Diskussion:Funktionalanalysis

Hi! Ich denke, Funktionalanalysis kann nicht auf das "Studium von Funktionenräumen" reduziert werden: es werden in weiten Teilen der Funktionalanalysis Räume untersucht, die von vornherein überhaupt keine Funktionenräume im klassischen Sinne seien müssen. Vielmehr ist Funktionalanalysis das Studium von Räumen, die eine algebraische Struktur, zumeist Vektorräume, und eine topologische Struktur (Skalarprodukt, Norm, System von Halbnormen,...) tragen.

(bin gerade hier reingestolpert - trau mich nicht, das selbst zu ändern ;-)...)(Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von DmwXL (Diskussion • Beiträge) 13:56, Jun 23. 2006)--KleinKlio 17:09, 24. Okt. 2006 (CEST)

Portal-Diskussion FA

Die folgende Diskussiom wurde in Portal Diskussion:Mathematik#Funktionalanalysis begonnen und von mir am 23:23, 2. Nov. 2006 (CET) hierherkopiert:

Zitat: "Aus moderner Sicht besteht die Funktionalanalysis aus dem Studium vollständiger normierter Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen." Ich dachte immer in Funktionalanalysis werden gerade nicht die reellen oder komplexen Zahlen betrachtet sondern eben Funktionen Grüße --Mathemaduenn 11:58, 16. Okt. 2006 (CEST)

Deshalb steht da ja auch, dass Vektorräume über den komplexen oder reellen Zahlen betrachtet werden. Und das kann so ziemlich alles sein, zum Beispiel auch Funktionenräume. Das "über" verweist ja letztlich nur auf die skalare Multiplikation. --Scherben 12:01, 16. Okt. 2006 (CEST)

Allerdings ist die Einschränkung auf normierte Räume nicht nachvollziehbar.--Gunther 12:08, 16. Okt. 2006 (CEST)

Die ist wohl auch nur zur Vereinfachung da. Am Ende des Absatzes wird ja auch auf Fréchet-Räume u. ä. abgehoben. Kann man aber auch präzisieren. --Scherben 14:54, 16. Okt. 2006 (CEST)

Ich finde schon die Einleitung nicht so gut gelungen. Alt definiert Funktionalanalysis als die Untersuchung von Funktionenraeumen und stetiger Abbildungen zwischen ihnen. In einem Skript von Hoermander, was ich hier noch liegen habe, wird eben auch genau das behandelt, auch wenn er sich um eine Definition rumdrueckt. Er behandelt als allgemeinstes topologische Vektorraeume und gibt sogar eine Form des Satzes von Hahn-Banach in seiner allgemeinsten Form, auch wenn er sich ab Seite 20 auf lokal konvexe Raeume einschiesst. --P. Birken 15:05, 16. Okt. 2006 (CEST)

Ich habe den Artikel mal etwas ueberarbeitet und zunaechst auf nichtnormierte Raeume abgehoben, sowie die Einleitung ueberarbeitet. Insgesamt scheint die Funkana in einem noch etwas ueberarbeitungswuerdigen Zustand zu sein :-/ --P. Birken 13:47, 18. Okt. 2006 (CEST)

Vielleicht könnte man die "konkreten Anwendungen" in der Einleitung noch durch Beispiele bereichern (evtl nur anreissender Satz mit Link). Denke da an Wellengleichung, Kristalloptik, Quantenmechanik dort insbesondere Quantenmechanik#Schrödingergleichung. Sehe mich aber im Moment dazu nicht in der Lage. Traut sich das jemand aus dem Stand zu?--KleinKlio 18:09, 18. Okt. 2006 (CEST)

Wenn der Artikel für den Hamiltonoperator nicht den Überarbeiten-Baustein hätte, könnte man den als Beispiel eines Operators anführen. Aber das gehört ja eher bei Operator hinein. Die Schrödinger-Gleichung ist ein Beispiel für eine (mehr oder weniger) schöne Differentialgleichung. Vielleicht könnte man bei der Historie eine Bemerkung wie "John von Neumann benutzte um 1930 funktionalanalytische Methoden, um die Quantenmachanik zu axiomatisieren." einflechten. Als Quelle könnte man seine "Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik" von 1932 nennen. Denn meiner Meinung nach gehören FA und QM zusammen. Jetzt sind sie vielleicht geschiedene Leute, aber zumindest Von Neumann hat ihnen zu einer kleinen Affäre verholfen. ;)

Vielen Dank für die Überarbeitung, Leute. --R. Möws 22:01, 18. Okt. 2006 (CEST)

Habe mal die Literatur wikifiziert, das ist schon recht viel. Fragen:

1. Könnten wir die etwas untergliedern (etwa einführende, angewandte, historische ...), kenne leider nur drei der Bücher von innen...?
2. Gehört „Geschichte der FA“ und Geschichte der Anwendungen der FA zu diesem Lemma? Hätte da grade etwas Literatur: John von Neumann and the foundations of quantum physics von Miklós Rédei zur Anwendung in QM und Heuser (1992) hat eine nette kurze Zusammenfassung zur Geschichte der FA am Schluss, die ich verwenden könnte.
3. Metafrage (hab' immer noch nicht die disku-Kultur in WP so recht verstanden): Wieso findet diese Diskussion im Forum statt und nicht auf Diskussion:Funktionalanalysis? Anders gefragt: Murkse ich hier rum, wenn ich die disku, die ja mal einen etwas anderen Kern hatte, hier weiterführe?--KleinKlio 17:21, 24. Okt. 2006 (CEST)

i) Eine kommentierte bzw. gegliederte Literaturliste ist hier bestimmt sinnvoll. Dein Ansatz sieht doch gut aus. ii) Geschichte gehoert immer zum Artikel, auch Anwendungen. iii) Sie findet hier statt, weil sie hier begonnen wurde, was ja auch zum Erfolg gefuehrt hat :-) Irgendwann sollte man das hier vielleicht auf die Diskussionsseite von FA kopieren. Grundsaetzlich ist es eigentlich egal, wo die Diskussionen stattfinden, Hauptsache sie sind konstruktiv. --P. Birken 11:18, 25. Okt. 2006 (CEST)

Danke P. Birken für die Hinweise. Zu 1. (Untergliederung /*Lit.*/) würde ich die Tage mal ein paar Kommentare nach der Liste einfügen, (Zu den Büchern die ich einigermaßen gut kenne). Kennt jemand (wg. Form/Gestaltung) ein Lemma, wo dies schon mal gemacht wurde? Zu 2. Geschichte der FA: Größere Sache, Heuser (1992) hat dazu 62 Seiten. Traue mir zu, das mal auf Lexikon (eine Bildschirmseite) runterzubrechen, aber nicht ganz so schnell wie 1.--KleinKlio 19:14, 26. Okt. 2006 (CEST)

Einfließende mathematische Teilgebiete

Die in die Funktionalanalysis einfließenden mathematischen Teilgebiete auf Analysis und Lineare Algebra zu beschränken, ist zu kurz gesprungen. Verallgemeinerungen der Analysis sind klar: Norm-Konvergenz, Vollständigkeit, Maßtheorie, partielle Differentialgleichungen, usw. Die Theorie der Banachalgebren benötigt wesentlich mehr als Lineare Algebra. Dort treten u.a. Begriffe wie Jacobson-Radikal, Idealtheorie, K-Theorie , usw. auf; für C*-Algebren kann man viele topologische Begriffe mit algebraischen in Verbindung setzen. Die Theorie der topologischen Vektorräume, insbesondere die der lokalkonvexen Räume, erfordern über die Analysis hinausgehende Methoden der Topologie (Satz von Banach-Alaoglu, Topologien von LF-Räumen bzw. Distributionenräumen, Satz von Krein-Milman, usw.). Man könnte sogar noch Verbindungen zur Funktionentheorie anfügen, siehe z.B. Satz von Gelfand-Mazur, Spektralradiusformel, Montelräume, usw. Ich hoffe diese Auflistung, die sich problemlos erweitern ließe, überzeugt, dass die Beschränkung auf Analysis und Lineare Algebra zu eng ist. Ich habe daher eine entsprechende Aänderung im Artikel wieder zurückgerollt.--FerdiBf 20:38, 14. Apr. 2011 (CEST)