Diskussion:Euklidische Norm

Beträge

Sind die Betragsstriche um x_i unter der Wurzel nicht überflüssig? 89.27.215.101 17:02, 8. Jan. 2007 (CET)

Nein, da es so auch für komplexe Zahlen gilt. (nicht signierter Beitrag von 132.187.253.24 (Diskussion | Beiträge) 10:35, 11. Aug. 2009 (CEST))

Ich sehe den Sinn der Beträge nicht, da euklidische Normen nur für euklidische Vektorräume definiert sind und diese eben Vektorräume über dem Körper der reellen Zahlen sind. --Christian1985 18:11, 7. Jun. 2010 (CEST)

Weiterleitung

Wäre es nicht Sinnvoll, den kompletten Artikel zu Normierter_Raum#Vektornormen weiterzuleiten? --Nuke160 12:28, 5. Feb. 2010 (CET)

Den Gedanken hatte schon mal jemand, die Änderung wurde aber rückgängig gemacht. Du solltest mit dieser Idee also auf jeden Fall Rücksprache mit P. Birken halten. Auf den ersten Blick sehe ich auch keinen Mehrwert in diesem Artikel gegenüber einer Weiterleitung. -- Pberndt _(DS) 00:30, 7. Feb. 2010 (CET)

Ich habe den Artikel umgebaut und versucht den Unterschied zwischen 2-Norm und euklidischer Norm darzustellen. Außerdem denke ich, ist der Artikel Normierter Raum schon überfrachtet. --Christian1985 18:11, 7. Jun. 2010 (CEST)

Eine weitere Definition

Wie im Artikel bereits erwähnt wird, versteht man im reellen Standardraum R^n unter der euklidischen Norm häufig auch explizit die 2-Norm - also die durch das Standardskalaprodukt induzierte Norm. Genauer gesagt definiert man die euklidische Norm sogar als äquivalente Bezeichnung für die 2-Norm in reellen und komplexen Standardräumen. Dies lässt sich nun aber nicht mehr mit der allgemeinen Definition vereinbaren - schliesslich handelt es sich bei C^n nicht um einen euklidischen sondern um einen unitären Vektorraum (dies ist wohl dadurch zu erklären, dass das Standardskalarprodukt auch "euklidisches inneres Produkt" genannt wird und der unitäre (eig. nicht euklidische) Vektorraum C^n damit auch als euklidisch gilt). Quellen: Amann und Escher - Analysis 1 , Königsberger Analysis 2 (nicht signierter Beitrag von 46.126.193.28 (Diskussion) 08:59, 22. Dez. 2011 (CET))

Ich verstehe nicht ganz, was du meinst. Geht es darum, dass im Artikel die euklidische Norm nur für reelle, euklidische Vektorräume definiert wird und nicht für komplexe, unitäre? Ich habe deine Quelle leider nicht vorliegen. Wenn dort steht, dass man die Norm genauso für komplexe unitäre Vektorräume definiert, dann sollte man die Definition entsprechend erweitern. --Digamma 17:37, 22. Dez. 2011 (CET)

Nicht für unitäre Vektorräume allgemein, sondern explizit für den mit dem Standardskalarprodukt versehenen Raum C^n. Hier wurde der euklidische Innenproduktraum R^n ja einfach als Beispiel für einen euklidischen Vektorraum eingeführt. Wie ich aber eben nochmals nachgelesen haben, wird die euklidische Norm in der Analysis häufig auch einfach als die auf R^n und C^n definierte 2-Norm definiert (zweiteres lässt sich nicht mit der Definition, wie sie im Artikel steht, vereinbaren). Auf ersteres wird ja bereits in der Bemerkung aufmerksam gemacht. Am besten wäre es wohl, man würde einfach die Bemerkung erweitern: In manchen Fällen wird dann auch die durch das Standardskalarprodukt auf dem komplexen Vektorraum C^n definierte 2-Norm als euklidische Norm bezeichnet (obwohl ein solcher Skalarproduktraum nicht euklidisch ist). Ich habe übrigens gerade gesehen, dass wenn man bei google nach "euklidischer Norm" sucht, man unter den Links das google.books-preview von Königsberger Analysis 2 findet. Auf Seite 6 steht: " Die 2-Norm heisst auch für K=C (also auf C^n) "euklidsche Norm"". (nicht signierter Beitrag von 46.126.193.28 (Diskussion) 18:03, 22. Dez. 2011 (CET))

Ich habe mal die Definition so ergänzt, dass auch komplexe Vektorräume zulässig sind. Das entspricht dem Artikel Norm (Mathematik). Das Beispiel C^n müsste man noch ergänzen (das entspricht Norm (Mathematik)#Euklidische Norm). --Digamma 18:45, 22. Dez. 2011 (CET)

Aber ob das so richtig ist... Hast du eine Quelle, die belegt, dass auch die Normen unitärer Innenprodukträume euklidische Normen genannt werden? In ersten Band von Amann und Escher steht "die durch ein Skalarprodukt induzierte Norm nennt man "Hilbertnorm"". Sollten nun auch die durch die Skalarprodukte unitärer Vektorräume induzierten Normen "euklidische Normen" heissen, wären euklidische Normen nichts anderes als Hilbertnormen. Ehrlich gesagt, bezweifle ich das ...

Oh, du hast natürlich recht. Ich habe mich einfach auf den andern Wikipedia-Artikel verlassen. Ich weiß es nicht und habe keine Literatur da. Möglicherweise ist es auch eine Frage der Dimension: endlich oder unendlich. Aber das ist jetzt auch Spekulation --Digamma 21:52, 22. Dez. 2011 (CET)

Ich habe mich jetzt lange durch die Fachliteratur gekämpft und bin zu folgendem Schluss gekommen: Die euklidische Norm ist die durch das Standardskalarprodukt auf den Standardräumen R^n und C^n induzierte Norm. Nur in genau einem Vorlesungsskript (das relativ neu ist und das möglicherweise Informationen aus wikipedia enthält) wird die durch ein Skalarprodukt induzierte Norm (also unabhängig ob euklidisches oder unitäres Skalarprodukt) als euklidische Norm bezeichnet. In allen anderen Büchern und Skripten wird die euklidische Norm als die durch das Standardskalarprodukt induzierte Norm definiert - durch Skalarprodukte induzierte Normen werden allgemein als "Hilbertnormen" bezeichnet. Was aber noch entscheidender ist: Ich konnte keine einzige Quelle finden, in welcher die euklidische Norm als die durch euklidische (bzw. nicht-unitäre) Skalarprodukte induzierte Norm definiert wird. An der Korrektheit der vorherigen Version dieses Artikels zweifle ich also noch mehr, als an der Korrektheit der aktuellen Version. Es wäre gut, wenn jemand Quellen für die im Artikel formulierte Definition angeben könnte. Mein Urteil: Was der aktuelle Artikel beschreibt, ist die Hilbertnorm und nicht die euklidische Norm (Analysis 1 von Amann und Escher: "Eine von einem Skalarprodukt induzierte Norm nennt man auch Hilbertnorm"; ps: nein, der Innenproduktraum wird nicht als vollständig vorausgesetzt). Auch im Artikel über Normen liegt dieser Fehler vor, denn auch da werden die Begriffe "euklidische Norm" und "euklidischer Vektorraum" in direkte Verbindung gebracht. Obwohl die euklidische Norm korrekt (und im Widerspruch zu diesem Artikel) als die auf den Standardräumen R^n und C^n definierte 2-Norm eingeführt wird, steht da: "Ein mit der Euklidischen Norm versehener Vektorraum wird Euklidischer Raum genannt." Beim mit dem kanonischen Skalarprodukt versehenen Standardraum C^n handelt es sich aber um einen unitäre (und nicht euklidschen) Vektorraum. Ein euklidscher Vektorraum ist einfach ein über R definierter Innenproduktraum (wobei häufig noch vorausgesetzt wird, dass er endlichdimensional sein muss). (nicht signierter Beitrag von 46.126.193.28 (Diskussion) 05:35, 24. Dez. 2011 (CET))

Frage: Könntest du sagen, was für Bücher du durchforstet hast? Analysis- und Funktionalanalysis bücher legen naturgemäß andere Schwerpunkte als solche zur linearen Algebra oder Geometrie. Wer spricht von "Hilbertnormen"? Ich hätte gedacht, dass der Begriff auf Hilberträume beschränkt ist. --Digamma 10:30, 24. Dez. 2011 (CET)

Dazu müsste ich eine lange Liste erstellen. Ich habe sowohl die Standardwerke der Analysis, der Funktionalanalysis als auch der linearen Algebra nach einer deratrigen Definition der euklidischen Norm durchsucht - erfolglos. Die euklidische Norm ist immer die 2-Norm auf den reellen und komplexen Standardräumen. Leider wird in diesem Artikel keine Quelle angegeben und solange mir niemand eine solche nennen kann, ist es einfach falsch und unverantwortlich, den Artikel so stehen zu lassen. Zum Begriff "Hilbertnorm": Er wird nun selten verwendet, wird aber einheitlich als die durch ein Skalarprodukt induzierte Norm eingeführt - unabhängig von der Vollständigkeit des jeweiligen Skalarproduktraumes (der Ausdruck geht wohl einfach auf David Hilbert zurück und soll nicht auf einen Hilbertraum verweisen). Eine Quelle hierfür hab ich mit dem ersten Buch der dreiteiligen Analysis-Serie von Amann und Escher ja bereits genannt. Ob dieser Ausdruck erwähnenswert ist, sei dahingestellt, wichtig scheint mir einfach, dass über die Definition der "euklidischen Norm" Klarheit geschaffen wird. (nicht signierter Beitrag von 46.126.193.28 (Diskussion) 23:13, 28. Dez. 2011 (CET))

Hallo nochmal. Ich möchte noch darauf hinweisen, dass eine Korrektur dieses Artikel auch deshalb wichtig ist, weil sonst der Abschnitt "Euklidische Räume in der Topologie" im Artikel "euklidischer Raum" missverstanden werden kann. Gemeint sind da nämlich euklidische Räume im Sinne der dritten im Artikel angebotenen Definition - also euklidische Standardräume. Deshalb wird die auf R^n definierte euklidische Norm auch sofort als 2-Norm verstanden - nach der hier zu findenden Definition wären auf R^n auch andere euklidischen Normen möglich. Weiter wäre im Satz

durch die euklidische Norm wird jeder euklidische Vektorraum zu einem normierten Raum und dadurch zum klassischen Beispiel eines topologischen Vektorraums.

"euklidscher VR" durch "euklidischer Raum" zu ersetzen. Wenn man übrigens den Begriff "euklidischer Raum" gemäss dritter Definitonsvariante (d.h. als mit dem kanonischen Skalarprodukt versehener Standardraum) interpretiert (also nicht synonym zu "euklidischer Vektorraum" verwendet) und diesen Artikel wie eben erklärt überarbeitet, verschwindet der von mir weiter oben genannte "Fehler" im Artikel "Norm". (nicht signierter Beitrag von 46.126.193.28 (Diskussion) 00:47, 30. Dez. 2011 (CET))

Die Diskussion hier hat mich etwas verwirrt. Habe nun daher auch mal in Bücher geschaut und werde kurz die teilweise redundanten Ergebnisse zur Definition der euklidischen Norm hier darlegen:

• Lexikon der Mathematik: $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ist ein euklidischer Vektorraum, also ein endlichdimensionaler, $\mathbb {R}$-Vektorraum mit Skalarprodukt, dann ist die Norm als $\|\cdot \|:={\sqrt {\langle \cdot ,\cdot \rangle }}$ definiert.
• Amann & Escher: Analysis 1: $\mathbb {K} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ aus diesem wird dann die euklidische Norm $\|\cdot \|:={\sqrt {\langle \cdot ,\cdot \rangle }}$ induziert.
• Alt: Lineare Funktionalanalysis: Genauso wie in Amann und Escher;
• Königsberger: Analysis 1: Ebenfalls wie Amann und Escher;
• R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications: $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ aus diesem wird dann die euklidische Norm $\|\cdot \|:={\sqrt {\langle \cdot ,\cdot \rangle }}$ induziert.
• Heuser: Funktionalanalysis: Genauso wie R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu;

Ja es ist wohl richtig, dass die Definition aus dem Lexikon der Mathematik sehr alleine unter den anderen hier aufgeführten Definitionen steht. --Christian1985 (Diskussion) 14:20, 4. Jan. 2012 (CET)

(BK) Ich habe mich mal ein wenig durch die Literatur gewühlt. Man muss ein bischen aufpassen, weil viele einführende Bücher nur den reellen und/oder nur den endlich-dimensionalen Fall behandeln. Der Begriff "Euklidische Norm" wird jedenfalls verwendet als induzierte Norm von

• dem Standardskalarprodukt für endlich-dimensionale reelle Vektoren: Barner, Flohr Hildebrandt
• dem Standardskalarprodukt für endlich-dimensionale reelle oder komplexe Vektoren: Königsberger Amann, Escher Liesen, Mehrmann
• einem allgemeinen Skalarprodukt für beliebige reelle Vektoren: Bronstein Beutelsbacher
• einem allgemeinen Skalarprodukt für beliebige reelle oder komplexe Vektoren: Überhuber Scheja, Storch

Die letztere, allgemeinste Bedeutung habe ich allerdings nicht sonderlich oft gefunden. Im dtv-Atlas gibt es die Euklidische Norm auch für Funktionen, insofern scheint der Begriff durchaus auch für unendlich-dimensionale Vektorräume verwendet zu werden, wenngleich auch relativ selten. Viele Grüße, --Quartl 15:24, 4. Jan. 2012 (CET)

@Christian1985: wo wird denn im Bronstein auf den endlich-dimensionalen Fall eingeschränkt? Gerade auf der Seite davor wird der Fall unendlich-dimensionaler reller Vektorräume diskutiert. Viele Grüße, --Quartl 15:33, 4. Jan. 2012 (CET)

Huch?? In den Bronstein habe ich doch gar nicht reingeschaut! --Christian1985 (Diskussion) 15:35, 4. Jan. 2012 (CET)

Oh, dann habe ich dein "Lexikon der Mathematik" mit dem "Taschenbuch der Mathematik" verwechselt. Sorry, --Quartl 15:41, 4. Jan. 2012 (CET)

Was sich feststellen lässt: Die absolute Mehrheit versteht unter der euklidischen Norm die durch das Standardskalarprodukt induzierte Norm. Einige beschränken sich dabei auf das reelle Standardskalarprodukt, andere erweitern die Definition auf das komplexe Standardskalarprodukt. Nennen wir dies die "Definition 1" und die "Definition 2".

Nun zu den obigen Ausnahmen: Beutelsbacher und Bronstein definieren die euklidische Norm tatsächlich als die durch ein beliebiges euklidisches Skalarprodukt induzierte Norm. Diese Definition - nennen wir sie "Definition 3" - stellt eine weitere Verallgemeinerung der Definition 1 dar. Ob sich das Zitat aus dem Lexikon der Mathematik ebenfalls hier einordnen lässt kann ich nicht sagen, denn in diesem Zitat wird ja nie vom Begriff "euklidische Norm" Gebrauch gemacht (ps: ob endlichdimensional oder nicht sollte hier nicht zum Thema werden, denn bereits der Begriff "euklidischer Vektorraum" wird diesbezüglich unterschiedlich definiert).

Der vierten Definition ("Definition 4"), nämlich der Definition der euklidischen Norm als durch ein beliebiges Skalarprodukt induzierte Norm, steh ich immer noch etwas skeptisch gegenüber. Denn: Im computer-Numerik Buch von Überhuber wird zwar nicht explizit von einem reellen Vektorraum gesprochen, aber das Skalarprodukt wird zwei Seiten davor explizit für reelle Vektorräume eingeführt und auch sonst (etwa in den Beispielen) scheint man sich nur auf reelle Vektorräume zu beschränken. Mit ziemlicher Sicherheit ist auch hier ein euklidischer Vektorraum gemeint, so dass es sich hier eher um eine Bestätigung der Definition 3 handelt. Was ich ausserdem etwas seltsam finde: Abgesehen davon, dass die p-Normen als l_p-Normen bezeichnet werden (erstere werden für gewöhnlich für Tupel, zweitere für Folgen definiert), wird die euklidische Norm in ihrer Definition mit einer tiefgestellten 2 gekennzeichnet. Das ist doch eigentlich typisch für die 2-Norm und so ist es dann auch im nachfolgenden Beispiel: Die durch das Standardskalarprodukt induzierte Norm erhält eine tiefgestellte 2 und die durch ein beliebiges euklidisches Skalarprodukt induzierte Norm ein tiefgestelltes B. Das macht irgendwie keinen Sinn.. Nun zum Buch von Buch von Scheja und Storch: Achtung, auch hier wird die euklidische Norm nicht als durch ein beliebiges Skalarprodukt induzierte Norm definiert! Viel mehr wird hier die Definition 2 verallgemeinert: Man lässt zwar beliebige reelle und komplexe Vektorräume zu, definiert die euklidische Norm (und damit das zugehörige Skalarprodukt) aber mit Hilfe einer beliebig gewählten Basis als die durch das Standardskalarprodukt des zugehörigen Koeffizientenraumes inudzierte Norm - d.h. man identifiziert erst den gegebenen reellen oder komplexen Vektorraum mithilfe einer Basis mit dem zugehörigen Koeffizientenraum und definiert die euklidische Norm dann über das Standardskalarprodukt (eine Einschränkung auf endlich-dimensionale VR ist übrigens nicht nötig). Damit haben wir eine fünfte Definition (Definition 5), da für Definition 4 nun aber keine Quelle mehr vorhanden ist, fällt sie weg.

Ich empfehle folgenden Artikel-Aufbau:

Im Hauptabschnitt wird die euklidische Norm als die durch ein Standardskalarprodukt induzierte Norm definiert. Dabei ist zu erwähnen, dass sie häufig auch nur für reelle Standardräume definiert wird (Definition 1) bzw. die Definition manchmal auch auf komplexe Standardräume erweitert wird (Definition 2). In einem zweiten Abschnitt wird dann die Definition 2 gemäss Scheja und Storch auf beliebige reelle und komplexe Vektorräume erweitert (Definition 5). In einem dritten Abschnitt wird schliesslich noch auf die Definition 3 verwiesen, also erwähnt, dass die euklidische Norm manchmal auch einfach als die durch ein beliebiges euklidisches (bzw. nicht-unitäres) Skalarprodukt induzierte Norm definiert wird. (nicht signierter Beitrag von 46.126.193.28 (Diskussion) 19:52, 4. Jan. 2012 (CET))

Hm, die Frage ist ob man nicht besser zu Definition 3+4 einen eigenen Artikel Hilbertnorm oder Induzierte Norm schreibt und in den beiden Artikeln dann erwähnt, dass man den Allgemeinfall zumindest im Reellen manchmal auch Euklidische Norm nennt. Ansonsten hängt in diesem Artikel beispielsweise der Abschnitt zur Parallelogrammgleichung, der ja für alle induzierten Normen und nicht nur für Euklidische gilt. Gut, man kann ihn natürlich einschränken, aber wäre an sich eine unnötige Einschränkung. Wir haben auch noch einen Artikel Betrag (Vektor), der sich leider noch etwas drumrum drückt, welchen der obigen Fälle er genau behandelt, da dort die Begriffe Vektor und Euklidischer Raum nicht näher spezifiziert sind. Viele Grüße, --Quartl 10:55, 5. Jan. 2012 (CET)

Ich kenne den Begriff Hilbertnorm nicht. Aber so wie ich die Diskussion hier lese, gibt es wohl Autoren, die den Begriff verwenden. Ich finde beide hier geäußerten Vorschläge gut, das wichtigste ist ja, dass sich die Quellenlage zu dem Thema verbessert und die unterschiedlichen Definitionen durchdiskutiert werden. --Christian1985 (Diskussion) 11:33, 5. Jan. 2012 (CET)

Hinweis auf Bündelung der Diskussion: Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Länge/Norm/Betrag eines Vektors. --Quartl 12:06, 5. Jan. 2012 (CET)

@46.126.193.28: Ich finde den Vorschlag gut. Möchtest du den Artikel überarbeiten? Ich werde dann den Artikel Euklidischer Raum anpassen.

@Quartl: Ich habe Schwierigkeiten mit den Bezeichnungen. "Hilbertnorm" ist ganz sicher sehr selten und wird vermutlich vorwiegend bei Funktionenräumen benutzt. Ich habe den Begriff jedenfalls noch nie vorher gehört. "Induzierte Norm" kann meines Erachtens nicht für sich alleine stehen, sondern nur als "von einem Skalarprodukt induzierte Norm". Denn "induzieren" kann alles mögliche bedeuten. In der Differentialgeometrie spricht man z.B. von der auf einer Untermannigfaltigkeit induzierten Riemannschen Metrik. In diesem Sinn hätte ich auch "induzierte Norm" zunächst verstanden: Als die von einer Norm auf einem Untervektorraum induzierte Norm.

Zum Artikel Betrag (Vektor): Der zielt eher auf den Betrag von vektoriellen physikalischen Größen.

Noch ein paar allgemeine Überlegungen zur Begriffsbildung: In der mehrdimensionalen Analysis wird in aller Regel als euklidischer Vektorraum nur der Koordinatenraum $\mathbb {R} ^{n}$ (evtl. noch $\mathbb {C} ^{n}$) mit dem Standardskalarprodukt betrachtet (so bei Barner-Flohr und auch bei Hildebrandt, bei dem sich alle Begriffe mit "euklidisch" auf den $\mathbb {R} ^{n}$ mit Standardskalarprodukt beziehen. Wenn die Autoren von Analysis-Büchern nur die durch das Standardskalarprodukt induzierte Norm als euklidische Norm bezeichnen, so spiegelt das einfach die Einschränkung des Fokus wieder. Autoren von Büchern über Lineare Algebra interessieren sich hingegen in der Regel sowieso nur für eine Norm, nämlich die durch das Skalarprodukt induzierte. Entsprechend schreiben sie einfach "die Norm". Ganz typisch bei Beutelsbacher: er wählt als Abschnittsüberschrift "Euklidische Norm", in der Definition selbst ist aber nur von "eine Norm" die Rede. Bronstein ist von den genannten Quellen die einzige, die die gesamte Mathematik im Blick hat. --Digamma 12:09, 5. Jan. 2012 (CET)

Zur Verwendung von "Hilbertnorm":

• von einem Skalarprodukt abgeleitete Norm: Amann, Walter Amann, Escher
• vom Standardskalarprodukt für komplexe Funktionen abgeleitete Norm: Barner, Flohr
• synonym zu Spektralnorm: Schaback, Wendland

Ich stimme zu, dass der Begriff "Hilbertnorm" relativ selten verwendet wird und der Begriff "induzierte Norm" doppeldeutig ist. Bei der Gelegenheit habe ich auch noch den Begriff

• "Skalarproduktnorm": Kosmol, Gerhardt, Wolff, Gloor, Richard

gefunden, der allerdings auch nicht häufiger ist. Andererseits ist Von einem Skalarprodukt induzierte Norm als Lemma unbrauchbar, hm. Mit deinem zweiten Teil stimme ich auch zu, je nach Sichtweise und Zielsetzung werden die Begriffe anders verwendet, das hatte ich oben einleitend schon versucht zu sagen. Betrag (Vektor) sollten wir besser seperat in der QS diskutieren. Viele Grüße, --Quartl 13:48, 5. Jan. 2012 (CET)

Ich habe mal den Artikel (hoffentlich) im Sinne der obigen Diskussion überarbeitet. Gibt es dazu noch Verbesserungsvorschläge? Viele Grüße, --Quartl 17:32, 11. Jan. 2012 (CET)

Ein Problem mit der Definition von Scheja, Storch ist, dass die dortige Euklidische Norm nicht notwendigerweise eine Norm ist. Ist die Mächtigkeit der Indexmenge $I$ unendlich, kann die Norm auch unbeschränkt sein. Entweder man schränkt den Raum ein (wie im Fall des ℓ²) oder man wählt eine endliche Indexmenge. Ich denke, der Folgenraum ist schon der Grenzfall, ab dem man meist nicht mehr von Euklidischer Norm spricht (man spricht auch nicht vom Standardskalarprodukt auf Folgen), insofern ist die grundsätzliche Zuordnung Euklidische Norm = die vom Standardskalarprodukt im $\mathbb {R} ^{n}$ oder $\mathbb {C} ^{n}$ induzierte Norm im Grunde genommen schon ganz in Ordnung. Insofern kann man Definition 5 auch knicken und evtl. irgendwo im Text nochmal auf die Frage der Basiswahl eingehen. Viele Grüße, --Quartl 11:20, 13. Jan. 2012 (CET)

Die Kritik an der Definition von Scheja und Storch versteh ich ehrlich gesagt nicht ganz. Dass sie für endlichdimensionale R- und C-Vektorräume "funktioniert", scheint ja klar zu sein. Zu deinem Einwand bzgl. unendlichdimensionaler Vektorräume bzw. einer unendlichen Indexmenge I: Gemäss Definition einer Basis muss sich ja jeder Vektor in eindeutiger Weise als Linearkombination der Basismitglieder schreiben lassen. Linearkombinationen sind Summen, enthalten also bereits gemäss Definition nur endlich viele von Null verschiedene Summanden. Wenn also I unendlich ist, sind einfach immer fast alle Koeffizienten gleich Null. ... Irgendwie versteht ich deinen Einwand nicht so ganz. Die so definierte Norm erfüllt doch alle drei Normaxiome? --46.126.193.28 00:22, 15. Jan. 2012 (CET)

Ist der Vektorraum unendlich-dimensional, dann hat auch eine Basis des Vektorraums unendlich viele Elemente und ein Element des Vektorraums wird durch eine Linearkombination mit unendlich vielen Summengliedern ungleich Null dargestellt, siehe Schauderbasis. Nimm beispielsweise die Fibonacci-Folge 1,1,2,3,5,8,13,... und als Basis für den Folgenraum die Folgen (1,0,0, ...), (0,1,0, ...), (0,0,1, ...), ..., dann sind sind alle Koeffizienten ungleich Null. Die Fibonacci-Folge liegt nicht in l², deswegen ist die Euklidische Norm für sie Unendlich. Man muss den Raum einschränken, ich nehme an, Scheja, Storch hatten hier den endlich-dimensionalen Fall im Kopf. Auf die Basiswahl kann man aber gerne noch im Artikel eingehen, momentan steht da nur ein kurzer Satz zur isometrischen Isomorphie. Viele Grüße, --Quartl 08:12, 15. Jan. 2012 (CET)

Quartl, ich glaube Du verwechselst hier etwas. Die normale Basis eines unendlichdimensionalen Vektorraums ist die Hamelbasis. Diese ist bei Banachräumen immer überabzählbar und man kann mit ihr jedes Element des Vektorraums durch eine (endliche) Linearkombination ausdrücken. Der Begriff Linearkombination ist sogar als endlich Summe definiert. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 08:52, 15. Jan. 2012 (CET)

Ah, ok. Dann passt es. Führt man diesen Fall dann am besten bei den Verallgemeinerungen auf? Viele Grüße, --Quartl 10:08, 15. Jan. 2012 (CET)

Ja, ich würd dies bei den Verallgemeinerungen aufnehmen. Es handelt sich ja um eine unmittelbare Fortsetzung des bisherigen Prinzips (durch Standardskalarprodukt induzierte Norm). Die andere "Verallgemeinerung" würd ich hingegen nicht als Verallgemeinerung aufführen, sondern in einem zusätzlichen Hinweis bzw. einer Bemerkung unterbringen (sie hat nichts mit der ursprünglichen Definition gemein und steht sogar im Widerspruch zum Fall C^n). Gruss --46.126.193.28 16:54, 15. Jan. 2012 (CET)

So, ist jetzt drin. Die andere Verallgemeinerung habe ich trotzdem noch in dem Abschnitt gelassen, auch wenn sie nur eine Verallgemeinerung des rellen und nicht des komplexen Falls ist. Viele Grüße, --Quartl 14:07, 16. Jan. 2012 (CET)

Überarbeitung vom 11. Januar 2012

Insgesamt gefällt mir die Überarbeitung sehr gut. Ein paar Anmerkungen:

Beim komplexen Skalarprodukt gibt es zwei Konventionen, welcher Faktor konjugiert wird. Es wurde hier vor einiger Zeit diskutiert und das Fazit war, wie ich es sehe: Die Physiker benutzen durchweg die Konvention, dass der erste Faktor konjugiert wird. Die Mathematiker tendieren eher dazu, dass der zweite Faktor konjugiert wird, aber es wird nicht einheitlich gehandhabt, und aus mathematischer Sicht ist es im Grunde egal. Aufgrund dieser Diskussion habe ich versucht, die Artikel in dem Sinn zu vereinheitlichen, dass als primäre Definition immer die Physikerversion verwendet wird. Dies betrifft z.B. die Artikel Skalarprodukt, Prähilbertraum und Sesquilinearform. Ich schlage deshalb vor, es hier auch so zu handhaben.

Die angegebene Polarisationsformel stimmt so nur im reellen Fall. Ich denke, wir müssen uns hier nicht um Vollständigkeit bemühen, die entsprechenden Artikel sind ja verlinkt. Ich habe deshalb nur ergänzt, "im reellen Fall".

Im zwei- und dreidimensionalen Fall werden Vektoren einfach als Tupel (Paare, Tripel) geschrieben. Das kann und sollte im n-dimensionalen Fall auch so sein. Eine Unterscheidung zwischen Spalten- und Zeilenvektoren (das sind ja eigentlich einspaltige bzw. einzeilige Matrizen) ist hier nicht nötig. Ich habe deshalb das "^T" entfernt.

Ich glaube die Mehrheit der Autoren hier ist der Meinung, dass ":=" nicht benutzt werden soll, weil es für viele nicht verständlich ist. Dass eine Gleichheit eine Definition ist, sollte immer aus dem Text hervorgehen. --Digamma 21:46, 11. Jan. 2012 (CET)

Geht grundsätzlich alles ok, ich habe nur in den Normartikeln (Kategorie:Norm (Mathematik)) recht konsistent den zweiten Faktor konjugiert, meinetwegen kann man aber gerne alles umklappen. Das Definitionssymbol finde ich aber zur Unterscheidung was neu ist, also was in diesem Artikel definiert wird, und was alt, also in anderen Artikeln definiert wird, gar nicht so schlecht. Viele Grüße, --Quartl 22:10, 11. Jan. 2012 (CET)

Hier stimmt was nicht:

"Mit Hilfe der Euklidischen Norm kann nun zwischen Vektoren $v,w\in V$ durch

$d(v,w)=\|v-w\|_{2}={\sqrt {|v_{1}-w_{1}|^{2}+\cdots +|v_{n}-w_{n}|^{2}}}$

eine Metrik, die Euklidische Metrik, definiert werden. Jeder endlichdimensionale Euklidische Vektorraum ist zu diesem isometrisch isomorph.

--Digamma 22:50, 11. Jan. 2012 (CET)

Der Satz stammt noch aus der alten Version. Gemeint ist der Koordinatenraum. Grüße, --Quartl 22:59, 11. Jan. 2012 (CET)

Der Artikel ist schon wesentlich besser, jedoch bin ich mit einigen Sachen nicht wirklich einverstanden. Da die Thematik mehrere Artikel betrifft, hab ich hier mal einen Vorschlag verfasst, der von diesem Artikel ausgeht und der gleich mehrere Artikel betrifft. (nicht signierter Beitrag von 46.126.193.28 (Diskussion) 19:46, 12. Jan. 2012 (CET))

Ich habe jetzt den Artikel nochmal etwas umstrukturiert und insbesondere den rellen und den komplexen Fall separat aufgeführt, was den Lesern, die weniger mit komplexen Zahlen vertraut sind, wohl entgegenkommt. Ich hoffe, die Änderungen gehen in Ordnung. Viele Grüße, --Quartl 13:49, 24. Jan. 2012 (CET)

Winkel

Gibt es Winkel im komplexen Fall? Die Definition im Text ist zumindest auch für diesen Fall formuliert.

Im reellen Fall müssen die Betragsstriche wegfallen, sonst sind Winkel zwischen Vektoren immer spitz. --Digamma 19:16, 24. Jan. 2012 (CET)

Ja, du hast recht, das hatte ich falsch aus einem anderen Artikel übernommen. Bei der Gelegenheit habe ich dann auch das Winkelsymbol entsorgt. Viele Grüße, --Quartl 19:45, 24. Jan. 2012 (CET)

Interessanterweise habe ich mittlerweile auch Definitionen eines "Winkels" zwischen komplexen Vektoren gefunden, genau über

$\cos(\varphi )={\frac {|\langle v,w\rangle |}{\|v\|_{2}\|w\|_{2}}},$

was dann tatsächlich auch zwischen $0$ und $\pi /2$ liegt, oder über

$\cos(\varphi )={\frac {\operatorname {Re} \langle v,w\rangle }{\|v\|_{2}\|w\|_{2}}},$

was dann wieder Werte zwischen $0$ und $\pi$ ergibt. Inwieweit diese Definitionen praktisch relevant bzw. relevant für die Artikel sind, kann ich allerdings nicht sagen. Viele Grüße, --Quartl 10:51, 23. Feb. 2012 (CET)

Für diesen Artikel ist es sicher irrelevant, da es hier ja nur um die Norm geht.

Und sonst? Wenn ich die Definitionen richtig verstehe, dann ist es bei der ersten so, dass der Winkel zwischen zwei Vektoren, die linear abhängig sind (über $\mathbb {C}$), 0 ist. Bei der zweiten werden die komplexen Vektorräume als reelle aufgefasst. Der Realteil des komplexen Skalarprodukts ist ein reelles Skalarprodukt. --Digamma 11:08, 23. Feb. 2012 (CET)

Ja, wie gesagt, über den genauen Sinn dieser Definitionen, außer dass man gerne "Winkel" im Komplexen definieren möchte, bin ich mir nicht im Klaren. Ich dachte eher an Skalarprodukt#Norm, Winkel und Orthogonalität oder Winkel#Verallgemeinerungen, aber möglicherweise führt das tatsächlich zu weit. Viele Grüße, --Quartl 11:38, 23. Feb. 2012 (CET)

PS: Offenbar gibt es da einen ganzen Zoo an Definitionen. [1] Viele Grüße, --Quartl 11:55, 23. Feb. 2012 (CET)

Für die zweite Definition von oben gilt dann immerhin der Kosinussatz. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:25, 10. Jun. 2013 (CEST)

Standardnorm

Warum wird nur diese eine o.g. nicht weitergeleitet, obwohl es ebenfalls ein adäquater Begriff dafür ist? Gruß -- 217.224.230.224 11:21, 26. Nov. 2014 (CET)

Vermutlich weil sich noch niemand die Mühe gemacht hat, eine Begriffsklärungsseite einzurichten, denn der Begriff „Standardnorm“ wird auch in anderen Bedeutungen von Norm verwendet. Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:34, 26. Nov. 2014 (CET)