Diskussion:Formale Potenzreihe

Vollständigkeit und Vervollständigung

Die Links zeigen im Moment auf Begriffsklärungen – was genau ist die Vervollständigung bzgl. eines Ideals? --Chricho ¹ ² ³ 03:06, 24. Okt. 2012 (CEST)

So, ich habe analog zu en:Completion (ring theory) den Rotlink Vervollständigung (Ringtheorie) „eingerichtet“. Bleibt noch die Frage, worauf vollständig verweisen soll – en:Complete ring ist nur eine Weiterleitung – klar, jede Gruppe trägt eine (oder auch mehrere) uniforme Struktur und kann diesbezüglich vollständig sein, aber hier ist noch gar nicht gesagt, dass das Ding topologisch ist. --Chricho ¹ ² ³ 03:20, 24. Okt. 2012 (CEST)

s. Betragsfunktion#Gradbewertung, da wird die Metrik erklärt, zu dem die formalen Potenzreihen der Abschluss der Polynome sind. Gruß --Frogfol (Diskussion) 19:53, 8. Okt. 2013 (CEST)

Die formale Laurent-Reihe ist der Nullring?!

Lieber Nomen4Omen, dann fehlt immer noch der Beleg für deine math Aussage, die dann nämlich behauptet:

Die formale Laurent-Reihe $R(\!(X)\!)$ von $R[[X]]$ ist der Nullring.

Das zu beweisen, kommt mir spontan schwieriger vor als alle inzwischen acht Äquivalenzen im Normalteiler-Abschnitt unserer letzten Diskussion. Wohlgemerkt: ich behaupte nicht, dass das falsch ist, aber damit ist es noch nicht richtig, und – ich denke du weiß das: Unlust hin oder her – auch nicht belegt. --Jobu0101 (Diskussion) 17:30, 9. Nov. 2020 (CET)

Lieber Jobu0101, ich kann leider überhaupt nicht erkennen, wo im von dir angegebenen Text die meine(?!) math Aussage

Die formale Laurent-Reihe $R(\!(X)\!)$ von $R[[X]]$ ist der Nullring.

vorkommen soll. (Das wäre ja völliger Quatsch!) Kannst du das nicht ein bisschen eingrenzen? –Nomen4Omen (Diskussion) 17:54, 9. Nov. 2020 (CET)

Ich dachte mir, wenn ich nach dem Ideal (X) lokalisiere (welches ja die 0 enthält), erhalte ich den Nullring. --Jobu0101 (Diskussion) 17:57, 9. Nov. 2020 (CET)

Sorry, ich verstehe ungefähr gar nichts.

1. Jedes Ideal enthält die 0.
2. Wieso sollst du bei einer Lokalisierung (Algebra) den Nullring erhalten?
3. $R(\!(X)\!)$ ist NICHT eine oder die formale Laurent-Reihe von $R[[X]]$!
   $R(\!(X)\!)$ und $R[[X]]$ sind Ringe!
4. Wer von uns beiden verwechselt Ringe mit formalen Laurent-Reihen? Du oder ich?

???? –Nomen4Omen (Diskussion) 18:20, 9. Nov. 2020 (CET)

Good point! Ich meinte den Ring der formalen Laurent-Reihen. Aber als Nullring enthält er ja eh nur ein Element und kann mit der einen formalen Laurent-Reihe identifiziert werden ;-). --Jobu0101 (Diskussion) 18:32, 9. Nov. 2020 (CET)

Wunderbar! So können wir uns über alles verständigen! Wir identifizieren Mengen mit dem einen Element, der als Ring der formalen Laurent-Reihen der einzig wahre Nullring ist. Etwa so?? –Nomen4Omen (Diskussion) 18:40, 9. Nov. 2020 (CET)

Lieber Nomen4Omen,

ich las gerade den Artikel und wunderte mich über die Lokalisierungsaussage.

Als ich die Diskussionsseite dazu übeprüfte las ich Eure Diskussion und möchte nun deeskalierend aufklären um meinen Beitrag zum Beenden der Wikiwars zu leisten (mir genügt eine Nominierung für den Friedensnobelpreis):

Lokalisierung an Elementen in einem Ring bedeutet anschaulich diese invertierbar zu machen.

Wird die "0" invertierbar gemacht, kommt der Nullring heraus.

Daher lokalisiert man nicht direkt an Idealen, sondern an multiplikativ abgeschlossenen Teilmengen, sonst käme immer der Nullring herauß.

Beispiele hierfür sind Komplemente von Primidealen (es ist ein netter Spaß das einmal zu verifizieren); Deshalb sagt man auch man lokalisiere an Primidealen (oder Primelementen) wenn man eigentlich das Komplement (des davon erzeugten Ideals) meint -- ich nehme an die Verwirrung entstand aus diesem allgemeinen Sprachgebrauch herauß.

In dem im Artikel konkret genannten Beispiel sollte man an der multiplikativ abgeschlossenen Teilmenge $\{X^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ lokalisieren.

Liebe Grüße, —Ingischlingi (Diskussion) 18:49, 9. Nov. 2020 (CET)

Danke lieber Ingischlingi: Deeskalieren ist immer gut.
Abgesehen davon, dass diese Diskussion hier nicht viele Chancen bietet, den Artikel zu verbessern.
Ich kann auch nicht erkennen, was die Lokalisierungsaussage, über die du dich wunderst, mit mir zu tun haben soll (s. Lokalisierung (Algebra)#Lokalisierung nach einem Primideal​). –Nomen4Omen (Diskussion) 18:57, 9. Nov. 2020 (CET)

Vielen Dank, lieber Ingischlingi für deine liebevollen und einfühsamen Worte. Ich fühle mich verstanden. --Jobu0101 (Diskussion) 19:25, 9. Nov. 2020 (CET)

Gut, jetzt wird's vllt wieder sachlich.

Ich habe gesehen, dass man so spricht: s. Lokalisierung (Algebra)#Lokalisierung nach einem Primideal​. Und dabei meint:

$S:=R\setminus (X)R$

Das Primideal ist ${\mathfrak {p}}:=(X)=(X)R$.

$R[[X]]:=S^{-1}R$

(= „Lokalisierung in $(X)R$ oder nach $(X)R$“)

Das maximale Ideal ist $R[[X]]:=S^{-1}(X)R$. Insoweit stimmt es überein mit Ingischlingi.

Aber NICHT mit seinem Satz:

„In dem im Artikel konkret genannten Beispiel sollte man an der multiplikativ abgeschlossenen Teilmenge $\{X^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ lokalisieren.“

Ganz ähnlich läuft es mit der p-adische Zahl, wo man auch nicht an der multiplikativ abgeschlossenen Teilmenge $\{p^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ lokalisiert.

Sehe ich das richtig? –Nomen4Omen (Diskussion) 20:11, 9. Nov. 2020 (CET)

Nee, siehst du falsch. Bei den p-adische Zahlen wird nicht lokalisiert. Woher hast du die Info? Im verlinkten Artikel kann ich auch nichts zu Lokalisierung finden. Die p-adischen Zahlen $\mathbb {Q} _{p}$ enthalten komplett $\mathbb {Q}$ und noch viel mehr, sind sogar überabzählbar. Lokalisierungen von $\mathbb {Z}$ sind immer abzählbar und Unterringe von $\mathbb {Q}$ oder eben der Nullring. --Jobu0101 (Diskussion) 20:36, 9. Nov. 2020 (CET)

Was ist heute los mit mir? Nur der hintere Teil meiner vorherigen Antwort ist richtig. Man bekommt $\mathbb {Q} _{p}$ zwar nicht durch Lokalisierung aus $\mathbb {Z}$, aber wenn man bereits mit $\mathbb {Z} _{p}$, den p-adische ganzen Zahlen, startet. Hier braucht man dann aber wirklich die Menge $\{p^{n}\mid n\in \mathbb {N} _{0}\}$, nach der lokalisiert wird. Der Ring $\mathbb {Z} _{p}$ ist aber bereits richtig groß, so groß wie $\mathbb {R}$, also überabzählbar. --Jobu0101 (Diskussion) 20:47, 9. Nov. 2020 (CET)

Lieber Nomen4Omen

Wenn man die Lokalisierung, welche Du zu Beginn Deines letzten Beitrags vornimmst, aufschreibt, kommt man auf Folgendes: Du lokalisierst an dem Primideal $(X)$, also machst Du sein Komplement $S$ invertierbar. Das sind alle Elemente, welche nicht von $X$ geteilt werden, also ganz schön viele, denn insbesondere wäre dann jedes von $0$ verschiedene Element in $R$ invertierbar (hier muss man aufpassen, wenn der Ring Nullteiler enthält, kommt wieder der Nullring heraus). Für Integritätsbereiche (keine Nullteiler) ist das Ergebnis glaube ich $Q(R)[[X]]$, wobei $Q(R)$ der Quotientenkörper von $R$ ist ($Q(\mathbb {Z} )=\mathbb {Q}$). Das heißt es kämen die formalen Potenzreihen heraus, welche Koeffizienten in $Q(R)$ haben.
An der Stelle im Artikel sollen jedoch $X^{-1},X^{-2},$... hinzugefügt werden, also die Inversen von $\{X^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$. An dieser Menge (sie ist kein Ideal!) lokalisiert man nun, macht also genau diese Elemente invertierbar. Dann erhält man $R((X))$ in welchem Elemente eine Darstellung der Form ${\displaystyle A(X)=\sum _{n=m}^{\infty }a_{n}X^{n}}$ mit $m\in \mathbb {Z} ,a_{n}\in R$ haben.
Die Parallele zu den $p$-adischen Zahlen auf welche Du anspielst sehe ich glaube ich auch: Wenn man die $p$-adisch ganzen Zahlen $\mathbb {Z} _{p}$ betrachtet, ist ja genau das Komplement des von $p$ erzeugten maximalen Ideals invertierbar. Allerdings ist die Konstruktion hier etwas trickreicher (zumindest sehe ich auf die Schnelle nicht, dass sie einfacher wäre): Wenn man mit $\mathbb {Z}$ startet und lokalisiert an $(p)$ dann sehe ich nun nicht dass man $\mathbb {Z} _{p}$ erhält, sondern lediglich einen Unterring welcher aus Brüchen besteht in denen die Nenner nicht von $p$ geteilt werden (dieser ist abzählbar und $\mathbb {Z} _{p}$ überabzählbar!). Dies ist ein diskreter Bewertungsring. Wenn man hiervon den Quotientenkörper bildet, lässt sich die Bewertung fortsetzen und diese induziert einen Absolutbetrag, entlang dem vervollständigt man $\mathbb {Q} _{p}$ erhält ... also eine äußerst fortgeschrittene Konstruktion. (Kann sein, dass das auch einfacher geht und ich es übersehe).
Wegen der Formattierung tut es mir Leid, ich bin einigermaßen neu im Business...

Liebe Grüße, —Ingischlingi (Diskussion) 21:25, 9. Nov. 2020 (CET)

@ Jobu0101 - Du scheinst mathematische Erfahrung zu haben, sei doch so gut und passe den Artikel an, bitte.

@Ingischlingi: Vielen Dank für deine Mühe und ausführliche Erklärung. Deinem Auftrag bin ich gerne nachgekommen. --Jobu0101 (Diskussion) 21:37, 9. Nov. 2020 (CET)

@Jobu0101, Ingischlingi: Es heißt jetzt: Der Ring $R(\!(X)\!)$ von $R[[X]]$ ist ... . Also ein Ring von einem anderen Ring ist irgendwas. Die Grammatik versteh ich nicht. Vorher war das ein Quotientenring von einem Ring. Und zweitens werden die Sprechweisen "am Element $X$ lokalisieren" und "nach dem Ideal $(X)$ lokalisieren" im § Lokalisierung (Algebra)#Lokalisierung nach einem Primideal​ als gleichwertig betrachtet.

Wo ist da jetzt bitteschön ein Gewinn? –Nomen4Omen (Diskussion) 22:21, 9. Nov. 2020 (CET)

Den Grammatikfehler habe ich ausgebessert. Der Rest war vorher inhaltich falsch. An einem Primideal zu lokalisieren ist eben etwas anderes als an einem Element zu lokalisieren. Hat Ingischlingi sehr schön ausgeführt. --Jobu0101 (Diskussion) 22:47, 9. Nov. 2020 (CET)