Diskussion:Gerade

Windschiefe Gerade ????

In zwei Dimensionen sind Geraden parallel oder haben einen gemeinsamen Schnittpunkt. „In drei und mehr Dimensionen können sie zusätzlich windschief sein.“

Das letztere dürfte ja wohl so mehr ein „Bauernausdruck“ sein, ich lösch es mal im Lemma. --Berndt Meyer 17:34, 31. Mai 2007 (CEST)

"Bauernausdruck"? Na, das stimmt nicht. Den Begriff habe ich schon in der Schule gelernt, ist also allgemein etabliert (http://de.wikipedia.org/wiki/Windschief).

Wann 2 Geraden windschief sind, haben wir sogar in der Uni in einer Geometrie-VL gelernt, also gibt es den Ausdruck sicher. Ausserdem muss man ja irgendeinen Namen haben, dafür, dass 2 Geraden weder parallel sind, noch sich schneiden. Ansonsten könnte man darüber nicht reden. Ich bringe den Satz jetzt wieder in den Artikel

offensichtlich?

Ich denke mal, dass es für Nichtmathematiker nicht allzu offensichtlich ist, warum das Axiom "Geraden sind parallel oder haben einen gemeinsamen Schnittpunkt." dem Exaktheitsanspruch der Mathematik nicht genügt. Ich würde mich freuen, wenn das noch weiter ausgeführt werden könnte

danke, --77.179.80.174 02:29, 16. Jul. 2007 (CEST)

Kurve?

Die Definition einer Gerade als unendliche gerade Linie ist mehr als unkorrekt.Was ist gerade? Jede unendlich lange Kurve wäre dann eine Gerade. Passender vielleicht. Im Gegensatz zur Kurve hat die Gerade in der Zweidimensionalität keine Tangenten. Sollte man den Punkten der Gerade dennoch Tangenten zu zuordnen versuchen, so fallen diese auf die Gerade selbst. Alle Tangenten einer Gerade haben in diesem Fall den gleichen Neigungswinkel,etc.. Dies lässt natürlich Folge richtig den Schluss zu, das Tangenten Geraden sind.-- Bernhard Hanreich 20:34, 12. Mai 2011 (CEST)

Diese Definition würde zirkulär, denn eine Tangente ist eine Gerade mit bestimmten Eigenschaften. Um über Tangenten zu sprechen muss man Geraden schon kennen. Aber die "Definition" ist natürlich keine, sondern nur eine Beschreibung. Es soll dabei auch nicht das Adjektiv "gerade" definiert werden, sondern nur festgelegt werden, was man in der Geometrie unter einer "Geraden" versteht. Dazu gehört natürlich die Eigenschaft "gerade", aber eben auch die beidseitig unendliche Ausdehnung. Um letzteres geht es in dem monierten Satz. -- Digamma 21:56, 13. Mai 2011 (CEST).

Da gebe ich DIr recht. Doch stellt sich mir hier bei die Frage, ob eine Linie zwingend gerade sein muss? Liest man die ersten beschreibenden Zeilen, so scheint zwischen Gerade und Linie kein Unterschied. Doch gebe ich zu bedenken, dass eine Linie sowohl eine Gerade wie auch eine Kurve sein kann. Diese Beschreibung würde heissen, eine Gerade ist eine Kurve und umgekehrt. Ist dem so? Ich denke aus dem oben genannten Grunde (Tangenten) nicht. Nicht einmal der sogenannte gekrümmte Raum, den es so ja nicht als alles überspannende WIrklichkeit gibt, weil der Raum an und für sich ohne Form und Grenze ist, er ist einfach, kann an der elementaren Eigenschaft einer Geraden rütteln. Eine Eigenschaft der Geraden fand ich noch nicht erwähnt. Es ist nicht nur die kürzeste Verbindung zweier Punkte, sondern eine Gerade ist eine Achse, um die man jedes x-beliebige Objekt drehen kann, ohne, dass die Gerade von Ihrer Form abweicht. Mit anderen Worten dreht man die Gerade entlang ihrer selbst, weicht kein einziger Punkt von Ihr ab. Man kann sogar den gekrümmten Raum um eine Gerade drehen, ohne dabei die Gerade im geringsten zu verändern. Der gekrümmte Raum ist eben so wie der nicht gekrümmte nur ein kleiner Teilbereich des Raumes, so zusagen ein begrenzter. Ich will damit nicht sagen, dass ein gekrümmter Raum nicht einer Geradengleichung eine andere Form geben kann. Dann allerdings ist es keine Gerade mehr und eine Geradengleichung sieht im gekrümmten Raum halt anders aus. So wird man wahrscheinlich aus einer Kurvengleichung in einem speziellen gekrümmten Raum an einer bestimmten Stelle eine Gerade zaubern können. Eine Gerade bleibt eine Gerade und ist an keine Gleichung gebunden. Sonst wird Sie zur Kurve. Ändert man die Raum Parameter muss man auch die Geradengleichung ändern. Sie ist so zu sagen eine Element der Mathematik. Man kann aus und mit dem Element etwas formen, aber verändern lässt es sich nicht-- Bernhard Hanreich 00:23, 14. Mai 2011 (CEST)

Man kann nicht Funktionen, die aus einem nicht gekrümmten Raum kommen eins zu ein auf einen gekrümmten Raum übertragen. Und dadurch die Definition oder Beschreibung , das Wesen einer Form ignorieren. Man ist dadurch auch gezwungen neue Formeln für die elementaren Formen zu finden. Doch werden diese je nach Richtung und Krümmung anders aussehen, und nicht so einfach wie im nicht gekrümmten. Man kann ja auch den gekrümmten Raum durch eine Ebene teilen( zerschneiden) und erhält dann schöne Parabeln, Ellipsen, Ovale oder Hyperbeln etc.. Der gekrümmte Raum ist doch lediglich ein Objekt im Raum-- Bernhard Hanreich 00:46, 14. Mai 2011 (CEST)

Auch die jetzige Beschreibung ist eine zirkuläre Eine eindeutigere wäre meines Erachtens die folgende: Verändert eine unendlich lange und unendlich dünne Linie an keinem einzigen Punkt Ihre Form, oder weicht an keinem einzigen Punkt von der Ausgangslinie ab, wenn man diese eine Linie um die Strecke (Achse) zweier Punkte dieser Linie dreht, so spricht man von einer Geraden.-- Bernhard Hanreich 23:39, 19. Mai 2011 (CEST)

Ich könnte mir vorstellen, dass man die Definition Euklids in den Artikel schreibt. Ansonsten nochmal: Es geht nicht darum, das Adjektiv "gerade" zu definieren. Vielmehr wird vorausgesetzt, was das bedeutet, und davon ausgehend definiert, was ein Mathematiker unter einer "Geraden" versteht: nämlich eine unendlich lange, unendlich dünne, gerade Linie. Natürlich kann man den Versuch machen, die Eigenschaft "gerade" zu definieren. Aber bitte nicht in der Einleitung. Ich glaube aber dennoch nicht, dass das sinnvoll ist. Wenn man Geometrie im Anschauungsraum betreibt, wie in den unteren Klassen in der Schule, dann appelliert man an den aus dem Alltag bekannten Begriff "gerade". Wenn man Geometrie axiomatisch betreibt, dann definiert man den Grundbegriff "Gerade" überhaupt nicht. Man kann auch abbildungsgeometrisch vorgehen. Das liegt am nächsten an deinem Vorschlag. Dann kann man eine Gerade zumindest beschreiben (ob definieren, weiß ich nicht), als eine Menge, die unter bestimmten Drehungen und bestimmten Verschiebungen invariant ist. Aber bitte keine Theoriefindung! -- Digamma 10:24, 20. Mai 2011 (CEST)

Der Grund meines beharrlichen Schreibens ist der, dass es, so scheint mir, keine eindeutige Differenzierung zwischen Kurve und Gerade in Wikipedia gibt. Mag sein, dass es die absolute Basic der Mathematik ist, aber Wikipedia ist auch für den absoluten Laien zugänglich, der nicht das Verständnis eines Mathematikers hat. Was antwortet man diesem wenn er nach einem Unterschied zwischen Gerade und Kurve fragt, dass eine Gerade eine unendlich lange unendlich dünne ( man müsste genau genommen ununterbrochenen) gerade Linie ist? Ist das nicht zirkulär? Die Beifügung von Eigenschaften beschreibt nicht den Kern einer Geraden. Ein Kreis oder eine Hyperbel,... sind auch unendlich dünne unendlich lange Linien. Die Beschreibung davon, was man unter gerade versteht, ist für das Verständnis einer Geraden essenziell, und nicht als allgemein Wissen in der Mathematikwelt zu übergehen.-- Bernhard Hanreich 15:52, 20. Mai 2011 (CEST)

Ich verstehe es noch nicht ganz. Meine Fünftklässler haben mit der Eigenschaft "gerade" bei Geraden überhaupt keine Schwierigkeit. Schwieriger ist das "unendlich dünn" und das "unendlich lang". Wie gesagt, ich habe nichts dagegen, wenn das "gerade" an geeigneter Stelle geeignet definiert wird. Aber um in der Einleitung das Lemma zu erklären ist das nicht nötig. Und es sollte keine Theoriefindung sein, d.h., es kann nicht darin bestehen, dass sich jemand eine Definition aus den Fingern saugt.

Was antwortet man dem, der nach dem Unterschied zwischen "Gerade" und "Kurve" fragt? Dass eine Gerade gerade ist, und dass eine Kurve gekrümmt sein kann. Ich kann mir ehrlich gesagt keinen Laien vorstellen, der damit Probleme hat. Und wer mehr dazu wissen will, der findet mehr dazu. Zum Beispiel die analytische Beschreibung einer Geraden mit Hilfe von Gleichungen und die Definition einer Kurve als Bild einer stetigen Abbildung von einem Intervall in die Ebene oder den Raum. -- Digamma 20:12, 22. Mai 2011 (CEST)

Ich gebe Dir vollkommen recht, und kann eben dies nur bestätigen und bin Dir sehr dankbar, dass Du das so deutlich aussprichst. Doch scheint mir eben in der Mathematikwelt die Gerade ein Spezialfall der Kurve zu sein, was meiner Tangentendarstellung von oben widerspricht Eine Kurve ist eine Kurve und eine Gerade eine Gerade. Es führt sonst zum Beispiel dazu, dass auf der Seite Wikipedia des Oval Strecken in die Form des Oval mit integriert werden, obwohl in der Definition von einer geschlossenen Kurve gesprochen wird. Scheinbar ist es doch nicht so einfach wie ich es mir dachte, und wie Du es mir netter Weise bestätigst. Es mag hier sehr logisch sein und für jeden leicht verständlich, die Auswirkungen von der schlechten Differenzierung führen in Folge allerdings zu erstaunlichen Perversitäten. Mir ist es im Grunde relativ egal, ob diese Differenzierung nun am Anfang oder an anderer geeigneter Stelle steht. Hauptsache sie behebt derlei Auswüchse, denn sonst wird das Oval bald zum Quadrat. -- Bernhard Hanreich 20:20, 23. Mai 2011 (CEST)

In der Mathematik kann eine Kurve gekrümmt sein, muss aber nicht. Insofern kann man eine Gerade durchaus als einen Spezialfall einer Kurve auffassen. Man tut das in der Analysis (der Funktionsgraph einer beliebigen stetigen Funktion ist eine Kurve, der einer auf ganz $\mathbb {R}$ definierten linearen Funktion ist eine Gerade) und in der Differentialgeometrie (eine parametrisierte Kurve, deren Krümmung null ist, ist eine Gerade oder ein Stück einer Geraden). Dies taugt jedoch nicht als Definition, da ein Funktionsgraph oder eine parametrisierte Kurve viel kompliziertere Objekte sind als Geraden. -- Digamma 20:36, 23. Mai 2011 (CEST)

Ist eine Nullkrümmung wirklich eine Kurve? Wo um alles in der Welt sind Ihre Tangenten? Oder sollte man bei solchen Funktionen nicht einen neuen Namen der Mischform zwischen Kurve und Gerade finden? Man braucht sonst nicht mehr von Gerade sprechen! Dann wäre es besser von Kurven mit Nullkrümmung zu sprechen. Und dann ist halt das Quadrat ein Oval, auch recht. Aber dann sollte man beim Quadrat von einem Objekt mit vier gleich langen Nullkrümmungskurven mit 90 gradigen unendlich kleinen verbindenden Kurven reden-- Bernhard Hanreich 21:03, 23. Mai 2011 (CEST) Eine Kurvade vielleicht. Ein bisschen Spass muss jetzt sein. -- Bernhard Hanreich 21:22, 23. Mai 2011 (CEST) Ach ja noch eine kleine Ergänzung. Lasst doch bitte in diesem Fall gleich das "Die Gerade ist ein Element der Geometrie" weg. Das Wort Element scheint für Euch ohne Bedeutung. Die Physik reagiert da etwas sensibler, wenn man ihnen die Elemente nehmen würde. Da kann man nicht so einfach sagen Gold ist ein Spezialfall von Silber oder so, nur weil es auch aus Atomen besteht. Und die Geometrie: ich habe noch nie mit einem Lineal eine Kurve zeichnen können, an die ich das Lineal deckungsgleich von beiden Seiten anlegen konnte, aber bitte ich lass mir das gerne einmal zeigen. In der Geometrie scheint der Satz doch zu stimmen. Die Mathematik besteht nicht nur aus Formeln allein. Oder habe ich da die Ausgrenzung der Geometrie verpasst. Schade, dass man auch in diesem Fall der Basic kein Gehör schenkt. WIe man sich eben auch im Gekrümmten Raum an den Formeln festklammert, ohne die Essenz einer Geraden verstanden zu haben. Da wird man plötzlich mit Worten kreativ, obwohl die Veränderung der Raumstruktur der Geraden selbst nichts anhaben kann, aber Ihrer Formeln, welche an die Parameter angepasst werden müssen. So kann man auch das Fundament zum wackeln bringen. Der gekrümmte Raum besteht doch parallel zum nicht gekrümmten. Und beide sind nur theoretische Konstrukte von dem was der Raum ist. Aber bitte Jedem nach seinem Geschmack.-- Bernhard Hanreich 22:58, 2. Jun. 2011 (CEST)

Hier geht es um ebene euklidische Geometrie, nicht um einen gekrümmten Raum. Und du könntest versuchen, dich klarer auszudrücken. -- Digamma 11:52, 3. Jun. 2011 (CEST).

Wenn es nun " nur " um die Euklidische Geometrie geht, was spricht dann gegen eine klarere Beschreibung des Begriffes gerade. Was ist nun gerade? Mein Beschreibungsversuch wurde abgelehnt, aber kein alternativer Vorschlag eingebracht. Wie schon erwähnt denke ich, dass dieser Begriff nicht ausreichend beschrieben ist. Fehlt es an anerkannten alternativen Beschreibungen? Oder herrscht hier ein bewusstes Desinteresse an Differenzierung zwischen Gerade und Kurve. Oder lässt sich das, was in Worten ausgedrückt werden kann, nicht in Formellatein übersetzen?. Den Wunsch nach klarem Ausdruck kann ich nur teilen und erbitte meinerseits sich klarer aus zu drücken. Klarheit war von Anfang an mein Anliegen. -- Bernhard Hanreich 19:43, 5. Jun. 2011 (CEST)

Dein Beschreibungsversuch war Theoriefindung. Wenn Du in der Literatur einen passenden findest, nur zu. Ich denke dennoch, dass man das nicht in die Einleitung aufznehmen braucht.

Eine Gerade wird eben in erster Linie nicht in Abgrenzung zur (gekrümmten) Kurve definiert, sondern ist ein Grundbegriff der euklidischen Geometrie. Kurve und Gerade sind vielleicht im Motorsport Gegensätze, aber nicht in der Geometrie. Dort ist eine Gerade ein Grundbegriff der euklidischen Geometrie, während eine Kurve ein Begriff der analytischen Geometrie, der höherdimensionalen Analysis oder der Differentialgeometrie ist. Ansonsten habe ich alles schon dazu gesagt. -- Digamma 20:51, 5. Jun. 2011 (CEST)

Es ist ja erschreckend, dass es als Beschreibung des Grundbegriffes "Gerade" genügt zu erwähne, dass er gerade ist. An sonst gleicht die Beschreibung einem Kreis. Unendlich lange unendlich dünne Linie. Eine Gerade muss also doch eine Kurve sein. Ist eine Gerade an eine Form gebunden, oder an eine Formel? (nicht signierter Beitrag von Bernhard Hanreich (Diskussion | Beiträge) 00:57, 6. Jun. 2011 (CEST))

Erschreckend ist, dass Du dich nicht darauf einlässt, dass es in der Mathematik verschiedene Zugänge zur Geometrie gibt, die den Begriff "Gerade" (obwohl im Wesentlichen immer dasselbe gemeint ist) unterschiedlich definieren. Ich habe auch den Eindruck, dass du außer dem ersten Absatz den Artikel nicht gelesen hast. -- Digamma 06:54, 6. Jun. 2011 (CEST)

Bitte verzeih, aber der Umstand, dass es unterschiedliche Betrachtungsweisen des gesamt Raumes gibt, und sich daraus unterschiedliche Unterarten der Geometrie bilden, ändert nichts am Wesen der Geraden. Die Gerade ist wie beschrieben ein Element und sollte als solches unabhängig von der Betrachtungsweise beschreibbar sein. Dies ist leider nur teilweise vollzogen. Wenn es unterschiedliche Beschreibungen für das Eigenschaftswort "gerade" gibt, her damit. Schön dass wenigsten die kürzeste Verbindung erwähnt wurde, auch wenn diese eben im gekrümmten Raum Ihrer Formeldifferenz wegen unerklärlicherweise zu einem anderen Namen führt. Dies zeigt lediglich auf, dass Formeln an die Parameter der Betrachtungsweise angepasst werden müssen, um das gleiche ausdrücken zu können, nicht dass es etwas am Wesen der durch Formeln beschriebenen Elemente ändert. Und ich habe die ganze Seite gelesen. Wenn Dir keine bessere Antwort als diese Unterstellung einfällt, lass es bleiben und werd bitte nicht untergriffig. Ich will hier niemanden in seiner Ehre verletzen, sondern lediglich aufzeigen, dass es hier noch Ergänzungsbedarf gibt, ich selbst aber nicht den Zugang zu derartigen fachlich anerkannten Beschreibungen habe. Mein bescheidener Versuch die Lücke zu füllen wird ja nicht akzeptier, und Du meintest selbst, das eine genauere Beschreibung an geeigneter Stelle gut denkbar wäre. -- 88.117.115.83 20:29, 6. Jun. 2011 (CEST)Man könnte es ja zum Beispiel auch so formulieren: Die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist gerade, und wird als Strecke bezeichnet. Verlängert man die kürzeste Verbindung zweier Punkte gerade in beide Richtungen bis ins Unendliche, so spricht man von einer Geraden. Aber das ist ja wahrscheinlich wieder nicht akzeptiert -- Bernhard Hanreich 20:44, 6. Jun. 2011 (CEST)-- Bernhard Hanreich 21:04, 6. Jun. 2011 (CEST) Oder noch kürzer: Die kürzeste Verbindung zweier Punkte, die unendlich weit auseinanderliegen, ist eine Gerade-- Bernhard Hanreich 21:10, 6. Jun. 2011 (CEST) Am schlüssigsten kommt mir allerdings das vor: Die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist gerade, und wird als Strecke bezeichnet. Ist der Abstand zwischen den beiden Punkten unendlich gross, spricht man von einer Geraden.-- Bernhard Hanreich 21:19, 6. Jun. 2011 (CEST)

Klingt gar nicht schlecht. Ich möchte mich außerdem für meinen harschen Ton vorher entschuldigen. Aus einem alten Geometrieschulbuch:

(Nachdem festgestellt wurde, dass es genau eine Verbindungslinie zwischen zwei Punkten gibt, die man mit dem Lineal zeichnen kann.) Wir denken uns die mit Hilfe eines Lineals gezeichnete Verbindunslinie zweier Punkte beiderseits unbegrenzt fortgesetzt und nennen sie Gerade. (Faber Geometrie 1, Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1971)

-- Digamma 22:16, 6. Jun. 2011 (CEST)

Is schon verziehen, kein Problem. Die Version aus dem Schulbuch ist sehr anschaulich und für den Unterricht durchaus geeignet. Eine Gerade mit einem Lineal zu zeichnen ist allerdings ein sehr ungenauer praktischer Versuch, die Gerade zu erfassen. Sehr schön und bildlich. Die Gerade ist aber auch unendlich dünn, und eigentlich ein theoretisches Produkt. Ein Idealfall so zu sagen. Und in meiner Formulierung fehlt noch diese zwar vorstellbare aber nicht zeichenbare unendliche Dünne. Welche der drei Varianten denkst Du ist am treffendsten und wie kann man diese dünne noch einflechten? Auch fehlt noch die Abgrenzung zur Halbgeraden, denn auch da ist der Abstand der Punkte unendlich gross, aber einseitig begrenzt. Oder ist es hier einfach ein anderer Blickwinkel und man sieht halt einfach ein Ende. Das würde allerdings heissen, dass es ein Ende gibt. Das ist allerdings nur dann gegeben, wenn es den Urknall gab und es daraus folgend eine Ausdehnungsbewegung gibt. Bewegt man sich nun rein theoretisch in der Ausdehnungsgeschwindigkeit von Anbeginn an mit, wäre es möglich eine Gerade als Halbgerade wahr zu nehmen. Vielleicht so: Die kürzeste unendlich dünne Verbindung zweier Punkte ist gerade, und wird als Strecke bezeichnet. Ist der Abstand zwischen den beiden Punkten unendlich gross und grenzenlos, spricht man von einer Geraden. Ist die so entstehende Linie einseitig begrenzt, spricht man von einer Halbgeraden.

Mir stellt sich nur noch die Frage, ob es trotz der Unendlichkeit der Geraden in beide Richtungen nicht doch noch ein Verhältnis zwischen rechts und links geben kann? Man als Betrachter so zu sagen ausserhalb der Mitte, dem Zentrum, der Geraden stehen kann. Anders formuliert ob, wenn man sich auf der Geraden in eine Richtung bewegt, sich das Verhältnis ändern kann, wie auf einer Strecke. Oder verliert die Gerade durch ihre unbegrenzte Unendlichkeit jede Verhältnismässigkeit. Ist keine Verhältnismässigkeit möglich, kann man vermuten, dass sie sich doch zu einem Kreis schliesst, oder zumindest diese Eigenschaft mit dem Kreis gemein hat.-- Bernhard Hanreich 00:20, 7. Jun. 2011 (CEST) Ich gebe nur noch zu bedenken: Ist keine Verhältnismässigkeit vorhanden oder möglich, spricht dies doch dezent gegen die URKNALL-THEORIE-- Bernhard Hanreich 00:32, 7. Jun. 2011 (CEST) Da es nun beides gibt, Gerade und Halbgerade, Könnte man meinen, dass es sowohl den Urknall als auch den etwas größeren Urraum des Seins gibt, in dem der Urknall möglich ist -- Bernhard Hanreich 01:02, 7. Jun. 2011 (CEST)

Eingerückte Zeile

Sehr geehrter Digamma. Da ich keine Möglichkeit sehe in die Anfangsbeschreibung ein zu greifen, diese aber immer noch nicht gut heiße, bitte ich Sie folgende oder eine sinngemässe Änderung vor zu nehmen.:

Eine gerade Linie oder kurz Gerade ist ein Element der Geometrie. Die absolut kürzeste Verbindung zweier Punkte ist gerade, und wird als Strecke bezeichnet. Eine gerade, unendlich lange, unendlich dünne und in beide Richtungen unbegrenzte Linie nennt man eine Gerade.....

Eingerückte Zeile

Ich hoffe so eine Form gefunden zu haben, die auch Ihren Vorstellungen genügt.-- Bernhard Hanreich 22:35, 25. Jun. 2011 (CEST) Hab es nun doch geschafft. Ich hoffe damit allen Anforderungen von Wiki zu genügen. Danke-- Bernhard Hanreich 23:41, 25. Jun. 2011 (CEST)

Gleichung

Alles, was hier über Geradengleichungen steht, steht schon besser unter Geradengleichung. Deshalb sollte man den Abschnitt radikal kürzen. -- Digamma 22:15, 13. Mai 2011 (CEST)

Synthetische Geometrie

"In der projektiven Ebene sind die Begriffe Punkt und Gerade sogar vollständig austauschbar (Dualität). Damit ist es hier möglich, sich eine Gerade als unendlich klein und einen Punkt als unendlich lang und unendlich dünn vorzustellen." Das kann sich hier nur um ein Missverständnis handeln. Der Umstand einer symmetrischen Formulierung :"Hieraus und aus der symmetrischen Formulierung der beiden ersten Axiome ist ersichtlich, dass man durch Vertauschen der Bezeichnungen Punkt und Gerade wieder eine projektive Ebene erhält."(Aus der Seite Projektive Ebene) bedeutet nicht, dass Gerade und Punkt gleichgesetzt werden können, sondern lediglich, dass in der gewählten Formulierung die Begriffe austauschbar sind. Das gilt übrigens für die meisten Begriffe, denn niemand zwingt einem dazu die Gerade Gerade zu nennen. Man kann sich halt der Einfachheit halber darauf einigen. Dabei sollte es dann aber auch bleiben, wenn man verstanden werden will. Der Umstand, dass eine Gerade als Punkt oder ein Punkt als Gerade dargestellt werden kann, setzt diesen noch nicht mit der Geraden und umgekehrt gleich. Es handelt sich hierbei nur um ein Erscheinungsbild nicht um die Gerade oder den Punkt selbst.-- Bernhard Hanreich 01:02, 10. Nov. 2011 (CET)

Problem mit Erzeugen der Geraden im Raum ℝⁿ

Moin, ich habe ein Problem mit dem Abschnitt Erzeugen der Geraden im Raum ℝⁿ. Kann aber sein, dass ich falsch liege, bin kein Profi.

1. Der Ausdruck $\left[-\infty ,\infty \right]\subseteq \mathbb {R}$ passt doch nicht, weil $-\infty$ und $\infty$ ja keine Elemente von $\mathbb {R}$ sind, sondern von ${\bar {\mathbb {R} }}$. Deshalb müsste es doch heißen $\left(-\infty ,\infty \right)\subseteq \mathbb {R}$, was aber auch keinen Sinn mach, da $\left(-\infty ,\infty \right)$ ja durch $\mathbb {R}$ definiert ist.

2. Wie kann man eine Menge ($\mathrm {\lambda }$) mit einem Vektor multiplizieren?

Deshalb hier meine Version:

Erzeugen von Geraden im Raum ℝⁿ

Punkt-Richtungs-Gleichung

Gegeben sei ein Ortsvektor (d. h. Punkt) $\mathbf {p}$, ein Richtungsvektor $\mathbf {r}$ und das Element $\mathrm {\lambda } \in \mathbb {R}$. Es lässt sich nun die Gerade $g$ mit

${\begin{aligned}g:&\ \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}&\to &\ \mathbb {R} ^{n}\\&\ g(\mathbf {p} ,\mathbf {r} )&\mapsto &\ \mathbf {p} +\lambda \,\mathbf {r} \end{aligned}}$

für alle $\mathrm {\lambda } \in \mathbb {R}$ definieren.

Zwei-Punkte-Gleichung

Gegeben sind zwei Ortsvektoren (d. h. Punkte) $\mathbf {p} _{1}$ und $\mathbf {p} _{2}$, sowie das Element $\mathrm {\lambda } \in \mathbb {R}$. Es lässt sich nun die Gerade $g$ mit

${\begin{aligned}g:&\ \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}&\to &\ \mathbb {R} ^{n}\\&\ g(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2})&\mapsto &\ \mathbf {p} _{1}+\lambda \,\left(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{1}\right)=\mathbf {p} _{1}+\lambda \,\mathbf {r} \end{aligned}}$

für alle $\mathrm {\lambda } \in \mathbb {R}$ definieren.--MaxHBB (Diskussion) 22:19, 2. Sep. 2013 (CEST)

Ja, das war alles ziemlich falsch. Ich hab's jetzt ganz neu formuliert. Es fehlte z.B. auch, dass die Richtung nicht der Nullvektor sein darf und dass die Punkte verschieden voneinander sein müssen. Danke für den Hinweis! -- HilberTraum (Diskussion) 22:25, 3. Sep. 2013 (CEST)

Abschnitt Analytische Geometrie

Mir ist die folgende Gleichung im Abschnitt Analytische Geometrie nicht geheuer:

$g:{\vec {x}}={\overrightarrow {OP_{1}}}+\lambda {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}$

Diese Beschreibungsform wird in dieser Art und Weise in der Schule verwendet, ist meines Erachtens aus notationstechnischer Sicht mathematisch nicht korrekt. Eine Gerade ist eine Teilmenge, die wie Anfang des Abschnittes angegeben, ein nicht zwingend echt-affiner eindimensionaler Unterraum des Vektorraums ist. Sollte demnach die Gerade nicht als Menge der Form

$g=\{{\overrightarrow {OP_{1}}}+\lambda {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}|\lambda \in K\}$

definiert sein? Die erste Notation suggeriert doch, dass die Gerade eine Abbildung g sei, wobei hier nicht mal die Abbilungsvorschrift in korrekter Weise angegeben wird. Wesentlich ist doch vielmehr, dass man eine Gerade als Bild einer Abbildung von spezifischer Form von $K$ in den $K^{n}$ darstellen kann, genauer von der Abbildung

${\vec {x}}:K\rightarrow K^{n},{\vec {x}}(\lambda ):={\overrightarrow {OP_{1}}}+\lambda {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}$,

--BR 111 (Diskussion) 00:22, 6. Okt. 2013 (CEST)

Ich sehe das nicht so, dass "g:" suggeriert, dass es sich um eine Funktion handelt. Der Doppelpunkt dient schlicht der Ankündigung: Hinter dem Doppelpunkt folgt die Definition. Genauso ist es bei der Definition einer Funktion in der Form $f\colon x\mapsto \dots$.

Schreibweisen, die in der Schulmathematik nicht nur üblich, sondern Standard sind, können nach meiner Meinung nach nicht als "nicht korrekt" bezeichnet werden. Sie folgen nur einer anderen Konvention. --Digamma (Diskussion) 17:13, 6. Okt. 2013 (CEST)

Ergänzung, nachdem ich nicht nur deinen Beitrag, sondern auch den Abschnitt im Artikel gelesen habe: Hier passt tatsächlich eine Darstellung als Menge besser bzw. eine Darstellung, die die Beziehung zwischen der Geraden und der Gleichung in Worten beschreibt. Ich habe den Absatz mal umformuliert. Der Abschnitt müsste trotzdem noch überarbeitet werden, er ist nach wie vor nicht so recht konsistent. Geht es speziell um Geraden im $\mathbb {R} ^{3}$ oder im $K^{n}$? Letzteres sollte als Verallgemeinerung von ersterem dargestellt werden. Ich glaube außerdem, dass der Koordinatenraum als "Setting" zu eng ist. Analytische Geometrie arbeitet zwar traditionell einfach mit kartesischen Koordinaten, es gibt aber auch Zugänge, bei denen der Punktraum ein affiner Raum über einem beliebigen Vektorraum ist. Die Einführung von Koordinaten ist dann sekundär. --Digamma (Diskussion) 17:43, 6. Okt. 2013 (CEST)

Bezüglich der Notation in der Schulmathematik: Die Notation halte ich für mindestens ungeschickt (aber eigentlich tatsächlich als nicht praktikabel), weil aus der Notation nicht klar wird, welches Symbol die Variable in der Abbildungsvorschrift darstellt. Zusätzlich wird dann oft der Definitionsbereich der Variable separat angegeben. Dies wird von den Schülern aber oft nicht übernommen. Beim Funktionswert wird auch nicht die Abhängigkeit explizit angegeben. Man könnte die Abbildungsvorschrift naiv als zu lösende Gleichung nach der vermeindlichen Unbekannten (der Variablen) lesen. An der Universität hat man dann mit Studenten zu kämpfen, die in den ersten Semestern nicht in der Lage sind, Lösungen notationskonsistent darzustellen. Ein großes Problem bei der Berechnung des Schnittes zweier Geraden ist ja auch, dass zwei verschiedene Variablen benutzt werden müssen. Dies ist vielen Schülern konzeptionell nicht klar, sie tun es einfach nach Anweisung. Jedenfalls können mir Schüler in der Nachhilfe nicht erklären, warum sie dies tun. Hier fehlt in meinen Augen ganz klar das Verständnis, dass eine Gerade eben nicht eine Abbildungsvorschrift nach einem bestimmten Schema ist, sondern eine Ansammlung von Punkten, die das Bild einer Abbildung sind. Und Abbildungen lassen sich nunmal mit notationstechnisch verschiedenen Abbildungsvorschriften beschreiben. Das vermeindliche Gleichsetzungen der Geradengleichungen ist in Wirklichkeit ja auch die Schnittbildung der Mengen. Dieser Schritt bleibt aber bei den Schülern oftmals nicht hängen, da man viel zu fixiert auf die funktionale Darstellung ist. Eine vermeintlich komplexere Notation führt meiner Meinung nach hoffentlich zu mehr Verständnis.BR 111 (Diskussion) 21:12, 18. Okt. 2013 (CEST)

Ausführliche Antwort später, wenn ich etwas genauer in die Schulbücher geschaut habe. Ich habe den von dir beanstandeten Abschnitt ja überarbeitet. Ist er denn so für dich in Ordnung? --Digamma (Diskussion) 20:50, 20. Okt. 2013 (CEST)

Ja, das passt. Danke. Eine formal korrekte Einführung des Begiffes Gerade lässt sich auch in Fischer: Lineare Algebra Seite 12 finden. Seite 16 ist auch interessant, dort wird eine allgemeine Form für Geraden in einer Ebene angegeben. Das wird ja auch am Ende des Abschnittes "analytische Geometrie" aufgenommen. Der Satz "Ist $\beta$ ungleich 0, so spricht man von einer linearen Funktion auf K." wird für die Leser jedoch eher unklar sein. Vielleicht könnte man dann hier auch die Abbildungsvorschrift explizit angeben, wie sie aus der Gleichung von oben drüber durch Umformung entsteht. Hilfreich ist vielleicht auch

$g={\overrightarrow {OP_{1}}}+K\cdot {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}$

als verkürzte Darstellung, wobei man dafür natürlich formal erklären müsste, was dieser Ausdruck tatsächlich bedeutet.--BR 111 (Diskussion) 00:45, 23. Okt. 2013 (CEST)

gerade Linie

Warum wird o.g. nicht weitergeleitet? Ich darf es als WP-Outlaw leider nicht. Gruß -- 217.224.219.62 22:45, 13. Nov. 2014 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 05:34, 14. Nov. 2014 (CET)

Schnittpunkt, ...

‎Benutzer:Maximum 2520 kopiert aus Schnittpunkt Abschnitte in andere Artikel. Auch hier. In anderen Artikeln fügt er identische Abschnitte ein. Das macht m.M. nach keinen Sinn. Eine Verlinkung, falls nötig, wäre da besser.--Ag2gaeh (Diskussion) 09:22, 24. Sep. 2020 (CEST)

Wie Gerade ist Gerade?

Moin in die Runde! Leider habe ich mit meinem Laienwissen ein Verständnisproblem und hoffe, hier eine allgemeinverständliche Lösung zu erhalten… Auf der einen Seite hat die Quantenphysik die Newton`sche in der Wissenschaft abgelöst, in der Geometrie wird im zweidimensionalen Bereich noch von Geraden oder Strecken gesprochen, was auf Papier im Bereich DIN A4 oder 5 noch ganz gut geht. Jetzt leben wir aber hoffentlich auf einer Kugel. Wenn ich die Gerade verlängere, sagen wir mal auf 2 oder 3 Kilometer, ist sie dann gerade, wenn sie parallel zum Horizont verläuft oder eher, wenn sie sich davon abhebt? Wann ist dann eine Wasserwaage genauer??? Bitte entschuldigt die pragmatische Frage? Über eine Antwort freue ich mich sehr :) Liebe Grüße BM --Bürger Martin (Diskussion) 11:40, 18. Feb. 2023 (CET)

Die Welt der Geometrie ist eine idealisierte Welt, die nicht mit der der Physik übereinstimmt. Für die Welt der Geometrie spielt es weder eine Rolle, dass die Erde (annähernd) eine Kugel ist, noch dass das Weltall gekrümmt ist.

Zur konkreten Frage: Wenn du die Gerade verlängerst, dann hebt sie von der Erde ab. So wie ein Lichtstrahl das auch tun würde. Die Wasserwaage sagt nichts darüber aus, ob etwas gerade ist, sondern ob eine Linie oder Fläche waagerecht ist. Das eine hat nichts mit dem andern zu tun. --Digamma (Diskussion) 13:20, 18. Feb. 2023 (CET)

Danke für Deine einleuchtende Antwort. --Bürger Martin (Diskussion) 16:06, 19. Feb. 2023 (CET)

Fehler im Abschnitt "Winkel in der Ebene" Sub "Neigungswinkel einer Gerade"

Ist eine Gerade in der Ebene mit a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c} {\displaystyle ax+by=c} in Koordinatenform gegeben, dann gilt für den Neigungswinkel α {\displaystyle \alpha } \alpha dieser Geraden:

tan α = a / -b

vgl. dazu a) das erste Bild in https://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatenform - die grüne Gerade hat eindeutig eie negative Steigung bzw. b) die Steigung einer Geraden ist definiert als als Δy/Δx. In der Faktorenherleitung aus der Zweipunktform wird für a=y1-y2 verwendet, für b=x2-x1 somit -Δx. Ersuche um entsprechende Änderung durch einen Berechtigten. (nicht signierter Beitrag von 217.149.172.146 (Diskussion) 01:39, 29. Apr. 2023 (CEST))

Du hast Recht, ich korrigiere es. --Digamma (Diskussion) 13:54, 29. Apr. 2023 (CEST)