Diskussion:Funktionenraum

Vektoren

Was sind denn dann die Vektoren des Vektorraums? Ist jede Funktion ein eigener Vektor oder ist jede Funktion eine andere Komponente der Vektoren?? 2003:E7:2F09:BA83:5809:10AE:98C1:FC9C 08:00, 22. Jun. 2019 (CEST)

Jede Funktion ist ein eigener Vektor. --Digamma (Diskussion) 19:11, 22. Jun. 2019 (CEST)

Erweitern

Standardnotationen $C^{k},C^{\infty },C_{0}^{\infty },{\mathcal {D}},L_{\mathrm {loc} }^{p}$, Schwarzfunktionen. Evtl. Topologien.-- Gunther 12:57, 13. Apr 2005 (CEST)

Ist der Begriff des Funktionenraums auf vektorwertige Funktionen beschränkt? In der Topologie betrachtet man mapping spaces ("Abbildungsräume"?), die im allgemeinen nicht vektorwertig sind, also auch keine naheliegende Vektorraumstruktur tragen. --FRR 17:30, 27. Aug 2005 (CEST)

Würde ich aber definitiv Abbildungsräume nennen. Der Begriff der Funktion ist ja weitgehend auf vektorwertige Abbildungen beschränkt.--Gunther 20:59, 28. Aug 2005 (CEST)

Das stimmt so einfach nicht. Der Begriff der Funktion von X nach Y ist schlicht als eine Teilmenge des Kreuzproduktes XxY mit bestimmten Eigenschaften (Eindeutigkeit, Ausschöpfung von X) definiert - ohne jeden Bezug auf irgendeine (algebraische oder sonstige!) Struktur. Ich plädiere daher dringend für eine Änderung des Textes! Sicherlich sind Funktionenmengen zwischen Vektorräumen interessante Beispiele - aber bei weitem nicht die einzigen oder auch nur dominierenden! So ist z.B. die Theorie der topologischen Funktionenräume (OHNE algebraische Struktur im Hintergrund) nebst Verallgemeinerungen von großer Bedeutung und recht weit entwickelt. Marvinius 19:34, 09. July 2006

Es geht nicht darum, was formal unter den Begriff der Funktion fällt (dann sind Funktion und Abbildung synonym), sondern in welchem Kontext welches Wort tatsächlich verwendet wird.--Gunther 08:43, 12. Jul 2006 (CEST)

In der Mathematik geht es eigentlich immer darum, was "formal unter einen Begriff fällt" - sonst wär's auch eher voodoo. Es handelt sich also bei "Funktionenräumen" um Mengen von Funktionen mit einer wie auch immer gearteten (ggf. leeren) Struktur. Es ist meiner Erfahrung nach aber nicht einmal wahr, daß das fragliche Wort auch nur hauptsächlich (geschweige denn überwiegend oder ausschließlich) mit Bezug auf algebraische Strukturen benutzt würde. Wesentliche Beispiele für cartesisch abgeschlossene Kategorien (solche mit "natürlichen" FUNKTIONENRÄUMEN), wie etwa pseudotopologische Räume oder semiuniforme Konvergenzräume leben ganz gut ohne lineare Struktur ... Wie wäre es damit, den Wikipedia-Eintrag dementsprechend anzupassen und z.B. das fragliche Wort zu erklären als "Mengen von Funktionen zwischen zwei Mengen X und Y mit einer wie auch immer gearteten (ggf. leeren) Struktur, wobei es meistens darum geht, daß die Mengen X und/oder Y selbst bereits mit einer algebraischen, topologischen oder sonstigen Struktur ausgerüstet sind und man dann erstens oft nur die 'strukturverträglichen' Funktionen (Morphismen) betrachtet und zweitens bemüht ist, die jeweils in Rede stehende Menge von Funktionen mit einer Struktur derselben Sorte auszurüsten." Als Beispiele dann die bisherigen und z.B. die Struktur der stetigen Konvergenz auf der Menge der stetigen Funktionen zwischen pseudotopologischen Räumen. Wär' das für Dich in Ordnung? - Am einfachsten wäre es freilich, den englischen Eintrag für "function space" einfach zu übersetzen ;-) Marvinius 19:13, 19. July 2006

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 10:32, 17. Okt. 2012 (CEST)

Schreibweise von Funktionenräumen

Ist in der Literatur die Notation $\mathbb {K} ^{M}$ nicht gebräuchlicher als die hier in der Definition gebrauchte ${\mathcal {F}}(M,\mathbb {K} )$? --KleinKlio 19:59, 11. Okt. 2006 (CEST)

Sehe ich auch so. Aber auch $\operatorname {Abb} (M,\mathbb {K} )$ fände ich noch relativ gebräuchlich.--JFKCom 20:40, 1. Nov. 2006 (CET)

Dann hab ich halt mal Mut gefasst.--KleinKlio 22:04, 1. Nov. 2006 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 10:46, 16. Okt. 2012 (CEST)

Metrik auf dem Funktionenraum

Ich habe noch einige Probleme mit diesem Abschnitt:

• Der Titel suggeriert, dass es den Funktionenraum gibt. Aber das was hier beschrieben wird, ist doch nur ein Beispiel eines Funktionenraumes (wenn ich es richtig verstanden habe). Man könnte dann auf diesen Abschnitt verzichten und das Beispiel im ebenso genannten Kapitel einordnen.
• Bezeichnet ${\mathcal {F}}_{b}(M,\mathbb {K} )$ eigentlich den Raum der beschränkten Funktionen? Auf jeden Fall müsste man das erklären. Wäre dann nicht eher eine Bezeichnung wir ${\mathcal {B}}(M,\mathbb {K} )$ oder analog zur Situation bei den stetigen Funktionen $\mathrm {Abb} _{b}(M,\mathbb {K} )$? Die hier verwendte Bezeichnung scheint gemäss obenstehender Diskussion noch Überbleibsel von in früheren Versionen verwendeten Bezeichnungen zu sein.

Wenn kein Widerspruch kommt, werde ich den Abschnitt entsprechend anpassen. UrsZH 21:08, 25. Nov. 2008 (CET)

Nach nochmaliger Betrachtung des Artikels bin ich zum Schluss gekommen, dass eigentlich nach der Einleitung nur noch Beispiele vorhanden sind, und deshalb die Einteilung in "Formale Definition eines Funktionenraums", "Metrik auf dem Funktionenraum" und "Beispiele" nicht sinnvoll ist.

Vorschlag für Umstrukturierung:

• Einleitung wie bisher
• Formale Definition allgemein als Teilmenge von einem $Y^{X}$ für beliebige Mengen $X$ und $Y$.
• Die Beispiele aus dem aktuellen Artikel.

Einverstanden? UrsZH 20:05, 29. Nov. 2008 (CET)

Das halte ich für eine gute Idee. Mit dem Abschnitt über die Metrik kann ich auch nichts anfangen. Ich kenne ${\mathcal {F}}$ nur als Symbol für den Raum der stetigen Funktionen, vielleicht meint ${\mathcal {F}}_{b}$ den Raum der stetig, beschränkten Funktionen. Aber bevor hier das Rätselraten losgeht einfach löschen. Aber eigentlich ist das ein typisches Problem des Artikels. Die Notation ist nicht konsequent. Es wäre bestimmt sinnvoll zu erklären, dass die Zeichen ${\mathcal {F}},{\mathcal {D}},{\mathcal {E}},{\mathcal {O}}$ die selben Mengen von Funktionen beschreiben wie die Symbole $C,C^{\infty },C_{c}^{\infty },C^{\omega }$, jedoch werden die ersten Räume meist im Zusammenhang mit Garben verwendet. --Christian1985 20:29, 29. Nov. 2008 (CET)

Ich habe mal den Artikel wie oben erwähnt strukturiert und einige Anpassungen an den Definitionen vorgenommen. Ich hoffe, dass sich durch die Umbauarbeiten nicht zuviele Fehler eingeschlichen haben. UrsZH 21:58, 29. Nov. 2008 (CET)

Das war meiner Ansicht schonmal ein großer Schritt in die richtige Richtung. Vielleicht kann man die Liste noch übersichtlicher gestalten. Aus dem Bereich der Funktionentheorie fehlen noch die Räume der holomorphen und meromorphen Funktionen und die Hardy-Räume gehören wohl auch eher dorthin. Im Bereich der Funktionalanalysis fehlen noch die Hölder-Stetigen Funktionen und die schwachen Lp-Funktionen. Außerdem wäre es noch wichtig die Testfunktionen zu erwähnen. --Christian1985 22:36, 29. Nov. 2008 (CET)

Ich hab die holomorphen Funktionen noch ergänzt und Unterüberschriften eingefügt. --Christian1985 22:52, 29. Nov. 2008 (CET)

Das sieht wesentlich besser aus. Wird eigentlich der Begriff Funktionenraum haupsächlich in der Analyis/Funktionalanalysis und Topologie verwendet? Wenn man die Beispiele anschaut, könnte man den Eindruck haben. Da ich selbst aus dieser Richtung komme, kann ich wenig dazu sagen. UrsZH 22:58, 29. Nov. 2008 (CET)

Ich kenne mich im Bereich der Algebra auch nicht gut aus. Aber soviel ich weiß spricht man meist in der Funktionalanalysis von Funktionenräumen. Wenn man nun die Gruppen aus der Algebra ergänzen würde, würde dies sicher den Rahmen sprengen. --Christian1985 18:07, 3. Dez. 2008 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 10:34, 17. Okt. 2012 (CEST)

weitere Beispiele für Funktionenräume

Rein formal sind Landau-Symbole ja auch Funktionenräume, vielleicht könnte man sie bei den Beispielen erwähnen. Wenn niemand was dagegen hat, würde ich das bei Gelegenheit mal ergänzen.--Flegmon 15:41, 20. Jul. 2011 (CEST)

aber diese werden wohl eher selten als Funktionenraum bezeichnet oder? --Christian1985 (Disk) 10:34, 17. Okt. 2012 (CEST)

"Definition"

Inzwischen ist die Definition so allgemein, dass sie schon beliebig ist. "Ein Funktionenraum ist eine Teilmenge von $N^{M}$." Aber eine Menge ist noch kein "Raum". Da ist schon noch eine zusätzliche Struktur nötig: die eines Vektorraums, eines topologischen Raums, eines metrischen Raums, eines normierten Raums, ...

Ich kenne eigentlich im Wesentlichen zwei Typen: Vektorräume (nur algebraisch oder mit Zusatzstruktur) und topologische Räume (mit und ohne Zusatzstruktur). Ich denke, dies sollte sich im Artikel widerspiegeln. Der Artikel sollte klar zwischen diesen zwei Bedeutungen unterscheiden und für jeden eine Definition angeben, d. h. etwa so:

1. Ist A eine Menge und X ein Vektorraum, so bildet X^A mit der punktweisen Addition und skalaren Multiplikation einen Vektorraum. Lineare Funktionenräume sind Unterräume von so einem Vektorraum.

2. (Vgl. Querenburg, Topologie, Kapitel 14 Funktionenräume) Mengen von Abbildungen in einen topologischen Raum, die selbst wieder eine von der Topologie (oder Zusatzstruktur) des Zielraums (und evtl. des Urbildraums) abgeleitete Topologie tragen. Z.B. die Menge aller Abbildungen von einer Menge in einen topologischen Raum mit der Topologie der punktweisen Konvergenz (Produktraum); oder die Menge aller Abbildungen in einen uniformen (oder metrischen) Raum mit der Topologie (bzw. uniformen Struktur) der gleichmäßigen Konvergenz. --Digamma (Diskussion) 22:25, 13. Okt. 2012 (CEST)

Du hast völlig Recht mit Deinem Kritikpunkt. Jedoch fällt mir spontan kein Funktionenraum, der keine Topologie trägt. Nur wie zum Beispiel bei den $C^{k}$-Räumen interessiert man sich dann eher selten für diese, oder?--Christian1985 (Disk) 13:21, 14. Okt. 2012 (CEST)

Wenn du den Modul der linearen Abbildungen zwischen zwei Moduln betrachtest, wirst du den wohl normalerweise mit keiner Topologie ausstatten. Allerdings wirst du den wahrscheinlich auch nicht Funktionenraum nennen, hm… --Chricho ¹ ² ³ 13:31, 14. Okt. 2012 (CEST)

Dirk Werner schreibt im Lexikon der Mathematik: "Funktionenräume sind Banachräume oder allgemeiner topologische Vektorräume, die aus Funktionen bestehen. Es ist eine Grundidee der modernen Analysis, Funktionen als Punkte in einem geeigneten Vektorraum zu interpretieren und Probleme der Analysis durch Abbildungen auf einem solchen Raum zu studieren. Um zu nichttrivialen Aussagen zu gelangen, muß man diese Vektorräume jedoch mit einer Norm oder einer Topologie versehen;…" Danach werden nur noch einige wichtige Beispiele an Funktionenräumen gebracht. Auch Triebel bezeichnet in seinem Buch nur Vektorräume als Funktionenräume, die eine gewisse topologische Struktur aufweisen. Wollen wir daher nicht im Abschnitt Definition etwas angeleht an D. Werner schreiben? --Christian1985 (Disk) 15:15, 14. Okt. 2012 (CEST)

Ich komme deshalb darauf, weil ich im Artikel Vektorraum als Beispiel "Funktionenräume" hinzugefügt habe. Und zwar erstmal ganz allgemein, d.h. Definitionsmenge ist irgendeine Menge, Zielmenge ist ein Vektorraum. Alle konkreten Funktionen-Vektorräume sind Unterraum von so einem Raum. Ich wüsste aber nicht, wie ich diese Räume nennen sollte, wenn man den Begriff auf Funktionenräume mit einer Topologie einschränken möchte. Und ich wollte eigentlich auf diesen Artikel als "Hauptartikel" verweisen. Dirk Werner schreibt offenbar aus der Sicht der Analysis. Mir geht es um die lineare Algebra.

Man könnte natürlich bei dem Beispiel im Artikel Vektorraum einfach schreiben: "Vektorräume von Funktionen" oder "Vektorräume von Abbildungen". Oder gar nicht auf den Raum, sondern auf seine Elemente beziehen, und schreiben: "Abbildungen in einen Vektorraum" oder auch nur "Abbildungen" oder "Funktionen"

Trotzdem bleibt hier das Problem, dass die Definition so allgemein ist, dass sie nichtssagend ist.

Vorschlag: Wie wäre es mit einem allgemeinen Satz der Art "Funktionenräume sind Vektorräume, topologische Räume oder topologische Vektorräume, die aus Funktionen bestehen", gefolgt von drei Abschnitten "Vektorräume von Funktionen", "topologische Funktionenräume", "topologische Vektorräume von Funktionen", in den die einzelnen Konzepte erklärt werden (Vektorraumstruktur, verschiedene induzierte Topologien, die Kombination von beidem, jeweils mit den entsprechenden Beispielen.) Da kann dann z.B. $C^{k}(M)$ zunächst ohne Topologie bei den Vektorräumen auftauchen, und später mit Topologie bei den topologischen Vektorräumen. Und $C^{k}(M,N)$, $N$ eine Mannigfaltigkeit, bei den topologischen Funktionenräumen. --Digamma (Diskussion) 21:22, 14. Okt. 2012 (CEST)

Nach etwas googlen fand ich auch den Begriff Funktionenraum für bestimmte Funktionenräume in der linearen Algebra. Das Buch von Querenburg ist dann wohl eine Quelle für die "topologischen Funktionenräumen"? Okey, dann können wir Deinen Vorschlag gerne umsetzen. Jedoch fühle ich mich nicht dazu in der Lage, den Abschnitt über die "topologischen Funktionenräumen" zu verfassen. Grüße--Christian1985 (Disk) 18:11, 15. Okt. 2012 (CEST)

Ich könnte das beisteuern, was im Querenburg steht. Darüberhinaus bin ich hier kein Experte. --Digamma (Diskussion) 19:03, 15. Okt. 2012 (CEST)

Im Abschnitt #Erweitern wurde auch schonmal kurz darüber gesprochen, ob es den Begriff des Funktionenraums bei Funktionen zwischen topologischen Räumen gibt. --Christian1985 (Disk) 10:49, 16. Okt. 2012 (CEST)

Ich habe mal versucht einen Teil der Diskussion umzusetzen. Kannst Du, Diagamma, das bitte mal durchgehen und dann noch den Teil aus dem van Querenburg ergänzen?--Christian1985 (Disk) 11:27, 16. Okt. 2012 (CEST)

Ich habe mal einen Unterabschnitt zur Topologie eingefügt. Allerdings möchte ich vorschlagen, den Artikel anders zu gliedern: nicht einen Abschnitt "Definition" mit drei Unterabschnitten zur linearen Algebra, Funktionalanalysis und Topologie, sondern drei Abschnitte zur linearen Algebra, Funktionalanalysis und Topologie mit jeweils Unterabschnitten "Definition", "Eigenschaften", "Beispiele" usw. Insbesondere in der Topologie bräuchte man drei Unterabschnitte zu "Produkttopologie" (= Topologie der punktweisen Konvergenz)", "Topologie der gleichmäßigen Konvergenz" und "kompakt-offene Topologie". Oder würde das den Artikel überfrachten? --Digamma (Diskussion) 19:29, 16. Okt. 2012 (CEST)

Hallo Christian, deine Definition für den Fall der Funktionalanalysis stimmt so nicht. In vielen Fällen muss man nämlich zuerst zu einem Untervektorraum übergehen (z.B. dem Unterraum der stetigen Funktionen oder dem der stetig-differenzierbaren), bevor man die topologische Struktur (z.B. eine Norm) definierren kann. --Digamma (Diskussion) 19:55, 16. Okt. 2012 (CEST)

Ich habe versucht den Fehler zu korrigieren. Ist die Inklusion $C^{k+1}(\Omega )\subset C^{k}(\Omega )$ keine topologische Inklusion bezüglich der üblichen Fréchet-Topologie? Habe da noch gar nicht drüber nachgedacht. Du kannst den Artikel gerne umstrukturieren. Ich weiß leider nicht was für Eigenschaften ich noch ergänzen kann. Mit den topologischen Aspekten tue ich mich etwas schwer, aber ich halte sie durchaus für sinnvoll!--Christian1985 (Disk) 10:31, 17. Okt. 2012 (CEST)

Nein, bei der Einschränkung nach $C^{k+1}$ wird die Topologie/uniforme Struktur verfeinert (d. h. weniger Netze konvergieren, die Halbnormen/Metrik werden größer, eine Cauchyfolge in $C^{k+1}$, die bzgl. der $C^{k}$-Struktur gegen eine nicht-$C^{k+1}$-Funktion konvergiert, darf ja in $C^{k+1}$ nicht mehr Cauchy-Folge sein). Und so ist das in einem Großteil der Fälle (denke etwa an die Inklusionen von $\ell ^{p}$-Räumen, $L^{p}$-Räumen (bei endlichem Maß), Schattenklassen…). Frage: Die jetzige Beschreibung für den funktionalanalytischen Fall beschränkt sich auf lineare Funktionenräume, sollte man nicht daneben noch die üblichen Fälle von $L^{p}$-, $C^{k}$-Räumen etc. beschreiben – auch wenn sie als Dualraum auftreten mögen? Als Grundidee würde ich dann ansehen, dass man eben Räume von Funktionen mit bestimmten topologischen oder analytischen Eigenschaften betrachtet, die unter Linearkombination erhalten bleiben, und dann die Topologie auf dem Funktionenraum in irgendeinem Sinne die Ähnlichkeit dieser Funktionen bemisst und so gewählt wird, dass man möglichst über Eigenschaften wie Vollständigkeit verfügt, über die man entsprechende Existenzsätze über Funktionen mit jenen Eigenschaften erhalten kann. --Chricho ¹ ² ³ 11:00, 17. Okt. 2012 (CEST)

Danke für Deine Erklärung. Dein vorschlag verwirrt mich nun allerdings etwas. Wieso umfasst die Beschreibung Deiner Ansicht nach beispielsweise nicht die $L^{p}$-Räume? --Christian1985 (Disk) 11:20, 17. Okt. 2012 (CEST)

Weil ich im Kopf den Bezug der Wörter vertauscht habe und irgendwie gelesen habe, nur lineare Funktionen würden betrachtet. --Chricho ¹ ² ³ 11:35, 17. Okt. 2012 (CEST)

Drei Phasen

Wer hat sich denn diese drei Phasen ausgedacht? Samt eigener Bezeichnungen… Also mir kommt diese Schilderung etwas fragwürdig vor. --Chricho ¹ ² ³ 00:28, 14. Okt. 2012 (CEST)

Du meinst den Abschnitt zur Geschichte? Diesen habe ich geschrieben und als Quelle diente mir das unter Literatur angegebene Buch von Triebel.--Christian1985 (Disk) 00:59, 14. Okt. 2012 (CEST)

Hi Christian, schön, dass du wieder da bist. Ja, ich bezog mich auf die Geschichte. Gut, wenn das aus dieser Übersichtsarbeit kommt, will ich von „fragwürdig“ nichts gesagt haben, es wird aber nicht deutlich, was diese Bezeichnungen der Phasen zu bedeuten haben, und wofür man die überhaupt hat. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 02:27, 14. Okt. 2012 (CEST)

Ich war eine Woche auf Urlaub. :) Ich habe in den Geschichtsabschnitt mal den entsprechenden Einzelnachweis eingebaut. Als ich den Abschnitt geschrieben hatte, gabs die Möglichkeit des Einzelnachweises, glaube ich, noch gar nicht so lange, zumindest war sie mir da unbekannt. Leider beantwortet das Buch Deine weiterführenden Fragen auch nicht, da es sich dort lediglich um einen kurzen geschichtlichen Abriss handelt. Vielleicht lassen sich noch andere Quellen erschließen? --Christian1985 (Disk) 13:16, 14. Okt. 2012 (CEST)

Kleiner Fehler bei Beispiele->Funktionalanalysis (Punkt 2)

Ich denke, dass sich im Abschnitt Beispiele->Funktionalanalysis (Punkt 2) ein kleiner Fehler eingeschlichen hat. Hier steht

$\|f\|_{C^{p,\alpha }}:=\sum _{|\beta |\leq p}{\sup _{x\in D}{\|(D^{\beta }f)(x)\|}}+\sup _{x\neq y}{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}$,

wobei nach dem Artikel Hölder-Raum eigentlich

$\|f\|_{C^{p,\alpha }}:=\sum _{|\beta |\leq p}{\sup _{x\in D}{|(D^{\beta }f)(x)|}}+\sum _{|\beta |=p}\sup _{x\neq y}{\frac {|(D^{\beta }f)(x)-(D^{\beta }f)(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}$

stehen sollte. --92.214.201.116 00:03, 7. Jul. 2015 (CEST)

Ja, das stimmt, danke fürs Aufpassen. Ich hab’s korrigiert. -- HilberTraum (d, m) 15:03, 7. Jul. 2015 (CEST)