Diskussion:Geodätische Krümmung

Verallgemeinerung im $\mathbb {R} ^{n}$

Gibt es eine für Hyperflächen im $\mathbb {R} ^{n}$ gültige Definition von Geodätischer Krümmung? In diesem Falle wäre die Definition dieser über das Kreuzprodukt, welches zunächst nur im $\mathbb {R} ^{3}$ erklärt ist, etwas ungünstig. Vielleicht kann dies mal jemand passend verallgemeineren.

--141.30.72.78 11:56, 22. Jun. 2009 (CEST) $R^{n}$

Darstellung

Die Darstellung ist etwas formellastig. Es wird nicht richitg erklärt, was die Formeln bedeuten: Man kann den Krümmungsvektor der Kurve (der orthogonal zum Tangetialvektor der Kurve ist) in zwei zueinander orthogonale Anteile zerlegen: einen, der orthogonal zur Fläche ist; dessen Betrag ist die Normalkrümmung und hängt nur von der Krümmung der Fläche und der Richtung des Tangentialvektors der Kurve ab (aber sonst nicht vom Verlauf der Kurve). Und einen zweiten, der tangential zur Fläche ist; dessen Betrag ist die geodätische Krümmung.

Es werden auch die Bestandteile der Formel nicht erklärt: Was ist ${\vec {n}}({\vec {r}}(s))$? Was bedeutet die eckige Klammer?

Warum heißt der Abschnitt "Normalkrümmung"? Das ist genau der Anteil der Krümmung, um den es nicht geht.

In der Einleitung steht: "Anschaulich ist sie die Krümmung der in die Tangentialebene projizierten Kurve." Nur anschaulich? Oder wie ist das gemeint?

Weiter steht im Artikel (was natürlich wichtig ist), dass die geodätische Krümmung zur inneren Geometrie der Fläche gehört und mit Hilfe der ersten Fundamentalform beschrieben werden kann. Das wird dann aber nicht getan. --Digamma 22:12, 20. Dez. 2011 (CET)