Diskussion:Formeln zur Erzeugung pythagoreischer Tripel

Annähernd gleichschenklige Pythagoreische Dreiecke

Will man die Katheten annähernd gleich lang haben, dann müssen m und n annähernd im Verhältnis 1+SQRT(2)~2,4142 stehen. m=2 und n=1 ergeben das bekannte einfachste Tripel (3,4,5), Umfang 12. Der nächste Kandidat ist (m=5, n=2), und dafür wird das Tripel (20,21,29) mit 70 Umfang gleich unangenehm groß. Rechte Winkel mit Meßschnüren mit fast gleichen Katheten abzustecken, was wegen der Vermessungsgenauigkeit wünschenswert gewesen wäre, war also gar nicht so trivial möglich. Man wird also wohl das "primitive" Tripel (3,4,5) bevorzugt und in Kauf genommen haben, daß das Dreieck "schief" ist und sich die Hypotenusenwinkel deutlich unterscheiden. --77.10.151.78 04:26, 20. Mär. 2022 (CET)

Man wird gar nichts in Kauf genommen haben, weil das insinuierte Zwölf- oder Siebzigknotenschnurverfahren dämlich oder nur "schnell und schmutzig" sinnvoll ist. Was wäre denn die zu lösende Aufgabe gewesen? Entweder: Einen rechten Winkel zu zeichnen bzw. im Gelände abzustecken, oder einen vorgefundenen Winkel, z. B. an einem Bauwerk, auf Rechtwinkligkeit zu prüfen. Wenn es sich um kleine Objekte bis max. wenige Meter Ausdehnung handelt, nimmt man dafür ein festes Winkelmaß - natürlich weitaus größer und "unhandlicher" als eine Meßschnur zum Zusammenwickeln und In-die-Hosentasche-Stecken, aber dafür auch wesentlich genauer. (Und ein "kleines" Dreieck, z. B. ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit 1 m Kathetenlänge, läßt sich "verlängern": man legt an die Seite "ein ganz langes Lineal" an oder spannt entlang derer eine Schnur zum Abstecken oder peilt darüber und weist so einen weiter weg stehenden Vermessergehilfen mit seiner Abstecklatte ein, der danach eine Markierung in den Boden macht. Die verschiedenen Peilmethoden werden mit bloßem Auge, also ohne Fernrohr, alle nicht genauer als einige Bogenminuten, aber daran muß sich ein Meßruten- oder Schnurverfahren messen lassen.) Neben dem Winkelmaß gibt es grundsätzlich ZuL-Methoden, die auf das Übertragen von Längen in die Zeichnung bzw. in das Gelände hinauslaufen, ob nun die "klassische" Konstruktion einer Mittelsenkrechten auf einer gegebenen Strecke oder der direkte Übertrag von Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks auf die planierte Fläche. Aber niemand sagt, daß die Seitenlängen ganzzahlig sein müssen, insofern sind Pythagoreische Tripel dafür nicht relevant. Ganzzahligkeit braucht man eigentlich nur bei der - sehr genauen - Methode des Aneinanderlegens von Meßruten. Dabei stört aber auch eine Umfangslänge von 70 nicht sehr, wenn man an die bekannte Approximation von Wurzel(2) durch das rationale Verhältnis 99:70 denkt, das von Landvermessern (angeblich) praktiziert wurde. (Winkelfehler lassen sich sehr gut korrigieren, indem man mit dieser Methode die beiden anderen Ecken eines "Rechtecks" über einer gegebenen Strecke vorläufig absteckt und dann die Länge der Parallelseite nachmißt und korrigiert.) Aber einfacher wäre es doch eigentlich, eine Dreiknoten- bzw. Dreiösenschnur zu verwenden, die irgendwann geeignet hergestellt wurde. Die absoluten Längen der Seiten sind dabei eigentlich egal, Hauptsache, rechtwinklig. (Der Fehler von Meßschnurkonstruktionen ergibt sich aus der Längenelastizität der Schnüre; an sich braucht man beim Strammziehen definierte Zugkräfte, um immer die gleiche Länge zu erzielen.) Eine plausible, wenn auch nicht belegte Konstruktionsmethode wäre die Verwendung von zwei Meßschnüren mit je zwei festen Ösen pro Schnur an den Enden im Längenverhältnis Wurzel(2). Mit der kürzeren wird zunächst die Basisstrecke durch Einschlagen von Pflöcken in die Grundlinie abgesteckt. Dann wird sie an einem Ende vom Plock abgenommen, auf den dann die Öse der längeren Schnur aufgelegt, und anschließend werden beide Schnüre dann in Richtung des dritten Dreieckspunkts ausgelegt, dort strammgezogen und mit den Enden dieser Punkt abgezirkelt (bzw. es reicht aus, jeweils einen Endpunkt in der Nähe des Dreieckspunkts zu markieren, d. h. die Schnüre müssen gar nicht quer über den Boden geschleift werden, nach Augenmaß Senkrechte auf die Schnurrichtungen durch die Endpunkte zu zeichnen und den Schnittpunkt der beiden Senkrechten dann als gesuchten Geländepunkt zu markieren). Das mit der richtigen Spannung der Meßschnüre wird dann wohl Erfahrungswissen gewesen sein - die Landvermesser hatten es halt "im Gefühl" oder benutzten eine Art Federwaage oder einen sonstigen Spannmechanismus. Diese philologisch-historischen Ideen über die Verwendung von subtilen Meßschnurverfahren kranken alle daran, daß man sie eigentlich erst einmal in der Praxis demonstrieren müßte. --77.3.232.16 21:15, 1. Sep. 2022 (CEST)