Diskussion:Euler-Rodrigues-Formel

Drehmatrix in Euler-Parameter umwandeln

Der Abschnitt "Parameter einer Drehmatrix" zeigt, wie man eine gegebene Drehmatrix $\mathbf {Q}$ in die Euler-Parameter $a,b,c,d$ umwandeln kann. Allerdings wird $a$ jeweils mit beiden Vorzeichen angegeben und es wird behauptet man muesse am Ende beide Varianten vergleichen, um das korrekte Vorzeichen zu ermitteln. Man kann zeigen, dass das positive Vorzeichen stets korrekt ist. Man koennte also ueberall $\pm$ durch $+$ ersetzen und den letzten Satz in diesem Abschnitt streichen.

Der beschriebene Algorithmus listet effektiv vier verschiedene Faelle auf: (1) Alle Diagonalelemente sind positiv, (2/3/4) Das 1./2./3. Diagonalelement ist das groesste. Die Fallunterscheidungen sind notwendig, da man stets garantieren muss, dass der Ausdruck unter der Wurzel nicht-negativ ist.

Die Korrektheit des Algorithmus' (mit positivem Vorzeichen fuer $a$) laesst sich elementar zeigen. Definiere $\mathbf {R} (a,b,c,d)={\begin{pmatrix}...\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3\times 3}$ so wie im Einleitungs-Abschnitt. Sei dann $\mathbf {Q} \in \mathrm {SO} (3)$ eine beliebige Rotationsmatrix und $a_{\mathbf {Q} },b_{\mathbf {Q} },c_{\mathbf {Q} },d_{\mathbf {Q} }$ die durch den beschriebenen Algorithmus berechneten Euler-Parameter (als Funktion der Matrix-Elemente $q_{11},...,q_{33}$ von $\mathbf {Q}$). Man kann nun in jedem der vier Faelle separat nachpruefen, dass tatsaechlich $\mathbf {Q} =\mathbf {R} (a_{\mathbf {Q} },b_{\mathbf {Q} },c_{\mathbf {Q} },d_{\mathbf {Q} })$ gilt. Hierbei muss man natuerlich verwenden, dass $\mathbf {Q}$ eine Rotationsmatrix ist, was entsprechende Eigenschaften der Matrix-Elemente $q_{11},...,q_{33}$ impliziert. Das macht den rechnerischen Nachweis aufwendig, aber dieser erfordert keine besonderen "Tricks".

Ich habe den Nachweis selbst gefuehrt, kenne aber leider keine zitierfaehige Quelle dafuer. Diese Information waere aber fuer jeden hilfreich, der den genannten Algorithmus implementieren will (ich hatte ihn zunaechst mit beiden Vorzeichen implementiert und dann experimentell festgestellt, dass das positive Vorzeichen immer korrekt war). --134.2.173.10 13:28, 17. Jan. 2024 (CET)