Diskussion:Glatte Kurve

Ableitung 0

Sicher ? Die Stelle mit f´(t) != 0 kommt mir komisch vor. f´´(t)!= 0 vielleicht...

Wäre f'(t) = 0 erlaubt, könnte man Ecken hineinschmuggeln:

$t\mapsto (t^{2},t^{3})$ hat eine "spitze Ecke" um den Parameterwert 0 herum.

--Daniel5Ko 18:30, 8. Nov. 2011 (CET)

Nicht verschwindende Ableitung

Heißt das, die Ableitung darf nie 0 werden? Dann wäre eine Gerade oder Parabel 2. Ordnung nicht glatt? Ist es nicht eher so, dass sie an jeder Stelle beliebig oft differenzierbar ist? --Siehe-auch-Löscher (Diskussion) 08:41, 22. Mai 2015 (CEST)

Was dir vorschwebt ist wohl eher die Darstellung als (glatte) Funktion, hier geht aber um Kurven und "0" steht dann für den Nullvektor($(0,\ldots ,0)$ und nicht die Zahl Null. Die Darstellung der Parabel als Kurve ist $f(t)=(t,t^{2})$ mit dem Ableitungsvektor $f'(t)=(1,2t)$, der nie den Wert $(0,0)$ annimmt, somit ist die Parabel eine glatte Kurve.--Kmhkmh (Diskussion) 09:21, 22. Mai 2015 (CEST)

Nun, dann ist die Einleitung unscharf. Es muss eine Parameterdarstellung geben, deren Ableitung nie verschwindet. Soll heißen, wenn ich mit dem Auto eine glatte Kurve abfahre und dabei die Funktion f(t) aufzeichne, kann ich da durchaus anhalten und weiterfahren. Oder mathematisch formuliert $g(t)=(t^{3},t^{6})$ ist doch dieselbe Kurve wie f(t), oder? --Siehe-auch-Löscher (Diskussion) 09:46, 22. Mai 2015 (CEST)

Nein, das ist nicht dieselbe Kurve, sondern beide (Parameter-)Kurven besitzen denselben Graphen. Die Verwendung des Begriffs "Kurve" und auch die Unterscheidung von ihrem "Graphen" wird in der Literatur nicht immer einheitlich gehabt bzw. ist mehrdeutig und wird manchmal auch etwas schlampig verwandt. Was hier genau unter Kurve zu verstehen ist, ist in der formalen Definition festgelegt.--Kmhkmh (Diskussion) 10:06, 22. Mai 2015 (CEST)

Nach etwas weiterer Recherche sieht es danach aus, dass eine glatte Kurve im mathematischen Sinne keine Kurve, sondern ein Weg ist, also eine parametrisierte Kurve. --Siehe-auch-Löscher (Diskussion) 09:57, 22. Mai 2015 (CEST)

Jein, es ist natürlich richtig dass er hier um einen Weg bzw. eine parametrisierte Kurve geht, das steht aber nicht im Widersprich dazu eine Kurve zu sein (der Begriff ist eben mehrdeutig, siehe dazu auch das Posting weiter oben).--Kmhkmh (Diskussion) 10:06, 22. Mai 2015 (CEST)

P.S.: Eine entsprechende Beschreibung dieser Problematik (sowie der Geschichte und Problematik des Kurvenbegriffes), findet man z.B. in Wolfgang Walter: Analysis II. Springer. Ich zitiere mal daraus:

"Die heutigen Lehrbücher der Analysis gehen von einer Parameterdarstellung $\phi :I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ aus. Was aber eine Kurve nun sei, die Funktion $\phi$, die Bildmenge $\phi (I)$ oder beides und wie man das Gebilde bezeichnen soll, darüber herrscht babylonische Sprachverwirrung. Man findet die Ausdrücke Bahn, Bogen, Weg, Kurve, Kurvenbogen, ebenso Wegstück,... in verschiedener Bedeutung."

--Kmhkmh (Diskussion) 10:37, 22. Mai 2015 (CEST)

Es spricht ja nichts dagegen, die Unklarheiten bei uns zu beseitigen. Das Thema ist ja nicht so kompliziert, als dass es nicht verständlich dargestellt werden kann. Ich werde mich mal behutsam daran machen. --Siehe-auch-Löscher (Diskussion) 10:48, 22. Mai 2015 (CEST)

Eventuell ist ein sinnvoll die Darstellung hier, der Verwendung bzw. Definition der Begriffe an anderer Stelle anzupassen. In diesem Sinne definiert das Lemma dann im Moment einen glatten Weg, eine glatte Kurve (Kurve als Bildmenge (oder Graph) eines Weges) ist dann definiert als eine Kurve für die als Parameterdarstellung ein glatter Weg existiert. In Bezug auf die Beispiele oben deutet dies, dass die Kurve des nicht glatten Wegs g(t) trotzdem glatt ist, da mit f(t) ein glatter Weg existiert, der dieselbe Kurve erzeugt.--Kmhkmh (Diskussion) 11:15, 22. Mai 2015 (CEST)

Wir sind uns einig! --Siehe-auch-Löscher (Diskussion) 13:07, 22. Mai 2015 (CEST)