Diskussion:Glatte Funktion

Überarbeiten

Hier wird nichts über stetige Differenzierbarkeit gesagt, der englische Artikel könnte als Vorbild dienen. --84.61.168.8 19:57, 13. Mär. 2007 (CET)

Eigenschaften

Der erste Satz hieß Menge aller n-mal stetig differenzierbaren .... Dann wäre aber C⁰ die Menge aller nicht stetig differenzierbaren funmtionen, die aber selbst nicht notwendig stetig sein müssen. Ich denke, dass es heißen muss Menge aller stetigen und n-mal differenzierbaren ..., außer für n=0 könnte dann sogar noch das stetig weg. -- Jesi 12:23, 21. Aug. 2007 (CEST)

Ich hab es mir noch einmal angesehen und denke, dass es so, wie es vorher war, auch gemeint ist. Mich stört nur noch der Fall n=0, denn vom Wortlaut her wäre ja C⁰ die Menge aller 0-mal stetig differenzierbaren Funktionen, und über deren Stetigkeit ist damit nichts ausgesagt. Vielleicht sollte man mit n=1 beginnen. -- Jesi 12:35, 21. Aug. 2007 (CEST)

Die Bezeichnungsweise ist tatsächlich nicht wirklich konsistent: Wie du gesagt hast, aus 0-mal diffbar folgt im Grunde keine Stetigkeit. ABER: Ich denke es mir immer so: $f\in C^{n}$ kann ich n-mal ableiten, und das was nach n-mal rauskommt ist immerhin noch stetig. Das passt auch zu n=0. --Xario 13:12, 27. Aug. 2007 (CEST)

Ja, genau so hab ich mir auch zusammengedacht. Ich hab ja schon auf deiner Bastelseite gesagt, dass ich diesbezüglich auf dem "Oma-Schlauch" stand, ich finde es durchaus konsistent: Cⁿ heißt n-mal diffbar und n-te Ableitung stetig, C⁰ heißt 0-mal diffbar und 0-te Ableitung (also Funktion selbst) stetig. Und wenn der Artikel mal von deiner Bastelseite übernommen wird, ist wahrscheinlich auch die sprachliche Gestaltung besser. -- Jesi 13:41, 27. Aug. 2007 (CEST)

unendlich ?

Gibt es auch Fälle in denen die Glattheit einer Abbildung f auch bei $f\in C^{r}mit_{.}r>=1$ ? So habe ich es nämlich in meiner Mathevorlesung gehört. Bei glatten Kurven war glaube ich r>=2. -- 141.30.234.174 20:08, 22. Aug. 2007 (CEST)

Nee eigentlich nicht. Glatt ist eigentlich schon unendlich oft diffbar. Aber vielleicht hattet ihr hireichend glatt, das wird auch oft benutzt, in deinem Beispiel also stetig diffbar. Bei Kurven reicht das normalerweise auch aus. --Xario 22:29, 22. Aug. 2007 (CEST)

Hmm, könnte sein, dass das dort abkürzend gemeint war. Werde mal bei Übungsleiterin nachfragen, wollte ich sowieso mal hin. -- Amtiss, SNAFU ? 23:38, 22. Aug. 2007 (CEST) (als IP von woanders)

Glatt bedeutet allgemein lediglich stetig differenzierbar, es wird aber – insbesondere in der Topologie – unter „glatt“ auch „unendlich oft differenzierbar“ verstanden bzw. so festgelegt. Was „glatt“ bedeutet ist also kontextabhängig, wobei die Gleichsetzung von „glatt“ und „unendlich oft differenzierbar“ nur eine vereinfachende Sprachregelung ist! --RPI 13:00, 19. Okt. 2009 (CEST)

Neustrukturierung des Artikels

Nach einem Eintrag des Artikels beim Portal Mathematik unter "verbesserungswürdig" (oder so), hat folgende Diskussion stattgefunden: (Etwas gekürzt) --Xario 20:21, 3. Sep. 2007 (CEST)

Ich sah den Artikel bei den fachliche Überarbeitung notwendigen und sehe gar keine Punkte, die ich überarbeiten könnte... Scheint mir ganz okay. Weiß jemand worin das Problem liegt? --Xario 07:26, 21. Aug. 2007 (CEST) ^{PS: Sorry, hätte das auch in die Qualitätsverbesserung gehört?}

Der Artikel wurde am 13. März mit dem Bapperl versehen und sah da so aus. Ich denke mittlerweile besteht kein dringender Veränderungsbedarf mehr. Vllt. ein wenig die Verständlichkeit. Aber ich denke der kann aus der Überarbeitungsliste raus. --Mathemaduenn 09:14, 21. Aug. 2007 (CEST)

[...]

Also, wenn ich mal ehrlich sein soll, hat mir die oben verlinkte frühere Fassung besser gefallen, auf jeden Fall aber war sie Oma-tauglicher. In der jetzigen Version ist für meinen Geschmack zu viel herbeigeholte Theorie drin. So stört z.B. die immer wieder hervorgehobene Stetigkeit (ich hab mich davon sogar so irritieren lassen, dass ich etwas geändert und micht gleich selbst wieder revertiert habe). Es würden sicher die Sätze vor der Überschrift Eigenschaften reichen (zur Bezeichnung würde ich auf jeden Fall oft ergänzen, weil das natürlich jeder Autor auch anders machen kann), eine kurze Erläuterung zum Zusammenhang mit analytischen Funktionen und ein oder zwei Beispiele, warum aber so komplizierte Funktionen. Und die beiden besonderen Eigenschaften, na ja. Eventuell könnte man das zweite in Zerlegung der Eins unterbringen. -- Jesi 17:53, 21. Aug. 2007 (CEST)

Finde die Inhalte im Artikel sehr nützlich, weil die Eigenschaften und Beispiele genau die Wichtigen sind bei glatten Funktionen, auch dass die Zerlegung der Eins hier erwähnt wird, ist meiner einer sinnvoll. Ich versuche aber weiterhin, ihn lesbarer zu gestalten. --Xario 19:14, 21. Aug. 2007 (CEST)

Ich habe mal ein paar Kleinigkeiten editiert. Ich finde, "unendlich oft stetig diffbar" trifft es nicht so gut wie "beliebig oft stetig diffbar". Ist das eurer Meinung nach Haarspalterei oder war der Edit OK? --R. Möws 20:13, 21. Aug. 2007 (CEST)

Hatte dir schon auf deiner Diskussion geantwortet ;-) Meiner Meinung nach ist beliegig aber schlechter: unendlich oft taucht noch öfters im Artikel auf, es passt besser zur Notation und meiner Einer heißt beliebig oft diffbar eher hinreichend glatt. Unendlich oft diffbar ist aber ein kleines bisschen mehr, bzw. deutlicher. Ist vielleicht nur eine Sache der Betonung aber die Notation passt besser zu unendlich... --Xario 20:23, 21. Aug. 2007 (CEST)

Meine Antwort ist auf meiner Diskussionsseite jetzt auch hier. :-)--R. Möws 21:48, 21. Aug. 2007 (CEST)

Um die Einrückungen und Querlinks nicht ausufern zu lassen, kopiere ich mal alles, was in meiner Diskussion stand, hierher. --R. Möws 22:18, 21. Aug. 2007 (CEST)

Huhu, du hast im Artikel unendlich oft durch beliebig oft ersetzt, was meiner Meinung nach aber schlechter ist: unendlich oft taucht noch öfters im Artikel auf, es passt besser zur Notation und vor allem bezeichnet beliebig oft diffbar eher hinreichend glatt. Unendlich oft diffbar ist aber ein kleines bisschen mehr. Zustimmung?! ;-) --Xario 20:11, 21. Aug. 2007 (CEST)

PS: Bin mir nicht mehr sicher ob mein letztes Argument wirklich stichhaltig ist, vielleicht eher eine Sache der Betonung. Finde unendlich aber oft den deutlicheren/klareren Ausdruck. --Xario 20:16, 21. Aug. 2007 (CEST)

Das Problem ist, dass man $f\in C^{\infty }$ oft so definiert: Für jedes $n\in \mathbb {N}$ ist $f^{(n)}\in C^{0}$. Das liest sich für mich eben als: "Jede beliebig hohe Ableitung von f ist stetig." Inhaltlich gibt es nur einen geringen Unterschied, ob man von "beliebig vielen" oder "unendlich vielen" Dingen redet. Meist meint man etwas von der Kardinalität von $\mathbb {N}$.

Ich finde es nur konzeptionell schöner, weil man ja nicht plötzlich unendlich viele Ableitungen auf Stetigkeit prüft, sondern fordert, dass für jedes $n\in \mathbb {N}$ die n-te Ableitungvon f stetig ist.

Vielleicht bin ich auch nur ein wenig infinitiphob, weil "unendlich" von Studenten mMn gerne falsch benutzt wird.

Ich bin mir mit dieser Bezeichnung auch nicht sicher, deswegen ja auch die Nachfrage auf der Portaldiskussion. --R. Möws 21:45, 21. Aug. 2007 (CEST)

Ich denke, der Dreh′ ist so:„Eine Funktion heißt glatt oder auch unendlich oft differenzierbar, wenn sie ...“ --Erzbischof 10:57, 22. Aug. 2007 (CEST)

Das hört sich gut an. Würde in den nächsten Tagen (wenn ich etwas Zeit finde) noch einen Abschnitt "Definition" gemäß R. Möws Vorschlag (bisher taucht eigentlich nur eine Definition für die Menge aller bel. oft diffbaren Fktnen auf) vor dem Abschnitt "Eigenschaften" einfügen und die Einleitung gemäß Erzbischof erweitern, wenn hier keine Gegenstimmen mehr laut werden. ;-) --Xario 18:09, 22. Aug. 2007 (CEST)

Wahrscheinlich habe ich einen großen Hänger, aber ich verstehe den Dreh von Erzbischof nicht. Wie soll der Satz weitergehen? „Eine Funktion heißt glatt oder auch unendlich oft differenzierbar, wenn sie ...“ "... unendlich oft differenzierbar ist"? -- Jesi 18:19, 22. Aug. 2007 (CEST)

Das ist genau die richtige Formulierung: „Eine Funktion heißt glatt oder auch unendlich oft differenzierbar, wenn sie beliebig oft differenzierbar ist." Dass also für alle n $f^{(n)}\in C^{0}$ gilt. Also obige Definition, die ja noch nicht im Artikel steht. Dann kann man nämlich den Ausdruck unendlich oft beibehalten und es ist gleichzeitig das induktive Prinzip dahinter angedeutet. --Xario 19:45, 22. Aug. 2007 (CEST)

Formuliere mal besser: "Eine mathematische Funktion heißt glatt, wenn sie beliebig oft differenzierbar ist, ebenso gebräuchlich ist der Begriff unendlich oft differenzierbar.

Dabei ist der Begriff durch die Anschaulichkeit motiviert: Der Graph einer unendlich oft differenzierbare Funktion und auch die Graphen aller Ableitungen haben keine "Ecken", also Stellen, an denen die Funktionen nicht differenzierbar sind. Damit wirkt der Graph überall "besonders glatt"."

Jetzt kommen Definitionen der Mengen $C^{n}$ und die obenstehende für einzelne Funktionen, dann Hinweise auf Stetigkeits-sachen und sowas und weitere Eigenschaften. Dabei sollte das Hauptaugenmerk von $\mathbb {R} \supset D\to \mathbb {R}$ gehen, dann auf $\mathbb {R} ^{m}\supset D\to \mathbb {R} ^{n}$ erweitert und zwischen Mannigfaltigkeiten nur kurz angerissen werden. Das wäre so ungefähr mein Plan. --Xario 20:03, 22. Aug. 2007 (CEST)

Bei der neuen Version im Namensraum, kam es noch zu folgender Diskussion: --Xario 20:21, 3. Sep. 2007 (CEST)

Erster Eindruck

Dieser Vorschlag gefällt mir besser als die aktuelle Version. Ich hatte ja auf der Diskussionsseite zum Artikel einige Bemerkungen zum Problem n=0 und n>0 gemacht, weil ich da eine Diskrepanz gesehen habe. Inzwischen habe ich mich selbst davon überzeugt, dass das so ok ist. Irgendwie stand ich das auf dem "Oma-Schlauch". Ich hätte für den Anfang ein paar kleine Formulierungsvorschläge, wobei ich die Bemerkungen, die zu meinen ersten mathematischen Edits gemacht wurden, mit umsetze. Zur Vereinfachung des Vergleiches verwende ich mal Durchstreichungen:

Dieser Vorschlag gefällt mir besser als die aktuelle Version. Ich hatte ja auf der Diskussionsseite zum Artikel einige Bemerkungen zum Problem n=0 und n>0 gemacht, weil ich da eine Diskrepanz gesehen habe. Inzwischen habe ich mich selbst davon überzeugt, dass das so ok ist. Irgendwie stand ich das auf dem "Oma-Schlauch". Ich hätte für den Anfang ein paar kleine Formulierungsvorschläge, wobei ich die Bemerkungen, die zu meinen ersten mathematischen Edits gemacht wurden, mit umsetze. Zur Vereinfachung des Vergleiches verwende ich mal Durchstreichungen:

== Der reelle Fall ==

Für eine (im Normalfall offene) Teilmenge $D\subset \mathbb {R}$ nennt bezeichnet man die Menge der reellwertigen und auf ganz $D$ stetigen Funktionen mit $C(D)$, $C^{0}(D)$ oder auch $C^{0}(D,\mathbb {R} )$. Entsprechend wird die Menge n-mal stetig differenzierbaren Funktionen mit $C^{n}(D)$ bezeichnet. Das heißt $f\in C^{n}(D)\Leftrightarrow f^{(n)}\in C^{0}(D)$. Beachte dass stets gilt: Es gilt stets $C^{n}(D)\subset C^{0}(D)$. Damit liegt kann man folgende Definition nahe formulieren:

[...] ^{Alle Formulierungen sind in den Artikel eingeflossen --Xario 20:21, 3. Sep. 2007 (CEST)}

Dazu noch drei Bemerkungen:

• Die Zwischenüberschrift Der reelle Fall könnte evtl. weg, durch den ersten Satz wird das klar, es kommt fast unmittelbar danach Verallgemeinerung. Ich finde auch, dass sie optisch etwas stört.
• Ich denke, dass es reicht, für n>=1 zu formulieren und den Fall n=1 nicht extra ze erwähnen.
• Ich weiß nicht so richtig, ob der Begriff topologisch hier sein muss. Die Cⁿ sind ja "ganz normale Mengen" und C^unendlich ist der normale (abzählbare) Durchschnitt von Mengen.

-- Jesi 17:25, 23. Aug. 2007 (CEST)

Nachtrag: Die Sache mit der ersten Zwischenüberschrift hat sich wohl erledigt. Der optische Eindruck kam wahrscheinlich daher, dass sie kleingeschrieben war. So wie es jetzt ist, ist es voll in Ordnung. -- Jesi 17:32, 23. Aug. 2007 (CEST)

Hey, fix geantwortet :-) Hab fast alle deine Umformulierungen übernommen, zu deinen drei Punkten hab ich noch Fragen:

• Die Zwischenüberschrift drin lassen oder raus? Bin auch nicht ganz sattelfest, wann man Unter- und Zwischenüberschriften einfügen sollte, hier find ich's eigentlich ganz sinnvoll, muss aber nicht sein.
• Das für n=1 würd ich schon eher drinlassen wollen, weil der Sprung von n auf 0 eventuell zu groß ist, natürlich ist "stetig" = "null-mal stetig diffbar", aber dafür braucht man ein kleines bisschen Erfahrung, und $C^{1}$ kennt man noch eher. Lasse mich aber auch hier überzeugen ;-)
• Hab das topologisch rausgenommen aber noch einen Nachsatz zugefügt, da ich denke, wenn man schon zwei Möglichkeiten für eine Definition liefert, sollte man Vor- und Nachteile beschreiben. Jetzt sind das hier ja eigentlich keine "unterschiedlichen" Definitionen, sondern nur zwei Blickwinkel, wie man zu $C^{\infty }$ kommen kann. Und wenn man es als Schnitt von Mengen macht, ist das vor allem für Topologen schneller zu durchschauen. Deshalb die "Rechtfertigung" mittels Nachsatz. Falls das aber doch eher verwirren tut, dann weg damit...ach ja, topologisch sollte ich noch verlinken...

Gute N8, werde erst wieder Sonntag Abend hier vorbeischauen können. --Xario 23:58, 23. Aug. 2007 (CEST)

Kann aber sicher auch gleich antworten:

• Zwischenüberschriften sind jetzt so in Ordnung. (Ich denke eine schlechtere) Alternative wäre, die drei Überschriften unter Definition wegzulassen.
• Fall n=1 ist so auch ok, ich hatte zwischenzeitlich mal eine andere Formulierung mit einer gewissen Doppelung im Kopf, da wäre es mit zwei Fällen unschön geworden.
• Topologisch ist so ok, vielleicht könntest du aber überlegen, doch noch Schnitt durch Schnittmenge (oder vielleicht auch bekannter Mengendurchschnitt) zu ersetzen.

Alles in allem finde ich es jetzt ganz gut lesbar. Ich hätte nur noch eine winzige Erbsenzählerei (ist aber nur eine rein persönliche Ansicht): ich würde die Doppelpunkte hinter Das heißt: und Es gilt stets: weglassen, erscheint mir bei so kurzem Fließtext etwas störend. Ansonsten erst einmal gute N8Ruhe. -- Jesi 00:11, 24. Aug. 2007 (CEST)

Merci! Schon passiert! Muss jetzt aber echt ins Bett! :-) --Xario 00:46, 24. Aug. 2007 (CEST)

Der Entwurf sieht gut aus. Ich habe nur 2 kleine Anmerkungen: Zum einen wird bei der Definition das n nicht weiter quantifiziert, weil jedem irgendwie klar ist, dass damit eine natürliche Zahl gemeint ist. Zum anderen ist für den pathologischen Fall $D=\emptyset$ (oder wenn D aus endlich vielen Punkten besteht) keiner der $C^{n}$s unendlichdimensional. Mein Vorschlag für den ersten Satz: "Für eine offene, nichtleere Teilmenge D..." --R. Möws 20:46, 27. Aug. 2007 (CEST)

Ich antworte morgen, bzw schaus mir genauer an. --Xario 20:41, 29. Aug. 2007 (CEST)

Ok, ich habe zu beiden Anmerkungen noch Fragen:

• Du meinst, in der Definition sollte das $\in \mathbb {N}$ wegelassen werden? Verwirrt das denn oder macht es die Definiton gar falsch? Ich finde es gehört zum "guten mathematischen Ton" und egal ob man jetzt $\mathbb {N}$ bei 0 oder 1 anfangen lässt, die Definition ist mit beidem sinnvoll.
• "Für eine offene, nichtleere Teilmenge D..." füge ich gleich ein. Sollte man dann noch einen Abschnitt machen á la "weitere Spezialfälle", wo einerseits erwähnt wird, dass im Normalfall D keine Randpunkte haben sollte (deswegen offen) und andererseits der Spezialfall D = endliche/diskrete Menge angerissen wird? Da hab ich nämlich noch gar nicht drangedacht gehabt (finds aber sehr cool) insbesondere |D| = d => $C(D)=\mathbb {R} ^{d}$. Allerdings macht diffbar auf einer aus einzelnen Punkten bestehenden Menge wenig Sinn, soweit ich das sehe, kann man $C^{\infty }(D)$ dann gar nicht definieren, deswegen gehörts wohl eher zum Artikel Stetigkeit... Wie siehts denn mit ner Cantormenge aus? --Xario 15:11, 30. Aug. 2007 (CEST)

Ich hab's mal so editiert, wie ich's meinte.^{Nachtrag: Der Edit war in der Einleitung --Xario 20:21, 3. Sep. 2007 (CEST)}

Willst du auf der Cantormenge differenzieren? Was braucht man denn für Struktur? Ist da irgendwas besonders?--R. Möws 22:51, 30. Aug. 2007 (CEST)

Jou, find ich ok so. Zu Cantormenge: Ich hatte gedacht, eventuell kann man auch auf der Cantormenge Differenzierbarkeit definieren, da sie dicht und überabzählbar in $\mathbb {R}$ liegt. Allerdings ist sie total unzusammenhängend: jeder Punkt ist Randpunkt, deswegen glaub ich mittlerweile, dass es Quatsch ist und nicht sinnvoll definiert werden kann. -- Benutzer:Xario 16:19, 31. Aug. 2007 (CEST)

"Das heißt $f\in C^{n}(D)\Leftrightarrow f^{(n)}\in C^{0}(D)$."

Ich habe das rausgenommen (trotz eurer obiger Diskussion).

Begründung: Es macht aus meiner Sicht keinen Sinn. Der Knackpunkt ist ja nicht, dass die n-te Ableitung stetig ist, sondern dass sie existiert. Ihre Stetigkeit ist eher nebensächlich. Also anders ausgedrückt: Die (n-1)-te Ableitung ist stetig differenzierbar. Richtig und sinnvoll wäre also

Das heißt $f\in C^{n}(D)\Leftrightarrow f^{(n-1)}\in C^{1}(D)$.

Ich ersetze obige Formulierung durch diese. --Digamma 22:07, 6. Nov. 2007 (CET)

Ok, aber faktisch sagt das doch das Gleiche aus, oder? Nur ne andere Betonung...Oder meinst du wegen des induktiven Prinzips? --χario 22:19, 6. Nov. 2007 (CET) PS: Und für n=0 also C^0 klappt das so auch nicht mehr... --χario 22:24, 6. Nov. 2007 (CET)

Ich finde, ich kann die Tatsache, dass ein Objekt existiert (in diesem Fall die Ableitung) nicht dadurch ausdrücken, dass ich sage, dass das Objekt in einer gewissen Menge ist. Ich kann nur über Dinge sprechen, die existieren. (Man könnte natürlich die Existenz in einem schwachen Sinn, z.B. als Distribution voraussetzen, und dann sagen, dass diese Distribution in Wirklichkeit durch eine stetige Funktion gegeben ist. Aber dies ist eine andere Sache.)

Ich drücke ja die Konvergenz einer Folge auch nicht durch $\lim _{n\to \infty }a_{n}\in \mathbb {R}$ aus.

Was die Stetigkeit der Ableitung betrifft, auf die kann man in der Definiton von glatt sogar verzichten, weil sie sich automatisch ergibt: aus der Differenzierbarkeit der n-ten Ableitung folgt ihre Stetigkeit.

Induktiv bleibt das Prinzip ja bei meiner Formulierung (oder wird es sogar erst). --Digamma 22:37, 6. Nov. 2007 (CET)

Um mal die Existenz-Philosophischen Aspekte auszuklammern: Es geht um die Definition der C^n. Und ein Element ist genau dann darin, wenn ein anderes Element in einer anderen Menge ist. "f ist n-mal stetig-diffbar" ist äquivalent zu "f \in C^n". N-mal stetig diffbar heißt aber " Die n-te Ableitung existiert und ist sie ist stetig". Damit muss die n-te Ableitung nicht diffbar sein. Da in dem Artikel auch hinreichend glatt erklärt wird, muss man es generell schon so aufbauen. Was mich am meisten stört an deiner Variante ist eben, dass es nicht mehr konsistent ist für n=0 und für n=1 ergibt sich irgendwie der Zirkelschluss $f\in C^{1}(D)\Leftrightarrow f^{(0)}=f\in C^{1}(D)$. Induktiver ist es schon, aber da ist die ursprüngliche Version $f\in C^{1}(D)\Leftrightarrow f^{(1)}\in C^{0}(D)$ stichhaltiger. --χario 23:12, 6. Nov. 2007 (CET)

Sorry Xario, ich hatte Deine Antwort übersehen. Ich finde, dass die Existenz-Frage keine philosophische ist. Ich kann die Tatsache, dass es ein Ding gibt mit einer bestimmten Eigenschaft, nicht dadurch ausdrücken, dass ich sage, das Dinge mit dieser Eigenschaft ist ...

Aber Du hast Recht, meine oben genannte Version ist auch nicht stichhaltiger. Ich habe sie deshalb im Artikel durch eine iterative ersetzt. --Digamma 17:20, 12. Nov. 2007 (CET)

M. E. war "beliebig oft differenzierbar" in Ordnung und besser als "unendlich oft ...". Denn eine Funktion kann immer nur endlich oft differenziert werden. --Hanfried.lenz 16:33, 12. Nov. 2007 (CET).

Du beziehst Dich nicht auf die Diskussion in diesem Abschnitt, oder? Im Artikel steht doch als definierende Eigenschaft "beliebig oft differenzierbar". Aber "unendlich oft differenzierbar" ist nun mal als Bezeichnung üblich, deshalb sollte man das als Begriff auch drinlassen. --Digamma 17:15, 12. Nov. 2007 (CET)

Fehler in den Anwendungen

Die Funktion k unter den Anwendungen hat denke ich nicht die angegebenen Eigenschaften. Der Zähler $g(x-1)$ ist gleich Null für $x\leq 1$, d.h. die Funktion ist auf dem Intervall $(-1,1)$ nicht größer als Null. Außerdem ist die Funktion für $x=1$ nicht definiert.

Ich denke es muss $x\mapsto {\frac {g(1+x)}{g(1+x)+g(1-x)}}$ sein.

--Kingkong43 21:32, 22. Jan. 2009 (CET)

BKL

Glattheit leitet auf diesen Artikel weiter; der Begriff kann sich aber auch auf S-glatte Zahlen beziehen. --77.6.121.164 06:48, 25. Jul. 2020 (CEST)

Ich habe eine Weiterleitungshinweis gesetzt. --Digamma (Diskussion) 12:54, 25. Jul. 2020 (CEST)