekunde)-Bereich? Ich denke nicht. Wassermaus (Diskussion) 21:43, 11. Nov. 2023 (CET)

Na ja, ich erinnere mich (ungefähr) an eine Bestimmung einer Periodenlänge mit 7% Genauigkeit aufgrund der Beobachtung des sinusförmigen Verlaufs über etwa 1/8 Periode. (Anderson 1961, Larmorpräzession von angeregten F-19-Kernen).--Bleckneuhaus (Diskussion) 22:25, 11. Nov. 2023 (CET)

Ich müsste mir mehr Wissen aneignen. Aber ein wenig googlen auf die Schnelle: in [1] taucht eine Randbedingung $\Delta t\cdot \Delta \nu \geq 0{,}441$ auf und dieselbe Zahl auch in dem (qualitativ nicht berauschenden) englischen Wikipediaartikel en:Bandwidth-limited pulse auf. In beiden Fällen ist die Fourier-Analyse der Grund, von der Planck-Konstante redet hier keiner (es könnte also auch eine Schallwelle sein!). -- Wassermaus (Diskussion) 19:10, 12. Nov. 2023 (CET)

Das ist richtig, dass eine Funktion und ihre Fouriertransformierte so eine Unschärferelation für die Standardabweichungen erfüllen (auch wenn ich das in Fourier-Transformation nicht finde), ganz ohne \hbar. Das war, glaube ich, auch schon vorher bekannt und sollte nicht wie eine Folgerung der qm Unschärferelation daherkommen. Daher ändere ich den Text mal eben kurz entsprechend. --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:09, 12. Nov. 2023 (CET)

Danke. Du bekommst von mir einen Smiley: ☺ -- Wassermaus (Diskussion) 12:34, 13. Nov. 2023 (CET)

Zeit als verallgemeinerte Observable

Es ist richtig, dass bereits Pauli 1933 nachgewiesen hat, dass die Zeit in der QM nicht als Operator eingeführt werden kann. Für das Theorem liegen mehrere neuere Beweise vor, hervorzuheben etwa Srinivas/Vijayalakshmi, Pramana, Vol. 16, No. 3, 1981. Man muss aber beachten, dass diese Beweise sämtlich auf dem traditionellen Obervablen-Begriff beruhen, der bei Günther Ludwig das Konzept der "Entscheidungsobservable" genannt wird. Das sind Observablen, die über selbstadjungierte Mittelwertoperatoren eingeführt werden. Für solche Observablen lässt sich stets eine geeignete Menge von Entscheidungseffekt-Messungen (Ja/Nein-Messungen) finden, die durch Projektoren (nur 0 und 1 als Eigenwerte) dargestellt werden mit P² = P (Spektralsatz).

Günther Ludwig hat ein verallgemeinertes Observablen-Konzept eingeführt, bei dem der Spektralsatz umgekehrt wird und anstelle des projektionswertigen Maßes ein POV-Maß (positiv-operator-valued) zugrunde gelegt wird. Kurz gesagt bedeutet dies, dass man die Operatoren nicht mehr mit BLick auf die Mittelwertbildung einführt, sondern fordert, dass die Observable für ein Messverfahren steht, bei dem immer entscheidbar ist, ob ein Messwert in ein willkürlich ausgewähltes Skalensegment fällt oder nicht.

Relativ zu diesem Konzept gilt das Pauli Theorem nicht und in der Tat lässt sich dann auch ein Zeitoperator einführen, für den eine herkömmliche Unschärferelation zum Energieoperator besteht. Beispielhaft die Konstruktion des Operator K in G. Ludwig, Einführung in die Grundlagen der theoretischen Physik, Band 3, 1984, S. 295.

Folgendes ist dabei zu beachten: die Zeit kommt in der QM als Parameter t vor. Als Parameter t hat die Zeit in der QM eine steuernde Funktion. Als Operator kann sie hingegen eingeführt werden, wenn sie die Zeitmarken empirisch ermittelte Werte haben. Beispiel: Wir wirken zu vorgegeben Zeit t auf ein Experiment ein. Oder wir lesen zu vorgegeben Zeiten t Werte ab. Dafür ist der Parameter zuständig. Der (verallgemeinerte) Zeit-Operator macht etwas anderes: Wir emitieren ein Teilchen zum Zeitpunkt t1 aus einem Präparationsgerät und es trifft (empirisch) zur Zeit t2 auf einem Schirm auf. Dieses Intervall ist empirisch ermittelt. Für die Observable der "Reisezeit" lässt sich dann ein Zeitoperator konstruieren, der tatsächlich die Energie-Zeit-Unschärferelation in der üblichen Form erfüllt.

--176.199.88.49 21:58, 8. Jan. 2024 (CET)

Sehr interessant, aber deutlich oberhalb meiner Expertise. Daher kann ich nur fragen, ob das irgendwo weiter Schule gemacht hat, und - wenn ja - Dich ermutigen, selbst einen entsprechenden Absatz neu zu schreiben und einzupflegen (einen Entwurf meinetwegen auch hier erst diskutieren). WP:SM! --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:38, 8. Jan. 2024 (CET)

"Schule gemacht" ist ja ein dehnbarer Ausdruck, aber ja, der Ansatz der verallgemeinerten Observable wird von einigen theoretischen Physikern verfolgt, man findet unter dem Wiki-Eintrag "Günther Ludwig" entsprechende Namen.

Konkrekt zur Energie-Zeit-Unschärferelation: Um sie für die Observable Energie und und verallgemeinerten Observablen "Zeit" abzuleiten, kann man sich nicht mehr auf die Ableitung beziehen, die im Wiki-Eintrag für die verallgemeinerte Unschärferelation verwendet wird. Denn diese einfache Ableitung braucht das übliche projektionswertige Maß als Grundlage. Für Nicht-Entscheidungsobservablen muss man das sog. Dilatationstheorem heranziehen. Diese Ableitung findet man z. B. in R. Werner, J. Math. Physik 27 (3), März 1988.

Ein Zeitoperator ist eigentlich unentbehrlich. Man muss sich nur die richtigen Aufgaben stellen. Oben hatte ich diese "Reisezeit" oder "Ankunftszeit" erwähnt. Nicht zufällig wird in dem erwähnten Lehrbuch von G. Ludwig dafür die Observable K konstruiert (die genauer besehen ein solcher Zeitoperator ist, er hat die entsprechenden Kovarianzeigenschaften unter Zeittranslationen). Eine solche Ankunftzeit-Observable muss ein Zeitoperator sein. Man kann sich das durch einen Vergleich mit der klassischen Situation klarmachen. Wenn ich eine klassische "Ankunftzeit"-Rechnung durchführe (Galileischer Fallversuch - wann Schlägt die Kugel am Boden auf?), reicht der Parameter t nur deshalb aus, weil die Trajektorie im Phasenraum bereits die Information enthält, zu welchem Zeitpunkt die Kugel aufschlägt. Die in t parametrisch formulierte Dynamik liefert dann auf einfache Weise die Möglichkeit, diesen Zeitpunkt zu berechnen. Für ein vergleichbares quantenmechanisches Ankunftszeitexperiment (Ankunftszeitmessungen von Elektronen auf einem Schirm) ist die Situation im Zustandsraum ganz anders: es entwickelt sich eine Familie von Psi-Funktionen und jedes ψ_t (mit t aus dem Intervall t1 bis t2) liefert einen Beitrag zur Wahrscheinlichkeit, im Intervall t1 bis t2 ein Teilchen am Detektor zu registrieren. Der einzige Weg, die gesuchte Wahrscheinlichkeit anzugeben, ist also diese Beiträge "aufzusammeln". Genau das macht ein Zeitoperator ja in diesem Fall. Aber um ihn anzugeben (wie Ludwig das in seinem Lehrbuch tut), muss man den Begriff der Observablen erst verallgemeinern.

Der springende Punkt ist, dass man mit Hilfe des Spektralsatzes bei den traditionellen Observablen mathematisch direkt auf "Projektoren" geführt wird. Die Verallgemeinerung kehrt nun den Spektralsatz um (macht ihn zur Definition der Observablen), lässt aber statt der projektionswertigen Maße ein POV-Maß zu. Das ist eine Abschwächung an dieser Stelle und sie wird dadurch begründet, dass man zeigen kann, dass nicht alle digitalen Messverfahren (Ergebnis nur 0 oder 1) mathematisch durch eine Projektor dargestellt werden können. Wenn man also im Sinne der physikalischen Interpretation (s.o.) den Spektralsatz konstruktiv umgekehrt, muss man anstelle der Projektoren eine schwächere Forderung stellen. Das sind die POV-Maße. - Man hat sich die Projektoren an dieser Stelle (im Spektralsatz) quasi historisch "eingekauft", weil man beim Definieren der Observablen von den Mittelwert-Operatoren, also der gewünschten statistischen Aussage, her dachte.

Was könnte man hier in der Wiki machen? Eine ausführliche Darstellung der verallgemeinerten Observable kann man so einfach nicht leisten, weil dort die Auswirkungen dieser Änderung in vielen Aspekten beleuchtet werden müssten. Aber man könnte mit zwei Sätzen darauf verweisen, dass es durchaus Physiker gibt, die mit einem erweiterten Observablenbegriff arbeiten und hier Zeitoperatoren existieren.

Die Verwendung des verallgemeinerten Obersevablenbegriffs kann damit sogar begründet werden.

Ich möchte kein Autor der Wiki werden. Wie wäre es, wenn ich ein paar Sätze vorschlage und Du ergänzt einen Abschnitt, der diesen Hinweis enthält? --176.199.88.49 11:12, 9. Jan. 2024 (CET)

Herzlich gerne! Dir so etwas vorzuschlagen, war ich auch schon am Erwägen. Für die Arbeit an evtl. längeren Beiträgen könnte ich auch eine eigene Probierseite aufmachen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 11:40, 9. Jan. 2024 (CET)

Das Einflechten in die Wiki ist viel einfacher als gedacht. Es gibt im Eintrag "Observable" bereits eine Bemerkung, dass Zeitmessungen nicht in den traditionellen v. Neumann-Formalismus passen. Das ist genau das, was ich oben andeutete. Und außerdem gibt es einen von dort aus verlinkten Eintrag "POVM", wo das verallgemeinerte Observablen-Konzept präsentiert wird. Das ist zwar ein kurzer und wenig anwendungsbezogener Eintrag, aber die Mittel sind grundsätzlich in der Wiki vorhanden, um auf die Existenz einer Energie-Zeit-Unschärfe fundiert hinzuweisen. --176.199.88.49 20:55, 9. Jan. 2024 (CET)

Was hier eine "allgemeine formale Herleitung" genannt wird, ist nicht wirklich allgemein, sondern die Herleitung einer bestimmten Variante der Energie-Zeit-Unschärfe. Sie wird in der Literatur als "Mandelstam-Tamm"-ET-Unschärfe bezeichnet. Das Zeitintervall, das hierbei vorkommt, ist die sog. σ-Trennzeit (weil die Streuung oft mit diesem Buchstaben bezeichnet wird). Es geht also um die Zeitdauer bis sich der Erwartungswert einer Verteilung um deren Streuung verschoben hat. Da der Energieoperator in der QM der Generator der Zeitentwicklung ist, kann man für jede Observable A ableiten, dass das Produkt aus der Streuung des Energieoperators und der (linear extrapolierten) Trennzeit für diese Observable A größer als ħ/2 ist.

Das ist der Hintergrund dieser Abschätzung. Dass der Operator A dann entfallen soll und eine allgemeine "Trennzeit des Systems" an seine Stelle tritt, ist kritisch zu sehen. A. Messiah macht so etwas im Lehrbuch für QM 1 (S. 126 der 2. Auflage). Dabei versucht er die Abhängigkeit der Trennzeit von der Observablen A zu beseitigen, indem eine Minimumbildung über alle Obervablen erfolgt. Das ist fraglich, weil man zwei Bedingungen braucht, um von der linear extrapolierten Trennzeit auf die tatsächliche Trennzeit überzugehen und diese beiden Bedingungen gelten nicht für alle Observablen A.

Auf jeden Fall ist die Mandelstam-Tamm-Variante nicht die allgemeine Form, die allen anderen Varianten zugrunde liegt.

Eine allgemeine Ableitung funktioniert nur auf Basis eines verallgemeinerten Observablen-Begriffs. --176.199.88.49 21:53, 9. Jan. 2024 (CET)

Entwurf

Man müsste leider den ganzen Aufbau noch mal ändern.

Die "Einordnung" ist hier etwas umfangreicher, weil der Hinweis auf die Unterscheidung von Zeit als Parameter und Zeit als Operator auch verständlich gemacht werden muss.

Hier ein erster Entwurf, mit Bitte um kritische Durchsicht und didaktische Verbesserungen:

In vorläufiger Form wurde sie 1927 von Werner Heisenberg gefunden und mit der gleichzeitig gefundenen Unschärferelation für Ort und Impuls zunächst auf eine Stufe gestellt. Wie die Ort-Impuls-Unschärferelation ist die Energie-Zeit-Unschärferelation prinzipieller Natur und nicht eine Folge unzulänglicher Messungen. Die beiden Relationen zeigen aber innerhalb der Standard-Darstellung der Quantenmechanik grundsätzliche Unterschiede, die auch jeweils eine eigene Interpretation erforderlich machen: Während Ort und Impuls eines Teilchens stets als Observablen im v. Neumannschen Sinne auftreten, kommt die Zeit in der Quantenmechanik in der Regel nur als Parameter t vor und ist als solche keine Observable. Der traditionelle Observablenbegriff, wie er zuerst von John von Neumann formalisiert wurde, lässt die Bildung von Zeitoperatoren definitiv nicht zu. Dies ist Inhalt des sog. „Theorems von Pauli“ (1933): Wenn der selbstadjungierte Hamilton-Operator H halb-beschränkt ist, existiert kein selbstadjungierter Operator T, der die Kovarianzeigenschaft [H, T] = -iћ ỻ erfüllt (Einheitsoperator leider nicht im Symbolvorrat gefunden). Für diese Aussage gibt es mehrere neuere Beweise, siehe z. B. Srinivas/Vijayalakshmi (Pramana Vol. 16, No 3, 1981).

Soweit die Zeit in der QM als Parameter t verwendet wird, lassen sich dennoch Beziehungen zwischen der Energiestreuung und gewissen charakteristischen Zeitintervallen formulieren (hierauf bezieht sich der aktuelle Artikel).

Der traditionelle Observablenbegriff, welcher die Konstruktion von Zeit-Operatoren ausschließt, beruht allerdings auf einer Engführung des damit verknüpften (Wahrscheinlichkeits-)Maßes. Der (siehe) Spektralsatz liefert für selbstadjungierte Operatoren A für die Integral-Darstellung in eindeutiger Weise ein projektionswertiges Maß. Projektoren haben definitionsgemäß nur die Eigenwerte 0 und 1, stellen also im Sinne der v. Neumannschen Postulate „Ja/Nein-Entscheidungsmessungen" dar, mit denen sich die Observable mit Blick die Messpraxis mit beliebiger Genauigkeit approximieren lässt (als Riemannsche Summe). Es lässt sich nun aber zeigen, dass nicht jede digitale Messung sich als Projektor darstellen lässt (siehe etwa G. Ludwig, Einführung in der Grundlagen der theoretischen Physik, Band 3, S. 350ff., ²1984). Daher legt die physikalische Deutung des Spektralsatzes eine Verallgemeinerung des Observablenbegriffs nahe, bei der das projektionswertige Maß durch ein Maß ersetzt wird, welches für jede digitale Messung angegeben werden kann. Dies sind die (siehe) Positive Operator Valued-Maße.

In Folge der Ersetzung der projektionswertigen Maße durch ein POV-Maß kann (in Form der konstruktiven Umkehrung des Spektralsatzes) der Observablenbegriff allgemeiner definiert werden.

Auf Grundlage dieser erweiterten Observablen-Definition wird die Konstruktion von Zeit-Operatoren ermöglicht. Ein Zeit-Operator kommt zur Anwendung, wenn die Zeit innerhalb der physikalischen Fragestellung nicht als Parameter t fungiert (d. h. wo die Zeitpunkte nicht als Vorgabe dienen, etwa als Aufforderung zum Ablesen von Messwerten oder als Zeitpunkte der Einwirkung auf einen Versuchsablauf), sondern als Observable für empirische Zeitmesswerte. Als Beispiel sei die „Ankunftszeitsmessung“ auf einem Szintillationsschirm (Schirm-Observable) genannt, wie sie von G. Ludwig mit Hilfe einer Zeit-Operator-Konstruktion ermittelt wird (G. Ludwig, Foundations of Quantum Mechanics, Vol. 2, S. 269ff., 1985).

Grundsätzlich wird die Konstruktion eines Zeit-Operators in der QM erforderlich, wenn man experimentell nach empirisch begrenzten Zeitintervallen fragt. Weil in der klassischen Mechanik bei einer solchen Fragestellung die Zeitentwicklung einer Trajektorie im Phasenraum determiniert ist, reicht dort der Parameter t auch für solche Fragestellungen völlig aus. Das beruht letztlich darauf, dass die Information über den empirischen Ankunftszeitpunkt oder allgemein die Länge eines zu messenden Zeitintervalls bereits in den Trajektorien enthalten ist. Die Situation ist in der statistischen Theorie des quantenmechanischen Zustandsraums anders. Hier entwickelt sich eine Familie von Funktionen ψ_t und jedes ψ_t , t₁≤t≤t₂ liefert einen Beitrag zur Wahrscheinlichkeit, im Intervall [t_1, t₂ ] das gefragte Ereignis zu registrieren. Um diese Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, müssen alle Beiträge „aufgesammelt“ werden. Genau dies leistet ein dafür zu konstruierende Zeit-Operator.

Am Beispiel der Ludwigschen Schirmobservablen ("Ankunftszeitmessung") kann man die dabei resultierende Energie-Zeit-Unschärfe △Hψ △Tψ ≥ ћ/2 wie folgt interpretieren: Je schärfer die Teilchenzustand-Präparation an der Quelle bezüglich der Energie ausgeführt wird, desto stärker werden die Ankunftszeiten bezüglich des gleichen Zustands auf dem Schirm streuen (siehe R. Werner, Journal of Mathematical Physics 27 (3), 1986).

Die Abschnitte sollten dann neu sortiert werden. Ein Teil sollte die Varianten mit t als Parameter behandeln, ein anderer den Hinweis auf die Zeit-Operatoren.

--176.199.88.49 23:29, 10. Jan. 2024 (CET)

Genau so würde ich es auch vorschlagen. Die herkömmliche Darstellung muss erhalten bleiben, aber als ein Teil 1 eingeordnet, so dass ein Teil 2 mit Deinem Text und Belegen die nun wirklich erweiterte Darstellung beschreibt. In Benutzer:Bleckneuhaus/Sandkasten/Energie-Zeit-Unschärfe habe ich versuchsweise damit angefangen. Du bist herzlich eingeladen daran mitzuschreiben, zB den Hauptteil Deines Textes da anzuschließen. Wenn das ganze fertig ist, können wir sehehn, ob das alles unter meinem usernamen veröffentlicht werden soll und ich (zB in der Autorenstatistik) die ganze Ehre abkriege, oder ob Du Dir nicht doch einen account anlegen willst, damit ich die Urheberschaft nicht vortäuschen muss. Denn es bleibt dabei: richtig in die Sache einarbeiten kann ich mich mangels Vorbildung sicher nicht. Allerding kann ich auf mein jahrzehntelanges Kopfschütteln verweisen, dass die Zeit keine messbare Größe sein sollte - ja, was haben wir Experimentalisten denn all die Jahre eigentlich gemacht? Insofern hat mich diese Diskussion jetzt schon sehr beruhigt, danke. --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:40, 11. Jan. 2024 (CET)

Rundruf zur Begutachtung: bitte jetzt mal Benutzer:Bleckneuhaus/Sandkasten/Energie-Zeit-Unschärfe ansehen und kommentieren! --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:16, 13. Jan. 2024 (CET)

Entwurf fertig, denke ich, - bis auf evtl. Tippfehler. Nun bitte wirklich ansehen (@Blaues-Monsterle:, @Schuermann:, @Pyrrhocorax:, @Kein Einstein:, ping alle). Dann denke ich den aktuellen Artikel, entstanden unter der Expertise von IP 176.199.88.49, hierduch zu ersetzen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 18:19, 19. Jan. 2024 (CET)

Wie ist das mit dem Literaturverweis [11]? Ist das ein Rest, den ich (als Alternative zu Blatt/Weißkopf) stehenließ und hast du ihn bewusst eingefügt? --176.199.88.49 10:32, 31. Jan. 2024 (CET)

Hab ich wieder eingefügt, weil (für mich) extrem lehrreich. --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:10, 31. Jan. 2024 (CET)

Energieerhaltungssatz

Sollten wir noch zum Verhältnis "E-t-Unschärfe" und Energie-Erhaltungssatz etwas schreiben und dies ggf. mit dem Artikel "Vakuumfluktuation" verlinken, da die einzigen seriösen Quellen für eine entsprechende Redeweise nach meiner Sichtung aus dem Umfeld der QFT (virtuelle Teilchen) zu kommen scheinen? Eine Interpretation, wonach in der QM der Energieerhaltungssatz um den Betrag ΔE "verletzt" werden kann, wenn dies gemäß ΔEΔt ~ ћ auf die Zeit Δt beschränkt bleibt, ist mir aus der Literatur nicht bekannt. Wenn man bis auf die Plancksche Elementarzeit heruntergeht, wären dabei "Energiefreibeträge" von bis zu 1,22 x 10 ²⁸ eV verfügbar. Kurzzeitig könnten dann also mehr als 10 ²² reale Elektronen (Ruheenergie 0,51 MeV) existieren.

Die Stoßrichtung sähe aus meine Sicht so aus, dass dieser Zusammenhang allgemein nicht besteht, d. h. der Energieerhaltungssatz der QM nicht durch die Unschärferelation relativiert wird.

Grundsätzlich könnte dieser Gedanken bei allen Unschärferelationen auftauchen: wird der Impulserhaltungssatz durch die Orts-Impuls-Unschärfe aufgeweicht...? Es wäre ein Hinweis auf das Noether-Theorem in der QM denkbar (die kanonischen Transformationen der klassischen Mechanik entsprechen den unitären Abbildungen in der Quantenmechanik). --176.199.88.49 14:20, 1. Feb. 2024 (CET)

Siehe Wick, Gian Carlo. "Range of nuclear forces in Yukawa's theory." Nature 142.3605 (1938): 993-994. Bei Bedarf ein pdf. Auch: Elementare Teilchen, S. 424. Gerade keine Zeit für längere Antwort. --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:38, 1. Feb. 2024 (CET)

In den 30er Jahren gibt es viele Stimme, die einen so, die anderen so. Während Pauli noch das Neutrino postulierte, um den Energieerhaltungssatz zu retten, wird die Energieerhaltung Anfang der 30er Jahre auch gelegentlich in Frage gestellt. Heisenberg erwog die Verletzung des Energieerhaltungssatzes genauso wie Bohr. Wick ist einer von denen, die aus der Verletzung des Energieerhaltungssatzes ein Kriterium für die Virtualität machten (spätestens bei Heitler ganz explizit zu finden, aber auch Yukawa formulierte schon sinngemäß "energetisch verbotener Übergang, also nur virtuell...). Das hat sich am Ende wohl durchgesetzt. - Aber mir geht es ja um die Rolle der Energie-Zeit-Unschärfe dabei. Ich kenne in diesen Artikeln keinen Verweis darauf, dass man die Verletzung der Energieerhaltung im Rahmen der Unschärfe formuliert hat. Heisenberg war von BKS (virtuelle Oszillatoren) und Störungstheorie beeinflusst. --176.199.88.49 10:07, 2. Feb. 2024 (CET)

Oh, ich müsste mich auch erst wieder einlesen....Heisenberg und Bohr ruderten offenbar schon 1926 zurück und vertraten dann eine strikte Geltung des Energieerhaltungssatzes. Bohr schrieb 1925 einen Aufsatz, wo er den Erhaltungssatz wieder hochhält. Spätestens 1935 stimmt Heisenberg Wick zu. BKS war 1925 von Bothe/Geiger erfolgreich angegriffen worden. Wie er inzwischen zur Störungstheorie stand, kriege ich so schnell nicht raus.

Es kann aber sein, dass 1936 noch mal eine Wende kam, weil man ja irrtümlicherweise Yukawas virtuelle Teilchen in kosmischer Höhenstrahlung gefunden zu haben meinte. Da man jahrelang bei diesem Irrtum blieb, hatte man ein Teilchen in virtueller und realer Form vor sich, was den Status der virtuellen Teilchen als "reine mathematische Konstrukte" natürlich zweifelhaft erscheinen ließ.

Insgesamt wäre es daher besser - falls wir überhaupt darauf eingehen wollen - viel spätere Artikel zu nehmen. Man kann den Ausführungen von Wick nicht entnehmen, ob diese Sichtweise sich durchsetzte oder nicht. --176.199.88.49 14:23, 2. Feb. 2024 (CET)

Das Thema "Gebrauch der E-t-UR" finde ich relevant. Und Gebrauch a la Wick kommt (kam zu meiner Zeit) in Argumentationen häufig vor. Es geht dabei eben nicht um eine wirklich beobachtbare Verletzung von Erhaltungssätzen, sondern um ein "als - ob - Argument", auch immer mit dem Hinweis: "so könnte man es sich veranschaulichen". -Die BKS-Theorie ist doch menes Wissens sofort fallen gelassen worde, als Bothe&Co die Koinzidenz nach Comptonstreuung nachgewiesen hatten. / Auch dass "man ein Teilchen in virtueller und realer Form vor sich hatte", hat meines Wissens niemanden gewundert (oder weißst Du da anderes?) . Für Photonen hatte Fermi doch schon 1932 das Coulombfeld als "Wirkung" virtueller Teilchen erkannt. --Bleckneuhaus (Diskussion) 20:53, 2. Feb. 2024 (CET)

Es ging mir darum, dass in den Artikeln um 1930 (+/-5Jahre ) zwar die strikte Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes angezweifelt wird, dass aber dazu offenbar kein expliziter Gebrauch der E-t-UR gemacht wird. In dieser Zeit steht noch nicht fest, was man alles vom Bestand der klassischen Physik aufgeben muss und wenn, in welcher Form genau. Man denkt als den Energieerhaltungssatz direkt.

Ein argumentativer Bezug zur E-t-UR scheint erst später aufzukommen, sozusagen als "Schlupfloch", wenn man eigentlich schon das Festhalten am strikten Energieerhaltungssatz bestätigt hat.

Es sei denn, du hast einen entsprechenden Aufsatz gefunden, wo es anders aussieht.

Dass die Energie innerhalb eines begrenzten Intervalls Δt generell nicht eindeutig festgelegt ist, scheint mir auch kein sinnvoller Weg gewesen zu sein. Für einfache Fälle hat man ja eine Energie-Impuls-Beziehung, die dann Probleme verbreitet. Wäre die Energie nämlich innerhalb von Δt ganz grundlegend unscharf (und nicht nur im Sinne einer der E-t-UR-Varianten), wäre es in bestimmten Fällen auch der Betrag oder eine Komponente des Impulses, weil er/sie aus der Energie errechnet werden kann. Dann ergäbe sich eine fragwürdige Konstellation, wonach eine Ortsunschärfe Δx an einem Zustand zunächst Δp für den gleichen Zustand festlegt, und sich dann zusätzlich noch eine Unschärfe aus der Zeit Δt über die Energieunschärfe auf den Impuls überträgt. Dann wäre Δp ~ħ/Δx gar nicht vollständig. Im Heisenberg-Aufsatz von 1927 ist z. B. das Spalt-Experiment für den dargestellt. Auf den Spalt trifft eine ebene Welle, also Δp =0. Die Energie ist hier aus p bereits bekannt und dabei ist ΔE =0! Man braucht für diese Feststellung aber trotzdem nicht unendlich viel Zeit. Würde man umgekehrt die Energie nur im Rahmen von Δt mit der Genauigkeit ΔE hinbekommen, würde die Ermittelung der Impulskomponente auf dem legitimen Weg über die Ermittlung der zugehörigen Energie eine zusätzlich zeitlich bedingte (primär durch Δx bedingte) Unschärfe auf Δp übertragen, da ja die einschlägige Interpretation darauf wert legt, dass es nicht nur um praktische Messbarkeit, sondern eine Unschärfe am Objekt (oder dessen Wechselwirkungen mit dem Messprozess) geht. --176.199.88.49 22:06, 2. Feb. 2024 (CET)

Noch mal zuum "Als-Ob-Argument" und Wick. Da muss ich etwas ausführlicher werden, denn der Punkt „virtueller“ Zwischenzustände/Teilchen ist aus meiner Sicht eine wissenschaftshistorisch sorgfältig zu behandelnde Frage. Ich weiß nicht, ob es dazu eine entsprechende Aufarbeitung gibt. Es geht letztlich um die Frage, was genau die Autoren um 1930 für eine Intention hatten, wenn sie schrieben, der Energieerhaltungssatz werde bei den virtuellen Zuständen verletzt. Hier muss man beachten, dass sich eine Gedankenlinie "Verletzung/Einschränkung des Energieerhaltungssatzes" aus der allgemeinen Umbruchsituation der Atom- und Kernphysik, wie sie sich aus Rutherford/Bohr ergab, fortsetzt:

„Wie aus den bisherigen Betrachtungen hervorgeht, kann eine allgemeine Beschreibung der Phänomene, bei der Sätze der Erhaltung von Energie und Impuls in ihrer klassischen Formulierung im einzelnen gültig bleiben, nicht durchgeführt werden. Deshalb müssen wir darauf vorbereitet sein, dass Folgerungen aus diesen Sätzen keine unbegrenzte Gültigkeit besitzen werden." (Bohr, 1923)

In Anschluss an Bothe/Geiger schrieb Bohr dann zwar:

„Da nun die eindeutige Kopplung atomarer Prozesse schon bei den Strahlungserscheinungen Tatsache zu sein scheint, ist der in der Abhandlung eingeschlagene Weg wohl zu verlassen, was auch insofern befriedigend ist, als eine begrenzte Gültigkeit der Erhaltungssätze uns vor verschiedenartige Bedenken bei der Deutung der thermodynamischen Erscheinungen stellen würde.“ (Bohr, 1925)

Das war aber nicht die einzige offene Baustelle, wo es um Energieerhaltung ging. Chadwick stieß 1914 eine Entwicklung an, die über Ellis und Wooster (1927) bis zu Lise Meitner über das Jahr 1930 hinausreicht. Dabei ging es um die Verletzung der Energieerhaltung beim β-Zerfall. Als Meitner 1930 keine x-ray-Strahlung beim β-Zerfall fand, eröffnete sie erneut die Alternative: Aufgabe des Energieerhaltungssatzes oder Spekulation über ein unbekanntes, nicht auffindbares Teilchen. Bohr hat in diesem Zusammenhang die Position vertreten, dass die strikte Energieerhaltung aufgegeben werden müsse. Insofern waren seine einlenkenden Bemerkungen von 1925 nur ein Intermezzo, bezogen auf ein spezielles Thema. Als Pauli 1930 seine ad-hoc-Hypothese im Sinne der zweiten von Meitner dargelegten Möglichkeit aufstellte, fehlte noch jahrelang jede theoretische Beschreibung der Energien des Zerfallsprozesses unter Beteiligung eines später als „Neutrino“ getauften Teilchens. Diese energetisch Darstellung folgte erst 1934 durch Fermi. Ein experimenteller Nachweis des energetisch erfassten Neutrinos erfolgte in dieser Zeit gar nicht, sondern kam erst 1957.

Auf der Solvey-Konferenz 1933 stellt Pauli seine Hypothese dem viel diskutierten Bohrschen Vorschlag gegenüber, dass der Energieerhaltungssatz in der strikten Form aufgegeben werden solle (von Pauli selber als "verzweifelten Ausweg" präsentiert und theoretisch, wie gesagt, nicht ausbuchstabiert).

Diese Situation Anfang der 30er Jahre (noch dazu vor dem Hintergrund einer völlig neuen Theorie, die erst 1925-27 Form angenommen hat) muss man sich klarmachen: Es ging in dieser Zeit immer wieder ausdrücklich um die Frage, ob man den Energieerhaltungssatz in einer strikten Form aufrecht erhalten könne.

Und wenn in einer solchen Situation Autoren wie Yukowa, Wick, Tamm oder Heitler von Verletzung der Energieerhaltung im Zusammenhang der noch ungelösten Problemfälle sprechen, hat das nicht die gleiche Aussage als wenn das im Rahmen einer Theorie erfolgt wäre, in der ein strikter Energieerhaltungssatz bereits Konsens ist. Die heutige Sicht ist daher sicher ungeeignet, um diese Ausführungen der 1930er richtig zu verstehen.

Wenn Igor Tamm 1934 schreibt: „the energy of the system will be in general not conserved in the intermediates state“ oder Heitler schreibt: „(…) the word „virtual“ means that, in contrast to a real emission, energy need not to be conserved..“, dann ist das im damaligen historischen Kontext nicht automatisch ein „Realitätskriterium“ oder Verweis auf eine rein mathematische Struktur. Hier wird etwas über den Energieerhaltungssatz gesagt, nicht allein über die virtuellen Zustände. Es gab damals die Lesart, wonach Prozesse, die den Energieerhaltungssatz erfüllen, "beobachtbare" Prozesse sind und Prozesse, die den Erhaltungssatz nicht erfüllen, "unbeobachtbar" seien und diese Unterscheidung wurde auf der Grundlage getroffen, dass nicht für alle atomaren Prozesse ein Erhaltungssatz strikt gilt (sondern nur im statistischen Mittel, wie man das gerade ab 1927 neu zu verstehen begann. Die gerade zitierten Autoren schreiben ja in den gleichen Jahren, in denen von Neumann die aller erste „ordentliche“ Darstellung der QM liefert.)

Zur rein mathematischen Konstruktion werden die virtuellen Zustände vermutlich erst viel später. Ich bin aber bei einer Kurzrecherche gestern Abend auf keinen Aufsatz der 30er Jahre gestoßen, der in diesem Zusammenhang schon eine Energie-Zeit-Unschärfe bemüht hätte. Ich glaube, so etwas findet man später in Lehrbüchern, wenn ein Schlupfloch gesucht wird, nachdem sich der strikte Energieerhaltungssatz in der neuen Physik wieder etabliert hatte und die oben zitierten Aussagen nicht mehr als Aussagen über Details der Energieerhaltung aufgefasst werden konnten. --176.199.88.49 08:51, 3. Feb. 2024 (CET)

Bevor ich mich daransetzen könnte, einen Abschnitt "E-t-UR bei virtuellen Teilchen" zu entwerfen, brauche ich noch etwas Zeit. Dabei könnten folgende Punkte relevant sein:

• Was in 1930ern dazu gedacht worden sein mag, erschöpft das Thema nicht, denn heutiger Gebrauch ist wohl häufig, möglicherweise mit veränderter Sichtweise
• Ob Fermi 1932 wirklich schon Effekte virtueller Photonen gemeint hat, kann ich aus seiner damaligen RevModPhys-Arbeit leider nicht mehr so herauslesen wie ich das in Erinnerung hatte. Er hat longitudinale Komponenten des Vektorpotentials, und er hat (1932, letzte Seite) die Coulombenergie ruhender Ladungen. Andererseits schreibt Wick 1938 schon fast dasselbe, als ob es allgemein bekannt wäre. Ein Buch zur Geschichte der QED wäre gut.
• An jedem QFT-Vertex sind einige Erhaltungssätze gültig, der für Energie aber nicht.
• Bei der Herleitung der goldenen Regel "schält" sich die Energieerhaltung beim Integrieren über t heraus.
• Auch bei Virtuelle Teilchen mal nach dem rechten sehen. Die weltweit beste Erklärung fand ich vor Jahren hier.

--Bleckneuhaus (Diskussion) 22:00, 3. Feb. 2024 (CET)

Wäre es eine sinnvolle Maßnahme, die Reichweite des Artikels ausdrücklich auf die QM einzuschränken? --176.199.88.49 22:40, 3. Feb. 2024 (CET)

Das kommt eigentlich im Text schon ganz gut zum Ausdruck, aber man könnte in der Einleitung ergänzen:

"Als Energie-Zeit-Unschärferelationen in der Quantenmechanik werden Formeln bezeichnet, in denen die Ungenauigkeit...." --176.199.88.49 22:44, 3. Feb. 2024 (CET)

Je ein Artikel für QM- und QFT-Unschärferelationen kommt mir nicht angebracht vor. Eigene Absätze aber sicher. - Was hältst Du von der o.e. MattStrassler-Erklärung?--Bleckneuhaus (Diskussion) 16:34, 4. Feb. 2024 (CET)

Ich bin vielleicht zu ehrlich, aber ich kenne mich in der Materie nicht genug aus, um den Artikel in dieser Richtung auf dem gleichen Niveau zu erweitern. Ich habe keine ausreichende Grundlage, um die Ausführungen von Matt Strassler wirklich fachlich einzuordnen. Zweifellos sind sie didaktisch sehr hochwertig. Aber das lenkt mich nicht davon ab, dass damit auch fachliche Thesen verbunden sind, die stimmen müssen.

Schau dir die aktuellen Ausführungen zur Mandelstam-Tamm-Unschärfe an: Man muss jedes Detail berücksichtligen, um durchaus verbreitete (und oberflächlich betrachtet "zitierfähige") Versionen kritisieren zu können. Wann kann ich z. B. den Index A an der Trennzeit weglassen, wann nicht? Solche Detail-Kenntnisse als Basis zu haben, trennt letztlich fundierte theoretische Physik von populären oder sonstigen oberflächlichen Darstellungen.

Ich kann da leider nicht helfen, wenn es über die QM hinausgeht. --176.199.88.49 21:22, 4. Feb. 2024 (CET)