Diskussion:Fast alle

Überarbeiten 3. Juli 2005

• "Fast alle" hat nichts mit der Anordnung der natürlichen Zahlen zu tun, ebenso "unendlich viele" (das nichts anderes bedeutet, als dass die Anzahl unendlich ist)
• "Fast alle" wird für endliche Mengen nicht verwendet, eben weil jede Aussage (auch 1=2) für fast alle Elemente einer endlichen Menge zutrifft.

--Gunther 3. Jul 2005 18:54 (CEST)

Die Einschränkung von "fast alle" nur auf endliche Mengen ist aber in der Definition nicht enthalten. Daher gilt natürlich jegliche beliebige Eigenschaft, sofern sie zumindest für ein einziges Element zutrifft, für "fast alle" Elemente einer endlichen Menge! Die zitierte Aussage "1=2" gilt eben nicht für "fast alle", da sie überhaupt nie zutrifft. Ich werde das (überarbeitete) Endlichkeitsparadoxon wieder in den Artikel stellen. MikeTheGuru 12:39, 4. Nov 2005 (CET)

Eine Formalisierung wäre ja z.B.: Eine Aussage A gilt für fast alle Elemente einer Menge X, wenn die Menge $\{x\in X\mid \neg A(x)\}$ endlich ist. Und das ist bei einer endlichen Menge X nun einmal wahr, selbst wenn A die Aussage 1=2 ist.

Der Grund, aus dem ich das "Endlichkeitsparadoxon" gelöscht habe, ist der, dass der Begriff nun einmal in aller Regel nur auf unendliche Mengen angewendet wird. Einem gewissermaßen exotischen Spezialfall sollte nicht so viel Raum gegeben werden.--Gunther 12:57, 4. Nov 2005 (CET)

---

Ließe sich Fast alle nicht in Konvergenz unterbringen da es meist im Zusammenhang mit epsilon-Umgebung benutzt wird?--Des Messers Schneide 6. Jul 2005 12:53 (CEST)

"Fast alle" wird auch in anderem Kontext benutzt, vgl. z.B. direkte Summe.--Gunther 6. Jul 2005 14:11 (CEST)

Inhaltlich halte ich den bisherigen Beitrag für richtig (abgesehen davon, daß ich den Begriff cofinit nicht kenne). Der Vergleich mit "unendlich viele" gefällt mir. Um die Interpretation unter Nutzung von Ordnungsrelationen deutlicher als Spezialfall darzustellen, schlage ich folgende Umformulierung des ersten Teils vor:

---

Fast alle ist in der Mathematik eine Abkürzung für alle bis auf endlich viele:

Das ist nicht immer so, es gibt auch Teilgebiete der Mathematik, in denen eine alle bis auf unendlich viele als Fast alle gilt. So sind z.B. fast alle natürlichen Zahlen keine Primzahl. Die Definition läuft dann, wie weiter unten angemerkt, über den Grenzwert des Anteils.

Es heißt, eine Eigenschaft ${\mathcal {P}}$ werde von fast allen Elementen einer Menge erfüllt, wenn sie von höchstens endlich vielen Elementen nicht erfüllt wird.

Spezialisierung auf Folgen

${\mathcal {P}}$ wird von fast allen Gliedern einer Folge erfüllt, wenn höchstens endlich viele Folgenglieder Gegenbeispiele sind.

Diese Eigenschaft läßt sich auch charakterisieren durch $\exists N\in \mathbb {N} \colon \forall n>N\colon {\mathcal {P}}(a_{n})$.

Echt schwächer ist die Formulierung unendlich viele, also $\forall N\in \mathbb {N} \colon \exists n>N\colon {\mathcal {P}}(a_{n})$.

Vergleich

• "fast alle" ist kein Spezialfall des maßtheoretischen Begriffs fast überall, denn wenn alle endlichen Mengen bezüglich eines Maßes Nullmengen sind, so wegen dessen σ-Additivität auch alle abzählbaren.
• Teilmengen, die fast alle Elemente einer Menge enthalten, heißen auch kofinit.

---

--FRR 21:53, 29. Jul 2005 (CEST)

Zwei Punkte:

• Man sollte erwähnen, dass "unendlich viele" keine Kurzbezeichnung für $\forall N\ldots$ ist, sondern tatsächlich einfach "unendlich viele" bedeutet.
• Zu "kofinit" sollte man auf jeden Fall auch die deutsche Fassung "koendlich" erwähnen.

Ansonsten: WP:SM!--Gunther 22:02, 29. Jul 2005 (CEST)

Unendlich viele

Eng verwandt damit ist die Formulierung unendlich viele. Diese ist eine Kurzform für

   Für jedes N∈ℕ gibt es ein n>N, so dass ... für a_n erfüllt ist.

Beispiele

   2. Es gibt unendlich viele durch 3 teilbare natürliche Zahlen, genauso wie es unendlich viele nicht durch 3 teilbare gibt.

Unendlich viele und fast alle sollte IMHO nicht in einem Artikel abgehandelt werden. Die Definition oben für unendlich viele ist offensichtlich falsch. Ansonsten müsste man im Beispiel ein N angeben können, ab dem alle Zahlen durch drei teilbar sind. --Rat 14:36, 12. Jul 2005 (CEST)

Nein, nur für jedes N eine durch drei teilbare Zahl grösser als N angeben können. Aber ich bin auch nicht glücklich damit, s.o.--Gunther 14:38, 12. Jul 2005 (CEST)

Folgen: schließlich

Wenn eine Eigenschaft für eine Folge ab einem Index N gilt, sagt man im Englischen eventually, deutsch "schließlich" oder salopp "irgendwann". Sehe ich doch richtig, dass das genau das ist, was hier beschrieben wird (oder habe ich gerade einen Block)? Könnte man also dort auch anführen, oder?--CWitte ℵ₁ 17:31, 8. Okt. 2007 (CEST)

Überarbeiten

Dieser Artikel muss überarbeitet werden. In der Maßtheorie steht fast alle für alle bis auf eine Nullmenge. Die unterschiedlichen Kontexte sind daher getrennt zu betrachten, oder es ist eine allgemeinere (aber dann bitte auch verständliche) Veralgemeinerung auszutexten --Georg-Johann 12:22, 27. Mär. 2008 (CET)

So wie ich die Mathematik gelernt habe wurde eingeführt: fast alle = L^n-fast-alle=alle bis auf eine L^n-Nullmenge. Im Fall n=1 bedeutet das alle bis auf höchstens abzählbar unendlich viele. Hierin ist der Fall "endlich viele" natürlich enthalten. Ich würde es so überarbeiten. (nicht signierter Beitrag von 217.229.51.113 (Diskussion) 20:12, 16. Apr. 2008)

Nein, das heißt "fast überall", "almost everywhere". Im Falle der natürlichen Zahlen würde das Abziehen von abzählbar vielen Elementen bis zur Nullmenge führen, was im Zusammenhang total falsch wäre. Man könnte höchstens einen Warnhinweis anbringen, dass manchmal in der Maß- und Integrationstheorie "fast alle" schlampigerweise verwendet wird. Siehe auch den letzten Abschnitt im Artikel.--LutzL 10:40, 17. Apr. 2008 (CEST)

Warum soll das schlampig sein? Die Maßtheorie benutzt den Begriff eben anders. Er lässt sich noch weiter verallgemeinern auf Mengen, auf denen ein Filter definiert ist. Dann bedeutet die Aussage "Fast alle Elemente haben die Eigenschaft E", dass die Menge aller Elemente mit der Eigenschaft E ein Element des Filters ist. Im Fall der natürlichen Zahlen ist der Filter der co-endlichen Mengen (Fréchet-Filter, in der Wahrscheinlichkeitstheorie der Filter, der aus allen Mengen von vollem Maß besteht. --Digamma 09:46, 28. Mai 2010 (CEST)

Das bezog sich damals auf den Eindruck, dass mit den Matheartikeln zu allgemeineren Themen Abitur- bis Grundstudiumsniveau gehalten werden soll. Und da hat "fast alle" was mit Folgen und Konvergenz zu tun. Und in der Einführung der Maßtheorie heißt es eben "fast überall" und eher selten und aus Versehen "fast alle". Filter sind dann doch etwas spezielles, eher Hauptstudium. Was nicht heißt, dass man nicht einen entsprechenden Abschnitt setzen kann, aber den Artikel damit anzufangen halte ich für einen schweren Fehler.--LutzL 13:22, 28. Mai 2010 (CEST)--Nach nochmaligem Lesen ist letzteres ja schon der Fall, also könnte diese Diskussion als abgeschlossen betrachtet werden: Die Struktur des Artikels wird nicht geändert, der Filterabschnitt könnte etwas ausführlicher und damit deutlicher werden.--LutzL 13:26, 28. Mai 2010 (CEST)

Unvollständig

Ein Vergleich mit en:Almost all zeigt dass nicht alle Bedeutungen erfasst sind, insbesondere in der Zahlentheorie (jemand hatte sich bei Primzahlzwilling über die Definition gewundert).--Claude J (Diskussion) 00:07, 15. Nov. 2018 (CET)

Zahlentheorie eingefügt. Eventuell noch Graphentheorie...--Claude J (Diskussion) 09:26, 15. Nov. 2018 (CET)

Zahlentheorie

Im Abschnitt Zahlentheorie wird definiert, wann "fast alle" $n\in \mathbb {N}$ in einer Menge A sind.

Die Aussage "Fast alle $n\in \mathbb {N}$ sind zusammengesetzt" lässt sich damit verstehen.

Die Aussage "Fast alle Primzahlen sind isoliert" aber nicht, weil man ja hier nicht von der Gesamtheit aller natürlichen Zahlen, sondern nur der Gesamtheit aller Primzahlen ausgeht.

Ich vermute, um dieser Aussage einen Sinn zu geben, muss man entweder vorher alle Primzahlen durchnumerieren p_1=2;p_2=3;p_3=5, ... und dann sagen "Für fast alle $n\in \mathbb {N}$ ist p_n eine isolierte Primzahl"

Oder man definiert das "zahlentheoretische fast alle" für eine Teilmenge A einer Gesamtmenge G. Die Bedingung wäre dann $\lim _{n\to \infty }{\frac {|\{x\in A:x\leq n\}|}{|\{x\in G:x\leq n\}|}}=1$.

(Wenn die Gesamtmenge G nichtleer ist, dann ergibt dieser Ausdruck zumindest ab irgendeinem Punkt Sinn, d.h. dann wird nicht mehr durch 0 geteilt...)

Da ich hier keine Theoriefindung betreiben will: Wird der Begriff irgendwo so verwendet? Ich habe gerade kein Zahlentheorie-Einführungsbuch zur Hand... --129.13.187.218 15:01, 16. Jan. 2020 (CET)

Das ist natürlich sinngemäß zu übertragen wie von dir ausgeführt (gilt für fast alle Quadratzahlen, fast alle Primzahlen, fast alle natürlichen Zahlen etc, die Mengen müssen jeweils unendlich sein).--Claude J (Diskussion) 15:18, 16. Jan. 2020 (CET)

Das freut mich, dass ich da schonmal richtig gelegen habe. Sollte man das in den Artikel einbauen, oder würde das eher mehr verwirren? --129.13.187.218 09:36, 20. Jan. 2020 (CET)

Ich habe da schon einen erläuternden Satz eingefügt, meiner Meinung nach muss man hier nicht alles explizit mit Formeln ausführen. Gruss--Claude J (Diskussion) 10:31, 20. Jan. 2020 (CET)

Danke! --129.13.187.218 11:34, 20. Jan. 2020 (CET)

Unterschied zur englischsprachigen Version

Die Deutsche Version widerspricht der Englischsprachigen schon bei der Definition:

"In mathematics, the term "almost all" means "all but a negligible amount". More precisely, if X is a set, "almost all elements of X" means "all elements of X but those in a negligible subset of X". The meaning of "negligible" depends on the mathematical context; for instance, it can mean finite, countable, or null."

"Man sagt, eine Eigenschaft E werde von fast allen Elementen einer unendlichen Menge erfüllt, wenn nur endlich viele Elemente E nicht erfüllen."

Laut der Deutschen Version trifft die Definition nur zu, wenn die Eigenschaft von endlich vielen Elementen nicht unterstützt wird, laut der Englischsprachigen können es je nach Kontext "finite", "countable" oder "null" Elemente sein. Ich bin kein Experte, aber ich kenne die englischsprachige Definition aus Beispielen wie "fast alle rationalen Zahlen sind keine ganzen Zahlen", die laut der Deutschen Version nicht unter die Definition fallen würden. Die sagt sogar ganz explit: "Es gibt erheblich mehr reelle Zahlen als ganze Zahlen. Dennoch kann man nicht sagen, dass fast alle reellen Zahlen nicht ganz sind, da es ja unendlich viele ganze reelle Zahlen gibt (wenn auch nur abzählbar viele)." und widerspricht damit dem englischsprachigen Artikel.

Anscheinend hat jemand versucht den unterschiedlichen Definitionen Rechnung zu tragen mit dem Satz "Es gibt aber auch abweichende Verwendungen des Begriffs." Diese "abweichende[n] Verwendungen" wird allerdings im Artikel danach nicht mehr erwähnt, was mehr oder weniger impliziert, dass diese Definitionen falsch seien. Allerdings kommt am Ende das Beispiel "[...] sind fast alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt und fast alle Primzahlen isoliert." Wenn fast alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt sind, widerspricht das der Definition aus der Einleitung, denn es gibt unendlich viele nicht-zusammengesetzte Zahlen (Primzahlen).

Vielleicht werden die Begriffe in den unterschiedlichen Sprachen wirklich unterschiedlich benutzt, aber normalerweise sind mathematische Definitionen eindeutig und lassen sich eins zu eins zwischen Deutsch und Englisch übersetzen. Wie gesagt, ich bin kein Experte, aber hier scheint etwas Grundsätzliches nicht zu stimmen. (nicht signierter Beitrag von 2003:C8:3F23:7F03:AD35:FED6:7BD5:CE07 (Diskussion) 23:52, 9. Mär. 2021 (CET))

Wegen dem unten im Artikel angeführten Beispiel aus der Zahlentheorie steht da ja "es gibt abweichende Verwendungen" in der Einleitung.--Claude J (Diskussion) 03:22, 10. Mär. 2021 (CET)

Das hatte ich beides bereits erwähnt und aus meinem Text sollte ich auch hervorgehen, warum der Artikel trotzdem problematisch ist. (nicht signierter Beitrag von 2003:C8:3F23:7FEE:5DB8:C131:8E01:BE59 (Diskussion) 16:54, 18. Mär. 2021 (CET))