Diskussion:Funktion (Mathematik)/Archiv/3

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F'(x)

Kurze Frage, was bedeutet die schreibweise f'(x) dieses hochkomma finde ich nirgends erklärt (nicht signierter Beitrag von 92.104.210.213 (Diskussion) 21:22, 6. Jul 2015 (CEST))

Das ist die Ableitung der Funktion. Wenn man das nicht weiß, kann man das auch über Mathematische Symbole finden. Der Strich ist übrigens kein "Hochkomma", sondern ein Prime (Typografie). --Digamma (Diskussion) 21:30, 6. Jul. 2015 (CEST)

Argument

Könnte jemand verdeutlichen, was der Begriff "Argument" hier bei den Funktionen mit dem "Argument"-begriff in der Rhetorik, der eher als allgemein bekannt vorausgesetzt werden kann, gemeinsam hat? Als Laie ist man zuerst verwirrt, wenn man dem Argumentbegriff in der Mathematik begegnet, Missverständnisse sind vorprogrammiert. --91.41.230.82 12:51, 3. Sep. 2015 (CEST)

Auf den ersten Blick würde ich sagen: Die haben nichts miteinander zu tun. Das sind zwei völlig verschiedene Begriffe, die nur zufällig gleich bezeichnet werden (Homonyme). --Digamma (Diskussion) 10:52, 4. Sep. 2015 (CEST)

Notation

Kurze Frage: f(x)=... ist doch der Funktionsterm - nicht die Funktionsgleichung. y=f(x) ist die Funktionsgleichung. Hab ich so gelernt - steht so in meinem alten Duden (1994). Ändern? bytex (nicht signierter Beitrag von 91.13.251.13 (Diskussion) 10:50, 9. Dez. 2015 (CET))

Wohldefiniertheit

Wie wäre es mit einem Abschnitt darüber, wann eine Funktion als wohldefiniert gilt (welche Kriterien dann erfüllt sind) oder in irgendeine Form eine Verlinkung auf den Artikel Wohldefiniertheit? - Gruß Julian --109.192.94.52 23:16, 29. Feb. 2016 (CET)

Hast du da eine bestimmte Problematik im Auge? Allgemein kann man eigentlich nur sagen, dass eine Funktion wohldefiniert ist, wenn jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet wird. Also das, was ein Funktion per definitionem ausmacht. Alles andere hängt davon, auf was für einer Menge die Funktion definiert wird und welcher Art die Werte sind. --Digamma (Diskussion) 20:22, 1. Mär. 2016 (CET)

An sich wurden mir nur immer die Ohren lang gezogen wenn ich das nicht zu Beginn in Übungsaufgaben gezeigt hatte. Deswegen war ich erstaunt hier so absolut gar nichts dazu zu finden. Wenn natürlich per Definition die Zuordnungsvorschrift schon eine Funktion ist, hast Du Recht und das Ganze ist dann natürlich doch eher überflüssig. Fände so etwas aber eigentlich doch ganz hilfreich, wenn man weiß, wie man prüfen kann, ob eine Zuordnung eine Funktion ist. z.B: das R->N x->|x| halt keine Funktion ist weil nicht wohldefiniert. Ich könnte mir vorstellen das Wohldefiniertheit problematisch wird sobald Restklassen hinzukommen, oder bei Umkehrfunktionen, aber damit kenne ich mich ehrlich gesagt zu wenig aus. Vielleicht macht dass den Artikel auch nur unnötig größer (finde ihn jetzt schon recht `voll´), aber wie wäre es denn mit eine Ergänzung, irgendwie so,

Um zu prüfen ob eine Zuordnung eine Funktion definiert (die Funktion wohldefiniert ist) muss folgendes gezeigt werden: 1. Stimmen Definitionsbereich und Wertebereich 2. Wird jedem Wert (aus Def) exakt ein Wert (aus Wert) zugeordnet. Oder was denkst Du\was denkt Ihr? [Es fühlt sich für mich nur einfach etwas komisch an im kompletten Artikel "Funktionen" nicht ein mal das Wort "wohldefiniert" zu lesen ^^] (Sry, schaffe es grade nicht richtig einzurücken...) - Gruß Julian --109.192.94.52 21:19, 1. Mär. 2016 (CET)

Mutlifunktionen

Im Artikel wird gesagt, dass die Umkehrabbildungen von surjektiven Funktionen automatisch Multifunktionen wären. Das kann nicht stimmen, wenn man der vorherigen Definition Glauben schenkt.

Beispiel $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x$ Die Umkehrabbildung wäre $f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x$ Also eine Identitätsabbildung, die surjektiv ist. Es wird aber kein Element aus der Definitionsmenge auf mehrere Elemente der Zielmenge abgebildet, woraus nach der Definition folgen müsste, dass es sich nicht um eine Multifunktion handelt. --85.178.174.77 18:18, 25. Apr. 2016 (CEST)

Hallo 85.178.174.77!

Jede Funktion ist auch eine Multifunktion (Multifunktion ist also ein Oberbegriff zu Funktion):

Multifunktionen sind linkstotale Relationen, Funktionen sind linkstotale und rechtseindeutige Relationen.

Bei einer Multifunktion kann es also mehr als ein Bild geben, bei einer Funktion nicht.

Gruß, Franz 18:45, 25. Apr. 2016 (CEST)

Lehrermathematik

Das Kapitel „Mengentheoretische Definition“ ist höchst ungereimt. Die Formeln f=(G_f,Z) und f=(G_f,D,Z) sind mathematischer Unsinn. Der Artikel ist Lehrermathematik, weit entfernt von Mathematik. Dies gilt auch für andere Artikel, z.B. für den Folge-Artikel, in dem in der Definition des Folgebegriffs nicht zwischen Semantik und Syntax unterschieden wird. Ohne Gruß --Lothario Hederich (Diskussion) 12:19, 14. Jul. 2016 (CEST)

Was wäre denn kein Unsinn? --Digamma (Diskussion) 12:46, 14. Jul. 2016 (CEST)

Stelle diese Frage jemandem, der mit der Sprache der Mathematik (Prädikatenkalkül) vertraut ist, der wird sie dir sicher schnell beantworten. --Lothario Hederich (Diskussion) 18:27, 14. Jul. 2016 (CEST)

Ich bin damit vertraut und weiß, dass Mathematiker bei ihrer Arbeit normalerweise keinen Prädikatenkalkül verwenden, sondern sich allgemeinsprachlich ausdrücken. Der Prädikatenkalkül dient nur dazu, sich zu vergewissern, dass man die mathematische Argumentationen und Beweise prinzipiell auf Axiome, die in der Sprache der Prädikatenlogik formuliert sind, und formales Schließen zurückführen kann.

Mengentheoretische Formulierungen, was bestimmte mathematische Objekte "sind", dienen nur dazu, zu zeigen, dass solche Objekte auf der Grundlage der ZFC-Mengenlehre existieren, aber nicht dazu, festzulegen, was diese Objekte tatsächlich "sind". Deshalb sind nicht die Formeln im Artikel mathematischer Unsinn, sondern eher deine Kritik daran. --Digamma (Diskussion) 18:55, 14. Jul. 2016 (CEST)

Die Unsinnigkeit der von mir beanstandeten Formeln kann nicht durch metamathematische Philosophie legitimiert werden. Ich möchte hier nicht auf die Grundlagen der mathem. Logik eingehen, insbesondere nicht auf das diese beiden Formeln Betreffende. --Lothario Hederich (Diskussion) 12:08, 15. Jul. 2016 (CEST)

Noch einmal f=(G(f),A,B)

Ich verstehe es nicht, wie man solchen Unsinn belassen kann. Auf meiner Diskussionsseite findet man Ausführungen dazu, sowie zur Einleitung und zum Kapitel „Definition“. --Lothario Hederich (Diskussion) 15:45, 27. Nov. 2016 (CET)

Kann jemand den Begriff Funktion mit Hilfe des Prädikatenkalküls definieren?

Unter Verwendung der Prädikate ${\mathfrak {M}}$ für Menge, ${\mathfrak {P}}$ für geordnetes Paar und den Operatoren $\lambda$ und $\rho$ für linke bzw. rechte Komponente eines Paars.

${\mathfrak {Fkt}}(f)~\Longleftrightarrow _{\text{def}}~\cdots$

--Lothario Hederich (Diskussion) 16:38, 10. Dez. 2016 (CET)

Formale Definition

Bevor ich etwas Mathematisches schreibe, verschaffe ich mir, um Ungereimtheiten zu vermeiden, Klarheit über die zu beschreibenden Begriffe, indem ich diese zunächst im Prädikatenkalkül beschreibe. Ich habe es für das im Artikel Definition stehende getan. Als Quelle für die Begriffsinhalte diente mir Allgemeine Mengenlehre von A.Oberschelp.

Eine Übertragung in Artikeltext findet sich auf meiner Diskussionsseite. Dort bilden die ersten beiden der nachstehenden Definitionen die Einleitung.

Nachstehend Verwendetes:
^Lx,^Rx = linke, rechte Komponente des Paars x
Kmp(i,x) = i-te Komponente des Tupels x
"ise" steht für "ist/sei ein/eine"

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• $f{\text{ ise Funktion }}\Leftrightarrow _{\text{def}}~{\mathfrak {Fkt}}(f)~\Leftrightarrow _{\text{def}}~{\mathfrak {Klasse}}(f)\land (\forall x,y\in f\colon {\mathfrak {Paar}}(x)\wedge (x\not =y\Longrightarrow {}^{\text{L}}\!x\not ={}^{\text{L}}\!y))$
• $f{\text{ ise injektive Funktion }}\Leftrightarrow _{\text{def}}~^{\text{inj}}{\mathfrak {Fkt}}(f)~\Leftrightarrow _{\text{def}}~{\mathfrak {Fkt}}(f)\land (\forall x,y\in f\colon (x\not =y\Longrightarrow {}^{\text{R}}\!x\not ={}^{\text{R}}\!y))$

${\mathfrak {Fkt}}(f)::$

• $f{\text{ ordnet dem Objekt }}a{\text{ das Objekt }}b{\text{ zu}}~=_{\text{def}}~f\colon a\mapsto b~=_{\text{def}}~(a,b)\in f$
• ${\text{Definitionsbereich von }}f~=_{\text{def}}~{\text{D}}\!_{f}~=_{\text{def}}~\{{}^{\text{L}}\!x\mid x\in f\}$
• ${\text{Wertebereich von }}f~=_{\text{def}}~{\text{W}}\!_{f}~=_{\text{def}}~\{{}^{\text{R}}\!x\mid x\in f\}$
  

Sei $x\in {\text{D}}_{f}::$

• ${\text{Funktionswert von }}f{\text{ für das Argument }}x~=_{\text{def}}f(x)~=_{\text{def}}~{\boldsymbol {\iota }}\,y\colon \,f\!:\!x\!\mapsto \!y$

---

---

$~{\mathfrak {Klasse}}(A,B)::$

• $f{\text{ ise Funktion aus }}A{\text{ in }}B~\Leftrightarrow _{\text{def}}~f\colon A\longrightarrow B~\Leftrightarrow _{\text{def}}~{\mathfrak {Fkt}}(f)\wedge {\text{D}}\!_{f}\!\subseteq \!A\land {\text{W}}\!_{f}\!\subseteq \!B$
• $f{\text{ ise totale Funktion aus }}A{\text{ in }}B~\Leftrightarrow _{\text{def}}~f\colon A-\!\!{\text{t}}\!\!\to B~\Leftrightarrow _{\text{def}}~f\colon A\longrightarrow B\wedge {\text{D}}\!_{f}=A$
• $f{\text{ ise surjektive Funktion aus }}A{\text{ in }}B~\Leftrightarrow _{\text{def}}~f\colon A-\!\!{\text{s}}\!\!\to B~\Leftrightarrow _{\text{def}}~f\colon A\longrightarrow B\wedge {\text{W}}\!_{f}=B$
• $f{\text{ ise injektive Funktion aus }}A{\text{ in }}B~\Leftrightarrow _{\text{def}}~f\colon A-\!\!{\text{i}}\!\!\to B~\Leftrightarrow _{\text{def}}~f\colon A\longrightarrow B\land {}^{\text{inj}}{\mathfrak {Fkt}}(f)$
• $f{\text{ ise bijektive Funktion aus }}A{\text{ in }}B~\Leftrightarrow _{\text{def}}~f\colon A-\!\!{\text{b}}\!\!\to B~\Leftrightarrow _{\text{def}}~f\colon A-\!\!{\text{s}}\!\!\to B\land f\colon A-\!\!{\text{i}}\!\!\to B$

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• $t{\text{ ise Tripelfunktion }}\Leftrightarrow _{\text{def}}~{\mathfrak {Tfkt}}(t)~\Leftrightarrow _{\text{def}}~\exists f,A,B\colon ({\mathfrak {Menge}}(f,A,B)\wedge f\colon A\longrightarrow B\wedge t=(f,A,B))$

${\mathfrak {Tfkt}}(t)::$

• ${\text{Graph von }}t=_{\text{def}}{\text{G}}_{t}=_{\text{def}}~{\text{Kmp}}(1,t)$
• $t{\text{ ordnet dem Objekt }}a{\text{ das Objekt }}b{\text{ zu}}~=_{\text{def}}~t\colon a\mapsto b~=_{\text{def}}~{\text{G}}_{t}\colon a\mapsto b$
• ${\text{Definitionsbereich von }}t=_{\text{def}}{\text{D}}_{t}=_{\text{def}}{\text{D}}_{{\text{G}}_{t}}$
• ${\text{Wertebereich von }}t=_{\text{def}}{\text{W}}\!_{t}=_{\text{def}}{\text{W}}\!_{{\text{G}}_{t}}$

Sei $x\in {\text{D}}_{t}::$

• ${\text{Funktionswert von }}t{\text{ für das Argument }}x~=_{\text{def}}t(x)~=_{\text{def}}{\text{G}}_{t}(x)$
  

--Lothario Hederich (Diskussion) 11:46, 16. Dez. 2016 (CET)

Wir schreiben hier eine nach Möglichkeit allgemeinverständliche Enzyklopädie und kein Fachbuch über axiomatische Mengenlehre. --Digamma (Diskussion) 16:48, 16. Dez. 2016 (CET)

Lieber Digamma, du hast wohl meinen ersten Satz oben überlesen, Gruß --Lothario Hederich (Diskussion) 07:37, 17. Dez. 2016 (CET)

Ja anscheinend. Also alles OK. --Digamma (Diskussion) 10:23, 17. Dez. 2016 (CET)

Es würde mich deine Meinung über meine Übertragung der oben formal beschriebenen Begriffe in einen Artikeltext interessieren, du findest diese auf meiner Diskussionsseite. --Lothario Hederich (Diskussion) 10:48, 17. Dez. 2016 (CET)

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Hierher kopiert von Benutzer Diskussion:HilberTraum

Totalität von Funktionen

Hallo HilberTraum! Ich habe eine Frage, die ich schon anderen Benutzern im Portal Mathematik stellte ohne bisher Antwort zu erhalten: Im Kapitel "Definition" des Funktionsartikels werden die mit "Funktion" bezeichneten mathematischen Objekte als rechtseindeutige Paarmengen definiert. Mich irritiert der in Definition stehende Satz: f ist also linkstotal. Ich kann z.B. in der Funktion f={(0,0)} keine Linkstotalität erkennen. Sind Funktionen mehr als nur rechtseindeutige Paarmengen? --Lothario Hederich (Diskussion) 12:50, 19. Dez. 2016 (CET)

Laut unserem Artikel sind Funktionen per Definition rechtseindeutig und linkstotal. Wenn also f={(0,0)} eine Funktion (bzw. der Graph einer Funktion) im Sinne des Artikels ist, dann muss die Definitionsmenge D = {0} sein. Grüße -- HilberTraum (d, m) 14:05, 19. Dez. 2016 (CET)

Ok! Aber warum hat man rechtseindeutigen Paarmengen das Attribut "linkstotal" angehängt? Oder sollte es (im vorliegenden konkreten Fall) heißen: "{(0,0)} ist linkstotal in Bezug auf {0}" und nicht lediglich "{(0,0)} ist linkstotal" --Lothario Hederich (Diskussion) 19:00, 19. Dez. 2016 (CET)

„linkstotal in Bezug auf“ kommt mir ungewöhnlich vor, aber ich hab jetzt mal „f ist eine Relation“ ergänzt zu „f ist eine Relation zwischen D und Z“. Dann dürfte die Sprechweise ungefähr so wie in Relation (Mathematik) sein. Besser? -- HilberTraum (d, m) 20:12, 19. Dez. 2016 (CET)

Du sagst es kommt dir ungewöhnlich vor. Das glaub ich dir aber nicht: Du kennst doch sicher die Redewendung: „f ist eine Funktion aus A in B“, was so viel besagt wie: D(f) ist Teilmenge oder gleich A und W(f) ist Teilmenge oder gleich B, kurz (f:A⟶B) und auch wirst du die Wendung kennen: „f ist eine totale Funktion aus A in B“, was so viel besagt wie (f:A⟶B) und D(f)=A. In diesem und keinem anderen Sinne ist das Wort „total“ zu gebrauchen. Entsprechendes gilt für „surjektiv“ in Bezug auf B. Hier ist f nichts anderes als eine Paarmenge, also eine Funktion. Der Umweg über Relation ist unnötig und schwerfällig. Du wirst es mir sicher nicht verübeln, wenn ich dir meine Vorstellungen unterbreite. Grüße --Lothario Hederich (Diskussion) 00:45, 20. Dez. 2016 (CET)

Also normalerweise ist doch mit „Funktion“ eine totale Funktion gemeint und der Fall, dass D(f) eine Teilmenge von A ist, heißt dann partielle Funktion. Ich habe es zwar glaub ich im Zusammenhang mit der theoretischen Informatik auch schon anders herum gesehen, aber in der Mathematik wird bei einer Funktion eigentlich immer D(f) = A angenommen. -- HilberTraum (d, m) 17:21, 20. Dez. 2016 (CET)

Indexmenge einer Folge

Auch wenn du mich als aufdringlich empfindest magst, HilberTraum, frage ich: Folgen sind, wie ich es aus dem Artikel entnehme, Funktionen, deren Definitionsmengen man Indexmengen nennt. Es sind bei endlichen Folgen die Mengen I(m,n):={i|i∈N∧m≤i≤n}, für m≤n. Meine Frage: welche Indexmengen haben die Folgen f:=(a₀,...a₅) und g:=(b₁,...b₆)?

Du bist doch nicht aufdringlich, ich weiß nur bei deinen Fragen nicht immer genau, ob das neutrale Fragen sind, oder ob du auf ein bestimmtes allgemeines Problem hinauswillst ;-) Meine Meinung zu der konkreten Frage: Normalerweise müsste man wohl bei Folgen immer genau die Indexmenge mitangeben oder sich halt z. B. einheitlich auf m=0 oder m=1 einigen. Die beiden Folgen f und g sehen zwar so aus, als ob die Indexmengen {0,…,5} bzw. {1,…6} wären (und alles anderer wäre verwirrend), aber theoretisch könnte ja auch g z. B. die Indexmenge {0,…,5} haben und das 0-te Element von g ist b₁. Grüße -- HilberTraum (d, m) 17:32, 20. Dez. 2016 (CET)

Du siehst es schon richtig dass ich immer auf ein Problem hinauswill und ich bin zufrieden, wenn mir jemand, der im Portal Mathematik maßgeblich ist, zuhört.

Zu Deiner letzten Antwort in der total-Diskussion: ich bin mit dem Funktionsartikel sehr unzufrieden, insbesondere wegen des Umwegs über Relation und logisch unrichtigen Formeln im Kapitel Definition. Meine Vorstellung kannst du auf meiner Diskseite finden.

Zum Folgenproblem: Im Artikel werden Semantik und Syntax vermengt: Die Darstellung einer Folge ist nicht die dargestellte Folge.

Guts Nächtle! --Lothario Hederich (Diskussion) 21:38, 20. Dez. 2016 (CET)

Zu deiner Version auf deiner Diskseite: Da ist sicher einiges Bedenkenswertes enthalten, aber das sollte vielleicht besser in einem größeren Kreis als zwischen uns beiden diskutiert werden. Allerdings müsste erstmal eine Quelle her, in der partielle Funktionen nur als „Funktionen“ bezeichnet werden. Und der Begriff „Tripelfunktion“ scheint mir nach einer kurzen Recherche gar nicht zu existieren, hast du dir den ausgedacht? -- HilberTraum (d, m) 16:49, 21. Dez. 2016 (CET)

Gerne bin ich bereit, in einem größeren Kreis zu diskutieren, kannst du es Initiieren? Auf der Diskseite des Funktionsartikels habe ich eine formale Definition abgelegt und dort als Quelle Allgemeine Mengenlehre von A.Oberschelp erwähnt. Ich verstehe nicht, was du mit partielle Funktionen nur als „Funktionen“ meinst. Tripelfunktionen finden sich auch bei Oberschelp, er spricht von "Funktion (im Sinne eines Tripels)". Ich habe es zu "Tripelfunktion" vereinfacht um es deutlich von "Funktion" abzugrenzen. Ich halte es für nicht gut, diesen Begriff im Artikel zu belassen. --Lothario Hederich (Diskussion) 18:33, 21. Dez. 2016 (CET)

Ende der Kopie

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Den Oberschelp kann ich hier leider nicht einsehen, evtl. morgen. Ich denke aber, wenn dort „Funktion (im Sinne eines Tripels)“ steht, dann geht „Tripelfunktion“ als gefetteter Begriff in einer Definition in Richtung Begriffsetablierung. Mit partielle Funktionen nur als „Funktionen“ meinte ich die Frage, ob der Begriff „Funktion f von X nach Y“ ohne weitere Zusätze und Erklärungen den Fall miteinschließt, dass die Definitionsmenge von f auch eine echte Teilmenge von X sein kann. -- HilberTraum (d, m) 19:56, 21. Dez. 2016 (CET)

Ich habe meine Version leicht verändert, insbesondere "partielle Funktion" herausgenommen und Tripelfunktion nicht mehr als solche benannt. --Lothario Hederich (Diskussion) 11:26, 22. Dez. 2016 (CET)

Enleitung und Definition der Basisbegriffe

Kritik an der Einleitung

• Der Verweis auf Relation könnte den unbedarften Leser veranlassen, sich erst einmal mit dem Relationsbegriff zu beschäftigen, was jedoch unnötig ist.
• In der modernen Mathematik ist der Funktionsbegriff nicht auf Mengen beschränkt.
• Die Angaben: "unabhängige Variable, abhängige Variable" sind logisch inkorrekt.
• Mit den Angaben "parametrische Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Transformationen, Operationen, Operatoren" können nur mathematisch versiertere etwas anfangen, für diese ist der Funktionsartikel aber nicht bestimmt.
  

Einleitung

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Eine Funktion, auch spricht man von Abbildung, ordnet mathematischen Objekten mathematische Objekte zu, zum Beispiel jeder Zahl deren Quadrat oder jeder Menge die Menge ihrer Teilmengen. Funktionen sind eindeutige Zuordnungen, das heißt, keinem Objekt wird mehr als ein Objekt zugeordnet. Wenn darüber hinaus kein Objekt mehr als einem Objekt zugeordnet ist, dann nennt man die Funktion eineindeutig oder injektiv (das zweite Beispiel ist eine injektive Funktion).

Funktionen nehmen in der Mathematik eine zentrale Stellung ein, in vielen mathematischen Disziplinen sind deren Objekte Funktionen.

Nachstehendes nach A.Obershelp: Alllgemeine Mengenlehre. Alle Definitionen sind mengen-klassen-neutral formuliert
Definition der Basisbegriffe

Funktionen bestehen aus geordneten Paaren: ordnet eine Funktion $f$ dem Objekt $a$ das Objekt $b$ zu, dann ist $(a,b)$ Element von $f$ und man schreibt anstelle $(a,b)\!\in \!f$ auch $f\!:\!a\mapsto b$ und nennt $b$ Funktionswert von $f$ für das Argument $a$, so notiert: $f(a)$. Die Gesamtheit der linken sowie die der rechten Komponenten der Elemente von $f$ heißt ihr Definitionsbereich: ${\text{D}}\!_{f}$ respektive Wertebereich: ${\text{W}}\!_{f}$.

Man nennt $f$ eine Funktion aus $A$ in $B$, formal $f\!:\!A\!\longrightarrow \!B$, wenn ${\text{D}}\!_{f}\!\subseteq \!A$ und ${\text{W}}\!_{f}\!\subseteq \!B$, insbesondere nennt man sie totale Funktion aus $A$ in $B$ oder kurz Funktion von $A$ in $B$, formal $f\!:\!A\!\to \!B$, wenn ${\text{D}}\!_{f}\!=\!A$ und surjektive Funktion aus/von $A$ in $B$ oder kurz Funktion aus/von $A$ auf $B$, formal $f\!:\!A-\!\!\!\twoheadrightarrow \!\!/\!\!\twoheadrightarrow \!B$, wenn ${\text{W}}\!_{f}\!=\!B$. Ist die Funktion injektiv, dann setzt man eine Feder vor den Pfeil, zum Beispiel steht $f\colon \!A\twoheadrightarrow \!\!\!\!\!\!\!\rightarrowtail \!B$ für "$f$ ist eine injektive Funktion von $A$ auf $B\,$". Für das Attributepaar "injektiv,surjektiv" sagt man auch bijektiv.

Gleichbedeutend mit der Aussage $f\!:\!A\!\longrightarrow \!B$ ist das auch "Funktion" genannte Tripel $(f,A,B)$. Die erste Komponente so einer Funktion, $t$, heißt ihr Graph: ${\text{G}}_{t}$ und man schreibt (inkorrekter Weise unter Gefahr von Missverständnissen!) statt ${\text{G}}_{t}(x)$ einfach $t(x)$, entsprechend $(x,y)\!\in \!t,~t\!:\!x\mapsto y,~D_{t},~W_{t}$.
--Lothario Hederich (Diskussion) 11:58, 22. Dez. 2016 (CET)

Was hat es am Schluss mit dem Wechsel von f zu t auf sich? Ist das ein Schreibfehler oder etwas, was ich nicht verstehe? Insgesamt sehe ich noch nicht recht, worin genau die Verbesserung bzgl. der Verständlichkeit liegt. Gerade den vorderen Teil mit „Objekt … Objekt … Objekt … usw.“ finde ich ziemlich anstrengend. In der Definition müsste wohl nochmal stehen, dass jedem Objekt $a$ höchstens ein Objekt $b$ zugeordnet wird, oder? -- HilberTraum (d, m) 20:07, 22. Dez. 2016 (CET)

Weitere Kritik: Die gegebenen Formulierungen sehen den Satz vom ausgeschlossenen Dritten als gegeben (betrifft Injektivität; Funktionsbegriff nicht). Diese Einschränkung der Verwendbarkeit ist unnötig. Die Angabe, woraus Funktionen "bestehen" ist auch sinnlos einschränkend. Mir scheint, hier wird Mathematik mit gängige-Mengenlehre-auf-klassischer-Logik verwechselt. "$f\colon A\to B$" ist auch nicht unbedingt sinnvoll als "Aussage" zu sehen. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:09, 22. Dez. 2016 (CET)

@Hilbertraum: In meinem Vorschlag ist durchgehend f für Funktion als Paarklasse verwendet, Funktionen als Tripel sind andersartige Objekte. Würde statt t der Buchstabe f verwendet, dann implizierte es, dass f das Tripel (f,A,B) bezeichnet, was natürlich ebenso mathematisch unhaltbar wäre wie das von mir wiederholt beanstandete f=(G_f,A,B). Ich halte die seltener in der Literatur anzutreffende Tripelversion für problematisch: z.B. ist für f=((a,b,c),{1,2,3},{a,b,c}) als Paarklassenfunktion f(2)= {1,2,3}, als Tripelfunktion f(2)=b. Ich würde es begrüßen, Funktionen als Tripel nicht im Artikel zu belassen.

Deiner Kritik an „Objekt … Objekt … Objekt … usw.“ stimme ich zu, es ist für viele schwer zu lesen. Ich habe sehr mit der Formulierung gerungen, vielleicht könntest du es leichter lesbar ausdrücken?

@Daniel5Ko: Der Mathematiker, der mit den Grundlagen des Prädikatenkalküls vertraut ist, weiß, das "$f\colon A\to B$" ein Aussage ist und nichts anderes. --Lothario Hederich (Diskussion) 11:08, 23. Dez. 2016 (CET)

Und wer sich etwas besser auskennt, weiß, dass das keine besonders gute Sicht auf die Dinge ist. Natürlich kann man die Sichtweise einnehmen, aber sie als die einzig wahre zu verkaufen, ist Unfug. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:51, 23. Dez. 2016 (CET)

Ich empfehle dir, lieber Daniel, dich mit der Sprache der Mathematik, dem Prädikatenkalkül, vertraut zu machen. --Lothario Hederich (Diskussion) 09:55, 24. Dez. 2016 (CET)

Das wäre redundant. Ich empfehle dir, dich mit modernen Entwicklungen in der Logik vertraut zu machen. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:53, 24. Dez. 2016 (CET)

Ich habe in meinem obigen Vorschlag den zweiten Absatz im Abschnitt "Definition der Basisbegriffe" die Definitionen den Definitionen bei Oberschelp genauer angepasst.--Lothario Hederich (Diskussion) 12:50, 23. Dez. 2016 (CET)

@Hilbertraum Nachtrag

Wiederholung von Eindeutigkeit halte ich für überflüssig, denn sie ist mit großer Klarheit schon in der Einleitung dargelegt und man kann voraussetzen, dass der Leser zunächst die Einleitung aufmerksam liest. --Lothario Hederich (Diskussion) 08:00, 24. Dez. 2016 (CET)

Wenn z. B. ich persönlich einen mathematischen Begriff nachschlage, lese ich meistens nur die Definition, denn ich weiß ja meist schon, um was es ungefähr geht, habe aber nur die genaue Definition nicht parat. Darum sollten mMn Definitionen schon immer für sich alleine stehen können. -- HilberTraum (d, m) 20:43, 24. Dez. 2016 (CET)

Ja, lieber Hilbert, ich verstehe deine Argumentation und schließe mich (ungern) an, die Überarbeitung meines Vorschlags nachstehend. Zunächst aber komme ich auf eine frühere Anfrage hinsichtlich Partiellität zurück:

$f\!:\!\mathbb {R} \!\longrightarrow \!\mathbb {Q} ,x\mapsto x^{2}$ beschreibt die Funtion $\{y\mid y=x{\dot {}}x\land y\in \mathbb {Q} \}$ mit ${\text{D}}_{f}\subset \mathbb {R}$. --Lothario Hederich (Diskussion) 17:42, 25. Dez. 2016 (CET)

Definition der Basisbegriffe

Funktionen sind rechteindeutige Klassen geordneter Paare, das heißt, sie haben keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente. Ist eine Funktion, $f$, auch linkseindeutig, dann nennt man sie eineindeutig oder injektiv oder eine Injektion und bezeichnet mit $f^{-1}$ ihre Inverse, das ist die aus $f$ durch Austausch der Komponenten in ihren Elementen hervorgehende Funktion. Zum Beispiel ist $\{(1,2),(3,4)\}^{-1}=\{(2,1),(4,3)\}$.

Die Gesamtheit der linken sowie die der rechten Komponenten der Elemente von $f$ heißt ihr Definitionsbereich: ${\text{D}}\!_{f}$ respektive Wertebereich: ${\text{W}}\!_{f}$.

Für $(a,b)\!\in \!f$ schreibt man auch $f\!:\!a\mapsto b$ und sagt: "$f$ ordnet dem Objekt $a$ das Objekt $b$ zu", und nennt $b$ Funktionswert von $f$ für das Argument $a$, formal: $f(a)$.

Funktionsarten

Man schreibt	$f\!:\!A\!\longrightarrow \!B\;$	wenn	${\text{D}}\!_{f}\!\subseteq \!A$ und ${\text{W}}\!_{f}\!\subseteq \!B\;$	und sagt:	$f$ ist eine	Funktion von $A$ nach $B.\;$ Auch sagt man oft:		$f$ bildet	$A$ partiell in $B$ ab
	$f\!:\!A\!\to \!B$		${\text{D}}\!_{f}\!=\!A$ und ${\text{W}}\!_{f}\!\subseteq \!B$		$f$ ist eine	totale Funktion von $A$ nach $B$		$f$ bildet	$A$ in $B$ ab
	$f\!:\!A-\!\!\!\twoheadrightarrow \!B$		${\text{D}}\!_{f}\!\subseteq \!A$ und ${\text{W}}\!_{f}\!=\!B$		$f$ ist eine	surjektive Funktion von $A$ nach $B$		$f$ bildet	$A$ partiell auf $B$ ab
	$f\!:\!A\!\twoheadrightarrow \!B$		${\text{D}}\!_{f}\!=\!A$ und ${\text{W}}\!_{f}\!=\!B$		$f$ ist eine	totale, surjektive Funktion von $A$ nach $B$		$f$ bildet	$A$ auf $B$ ab

Ist $f$ injektiv, dann setzt man die Feder $\rightarrowtail \!\!\!\!\!\!\!{\color {White}{\bullet \!\!\bullet }}\!\!\!\!\!$ vor den Pfeil, zum Beispiel steht $f\colon \!A\operatorname {\twoheadrightarrow \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\rightarrowtail } \!B$ für "$f$ ist eine totale,surjektive,injektive Funktion von $A$ nach $B\,$" . Für das Attributepaar "surjektiv,injektiv" sagt man auch bijektiv. Demnach steht $f\colon \!A\operatorname {\twoheadrightarrow \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\rightarrowtail } \!B$ auch für "$f$ ist eine totale,bijektive Funktion von $A$ nach $B\,$" .

Funktion als Tripel

Gleichbedeutend mit der Aussage $f\!:\!A\!\longrightarrow \!B$ ist das ebenfalls "Funktion" genannte Tripel $(f,A,B)$, auch so geschrieben: $(A,f,B)$ . Die erste respektive zweite Komponente so eines Tripels, $t$, heißt sein Graph: ${\text{G}}_{t}$ und man schreibt statt ${\text{G}}_{t}(x)$ einfach $t(x)$, entsprechend $(x,y)\!\in \!t,~~$$t\!:\!x\mapsto y,~~$${\text{D}}_{t},~~$${\text{W}}\!_{t}$.

Quellen

Ich werde in diesem Artikel nicht mehr aktiv sein, denn ich verspüre, dass meine Art Mathematik zu sehen bei den Verantwortlichen in diesem Portal keinen Anklang findet. --Lothario Hederich (Diskussion) 01:00, 31. Dez. 2016 (CET)

Dein Vorschlag klingt so, als ob die Position von Oberschelp, die sicherlich interessant ist, weil sie sehr allgemein ist, gängig wäre. Das ist sie nicht, denn die dort vorkommenden differenzierten Pfeile sind sonst nicht geläufig. Er ist nämlich äußerst kreativ im Erfinden von Symbolen. Das macht seinen Ansatz nicht gerade zum Vorbild, das ein Artikel aufgreifen müsste. Er muss sich schon an das Normale halten. Oberschelp ist ja dort irgendwo vermerkt, so dass Interessenten an dieser Verallgemeinerung sich an der angegebenen Quelle orientieren können.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 14:42, 12. Jan. 2017 (CET)

Ich fand die Pfeile im Kapitel Funktion (Mathematik) #Symbolik und erst später bei Oberschelp wieder. Ich verwende Pfeile mit Buchstaben, z.B. $A-\!\!{\text{ts}}\!\!\to B$ für total, surjektiv, allerdings kenne ich dafür keine Quelle. --Lothario Hederich (Diskussion) 08:37, 14. Jan. 2017 (CET)

Die Unterscheidung zwischen dem langen Pfeil für (partielle) Funktion und kurzem Pfeil (Abbildung) ist mir auch nicht bekannt. Wohlbekannt ist mir das im französischen Sprachraumen "fonction" i.allg. die (partielle) Funktion und "application" die (überall wohldefiniere) Abbildung bezeichnet (wobei aber viele Lehrer und Professoren oft unpräzise sind und "fonction" wie "application" benutzen und später aber vom Definitionsbereich sprechen...), schade dass dies im Deutschen nicht so allgemeingültig ist (und im Englischen manchmal sogar umgekehrt? "domain of the mapping" kommt mir fast geläufiger vor als "domain of the function"...). --- Ich dachte jedoch dass der einfache Pfeil (→, \to in TeX) international eine (partielle!) Funktion (oder teilweise sogar eine allgemeinere, evtl. nicht funktionale, Relation) bezeichnet. — MFH 18:05, 7. Feb. 2017 (CET)

Nochmals das sinnlose "f=(G_f,Z)"

Der Prädikatenkalkül ist ein Textverarbeitungssystem das im Wesentlichen so funktioniert: Ist T ein Text der die Variable v als freie Variable enthält und ist diese an einen Text S gebunden, dann ist T gleichbedeutend mit demjenigen Text, der aus T hervorgeht, indem v durch S ersetzt wird. Variablenbindungen erfolgen u.a. in der Form "v:=S" oder laxer "v=S".

Beispiel: ("G[f]" steht für "G_f") Der Term "(G([f],Z)" hat zwei freie Variablen, f und Z. Schreibt man "f=(G([f],Z)", dann ist f gebunden mit "(G([f],Z)" und

"(G([f],Z)" ist gleichbedeutend mit "(G[(G[(G[(G[(G[..._∞mal],Z)],Z)],Z)],Z..._∞mal)", was sinnlos ist. --Lothario Hederich (Diskussion) 11:49, 6. Mai 2017 (CEST)

Mathematische Sprache ist kein Prädikatenkalkül. --Digamma (Diskussion) 11:53, 6. Mai 2017 (CEST)

@Lothario: Ich glaube, ich habe jetzt zum allerersten Mal verstanden, was dich stört: Dass „f“ die Bezeichnung für die Funktion ist und gleichzeitig als Index am G steht, oder? Das halte ich aber schon für in Ordnung, man muss sich G nur als einen Operator vorstellen, der der als geordnetes Paar definierten Funktion f die erste Komponente des Paars, also den Graphen von f zuordnet. -- HilberTraum (d, m) 17:38, 6. Mai 2017 (CEST)

Um das etwas deutlicher zu machen, ein analoges Beispiel: Der Punkt $P$ hat in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten $x_{P}$ und $y_{P}$, ein anderer Punkt $Q$ entsprechend die Koordinaten $x_{Q}$ und $y_{Q}$. Damit gilt $P=(x_{P},x_{Q})$ und $Q=(x_{Q},y_{Q})$. --Digamma (Diskussion) 18:11, 6. Mai 2017 (CEST)

@Digamma,HilberTraum: Eure letzten gut gemeinten Ausführungen kommentiere ich nicht, verweise im besagten Zusammenhang hierauf: Benutzer:Hederich/Funktion.

--Lothario Hederich (Diskussion) 10:59, 18. Jun. 2017 (CEST)

Stückweise Definition

Oft kommt es in der Praxis( und auch in der Lehre) vor, dass Funktionen stückweise definiert werden. Ich finde, dass das auch explizit erklärt werden sollte. Entweder hier als (unter-)Kapitel oder in einem eigenen Beitrag.

Man könnte sich auch vom englischen Artikel en:Piecewise inspirieren lassen. HerrHartmuth (Diskussion) 22:22, 2. Sep. 2017 (CEST)

Na dann los. (Aber vielleicht mit dem Hinweis, dass man sich damit ziemlich häufig auf klassische Logik einschränkt.

Zum Beispiel gilt ja nicht allgemein, dass $\mathbb {R} =\{x\in \mathbb {R} \mid x<0\}\cup \{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\}$. Es gilt allgemein nur $\supseteq$.) --Daniel5Ko (Diskussion) 22:52, 2. Sep. 2017 (CEST)

Das erschließt sich mir nicht so ganz. In welchen Kontext genau soll das nicht gelten? Und ist nicht ohnehin der gesamte Artikel weitgehend unter impliziten Annahme der klassischen Logik verfasst?--Kmhkmh (Diskussion) 01:49, 3. Sep. 2017 (CEST)

In fast allen Mathematik-Artikeln wird mindestens implizit klassische Logik angenommen. Gut ist das nicht unbedingt (man will ja vielleicht halbwegs allgemeine Aussagen treffen). Die Gleichheit gilt nicht allgemein, wenn man sich in intuitionistischer Logik befindet, also vor allem kein LEM zur Verfügung hat. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:23, 5. Sep. 2017 (CEST)

Ja, aber dann müssen doch vermutlich auch die reellen Zahlen anders aufgebaut werden (jedenfalls sehe ich auf Anhieb nicht wie dass mit dedekindschen schnitten ohne klassische Logik gehen soll). Ich halte es jedenfalls für keine gute Idee in einen Abschnitt zu stückweisen Funktionen, da so ein Fass aufzumachen. Das wird die meisten Leser vermutlich eher irritieren als ihnen helfen.--Kmhkmh (Diskussion) 21:33, 5. Sep. 2017 (CEST)

Für Fassaufmachen bin ich auch nicht. War ja auch nur 'ne Klammerbemerkung. Aber andererseits kann man mit "den meisten Lesern" auch nicht wirklich argumentieren. Die meisten Mathe-Artikel sind für die meisten Leser beinahe unbrauchbar, worauf einige der Leser auch manchmal hinweisen. Nichts desto trotz haben viele Leser etwas von ihnen. Und so wäre es auch hier: Diejenigen, die sich nur für klassische Logik interessieren, können mit dem Hinweis nichts anfangen, und die anderen würden zumindest wissen, dass sie ausnahmsweise hier mal nicht durch Vereinfachung belogen werden. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:43, 5. Sep. 2017 (CEST)

Die Lesbarkeit vieler mathematischer Artikel lässt sicherlich zu wünschen übrig, aber dies wird aus meiner Sicht nicht besser wenn man noch einer Verallgemeinerung drauflegt. Letztlich sollte man es an der überwiegenden Verwendung der stückweisen definierten Funktionen in der Literatur ausrichten.

Was mich eventuell an so einem Hinweis stört oder warum ich ihn möglicherweise deplatziert halte, ist Folgendes. Wenn man nur bei der stückweisen Funktion explizit auf eine mögliche Einschränkung auf die klassische Logik hinweist, erweckt das beim Leser den falschen(?) Eindruck die restlichen Inhalte/Abschnitte wäre alle nicht auf die klassische Logik beschränkt bzw. würden diese nicht implizit voraussetzen. In diesem Sinne "lügt" man dann am Ende mehr statt weniger.--Kmhkmh (Diskussion) 23:33, 5. Sep. 2017 (CEST)

Natürlich müsste, wenn der genannte Hinweis auftaucht, der ganze Artikel so gestrickt werden, dass er nicht die ganze Zeit implizit klassische Logik annimmt.

Wie gesagt, wahrscheinlich unrealistisch, aber wünschenswert. Nicht zuletzt wünschenswert deswegen, weil es extrem schwer ist, das LEM-Vorurteil auszuräumen. Wenn es zum guten Ton gehören würde, auf dessen Annahme wenigstens dezent hinzuweisen, würde alles viel einfacher werden (wenn auch nur für recht wenige Leute). --Daniel5Ko (Diskussion) 00:20, 6. Sep. 2017 (CEST)

Blöde Zwischenfrage: Was heißt "LEM"? --Digamma (Diskussion) 07:51, 6. Sep. 2017 (CEST)

Law of the Excluded Middle. Franz 09:02, 6. Sep. 2017 (CEST)

Danke dir. Mit diesem Namen und dieser Abkürzung war es mir nicht geläufig. Gruß, --Digamma (Diskussion) 15:21, 6. Sep. 2017 (CEST)

@Daniel5Ko: Setz dich am besten mit Lothario Hederich zusammen. Funktionen als Paarklassen in nicht-klassischer Logik ist genau das, was der geneigte Leser, der sich über Funktionen informieren will, im Artikel noch vermisst … echte Lücke! Vorlage:Smiley/Wartung/;)  -- HilberTraum (d, m) 23:16, 7. Sep. 2017 (CEST)

Von nicht-klassischer Logik hat doch Lothario Hederich keine Ahnung. Das ist genau auf dieser Diskussionsseite offensichtlich. :P

Und was er so von sich gibt, geht genau in eine Richtung irgend eines bestimmten Formalismus mit seinen mitgebrachten Vorurteilen, jedwede ich hier ja (nur halbherzig) bemängele. Der Nutzen von Logik ist unbestreitbar, aber dass es immer gleich klassische Logik sein muss, ist eher zu bezweifeln.

Falls dennoch Informationsinteresse besteht, ist vielleicht http://www.ams.org/journals/bull/2017-54-03/S0273-0979-2016-01556-4/ interessant. Ist für "Mathematiker von der Straße" geschrieben. ^^ --Daniel5Ko (Diskussion) 00:26, 8. Sep. 2017 (CEST)

Na, dann hab ja sogar ich eine Chance, das zu verstehen. Danke für den Tipp. -- HilberTraum (d, m) 08:25, 8. Sep. 2017 (CEST)

Kleine Kritik an der Einleitung

Der Artikel beginnt so:

Funktion (Mathematik)
In der Mathematik ist eine Funktion ... (Den Autor dieser Wörter möchte ich einen Spaßvogel nennen).

Weiter geht es so:

1. (lat. functio) oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, ...
   a. Jemand, der mit “Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen” nicht vertraut ist, sieht sich genötigt mit Dingen zu beschäftigen, die zur Definition des Funktionsbegriffs nicht erforderlich sind
       (siehe Benutzer:Hederich/Funktion).
   b. “zwischen zwei Mengen” ist problematisch, es schließt umgangssprachlich “innerhalb einer Menge” aus.
2. die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet.
   a. “... der einen Menge ... der anderen Menge ...” problematisch, siehe 1.b
   b. Variable sind Syntaxgegenstände, hier werden sie als Semantikgengestände behandelt, was nicht geht.
3. Der Funktionsbegriff wird in der Literatur unterschiedlich definiert, jedoch geht man generell von der Vorstellung aus, dass Funktionen mathematischen Objekten mathematische Objekte zuordnen, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat.
   Diese Passage ist wörtlich von meinem Funktionsartikel-Entwurf vom 9. Aug. 2013 übernommen. Dort allerdings hatte ich auch die unterschiedlichen Definitionen angegeben: Üblicherweise werden nur eindeutige Objektzuordnungen, das sind solche, die keinem Objekt mehr als ein Objekt zuordnen, als Funktionen angesehen; andernfalls wird zwischen eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen unterschieden. Manche Autoren sprechen nur dann von einer Funktion, wenn ihr Definitionsbereich, das heißt die Gesamtheit der Objekte, denen sie Objekte zuordnet, eine Menge ist, andere nehmen diese Einschränkung nicht vor.   
   (mehrdeutige Funktionen sind z.B. die trigonometrischen Arkusfunktionen und die Wurzelfunktionen. Eine Funktion mit echter Klasse als Definitionsbereich ist z.B. der Potenzmengenoperator)
4. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem parametrische Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Transformationen, Operationen, Operatoren und vieles mehr.
   a. Der Passus “Das Konzept ... eine zentrale Stellung ein” sagt schon alles, was zu sagen ist, das Weitere irritiert eher.
   b. Die Erwähnung von Operatoren widerspricht der Auffassung im Artikel, dass Funktionen Mengen sind. --Lothario Hederich (Diskussion) 12:10, 25. Sep. 2017 (CEST)

Ein Versuch

Ich habe hier versucht, den Funktionsbegriff einfach, klar und mathematisch sauber darzulegen. --Lothario Hederich (Diskussion) 12:55, 18. Jan. 2018 (CET)

Nichts für ungut, aber bevor das jemand, z. B. ich, inhaltlich beurteilen kann, müsste dieses Augenschmerzen verursachende Typografiemassaker erstmal in einen lesbaren Text verwandelt werden. Siehe bitte auch WP:Typografie. -- HilberTraum (d, m) 23:03, 18. Jan. 2018 (CET)

Langsam frage ich mich, was du für ein Problem hast. --Karl24042017 (Diskussion) 00:42, 19. Jan. 2018 (CET)

Der vorgelegte Text ist nicht als Funktionsartikel-Text zu verstehen, sondern dient lediglich zur Begriffsklärung. --Lothario Hederich (Diskussion) 08:34, 19. Jan. 2018 (CET)

PS. hier in einer anderen Fassung, um HilberTraum seine Augenschmerzen zu lindern. --Lothario Hederich (Diskussion) 16:12, 26. Jan. 2018 (CET)

Danke, das ist aber immer noch echt fett, da nimmt man man ja schon vom Hinschauen drei Kilo zu Vorlage:Smiley/Wartung/;)  -- HilberTraum (d, m) 19:39, 28. Jan. 2018 (CET)

Es gibt für sowas Konventionen - sogar hier in der WP! Fett wird in der Regel in der Einleitung nur die Wiederholung des Lemma und seine Nebenformen gesetzt. Hervorhebungen im Sinne einer Betonung und Begriffe, die woanders definiert sind und nicht als Link gestaltet sind, können kursiv gesetzt werden. Alles andere normal und nur dann bspw. fett, wenn es anders nicht möglich ist, eine Hervorhebung adäquat deutlich zu machen.

Fett können auch überschriftsartige Begriffe zu Beginn eines Aufzählungspunktes innerhalb einer Aufzählung gesetzt werden, z.B. so:

Eine Funktion kann – über die essentiellen Eigenschaften, die sie überhaupt erst zur Funktion machen diese Eigenschaften haben:

• Injektivität: Hier ist nicht nur jedem Element aus der Definitionsmenge höchstens ein Element der Zielmenge zugeordnet, sondern ...
• Surjektivität: Hier ist jedem Element der Zielmenge mindestens ein Element aus der Definitionsmenge zugeordnet, so daß...

usw. usf. Kann man glaub ich zumindest zum Teil hier irgendwo nachlesen.

Auf der anderen Seite muß man auch sagen, sorry Hederich, daß ein halbwegs intelligenter Mensch (für den ich dich aufgrund deiner Mathe-Kenntnisse halten muß) begriffen haben sollte, daß ein inflationärer Gebrauch eines Mittels dieses eben irgendwann entwertet und sich somit selbst ad absurdum führt. Da bedarf es eigentlich keiner Auslösung von Augenentzündungen - ganz gleich bei wem... ;-) --Karl24042017 (Diskussion) 20:44, 28. Jan. 2018 (CET)

Ich wiederhole hier, was ich schon oben gesagt habe: Der vorgelegte Text ist nicht als Funktionsartikel-Text zu verstehen, sondern dient lediglich zur Begriffsklärung.
Mir wäre es recht, Kritik am Inhalt zu vernehmen, da mein Text einen allgemeineren Funktionsbegriff beschreibt als der aktuelle Artikel. --Lothario Hederich (Diskussion) 11:10, 29. Jan. 2018 (CET)

Das wichtigste wäre erstmal eine moderne Literaturstelle, die den Begriff der Funktion ebenfalls so weit fasst. Insbesondere scheint mir der Begriff der mehrdeutigen Funktion doch schon mindestens um ein paar Jahrzehnte veraltet zu sein. -- HilberTraum (d, m) 11:38, 29. Jan. 2018 (CET)

Vielleicht solltest du dann aber auch mal

• auf die Kritik direkt dort eingehen
• auf die Kritik hier eingehen – dein ewiger Verweis auf die "Nicht-Artikeleigenschaft" bringt uns da nicht weiter, immerhin gilt "Einheit von Form und Inhalt"

Außerdem täte es dir nicht schlecht, dir die allgemeine Kritik zu Herzen zu nehmen. Irgendwie ist das alles nicht so glücklich und gelungen.
--Karl24042017 (Diskussion) 11:59, 29. Jan. 2018 (CET)

@Hilbertraum: Eine moderne Literaturstelle kann ich nicht benennen, man müsste dann wohl auf die Angabe von nichteindeutigen Funktionen verzichten, obgleich viele mehrdeutige Funktionen sich anfinden (z.B. Arkusfunktionen, Wurzelfunktionen). Du kannst ja, wenn du noch möchtest, in Benutzer_Diskussion:Hederich/Funktion diskutieren.

@Karl24: Ich antworte auf der von dir angegebenen Stelle: Benutzer_Diskussion:Hederich/Funktion

--Lothario Hederich (Diskussion) 13:48, 29. Jan. 2018 (CET)

Lothario Hederich ist verstorben

Ich habe Benutzer:Hederich/Funktion überarbeitet. Es enthält jetzt weitgehend die im aktuellen Artikel aufgeführten Begriffe in einer mathematisch korrekten Form. Funktionen sind hier Klassen, ohne dass dies ausdrücklich gesagt wird (um moderner Mathematik fernstehende Leser nicht zu irritieren.) Im Schulunterricht zu Verwendendes, aber nicht zur Sache Gehörendes, findet sich hier nicht. --Hersilie (Diskussion) 13:47, 20. Nov. 2018 (CET)

....=0

sollten solche Funktionen nicht auch besprochen werden?

x^4+y^3-((x^2)*y) = 0 (nicht signierter Beitrag von Chrisir (Diskussion | Beiträge) 11:52, 10. Apr. 2020 (CEST))

Du meinst wahrscheinlich implizit definierte Funktionen. --Digamma (Diskussion) 15:30, 10. Apr. 2020 (CEST)

Funktionen mit Werten in einer echten Klasse

Dem Satz: Häufig liegen die Werte einer Funktion nicht in einer Zielmenge, sondern lediglich in einer echten Klasse
kann entgegengestellt werden: Die Werte einer Funktion liegen stets in einer echten Klasse
(z.B. der Klasse der mathematischen Objekte) --Hersilie (Diskussion) 10:45, 2. Mai 2020 (CEST)

Da hast du Recht. Ich würde den Abschnitt komplett streichen. . --Digamma (Diskussion) 11:16, 2. Mai 2020 (CEST)

Habe ich dich richtig verstanden? Die Grundidee im Artikel sollte lauten: Eine Funktion $f$ ordnet jedem Element $x$ einer Definitionsmenge $D$ genau ein mathematisches Objekte zu. Schreibweise: $f\colon D\ni x\mapsto y$ --Hersilie (Diskussion) 13:44, 2. Mai 2020 (CEST)

PS. Zum Beispiel: ${\cos }\colon \mathbb {R} \ni \,\alpha \mapsto \textstyle {{\frac {\alpha ^{0}}{0!}}-{\frac {\alpha ^{2}}{2!}}+{\frac {\alpha ^{4}}{4!}}\mp \dotsb }$ --Hersilie (Diskussion) 18:05, 2. Mai 2020 (CEST)

Die Schreibweise ist meiner Überzeugung nach nicht Teil der Definition, was eine Funktion ist. Es gibt verschiedene Schreibweisen. Und bevor wir hier eine Grundsatzdiskussion anfangen: In manchen Bereichen der Mathematik wird tatsächlich eine Zielmenge vorausgesetzt. Aber das ist dann eine zusätzliche Angabe, die sich in der Sprechweise "$f$ ist ein Funtion von $D$ nach $Z$" und der Schreibweise $f\colon D\to Z$ widerspiegelt. --Digamma (Diskussion) 18:51, 2. Mai 2020 (CEST)

Du sagst oben: Es ist nie nötig, sich vorher auf eine Zielmenge festzulegen. Wie kann die zugehörige Schreibweise aussehen. doch nicht so: $f\colon \,D\to Z,\;x\mapsto y$. die oben von mir angegebene Form: $f\colon D\!\ni \!x\mapsto y$ scheint mir die einzige Möglichkeit auf Zielangaben in der Begriffsdefinition zu verzichten (Diese Form findet sich z.B. bei Oberschelp) --Hersilie (Diskussion) 00:56, 3. Mai 2020 (CEST)

Ich nehme einen Teil meiner Aussage zurück. In der Analysis und in der Algebra ist es doch nötig, allein schon, weil sonst die verwendeten Rechenoperationen nicht defininiert sind. --Digamma (Diskussion) 10:45, 3. Mai 2020 (CEST)

Ich halte es für keine guten Diskussionsweise, wenn Passagen in Diskussionsbeiträgen nachträglich entfernt werden, wie z.B. die Passage “Es ist nie nötig, sich vorher auf eine Zielmenge festzulegen” im Beitrag 11:16, 2. Mai 2020. --Hersilie (Diskussion) 09:50, 3. Mai 2020 (CEST)

Wenn du in die Versionsgeschichte siehst, dann erkennst du, dass du den Satz entfernt hast. Vermutlich versehentlich, als du ihn kopiert hast. --Digamma (Diskussion) 10:45, 3. Mai 2020 (CEST)

OK, ich entschuldige mich. Dieser Satz trifft den Kern des Definitionsproblems, er weist auf die Unzulänglichkeit der Definition im Artikel und auch der bei älteren Autoren hin. --Hersilie (Diskussion) 13:39, 3. Mai 2020 (CEST)

Wie Operatoren zur Berechnung des Funktionswertes zu interpretieren sind, wird nicht durch das Anhängsel rechts von $\to$ bestimmt, sondern nur aus dem jeweiligen Kontext.
Nach aktuellem Artikel ist die Funktion $f\colon \mathbb {N} \to \{p\mid p{\text{ ist Primzahl}}\},n\mapsto n^{2}$ die Leerfunktion.
Auch gilt die Aussage $\forall M\colon M\in \{M\mid M{\text{ ist Menge}}\}\implies ((f\colon D\to (Z\cup M),x\mapsto y)\Longleftrightarrow (f\colon D\to Z,x\mapsto y))$
Diese beiden Beispiele deuten die Problematik der Formel $f\colon \,D\to Z,\;x\mapsto y$ an. --Hersilie (Diskussion) 17:22, 6. Mai 2020 (CEST)

Überarbeiteter Vorschlag

Einleitung

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Eine Funktion, auch spricht man von Abbildung, ordnet mathematischen Objekten mathematische Objekte zu, zum Beispiel jeder Zahl deren Quadrat oder jeder Menge die Menge ihrer Teilmengen. Funktionen sind eindeutige Zuordnungen, das heißt, keinem Objekt wird mehr als ein Objekt zugeordnet. Sie nehmen in der Mathematik eine zentrale Stellung ein, in vielen mathematischen Disziplinen sind deren Objekte Funktionen.

Definition der Basisbegriffe

Funktionen sind rechteindeutige Klassen geordneter Paare, das heißt, sie haben keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente. Ist eine Funktion, $f$, auch linkseindeutig, dann nennt man sie eineindeutig oder injektiv oder eine Injektion und bezeichnet mit $f^{-1}$ ihre Inverse, das ist die aus $f$ durch Austausch der Komponenten in ihren Elementen hervorgehende Funktion. Zum Beispiel ist $\{(1,2),(3,4)\}^{-1}=\{(2,1),(4,3)\}$.

Die Gesamtheit der linken sowie die der rechten Komponenten der Elemente von $f$ heißt ihr Definitionsbereich: ${\text{D}}\!_{f}$ respektive Wertebereich: ${\text{W}}\!_{f}$.

Für $(a,b)\!\in \!f$ schreibt man auch $f\!:\!a\mapsto b$ und sagt: "$f$ ordnet dem Objekt $a$ das Objekt $b$ zu", und nennt $b$ Funktionswert von $f$ für das Argument $a$, formal: $f(a)$.

Funktionsarten

Man nennt $f$ eine Funktion aus $A$ in $B$, formal $f\!:\!A\!\longrightarrow \!B$, wenn ${\text{D}}\!_{f}\!\subseteq \!A$ und ${\text{W}}\!_{f}\!\subseteq \!B$, insbesondere nennt man sie totale Funktion aus $A$ in $B$ oder kurz Funktion von $A$ in $B$, formal $f\!:\!A\!\to \!B$, wenn ${\text{D}}\!_{f}\!=\!A$ und surjektive Funktion aus/von $A$ in $B$ oder kurz Funktion aus/von $A$ auf $B$, formal $f\!:\!A-\!\!\!\twoheadrightarrow \!\!/\!\!\twoheadrightarrow \!B$, wenn ${\text{W}}\!_{f}\!=\!B$.
Ist $f$ injektiv, dann setzt man die Feder $\rightarrowtail \!\!\!\!\!\!\!{\color {White}{\bullet \!\!\bullet }}\!\!\!\!\!$ vor den Pfeil, zum Beispiel steht $f\colon \!A\twoheadrightarrow \!\!\!\!\!\!\!\rightarrowtail \!B$ für "$f$ ist eine injektive Funktion von $A$ auf $B\,$". Für das Attributepaar "injektiv,surjektiv" sagt man auch bijektiv.

Funktion als Tripel

Gleichbedeutend mit der Aussage $f\!:\!A\!\longrightarrow \!B$ ist das auch "Funktion" genannte Tripel $(f,A,B)$. Die erste Komponente so eines Tripels, $t$, heißt sein Graph: ${\text{G}}_{t}$ und man schreibt statt ${\text{G}}_{t}(x)$ einfach $t(x)$, entsprechend $(x,y)\!\in \!t,~t\!:\!x\mapsto y,~{\text{D}}_{t},~{\text{W}}\!_{t}$.

-- Lothario Hederich (Diskussion) 10:36, 26. Dez. 2016 (CET)

Das sieht so aus, als wolle ein Benutzer per Theorie-, Formulierungs- und Zeichenerfindung die Mathematik neu schreiben. Dazu ist die WP die falsche Stelle. „Funktionen sind ... Klassen mit ... Komponente.“ Damit wird der Funktionsbegriff auf zwei undefinierte und unverlinkte Begriffe zurückgeführt. Niemand ist damit geholfen. Da es sich nicht um einen konkreten Verbesserungsvorschlag für den Artikel handelt und sieben Jahre niemand regiert hat, schlage ich die Archivierung vor. --Sigma^2 (Diskussion) 11:14, 29. Nov. 2023 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 11:14, 29. Nov. 2023 (CET)

Grundlegende Begriffe und deren Notation

Die Bedeutung von $f$ von $x$

Der Ausdruck $f$ von $x$, also $f(x)$, wird in verschiedenen Zusammenhängen unscharf genutzt. Ich habe im Studium noch die Sprechweise gelernt: Die Funktion $f$ mit dem Funktionsterm $f(x)=$ … Mittlerweile habe ich schon gelesen: Die Funktion $f(x)$ … Dieses wird auch auf der Artikelseite und anderen Seiten praktiziert. Die (alte) Sprechweise oben wird offenbar verkürzt zu: Die Funktion $f$ mit $f(x)$ = … bzw. zu: Die Funktion $f(x)$ = …. Jedoch kann die Verkürzung zu Missdeutungen des Ausdrucks $f(x)$ führen.

$f(x)$ als Funktionswert an der Stelle $x$ bzw. Funktionsterm

Der Ausdruck $f(x)$ war für mich bislang immer der Funktionswert an der Stelle $x$ bzw. der Ausdruck für den Funktionsterm, mit dessen Hilfe die Funktionswerte berechnet werden kann. Diese beiden Bedeutungen sehe ich noch als gleichwertig an und das lässt sich auch in der Literatur durchgehend belegen. Alles, was darüber hinaus geht, sehe ich als problematisch an und verwirrend.

Bei der Quadratfunktion $f$ ist der Funktionsterm $f(x)=x^{2}$. Dies lese ich im Sinne einer Definition, d. h. für den Funktionsterm $f(x)$ gilt: $f(x):=x^{2}$. $f(x)$ repräsentiert nur den Funktionsterm. Entsprechend ist $f(x)=x^{2}$ keine Gleichung, sondern eine Definition.

$f(x)$ im Zusammenhang des Begriffs "Funktionsgleichung"

Nun lese ich aber in letzter Zeit immer häufiger, z. B. $f(x)=x^{2}$ sei eine Funktionsgleichung. Der Begriff Funktionsgleichung ist jedoch in älteren Werken, z. B. im Taschenbuch der Mathematik (Bronstein, 25. Auflage) für die Gleichung $y=x^{2}$ vorgesehen. Diese Gleichung hat eine Lösungsmenge mit gewissen Wertepaaren $(x,y)$, die nach Einsetzen in die Gleichung wahre Aussagen liefern und derer grafische Darstellung den Graphen der Funktion $f$ ergibt. Nun könnte man einwenden, dass dieses kleinlich sei, da man ja die Funktionswerte einfach mit $y$ benennen könnte, also $y=f(x)$. So gesehen, wäre $f(x)=x^{2}$ eine "Funktionsgleichung". Jedoch sollte man dann konsequenterweise davon absehen, den Ausdruck $f(x)$ als Funktion zu bezeichnen, da ja damit Funktionswerte bezeichnet werden. Die Bezeichnung von $f(x)=x^{2}$ bleibt wiederum mehrdeutig: Wird hier ein Funktionsterm definiert oder ist eine "Funktionsgleichung" (mit einer gewissen Lösungsmenge) angegeben?

Vorschlag

Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, sollten Funktionen ausschließlich mit dem Funktionsnamen, z. B. $f$ und nicht mit dem Ausdruck $f(x)$ benannt werden. Wird eine verkürzte Ausdrucksweise gewünscht, sollte die folgende Formulierung verwendet werden: Die Betragsfunktion $f$ mit $f(x)=|x|$ und nicht: Die Betragsfunktion $f(x)=|x|$. Der Ausdruck $f(x)$ sollte dem Funktionswert an der Stelle $x$ bzw. dem Funktionsterm vorbehalten bleiben. Wird der Begriff Funktionsgleichung verwendet, ist die Schreibweise $y=f(x)$ vorzuziehen, um die Mehrdeutigkeit zum Funktionsterm zu vermeiden.

Euler und $f$ von $x$

Wie verwendet Euler den Ausdruck ursprünglich? Ich kann leider dazu nichts finden, außer dass Euler diesen Ausdruck eingeführt habe. --Mrepker (Diskussion) 20:56, 26. Jan. 2023 (CET)

+1. Die Funktion ist $f$ oder $f(\cdot )$. Dagegen sollte $f(x)$ in Definitonszusammenhängen, $f(x)=...$, $x\mapsto f(x)$, verwendet werden. --Sigma^2 (Diskussion) 10:41, 29. Nov. 2023 (CET)

Kann D die leere Menge sein?

Für den Definitionsbereich $D$ ist der Fall $D=\emptyset$ nicht ausgeschlossen. Ist das Absicht? Ist $f:\emptyset \to M$ ein sinnvolles mathematisches Objekt?--Sigma^2 (Diskussion) 10:47, 29. Nov. 2023 (CET)

Sinnvoll: auf jeden Fall. Besonders interessant: eher nicht. --Nomen4Omen (Diskussion) 11:15, 29. Nov. 2023 (CET)