Diskussion:Galoistheorie

Mit der von Benutzer ElNuevoEinstein vorgenommenen Änderung geht nicht nur der zuvor gegebene Überblick verloren, die Änderung ist darüber hinaus falsch:

Zitat: Sei p(x) ein nicht-konstantes Polynom n-ten Grades über einem gegebenen Körper K, wobei der Koeffizient der n-ten Potenz o.B.d.A. als 1 angenommen werden kann (ansonsten dividiere man das Polynom einfach durch den Koeffizienten der n-ten Potenz). Wir wissen, dass dieses Polynom genau n Nullstellen besitzt. Ist E der Zerfällungskörper von p über K, so wird E erzeugt durch Adjunktion von höchstens n Nullstellen des Polynoms p. Es sei t die Anzahl der Elemente einer kleinstmöglichen Menge von Nullstellen des Polynoms p, die, adjungiert zu K, den Körper E erzeugen. Man sieht leicht, dass entweder t=0 gilt (falls E=K) oder t ein Teiler von n ist; es gilt genau dann t = n, wenn p in K irreduzibel ist, d.h. nicht als Produkt zweier Polynome kleineren Grades mit Koeffizienten aus K dargestellt werden kann. Seien nun e_i, 1=i=t, die Elemente einer kleinstmöglichen Menge von Nullstellen von p, die, adjungiert zu K, den Körper E erzeugen. (Zitatende)

Weder ist t=n ein Kriterium für die Irreduzibilität (z.B. ist bei einer irreduziblenen quadratischen Gleichung t = 1), noch muss t ein Teiler von n sein (z.B. gilt für Gleichungen fünften Grades mit einer Galois-Gruppe von 20 Elementen t = 2). -- 22.09.2008 22:12 Lefschetz

Unabhängig von der Fehlerkorrektur sollte generell versucht werden, zunächst Formalismen zu begrenzen. Wikipedia-Artikel richten sich primär an Leute, die sich einen ersten Überblick verschaffen wollen. -- 23.09.2008 06:44 Lefschetz

Leider hat ElNuevoEinstein einen Teil seiner Fehler wieder hereingestellt, so dass ich die alter Version wiederhergestllt habe:

Zitat: Sei p(x) ein nicht-konstantes Polynom n-ten Grades über einem gegebenen Körper K, wobei der Koeffizient der n-ten Potenz o.B.d.A. als 1 angenommen werden kann (ansonsten dividiere man das Polynom einfach durch den Koeffizienten der n-ten Potenz). Wir wissen, dass dieses Polynom genau n Nullstellen besitzt. Ist E der Zerfällungskörper von p über K und ist K von E verschieden, so wird E erzeugt durch Adjunktion von t Nullstellen von p zu K, wobei t ein von n verschiedener Teiler von n ist. (Zitatende)

Wie beim letzten Mal erlaube ich mir einfach den Hinweis, dass Beispiele für t=2 und n=5 bzw. t=2 und n=3 bekannt sind, d.h. t ist KEIN von n verschiedener Teiler.

Unabhängig von den Fehlern ist die Galois-Theorie klassisch eine Symmetrie zwischen den Wurzeln, während die (heute übliche) Formulierung auf Basis der Begriffe Körper und Gruppe in den Abschnitt "Moderner Ansatz" gehört und schon gar nicht an den Anfang eines Wiki-Artikels, der ja auch noch von interessierten Laien verstanden werden soll.

Ich bitte ElNuevoEinstein, seine Korrekturversuche besser zu überdenken. -- 05.12.2008 07:25 Lefschetz

"Galoistheorie ist der Bereich der Algebra." - Was möchte uns der Artikelautor mit diesem nichtssagenden Satz mitteilen? -- 89.183.1.90 23:43, 25. Okt. 2011 (CEST)

In der Tat! Ich denke, das wohl Gemeinte wird jetzt getroffen.--Lefschetz 08:25, 26. Okt. 2011 (CEST)

'Zyklenschreibweise'

'Zyklenschreibweise' wird im Artikel benutzt. Bin im 1. Semester Mathe, aber muß es nicht 'Zykelnschreibweise' heißen.

Cheers Detlef (nicht signierter Beitrag von 93.219.130.77 (Diskussion) 23:12, 16. Jan. 2016 (CET))

Hallo, „Zykelnschreibweise“ eher nicht, da findet man mit Google gar nichts. Aber sowohl „Zykelschreibweise“ als auch „Zyklenschreibweise“ geht und beides ist verbreitet. Grüße -- HilberTraum (d, m) 13:55, 17. Jan. 2016 (CET)

Link zu Wikiversity

Verweis auf Standardkurs auf Wikiversity erlaubt es, dort durch eine einzige Umstellung auf einen akktualisierten Kurs umzustellen, was dann alle Links von hier zur Galoistheorie dort betrifft. Konkret, wenn ich in ein par Jahren die Galoistheorie im Rahmen eines neuen Kurses überarbeite, muss ich hier keine Links erneuern. Gruß, Holger Brenner.

neuer Abschnitt #Bestimmung der Galoisgruppe durch Matrizenrechnung

Im neuen Abschnitt habe ich als Belege nur gefunden, und in den erwähnten §§40, 41, 46 nichts von einer Matrixdarstellung der gezeigten Art. Insofern kommt mir der neue Abschnitt wie WP:OR vor. Ich halte für möglich, dass es nicht richtig schwer ist, das alles zu beweisen. Dennoch ist es mMn zuviel Holz, als dass man es an der Mauer einfach so abstellen könnte.

--Nomen4Omen (Diskussion) 09:01, 24. Okt. 2022 (CEST)

Hallo Nomen4Omen,

Das erste Beispiel zur Galoistheorie - Bestimmung der Galoisgruppe über alle Permutationen im Ausschlussverfahren - habe ich in der vorliegenden Form erstellt. Ich hatte das Beispiel damals in verkürzter Darstellung und mit einem Fehler vorgefunden, einen Einzelnachweis gab es nicht. Das Beispiel erläutert meiner Meinung nach gut den zuvor beschriebenen und nicht leicht zu verstehenden "Klassischen Ansatz" (ohne Verwendung der Galois-Resolvente). Deshalb habe ich es erweitert, allerdings ist es dadurch auch recht umfangreich geraten. Ich habe versucht, es in einer Klapp-Box unterzubringen, aber das ist wegen der verwendeten Tabelle nicht möglich.

Anschließend habe ich für dieselbe Problemstellung die Galoisgruppe mit Hilfe eines primitiven Elementes bestimmt. Dieses Beispiel habe ich - wie auch im Einzelnachweis 1) angegeben - in der Literatur gefunden.

Viele Grüße von

--Mathemix (Diskussion) 18:52, 25. Okt. 2022 (CEST)

@Mathemix, Stueckl: Seid ihr ein Autor oder zwei?

Auf jeden Fall erstmal vielen Dank und meine Bemerkung, dass ich eine algorithmische Konstruktion der Galois-Gruppe interessant finde und irgendwie überzeugt bin, dass es sie schon gibt.

Gehen die deinen Weg?

Die Proposition 4.8 im Einzelnachweis 1) ist sehr lang. Es fehlt auch ein bekannter Name dafür.

Die Gegenüberstellung »Galoisgruppe über alle Permutationen im Ausschlussverfahren« und »Galoisgruppe durch Matrizenrechnung« könnte deutlicher sein.

Eine andere Frage ist, ob »Galoisgruppe durch Matrizenrechnung« besser in »„Galois-Resolvente“ im Artikel „Lagrange-Resolvente“« untergebracht ist.

–Nomen4Omen (Diskussion) 20:04, 25. Okt. 2022 (CEST)

Hallo zusammen,

erstmal vielen Dank für die Rückmeldungen. Mathemix und Stueckl sind zwei Personen :-)

Für mich war Anlass für die Ergänzung »Galoisgruppe durch Matrizenrechnung«, dass unter der Überschrift »Berechnung der Galoisgruppe« steht »Die Galoisgruppe eines Polynoms ist in der Regel nicht leicht zu bestimmen«. Mit der Matrizenrechnung ist zwar die konkrete Berechnung auch unter Umständen umfangreich, je nach Dimension der Matrizen, die natürlich vom Grad der Körpererweiterung abhängt. Aber es ist ein algorithmisches Verfahren, und für die eigentlichen Berechnungen kann man Computer-Programme in Anspruch nehmen. Darauf wird in einer Bemerkung am Ende hingewiesen. Die Aufstellung der M-Matrizen ist leicht, weil man nur die Potenzen der Nullstellen ausrechnen muss, und selbst das ist rechnergestüzt denkbar. Der Rest ist einfache Rechnerei.

Die Frage, ob hier Theoriefindung (vgl. WP:OR) vorliegt, habe ich mir auch kurz gestellt. Aber mal ehrlich, es klingt doch lächerlich, dass ich 190 Jahre nach Galois' Tod der Erste wäre, der auf diesen Ansatz kommt. Das Problem ist eher, dass solche Rechnungen typischerweise nicht im Textteil von Lehrbüchern, sondern in Aufgabensammlungen vorkommen. Ich habe z. B. in K. Meyberg / P. Vachenauer, »Aufgaben und Lösungen zur Algebra« ähnliche Aufgaben gefunden. Da ist an etlichen Stellen die Rede von Vektorräumen, Basen, Gradvergleichen (d. h. Dimensionsvergleichen von Vektorräumen) etc. Es ist nur schwierig, darauf Bezug zu nehmen, wenn es nicht exakt so dasteht. Überspitzt gesagt, könnte man es schon als Theoriefindung abtun, wenn das Beispielpolynom ein anderes ist als im Lehrbuch. Im Mathematikbereich ist so eine Auslegung m.E. fatal. Und die bereits veröffentlichten Verfahren/Beispiele im Artikel sind ja offensichtlich auch nicht 1:1-Übernahmen aus einem Lehrbuch, Einzelnachweise gibt es dort auch nur einen einzigen.

Noch eine Bemerkung zu den bereits beschriebenen Verfahren zur Bestimmung der Galoisgruppe. Die finde ich gut und auch passend zugeordnet zu klassischem Ansatz und modernem Ansatz (Überschriften auf Stufe 2). Ich hätte dazu die Idee, die Zwischenüberschriften auf Stufe 3 aussagekräftiger zu machen. Also konkret: Statt »Beispiel« unter klassischem Ansatz »Bestimmung der Galoisgruppe über alle Permutationen im Ausschlussverfahren«. Vor dem dortigen Absatz, der mit »Alternativ kann die Galoisgruppe...« beginnt, könnte man die Zwischenüberschrift »Bestimmung der Galoisgruppe mit Hilfe eines primitiven Elementes« einfügen. Bei der Überschrift »Berechnung der Galoisgruppe« könnte ich mir vorstellen, die Stufe um 1 herauf zu setzen auf 3, denn die Galois-Resolvente ist ein klassischer Ansatz, vielleicht mit der Ergänzung »Berechnung der Galoisgruppe mit Hilfe der Galois-Resolvente«. Das Matrizenverfahren würde ich deshalb auch nicht in den Artikel Lagrange-Resolvente schieben. Denn es ist ein moderner Ansatz, Vektorräume kannte man in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts noch nicht. Und schließlich könnte man »Beispiel« unter modernem Ansatz in »Bestimmung der Galoisgruppe als Automorphismengruppe« umbenennen. Danach »Bestimmung der Galoisgruppe durch Matrizenrechnung« würde gut ins Schema passen, und die Struktur des Artikels wäre im Ganzen sehr übersichtlich und sprechend.

Danke nochmals und viele Grüße --Stueckl (Diskussion) 10:54, 26. Okt. 2022 (CEST)