Diskussion:Gradient (Mathematik)

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Dieser Artikel wurde ab Juli 2019 in der Qualitätssicherung Physik unter dem Titel „Gradientkraft und Gradientenkraft“ diskutiert. Die Diskussion kann im Archiv nachgelesen werden. Anmerkung: Gemeint war Kraft, die durch einen Gradienten verursacht wird; Beispiele dazu sind in Gradient (Mathematik)#Anwendungen zu finden.

Dieser Artikel wurde ab August 2019 in der Qualitätssicherung Physik unter dem Titel „Abschnitt Anwendungen in Gradient (Mathematik)“ diskutiert. Die Diskussion kann im Archiv nachgelesen werden. Anmerkung: Der Abschnitt "Anwendungen" wurde umgebaut.

Hinweis: Die Artikel Gradient eines Skalarfeldes, Divergenz eines Vektorfeldes und Rotation eines Vektorfeldes bilden eine strukturelle Einheit, die bei Änderungen möglichst gewahrt werden sollte. Wolfgangbeyer 09:36, 19. Feb 2004 (CET)

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Operator

Ist die Bezeichnung von grad als Differentialoperator korrekt? Ich würde es eher als Schreibweise bezeichnen, so wie man auch f(x) oder ein Integral einfach so schreibt und nicht automatisch und unbedingt als Operatorbeziehung interpretiert, obwohl das natürlich durchaus möglich ist und wenn's nützlich ist auch mal so gemacht wird. Gegen die Interpretation von grad als Operator spricht auch, dass grad gar kein eigenständiges Objekt ist, also auch nicht im Rahmen eines Operatorkalküls auftauchen kann, anders als ${\vec {\nabla }}$, das Ausdrücke wie $\Delta ={\vec {\nabla }}^{2}$ ohne Funktion dahinter zulässt. Wolfgangbeyer 18:17, 22. Feb 2004 (CET)

Ich denke, "grad" ist genauso so sehr (oder so wenig) ein eigenständiges Objekt wie $\nabla$ und $\int$. Für mich ist es "der Keim eines Operators", ebenso wie das Integralzeichen; ein Symbol, das durch Angabe zusätzlicher Werte zu einem Operator gemacht wird. Insofern also noch kein kompletter Operator. Erst wenn man angibt, dass man die Menge S der Skalarfelder des R¹⁷ und die Menge V der Vektorfelder des R¹⁷ betrachtet, ist grad: S -> V ein Operator. Dasselbe gilt aber für ${\vec {\nabla }}$: Der wird erst durch die Angabe der Dimension komplettiert. --SirJective 12:15, 23. Feb 2004 (CET)

Die Frage ist weniger, ob grad ein Operator ist, sondern ob man ihn als solchen bezeichnet. Ob man z. B. sin in sin x als Operator bezeichnet, ist lediglich eine Frage der Vereinbarung. In diesem Fall tut man's nicht und das würde ich bei grad auch eher so sehen. Im Fall von rot kommt ja auch niemand auf die Idee, das als Teil eines formalen Vektors zu bezeichnen anders als bei ${\vec {\nabla }}$. Dass für Dich ${\vec {\nabla }}$ erst zum Operator wird, wenn man sich auf die Zahl der Dimensionen festlegt, geht eher am Thema vorbei. Aber merkwürdig find ich's trotzdem. Wie würdest Du denn dann die Objekte z. B. in $\Delta ={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}$ nennen, wo die Dimensionszahl ja auch noch nicht feststeht? ${\vec {\nabla }}$ ist für mich ein Operator mit einer intrinsischen Variable, der Zahl der Dimensionen. Alles andere wäre so, als würde man ${\vec {F}}$ erst dann als "realen" Kraftvektor ansehen, wenn er auch einen konkreten Zahlenwert angenommen hat. Würde vorschlagen, dass wir die Bezeichnung von grad als Operator erst mal weg lassen, solange wir uns nicht einig sind. Denke, niemand wird das überhaupt vermissen. Wolfgangbeyer 19:48, 23. Feb 2004 (CET)

Was ist für Dich ein Operator? Ein Operator ist schlicht in bestimmten Kontexten eine Bezeichnung für "Zuordnung". Mathematisch ist das ein bestimmtes Objekt. Ein Differentialoperator ist eine Zuordnung, die einer Funktion (oder einem Skalar-, Vektor- oder Tensorfeld) mit Hilfe von Differentiation eine neue Funktion (oder Skalar-, Vektor- oder Tensorfeld) zuordnet. Genau das tut "grad": Er ordnet dem Skalarfeld f das Vektorfeld grad f zu. Natürlich ist "grad f" kein Operator, sondern ein Vektorfeld. "sin" ist auch kein Operator, sondern eine Funktion. $\nabla$ ist selbst kein Operator, sondern nur ein Symbol in einem Kalkül, das je nach Gebrauch einen der Operatoren "Gradient", "Divergenz" oder "Rotation" bezeichnet. Operatoren haben mit Kalkülen erstmal nichts zu tun, insofern geht dein Einwand oben "dass grad nicht im Rahmen eines Operatorkalküls auftauchen kann" an der Sache vorbei. --Digamma 11:39, 22. Feb. 2007 (CET)

Aber könnte man trotzdem eine Verlinkung zu Differentialoperator, wenigstens ein siehe auch: Verweis dort lassen? Es wäre von Vorteil das ganze Gebiet irgendwie untereinander zu verlinken. Wenigstens für die, die es wirklich wissen wollen. --Paddy 20:08, 23. Feb 2004 (CET)

Spricht nichts dagegen. Am besten vielleicht unten, oder? Wolfgangbeyer 20:21, 23. Feb 2004 (CET)

Wenn ich jetzt noch wüsste, was eine intrinsische Variable ist... Ohne Angabe dieses Parameters, der Dimension, ist $\nabla$ mMn kein Operator, sondern ein "formaler Operator" oder was auch immer, und der Ausdruck ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}$ ist ein formales Skalarprodukt, das für jede Dimension separat ausgewertet werden müsste, um den Laplaceoperator dieser Dimension zu ergeben; $\Delta$ ist ebenso unvollständig ohne Angabe der Dimension der Felder, auf die er angewandt werden soll. Aber diese Unterscheidung ist nur meine persönliche Sichtweise, da ich nie in praxi damit gerechnet habe, und meine Vorstellung von anderen Bereichen übertrage. Analog ist der Ausdruck ${\vec {F}}$ nur ein Vektorfeld, das jedem Punkt einen Kraftvektor zuordnet, aber wie gesagt: Wenn die übliche Schreib- und Sprechweise diesen Unterschied nicht macht, dann will ich den nicht einführen. --SirJective 17:43, 24. Feb 2004 (CET)

Tensoren nur für n=m?

Wenn ich mich recht erinnere, gibt es Tensoren nur für n=m. Dann müsste man das dort anders hinschreiben. Wolfgangbeyer 20:30, 23. Feb 2004 (CET)

Genau genommen ist es ein Tensor 2. Stufe (also für n=2 hat der Tensor 9 (3^n) Komponenten). Und ja, n muß genau n sein für n größer gleich 0. --Paddy 21:01, 23. Feb 2004 (CET)

Der verallgemeinerte Gradient ist aber auch für m≠n definiert. --SirJective 17:33, 24. Feb 2004 (CET)

Tensoren gibt es auch für unterschiedliche Dimensionen. Ein Tensor ist schließlich nicht mehr als ein Element des Tensorprodukts zweier K-Vektorräume, wobei K ein beliebiger Körper sein kann. So ist z.B. $A\in V^{*}\otimes W$ eine lineare Abbildung $A:V\to W$ oder $B\in V^{*}\otimes W^{*}$ eine bilineare Abbildung $B:V\times W\to K$. Da man aber z.B. in der Theoretischen Physik oder in der Differentialgeometrie meistens nur Tensorprodukte zwischen den Tangentialräumen $T_{p}M$ und den Kotangentialräumen $T_{p}^{*}M$ betrachtet, hat sich das Vorurteil eingeschlichen, dass nur solche Tensoren existieren, deren zugrundeliegende Vektorräume gleiche Dimension hätten. Das ist allerdings nicht notwendig. --V4len 15:00, 3. Dez. 2006 (CET)

Notation

Die Vertauschung von R^n und R war nicht so glücklich: R^n -> R war ja als Eigenschaft von φ gemeint und nicht als die des Gradienten, und so stand es auch schon seit ewig dort. Und da es unmittelbar mit Doppelpunkt hinter φ steht, kann man das eigentlich kaum missverstehen. Und bei R^3 -> R bezieht es sich ganz unmissverständlich auf φ. So können wirs nicht lassen. Wir könnten es wieder so hinschreiben, wie es war, oder, wenn Benutzer:Paddy es tatsächlich beim ersten Vorkommen missverständlich empfindet, dort einfach φ(${\vec {r}}$) schreiben und den ganzen R-Klimbim einfach weglassen. Ich würde ihn nicht unbedingt vermissen. Ebenso bei der Divergenz, obwohl dort am ehesten noch ein Sinn insofern darin bestand, zu sagen, dass ${\vec {F}}$ und ${\vec {r}}$ von gleicher Dimension sein müssen. Wolfgangbeyer 20:21, 23. Feb 2004 (CET)

Das ist in der Tat misverständlich. Ich habe den Pfeil als Abbildung verstanden in dem ein Skalarfeld auf ein Vektorfeld abgebildet wird. Genauso bei div. Ich würde es so vorschlagen: ${\vec {F}}\rightarrow \operatorname {div} \,{\vec {F}}\qquad \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ analog bei grad. --Paddy 20:36, 23. Feb 2004 (CET)

Ich weiss nicht, ob hier immer alles so formal wie in einem Mathematikbuch stehen muss, und Dein Vorschlag würde es noch mehr in diese Richtung treiben. Ich würde es lieber in Worten sagen, und im Prinzip steht doch auch schon alles in Worten da. Wolfgangbeyer 21:09, 23. Feb 2004 (CET)

Natürlich soll es in erster linie in Worten geschrieben werden. Ich persönlich finde die Zusatzinformation in mathematischer Schreibweise nicht schlecht. Aber Du es als störend empfindest, dann können wir das auch rausnehmen. --Paddy 21:20, 23. Feb 2004 (CET)

Jetzt müsste nur noch jemand reinschreiben, was bei $\varphi ({\vec {r}})$ das ${\vec {r}}$ sein soll. In der allgemeinen Definition des Gradienten hab ich von $\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})$ geschrieben. --SirJective 17:33, 24. Feb 2004 (CET)

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Wieso wurde im totalen Differential $d\varphi$ rechts vom Gleichheitszeichen wieder durch $\partial \varphi$ ersetzt?? Ein isoliertes $\partial \varphi$ ist mir noch nie begegnet. Höchsten als $\partial _{x}\varphi$ für die partielle Ableitung. Da muss selbstverständlich das gleiche d hin wie das bei dx, dy, dz auf der rechten Seite. Konsequent aber noch merkwürdiger wäre höchsten $\partial$ überall. Gebe zu, dass ich das vor über 30 Jahren gelernt habe, aber es würde mich doch sehr wundern, wenn das heute anders gesehen würde als damals. Und deswegen hatte ich es kürzlich korrigiert (war versehentlich nicht angemeldet). Wolfgangbeyer 00:07, 24. Feb 2004 (CET)

Stimmt habe es in meinen Aufzeichnungen falsch aufgeschrieben. --Paddy 00:34, 24. Feb 2004 (CET)

Man sollte in diesem Zusammenhang wirklich unbedingt auf die Differentialformen, bzw. die Äußere Ableitung (oder auch Cartan Ableitung genannt) verlinken, sonst weiß kein Mensch, was ein totales Differential sein soll. --Konstantin 18:32, 24. Jun 2008 (CET)

Hesse-Matrix

Durch die neue Überschrift Vektorgradient ist der Abschnitt zur Hesse-Matrix plötzlich in ein falsches Kapitel geraten, denn die hat ja nichts mit dem Vektorgradienten am Hut. Und wenn ich mir die Gleichung anschaue (zu ersten mal so richtig), dann scheint da was nicht zu stimmen. Der 2. und 3. Ausdruck (von Paddy eingefügt) sind Skalare und rechts steht eine Matrix. Der 4. Ausdruck (steht schon länger da) ist zumindest missverständlich. Gab's da nicht so eine Vektorverknüpfung, deren Ergebnis eine Matrix aller Komponentenprodukte ist? So was war da wohl gemeint. Ist schon zu lange her. Keine Ahnung, wie man das unmissverständlich schreibt. Wolfgangbeyer 22:23, 23. Feb 2004 (CET)

Die Hesse-Matrix gehört für mich unter Optimierung oder nichtlinieare Optimierung und zwar zur Anwendung des Newton-Verfahrens. Nur weil da ein nabla drin ist ist da kein nabla drin. Und es gehört ganz gewiss nicht zu Gradient. --Paddy 23:42, 23. Feb 2004 (CET)

Naja, das sind aber ganz spezielle Anwendungen. Das sollte man schon allgemeiner sehen. Hier wurde es wohl hingeschrieben, weil der Gradient als verallgemeinerte erste Ableitung bezeichnet werden kann und die Hesse-Matrix als die zweite. Das ist nicht ganz aus der Luft gegriffen. Aber ich würde mich auch gegen Löschen nicht unbedingt querstellen. Ich frage mal SirJective, was er sich dabei gedacht hat. Wolfgangbeyer 00:07, 24. Feb 2004 (CET)

Ich sehe den Ausdruck $\Delta \varphi$ an der Stelle für falsch an, denn das ist doch der Laplaceoperator: Die Spur der Hesse-Matrix. Die Schreibweise $\nabla ^{2}\varphi$ mit Exponenten beim Operator ist zum einen eine Kurzform von $\nabla \nabla \varphi$, leider aber auch eine andere Schreibweise des Laplaceoperators. Ich meine mit der Hesse-Matrix den Ausdruck $\nabla (\nabla \varphi )$, wobei der äußere Gradient die verallgemeinerte Form für eine vektorwertige Funktion ist. Als Anwendung des verallgemeinerten Gradienten würde ich die Hesse-Matrix hier schon stehen lassen. Ob das jetzt ein Tensor ist oder "nur eine Matrix", kann ich nicht sagen, dazu kenn ich Tensoren zuwenig. Jedoch lässt sich der verallgemeinerte Gradient für jede komponentenweise partiell differenzierbare Funktion F von Rⁿ nach R^m definieren, auch für n≠m. --SirJective 17:33, 24. Feb 2004 (CET)

$\nabla (\nabla \varphi )=\operatorname {div} \cdot \operatorname {grad} \varphi =\Delta \varphi$! Ich glaube einer von uns bringt da etwas durcheinander. So wie es darstand unter Verallgemeinerung hiel ich es für die Definition von Vektorgradient. Bei der Hesse-Matrix handelt es sich aber um ein skalares Feld. Andernfalls hättest Du mit Deinem Einwand recht. Weiter oben frage ich sowiso, was Du mit der Hesse-Matrix erreichen möchtest. --Paddy 18:22, 24. Feb 2004 (CET)

Das Ergebnis eines Vektorgradienten ist definitiv ein Tensor 2. Stufe. Und dann muß m muß genau n sein. Das Ergebnis von der Hesse-Matrix ist ein skalar mit hilfe dessen man Extrem- und Sattelpunkte bestimmen kann. Ist da vielleicht beim verschieben etwas durcheinander gekommen? Ich hoffe nicht! --Paddy 18:53, 24. Feb 2004 (CET)

SirJectiv: Es ist schon klar, was Du mit $\nabla (\nabla \varphi )$ meintest. Aber das muss sich doch auch irgendwie so schreiben lassen, dass keine Missverständnisse aufkommen, oder stehen wir hier vor einem dunklen Fleck der mathematischen Notation? Habe unter google nirgendwo diese Formel für die Hesse-Matrix gefunden. Alle schreiben sie komplett aus, wohl um dieses Problem zu umgehen. Sollten wir vielleicht auch machen. Das gleiche Missverständnis wird allerdings auch beim den Vektorgradienten $\nabla {\vec {F}}$ provoziert. Paddy: Bei der Hesse-Matrix handelt es sich aber um ein skalares Feld. Es ist eine Matrix wie der Name schon sagt und kein Skalar. Das Ergebnis eines Vektorgradienten ist definitiv ein Tensor 2. Stufe. Und dann muß m muß genau n sein. Umgekehrt: Ist m=n, so ist der Vektorgradient ein Tensor. Das habe ich ja auch schon bemängelt an der Formulierung so wie sie jetzt da steht. Ferner: (A_ij) ist eine Matrix, aber was soll eigentlich (A_ij)_ij sein? Das steht da nämlich bei der Hesse-Matrix. Wolfgangbeyer 20:03, 24. Feb 2004 (CET)

Paddy: Bei der Hesse-Matrix handelt es sich aber um ein skalares Feld.

Das bezog ich darauf das $\varphi$ ein Skalarfeld ist! Und deswegen $\nabla (\nabla \varphi )=\operatorname {div} \cdot \operatorname {grad} \varphi =\Delta \varphi$

Wolfgangbeyer: Umgekehrt: Ist m=n

Schon klar!

Wolfgangbeyer:_ij

Keinen blassen Schimmer! Auch in keiner Literatur gefunden google eingeschlossen. --Paddy 20:25, 24. Feb 2004 (CET)

Jetzt sind hoffentlich alle Klarheiten beseitigt... Es ist

$\nabla \cdot (\nabla \varphi )=\operatorname {div} \ \operatorname {grad} \varphi =\Delta \varphi$

aber nicht $\nabla (\nabla \varphi )$. Und der verallgemeinerte Gradient $\nabla {\vec {F}}$ ist streng zu unterscheiden von der Divergenz $\nabla \cdot {\vec {F}}$. --SirJective 11:07, 25. Feb 2004 (CET)

Meinst Du damit, dass immer der Punkt hingeschrieben werden muss, wenn Nabla als Divergenz verstanden werden soll, andernfalls ists der Vektorgradient? Das ist sicher nicht richtig. Der Bronstein wimmelt von Nablas ohne Punkt, die aber Divergenz bedeuten. Ganz gegessen ist die Sache für mich daher nicht. Oder wir nehmen es hin, dass die mathematische Notation hier einfach doppeldeutig ist. Wäre schon merkwürdig. Wolfgangbeyer 14:58, 25. Feb 2004 (CET)

Stimme Wolfgangbeyer voll zu. Was haltet ihr von

$H=\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &&&\vdots \\{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$

Für mich ist immer noch nicht klar, was die Hesse-Matrix unter Gradient zu suchen hat!--Paddy 15:31, 25. Feb 2004 (CET)

Hoppla, danke für die Korrektur der Hesse-Matrix. Der Gradient ist so was wie die verallgemeinerte 1. Ableitung eines Skalarfeldes und die Hesse-Matrix so was wie die verallgemeinerte 2. Ableitung, wie ich ja schon oben mal sagte. Von daher ist eine Erwähnung durchaus ok, um größere Zusammenhänge aufzuzeigen. Wenn es einen Artikel Hesse-Matrix schon gäbe, könnte man es auch bei einem simplen Link ohne Formel belassen. Wolfgangbeyer 17:17, 25. Feb 2004 (CET)

Die Begründung habe ich schon verstanden. Aber vielleicht sollte man das auch so hinschreiben. Die Formel zu verschieben, wenn [Hesse-Matrix]] angelegt wurde würde mir persönlich reichen und sehr begrüßen. --Paddy 17:48, 25. Feb 2004 (CET)

Wolfgangbeyer: Ich meine nicht unbedingt, dass man den Punkt immer hinschreiben muss, ich meinte nur - wie du auch festgestellt hast -, dass die Schreibweise ohne Punkt nicht eindeutig wäre. Wenn wir die Schreibweise wie jetzt geschehen ganz weglassen, und nur noch von Jakobi-Matrix und Hesse-Matrix sprechen, dann gibt es diesbezüglich keine Probleme mehr.
Paddy: Ja, ich stimme zu; sobald Hesse-Matrix angelegt ist, kann die Formel hier raus. Wenn ich nun die Hesse-Matrix mit Hilfe anderer Operatoren ausdrücken wollte, müsste ich sie dann die "Jakobi-Matrix des Gradienten" nennen? --SirJective 19:09, 25. Feb 2004 (CET)

Ich habe noch nie gesehen, daß die Hesse-Matrix als Jakobi-Matrix des Gradienten eines Skalarfeldes bezeichnet wurde. Aber ich denke man könnte das so sehen. So tief stecke ich da aber nicht drin. --Paddy 20:27, 25. Feb 2004 (CET)

Rein rechnerisch scheints ok zu sein. Wolfgangbeyer 22:09, 25. Feb 2004 (CET)

Sonstiges

Zum Temperaturgradient: "Der negative Vektorgradient des Wärmeflusses wiederum ist der Temperaturgradient." Der Vektorgradient ist eine Matrix und kann daher kein Temperaturgradient sein. Der Wärmefluss ist proportional zum (negativen) Temperaturgradienten. "Betrachtet man die Wärmeverteilung einer vom Strom durchflossenen Leiterbahn auf einem Mikrochip, so läßt sie sich durch ein Skalarfeld von unterschiedlichen Temperaturen beschreiben." Zur Kausalität: Sie ist auch dann ein Skalarfeld, wenn man sie nicht betrachtet ;-). Habe leider gerade keine Zeit, das zurechtzubiegen. Wolfgangbeyer 22:04, 25. Feb 2004 (CET)

Werde ich in Ordnung bringen! --Paddy 11:49, 26. Feb 2004 (CET)

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Habe den Anfang noch mal umgekrempelt und bin dabei dem Konzept gefolgt, das leichter verständliche nach oben zu holen und erst weiter unten mit Ableitungsoperator und mehrdimensionaler Analysis zuzuschlagen. Schließlich ist Gradient ein Begriff, der vielleicht auch mal einem Laien über den Weg läuft, und dann sollte er hier am Anfang ein paar Sätze finden, die er versteht. Eigentlich sollte man nun auch die Artikel Divergenz und Rotation entsprechend anpassen. Weis nicht, ob ich irgendwann mal die Zeit dazu finde. Das wiedereinfügen von siehe auch war ein Versehen meinerseits. --Wolfgangbeyer 21:40, 4. Jun 2004 (CEST)

Hab's jetzt doch einfach auch in Divergenz und Rotation durchgezogen. --Wolfgangbeyer 22:12, 4. Jun 2004 (CEST)

Am anfang des berichtes über gradienten ist da ein bild mit so zwei bildern mit pfeilen drin, die die richtung des gradienten darstellen. -echt cool.

mit welchem programm kann man das machen?

eine kurzer absatz am ende mit der website oder mitd er sorftware die das kann wär kool

Richtungsableitung: Unter der Überschrift steht auch "Für $\left|{\vec {v}}\right|\not =1$ ergibt sich

${{\partial \varphi } \over {\left|{\vec {v}}\right|\partial {\vec {v}}}}={1 \over \left|{\vec {v}}\right|}\left\langle \mathrm {grad} \varphi {,}{\vec {v}}\right\rangle$" Stimmt dass denn so? Ich meine, das ist doch genau äquivalent wie wenn man einen Einheitsvektor hat, denn man kann ja auf beiden Seiten der Gleichung den Betrag von v rauskürzen. --DB1BMN 12:37, 28. Okt 2005 (CEST) (Sorry, hatte ich vorhin vergessen zu signieren)

Die Notation ${\frac {\partial ?}{?\partial ?}}$ habe ich noch nie gesehen, und die Gleichung mit dem Gradienten stimmt auch für Vektoren, die keine Einheitsvektoren sind. Die Notation ${\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {v}}}}$ ist problematisch, weil sie nicht mit physikalischen Einheiten zusammenpasst, daher vermutlich die Einschränkung auf Einheitsvektoren.--Gunther 15:04, 26. Okt 2005 (CEST)

Sehe gerade, es gibt einen eigenen Artikel Richtungsableitung. Man sollte daher hier das Thema nur knapp erwähnen und den Rest des jetzigen Abschnittes in den Artikel "Richtungsableitung" einarbeiten. Das ist übrigens mal wieder einer dieser gnadenlosen Uni-Niveau-Mathe-Artikel, dem etwas Text auf Schulmathematik-Niveau nicht schaden würde ;-). --Wolfgangbeyer 23:44, 27. Okt 2005 (CEST)

Öhm, auch wenn ich hier etwas zum Artikel beigetragen habe, so möchte ich sagen, dass mit der Artikel zur Richtungsableitung überhaupt nichts sagt. Da müsste noch sehr viel erklärt werden. --DB1BMN 12:39, 28. Okt 2005 (CEST)

Deswegen meinte ich ja auch "einarbeiten". --Wolfgangbeyer 00:16, 29. Okt 2005 (CEST)

Andere Koordinatensysteme

Hallo, ich würde mir eine Darstellung des Gradienten in weiteren Koordinatensystemen wüschen, insbesondere, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten sowie deren Herleitung. Desweiteren die Anwendung der Operation auf komplexe Funktionen. Analoges gilt auch für div, rot und Laplace. --DB1BMN 12:43, 28. Okt 2005 (CEST)

Darstellung in Zylinder- und Kugelkoordinaten eben eingefügt. Wer hilft mir bei der Herleitung und den komplexen Funktionen?--DB1BMN 13:33, 28. Okt 2005 (CEST)

Bitte nicht. Die Präsentation von Herleitungen ist nun wirklich nicht die Aufgabe einer Enzyklopädie, jedenfalls nicht, wenn es sich um eine so aufwändige handelt. Enzyklopädie heißt Nachschlagewerk. Das heißt, ein wenig Formelsammlung dürfen wir schon sein. Herleitungen gäben frühesten dann Sinn, wenn wir irgendwann beschließen würde, Strukturen nach Art von separaten Artikelanhängen zu schaffen. Das fände ich gar nicht so schlecht. --Wolfgangbeyer 00:16, 29. Okt 2005 (CEST)

Toll, und woher sollen dann ich, und andere wissen, wie diese Terme zustande kommen? Unser Prof erklärt die auch nicht und verweist nur auf die Formelsammlung aber da ist ja auch keine Herleitung :( --DB1BMN 12:58, 29. Okt 2005 (CEST)

Sollte die Wikipedia deiner Ansicht nach wirklich auf alle Fragen eine Antwort haben :-)? Es gibt die Wikibooks, d. h. eine Sammlung von Lehrbuchtexten, es gibt die Wikiversity und Wikisource. Unsere Aufgabe ist es vor allem, kurz und knapp und möglichst verständlich die Fakten zu vermitteln. --Wolfgangbeyer 13:42, 29. Okt 2005 (CEST)

Gradientenfeld

Hallo, mir fiel auf das man zu Gradientenfeld nichts bei Wikipedia findet, weshalb ich ein paar Zeilen dazu geschrieben hab, aber ich denke es macht mehr Sinn, das auf dieser Seite hinzuzufügen und nur einen REDIRECT zu machen. Meinungen? --Earendil 12:18, 18. Mär 2006 (CET)

Zu Schreibweisen Divergenz, Rot Grad

Ob man die Divergenz, die Rotation oder den tatsächlichen Gradienten bildet, hängt von der Verknüpfung des Nablaoperators mit dem Objekt auf das er angewendet wird ab. Wird der Gradient gebildet so ist die Verknüpfung dyadisch, was in der Literatur oft ohne ein Verknüpfungszeichen ausgedrückt wird, z.B $\nabla {\vec {T}}$. Darauß entsteht dann, bei Anwendung wie hier auf einen Vektor, ein Tensor zweiter Stufe. Allgemein kann man sagen, $T_{(k+1)}=\nabla T_{(k)}$, wobei k die Stufe des Tensors ist. Die Divergenz bezeichnet die skalare Verknüpfung des Gradienten mit einem Objekt, also $\nabla \cdot {\vec {T}}$. Darauß entsteht dann ein verjüngter Tensor $T_{(k-1)}=\nabla \cdot T_{(k)}$. Das bedeutet, wendet man $\nabla \cdot$ auf einen Vektor an, so entsteht ein Skalar. Als Rotation bezeichnet man die Verknüpfung des Gradienten über das Vektorprodukt, d.h $\nabla \times {\vec {T}}$. Wie leicht ersichtlich ist entsteht dabei wieder ein Vektor. Leider sind die Schreibweisen in der Literatur inkonsistent. Bei skalaren Objekten (z.B Druckfelder oder Geschwindigkeitspotentiale), auf die der Gradient angewendet wird ist es quasi egal, ob man skalar oder dyadisch verknüpft. Bei Tensowertigen Problemen (also Tensorstufe k > 0) darf man die Art der Verknüpfung nicht außer Acht lassen. Zu guter Letzt ist zu erwähnen, das die Art der Verknüpfung durch das physikalische Problem vorgegeben wird. Uwe --217.246.135.14 12:06, 15. Apr 2006 (CEST)

Musikalischer Isomorphismus

Im englischen Wikipedia wird der Gradient mit dem "musikalischen Isomorphisums" in Verbindung gebracht, siehe [1]. Das fehlt hier in der deutschen Version bisher leider. (Leider verstehe ich nicht genug davon um selbst darüber schreiben zu können).

Ja das ist richtig. Der viel fundamentalere Begriff ist eigentlich die Jacobimatrix, bzw. das Differential einer Funktion. Dieses ist ein Element aus dem Dualraum, weil es eine linear Form auf den Vektoren ist. Sobald man aber eine nicht ausgeartete Bilinearform (wie z.B. eine Metrik, oder symplektische Form) hat vermittelt sie eine Identifikation von linearen Formen und Vektoren. In diesem Fall definiert man den Gradienten dann einfach indirekt über diese gegebene Identifikation mit dem Differential. Auf diese Weise lässt sich auch die Form des Gradienten in unteschiedlichen Koordinatensystemen erklären. Wählt man nämlich krummlinige Koordianten, so hat die Metrik keine einfach Gestalt mehr, und genau diese Terme tauchen dann dort auf.

Konstantin

Ich bin über den Begriff musikalischer Isomorphismus gestolpert. In allen (mindestens 4) Lehrbücher über Differentialgeometrie, die ich gut kenne, wird dieser Begriff nicht benutzt. Mir erscheint er eher als ein Jargon einiger Autoren, der aber in der Wikipedia die meisten Leser eher verwirren dürfte, statt sie aufzuklären. Dieses trifft ebenso für das sharp-bzw. b-Symbol zur Bezeichnung des kanonischen Isomorphismus zwischen dem Tangentialbündel und dem dualen Bündel der 1-Formen zu - ich habe hierfür in der Lehrbuchliteratur auch ganz andere Symbole gesehen.

Ebenso finde ich in dem Abschnitt Riemannsche_Mannigfaltigkeiten die gewählte Notation $(\partial _{X}f)(x),$ irritierend - dagegen habe ich häufiger die Schreibweise $X(f)$ bzw. $df(X)$ gesehen.

Kann mir hier jemand einige etablierte Lehrbücher, oder gar eine mathematisch Enzyklopädie nennen, in welcher der Begriff musikalischer Isomorphismus bzw. Notation $(\partial _{X}f)(x),$ definiert werden. Falls mir in nächster Zeit nicht ein solches Referenzwerk hier genannt wird, werde ich diesen Abschnitt Riemannsche_Mannigfaltigkeiten überarbeiten. ArchibaldWagner (Diskussion) 17:33, 27. Dez. 2015 (CET)

Für die Isomorphismen kenne ich nur die Symbole/Bezeichungen #/sharp und b/flat. Beispielsweise werden sie so im Buch Introduction to smooth manifolds von John M. Lee bezeichnet. Den Begriff musikalischer Isomorphismus kenne ich ebenfalls nur von Wikipedia. Zur Notation $(\partial _{X}f)(x)$ würde ich gerne erst nochmal recherchieren. Werde mich nochmals melden.--Christian1985 (Disk) 18:21, 27. Dez. 2015 (CET)

Die Notation $(\partial _{X}f)(x)$ scheint zumindest mal im Kontext der Differentialgeometrie unüblich. Im Prinzip handelt es sich hier ja um sowas wie eine Richtungsableitung. Im Analysis-2-Kontext ist die Notation nicht unüblich. --Christian1985 (Disk) 18:35, 27. Dez. 2015 (CET)

Den Begriff musikalischer Isomorphismus existiert allerdings doch, siehe [2]. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 18:36, 27. Dez. 2015 (CET)

Danke für die Anmerkungen. Bevor ich obigen Eintrag machte, hatte ich auch im Web gesucht und zwei Quellen - M.Berger; A Panoramic View of Riemannian Geometry (ist die Referenz in der engl. Wikipedia) und H.Hinrichsen (Skript); Allgemeine Relativitätstheorie- gefunden. Allerdings stelle ich die Frage, wie etabliert bzw. allgemein bekannt ist unter Kennern der Riemannschen Geometrie diese Bezeichnung? Welche Standardwerke benutzen diese Term oder ist diese Bezeichnung nur ein vorübergehende Modeerscheinung bzw. ein Jargon/Slang einiger Autoren. In der Wikipedia wird in dem Abschnitt Äußere Ableitung von Be- und Kreuz-Isomorphismus gesprochen. Dagegen wird von in vielen, auch älteren, Lehrbücher von dem durch die Metrik induzierten kanonischen Isomorphismus geprochen und dieses dürfte deutlich besser bekannt sein.

Ich denke in den mathematischen Lemmata von Wikipedia sollten nicht jede (evtl. sehr persönliche) Begriffsbildung und Notation eines Lehrbuches übernommen werden, sondern nur solche die weit verbreitet sind und die konsistent mit der Darlegung verwandter Lemmata sind (hier gäbe es einiges zu tun). Aber ich sehe da natürlich das Problem, dass es wohl nicht eine Art allgemein akzepierter Duden für mathematische Begriffe und Notationen gibt. Außerdem muss man auch offen für tatsächliche Sprachänderungen und Verbesserung sein. Allerdings in einer Enzyklopädie wie Wikipedia sollte eine gute und breite Verständlichkeit und damit Bekanntheit der Begriffe und der Notation Priorität haben. Vielleicht können wir das als Anregung nehmen auf der Mathe-Portal-Seite für verschiedene Fachgebiete ein paar Lerhbuch-Klassiker aufzulisten, welche im zweifelsfalle bezüglich Begriffen und Notation ein Art Referenzcharakter haben können. ArchibaldWagner (Diskussion) 18:52, 28. Dez. 2015 (CET)

Ich glaube dieses Thema wurde schon mehrfach bei Wikipedia und auch im Bereich der Mathematik bei Wikipedia durchdiskutiert. Die aktuelle Regelung ist, dass Begriffe, die in einem Lehrbuch stehen, auch in Wikipedia genannt werden dürfen und sollten. Würde es also nun einen Artikel zu diesen zwei Isomorphismen geben, dann gehörten dort auch alle Begriffe rein, die in der Literatur so rumschwirren. Wie wir das hier im Artikel machen ist mir egal, hier geht es ja Schwerpunktmäßig nicht mal um Differentialgeometrie.

Beispielsweise haben wir den Begriff Elementargebiet aus der Funktionentheorie als Lemma. Dieser Begriff wird meines Wissens nach nur in dem Buch von Busam und Freitag eingeführt. Oder es gibt das Lemma Zassenhaus-Algorithmus, bei dem wir uns sehr sehr schwer getan haben, für den Namen dieses Verfahrens überhaupt eine Quelle zu finden. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 01:53, 29. Dez. 2015 (CET)

Geht es hier um Begriff oder Bezeichnung? In WP gilt, "ein Begriff – ein Artikel". Falls es sich hier um einen selten gebrauchten Begriff handelt, so ist die Relevanz darzulegen. Bei hunderten Treffern für "musical+isomorphism" in Google Scholar sollte das nicht schwer fallen. Sehr seltene alternative Bezeichnungen eines Begriffs können allenfalls in Klammern genannt werden, für weniger seltene sollte eine Weiterleitung eingerichtet werden. --Rainald62 (Diskussion) 12:26, 29. Dez. 2015 (CET)

@Rainald62: Es geht um die Verwendung einer Bezeichnung in diesem Artikel, nicht um die Anlage eines eigenen Artikels. --Digamma (Diskussion) 23:17, 3. Jan. 2016 (CET)

@ArchibaldWagner: Die Bezeichnung "Musical isomorphismus" wird auch in Gallot, Hulot, Lafontaine, Riemannian Geometry, Springer 1987 verwendet, das m.E. ein Standardwerk ist. --Digamma (Diskussion) 23:17, 3. Jan. 2016 (CET)

Widersprüchliche Definitionen

Im oberne Abhschnitt ist grad ein Spaltenvektor. Setze ich im unteren Abschnitt(Jakobimatrix) m=1 so erhalte ich einen Zeilenvektor. Müsste hier nicht noch transponiert werden. (nicht signierter Beitrag von 79.225.196.194 (Diskussion | Beiträge) 11:38, 1. Mai 2009 (CEST))

Nein, das ist richtig so, vergleiche Königsberger - Analysis 2. Angenommen $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ einmal stetig (total) differenzierbar, so gilt ${\frac {df}{dx}}=(\nabla f)^{T}$. Auf Deutsch meint dies, dass im Existenzfall des totalen Differenzials, der Gradient das Transponierte des totalen Differenzials ist. Die Jacobimatrix wird als Verallgemeinerung des totalen Differenzials und nicht als des Gradienten verstanden. Jedoch muss man auch wissen, dass es auch andere Anfängerliteratur gibt, welche das Transponiertzeichen einfach verschlucken, weil es unnötig wirkt. Jedoch wird dann die Verallgemeinerung zur äußeren Ableitung inkonsistent. --Christian1985 12:27, 1. Mai 2009 (CEST)

Ja aber ich sehe dass der Abschnitt mit dem Vektorfeld und der Jacobimatrix so nicht bleiben kann. Ist ein Beispiel dieser Art hilfreich oder kann das ersatzlos weg? --Christian1985 12:29, 1. Mai 2009 (CEST)

Gradient

Gleich im 2.Absatz würde ich bei dem guten Beispiel Höhenkarte zur Klarstellung einfügen, dass der Gradient in diesem Fall ein Vektor in der x,y-Ebene - also immer horizontal- ist und nicht wie vielleicht schonmal angenommen wird ein Vektor im Raum, der bergauf zeigt.

also folgende Formulierung:

"...dann ist der Gradient von h an einer Stelle (x,y) ein Vektor in der x,y-Ebene, der in die Richtung des steilsten Anstieges zeigt...." (nicht signierter Beitrag von Manmath (Diskussion | Beiträge) 16:34, 3. Mai 2009 (CEST))

Vektorgradient

Nachdem es mit dem Vektorgradient wohl einige Probleme gibt, hier ein paar Anmerkungen.

Erstmal ist der Gradient eines Vektorfeldes definiert als Jacobimatrix des Vektorfelds. Der Vektorgradient ist NICHT identisch mit der Divergenz. Im Gegensatz zur Divergenz eines Vektorfelds, bei der man ein Skalar als Ergebnis erhält, ist der Vektorgradient eine Matrix.

Zur Produktregel: Im Folgenden wird Summenkonvention verwendet. Der Gradient schreibt sich allgemein $\operatorname {grad} ={\hat {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ und somit

$\operatorname {grad} \,({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})={\hat {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(A_{j}B_{j})={\hat {e}}_{i}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}B_{j}+{\hat {e}}_{i}{\frac {\partial B_{j}}{\partial x_{i}}}A_{j}=J_{\vec {A}}^{T}\cdot {\vec {B}}+J_{\vec {B}}^{T}\cdot {\vec {A}}=\operatorname {grad} ({\vec {A}})\cdot {\vec {B}}+\operatorname {grad} ({\vec {B}})\cdot {\vec {A}}$

Dabei sind ${\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}$ und ${\frac {\partial B_{j}}{\partial x_{i}}}$ transponierte Jacobi-Matrizen.

Z.B. das von DerJu genannte Beispiel ${\vec {A}}=xy{\hat {e}}_{x}={\begin{pmatrix}xy\\0\end{pmatrix}}$ hat einen Vektorgradienten

$\operatorname {grad} \,{\vec {A}}=\left({\begin{array}{cc}\partial _{x}A_{x}&\partial _{x}A_{y}\\\partial _{y}A_{x}&\partial _{y}A_{y}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}y&0\\x&0\end{array}}\right)$,

die Divergenz hingegen lautet

$\operatorname {div} {\vec {A}}=\partial _{x}A_{x}+\partial _{y}A_{y}=y$.

Betrachtet man nun $A^{2}={\vec {A}}^{2}=x^{2}y^{2}$ so, ist der Gradient davon

$\operatorname {grad} A^{2}=\left({\begin{array}{c}\partial _{x}A^{2}\\\partial _{y}A^{2}\end{array}}\right)={\begin{pmatrix}2xy^{2}\\2x^{2}y\end{pmatrix}}=\operatorname {grad} ({\vec {A}}^{\,2})=2\,\operatorname {grad} ({\vec {A}})\cdot {\vec {A}}=2\left({\begin{array}{cc}y&0\\x&0\end{array}}\right){\begin{pmatrix}xy\\0\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}xy^{2}\\x^{2}y\end{pmatrix}}$.

--Franzl aus tirol 23:11, 15. Jul. 2009 (CEST)

Damit die Produktregel so gilt, muss $grad(A)$ dann aber die transponierte Jacobimatrix sein, denn die Jacobimatrix ist definiert als

$J_{f}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$

also $J_{\vec {A}}{\vec {B}}+J_{\vec {B}}{\vec {A}}={\hat {e}}_{i}({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}B_{j}+{\frac {\partial B_{i}}{\partial x_{j}}}A_{j})\neq {\hat {e}}_{i}({\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}B_{j}+{\frac {\partial B_{j}}{\partial x_{i}}}A_{j})={\hat {e}}_{i}{\frac {\partial (A_{j}B_{j})}{\partial x_{i}}}=\operatorname {grad} {({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})}$

--DerJu 04:02, 16. Jul. 2009 (CEST)

Noch eine kurze Erklärung, warum ich die Terme mit ${\vec {A}}\cdot \operatorname {grad} {\vec {B}}$ rauseditiert habe: Die Notation versteht so keiner. Mag sein, dass das in einem Buch mit Formeln zu höherer Mathematik irgendwo steht, dass damit $J_{\vec {B}}{\vec {A}}$ gemeint ist, aber wenn man das auf der Seite nicht vorher genau einführt denken 95% der Leser, dass da ${\vec {A}}\operatorname {grad} ({\vec {B}})$ steht. Es ist unintuitiv dass plötzlich die Reihenfolgen der Vektorfelder vertauscht werden.

Die Motivation für die Definition war wahrscheinlich die Analogie mit $({\vec {A}}\cdot \nabla ){\vec {B}}$. Das Problem dabei ist meiner Meinung nach, dass $\operatorname {grad}$ nun mal einfach eine Abbildung ist, die einem Skalarfeld (bzw. Vektorfeld wenn man den Vektorgradienten will) ein Vektorfeld (bzw. eine Matrix) zuordnet. Was das Skalarprodukt zwischen einem Vektorfeld und einer Abbildung ist, ist mir nicht bekannt (wenn man es nicht so definiert wie in diesem höheren Mathematikbuch). Bei der Notation $\nabla$ denkt man wenigstens noch an die Definition bzgl. einer Orthonormalbasis und kann das ganze so als Vektor auffassen, aber jeder normale Mathematiker/Physiker denkt bei $\operatorname {grad}$ an einen Operator. Deshalb finde ich, dass die Notation zu fragwürdig ist.

Und überhaupt: der Gradient hängt in seiner Definition von der Metrik ab, die Jacobimatrix nicht. Das hört sich für mich nicht so an, als ob der Vektorgradient eine sinnvolle Verallgemeinerung wäre. (sieht man ja schon bei einem Skalarfeld: Gradient ist ein Spaltenvektor, die Jacobimatrix ein Zeilenvektor den man mit der Metrik zu einem Spaltenvektor (dem Gradient) machen kann)

--DerJu 13:16, 16. Jul. 2009 (CEST)

Ich habe nun auch eine Weil über diese Verallgemeinerung nachgedacht und verstehe es auch noch nicht ganz. Aus welchem Buch hast du denn diese Idee? --Christian1985 19:56, 16. Jul. 2009 (CEST)

Weiter oben auf der Diskussionsseite (bei Jacobimatrix) stehen der Bronstein und noch ein zweites Buch als Quelle. Ich habe im Bronstein nachgeschaut, da steht genau dasselbe wie auf der Wikipediaseite.. Ich habe mir mal ganz blöd überlegt wie ich einen Vektorgradienten definieren würde, der i) in Analogie zum normalen Gradienten definiert ist und ii) die Metrik benutzt:

(verzeiht die Physiker-Komponentennotation, aber damit kann ichs am besten hinschreiben. Die mehrfach indizierten Objekte sind wie in der Physik üblich Koeffizienten von Tensoren bezüglich einer Basis.)

Definition des Gradienten: $\mathrm {d} f(p)v=\langle \nabla f(p),v\rangle$ (f glatte funktion auf M mfg, v im Tangentialraum an p, < > Metrik auf M)

in Komponenten bedeutet das: $(\mathrm {d} f(p))_{\beta }v^{\beta }=g_{\alpha \beta }((\nabla f)(p))^{\alpha }v^{\beta }$ ($g_{\beta \alpha }$ sind die Komponenten des metrischen Tensors am Punkt p)

Das legt nahe: $(\nabla f)^{\alpha }=g^{\alpha \beta }(\mathrm {d} f)_{\beta }$ ($g^{\alpha \beta }$ ist die Inverse der Metrik). Man erhält einen (1,0) Tensor.

Betrachtet man nun f:M->N und hat eine Metrik auf M, dann kann man bei der Jacobimatrix $J_{f}\in T^{*}M\otimes TN$ doch einfach den ersten Index mit der inversen Metrik hochziehen:

$(\nabla f)^{\alpha \beta }=(J_{f})_{\gamma }^{{}\beta }g^{\gamma \alpha }=(J_{f})^{\alpha \beta }$. Das ist dann sowas ähnliches wie ein (2,0) Tensor (es ist keiner, weil man das Tensorprodukt von zwei verschiedenen Räumen hat). Was man damit will weiß ich nicht, aber wenn mich jemand fragen würde wie ich einen Vektorgradienten definieren würde würde ichs so machen. Wie man das ganze koordinatenfrei hinschreibt weiß ich leider nicht. Ich für meinen Teil denke dass die Definition eines Vektorgradienten nicht so sinnvoll ist. Was meint ihr dazu? --DerJu 19:09, 19. Jul. 2009 (CEST)

Die Verallgemeinerung des Gradienten auf eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist soweit ich sehe richtig. In dem Artikel Cartan-Ableitung#Gradient wird der Gradient auf Mannigfaltigkeiten durch $\nabla f=(df)^{\sharp }$, wobei $\sharp$ eben der durch die Metrik induzierte Isomorphismus ist. Bei der Verallgemeinerung nimmst du g als Einheitsmatrix an oder wohin verschwindet das g? Ich finde deine Überlegung sinnvoll. Allerdings bin ich auch dafür den ganzen Teil zum Thema Vektorgradient zu löschen. Ich halte den Bronstein für keine gute Quelle. Die Bücher Amann & Escher - Analysis 1-3, Königsberger - Analysis 1-2, Jänisch Vektoranalysis und auch das Buch Abraham ... - Manifolds, Tensor Analysis, and Applications schreiben nichts zum Thema Vektorgradient und das sind meiner Ansicht nach sehr gute Bücher. Deine Überlegung wie man den Vektorgradient auf Mannigfaltigkeiten definieren könnte, fällt ja auch unter Theoriefindung solange sich dazu keine Literatur finden lässt. Grüße --Christian1985 23:03, 19. Jul. 2009 (CEST)

g ist nicht die Einheitsmatrix sondern ein beliebiger metrischer Tensor. Was ich mit $(J_{f})^{\beta }{}_{\gamma }g^{\gamma \alpha }=(J_{f})^{\beta \alpha }$ meine ist: $(J_{f})_{\;\gamma }^{\beta }$ hat einen ko- und einen kontravarianten Anteil (d.h. man muss einen Vektor aus $T_{p}M$ und einen dualen Vektor aus $T_{f(p)}N$ reinstecken und bekommt eine Zahl raus; Der Vektor $(J_{f})(v)\in T_{f(p)}N$ für $v\in T_{p}M$ wird hier als Linearform auf $T_{f(p)}^{*}N$ verstanden). Deshalb ist ein Index oben und einer unten. Schreibt man nun $(J_{f})_{\ \gamma }^{{}\beta }g^{\gamma \alpha }$ kann man sowohl einen dualen Vektor aus $T_{p}M$ (der mit dem Riesz-Iso zu einem Vektor gemacht und dann in den Tensor geschmissen wird) als auch einen dualen vektor aus $T_{f(p)}N$ reinstecken und bekommt eine Zahl raus. In der Physik schreibt man dann statt $(J_{f})_{\;\;\gamma }^{{}\beta }g^{\gamma \alpha }$ einfach $(J_{f})^{\beta \alpha }$. Wichtig ist dabei dann natürlich die Reihenfolge der Indizes, weshalb sie in $(J_{f})_{\gamma }^{\beta }$ eigentlich nicht übereinander sein dürfen (ich weiß nicht wie man da ein Leerzeichen reinmacht um einen zu verschieben). Im wesentlichen ist das wohl dieser sharp (hochziehen von indizes) und flat (runterziehen von indizes) Isomorphismus den Du meintest (In der Physik nennt man das "hoch- und runterziehen von Indizes mithilfe der Metrik"). Ich habe den Vektorgradient auch noch nirgends gesehen und bin ebenfalls für Löschung des Abschnitts, falls keiner eine sinnvolle Definition (belegt durch Fachliteratur) bringt. (Ich weiß nicht ob das hier ein Kriterium ist, aber 449 Treffer bei google "Vektorgradient" sprechen auch nicht gerade dafür, dass der Ausdruck verbreitet ist) --DerJu 00:30, 20. Jul. 2009 (CEST)

Danke für deine ausführliche Erklärung! Ich bin in dieser Thematik gerade auch nicht so fit. Aber wie das Leben so spielt lief mir natürlich heute in einer Vorlesung sowas wie ein Vektorgradient über den Weg. Schau dir mal die Navier-Stockes-Gleichungen an. Die gesuchten Funktionen sind wohl vektorwertig, so dass in diesem Zusammenhang sowohl der Laplace-Operator als auch der Gradient komponentenweise zu verstehen ist, was aber in dieser wohl üblichen Notation unterschlagen wird. Vielleicht sollte dies, wenn man den Vektorgradient hier löscht, zumindest mal noch erwähnt werden. --Christian1985 17:29, 20. Jul. 2009 (CEST)

Ich habe mal ein paar Varianten für Leerräume eingebaut. Bist Du sicher, dass das beta weiter rechts sein muss? Bei einer Matrix-Vektor-Multipliktion wird doch über das gamma summiert.--LutzL 17:46, 20. Jul. 2009 (CEST)

Ob das beta links oder rechts steht ist konventionssache, weil $V^{*}\otimes W\cong W\otimes V^{*}$. Ich würde eine Matrix als Element aus $W\otimes V^{*}$ schreiben (aber einfach nur weil ich den Vektor aus V gefühlt von rechts auf die Matrix wirken lasse) dann würde es wohl $J_{\;\;\beta }^{\alpha }$ heissen.

Ich denke, dass die Definition des Vektorgradienten einfach aufgrund einer formalen Analogie geschehen ist, wie Christian1985 auch aufgefallen ist: Der Ausdruck $({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {A}}$ gibt (komponentenweise) die Änderung des Vektorfeldes A in Richtung des Vektors v. Ersetzt man nun $\nabla$ durch $\operatorname {grad}$ und vergisst die Klammern, steht da ${\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} {\vec {A}}$. Da steht der Vektorgradient. Es gilt dabei: ${\vec {v}}(\operatorname {grad} {\vec {A}})\neq {\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} {\vec {A}}:=(J_{A})(v)$. Ich war mal so frei den Vektorgradienten im Artikel zu ändern. --DerJu 00:55, 21. Jul. 2009 (CEST)

Deine Änderungen finde ich gut. Jedoch würde ich den Abschnitt zu Rechenregeln die nur den Vektorgradienten betreffen auch in den Abschnitt Vektorgradient stecken, oder noch besser ersatzlos streichen. Danach kann man dann auch getrost den Abschnitt Vektorgradient weiter nach unten verschieben. Ich finde nämlich die Regeln für die "Skalarfelder" wichtiger als diese komische Konstruktion. --Christian1985 11:13, 21. Jul. 2009 (CEST)

Ich bin dafür, beide dazulassen und finde es am übersichtlichsten einfach die Überschriften bei den Rechenregeln in "Gradient" und "Vektorgradient" zu ändern. Die Rechenregeln für den Vektorgradienten würde ich auf keinen Fall löschen, weil die Formeln schon ab und an gebraucht werden (speziell die Formeln für den R^3 sind ganz praktisch; ich bin nur auf diese Seite gestossen weil ich die Bewegungsgleichungen für ein Teilchen im El-magn. Feld herleiten wollte). --DerJu 17:55, 21. Jul. 2009 (CEST)

Warum taucht die Produktregel für Gradienten von Skalarprodukten ($\operatorname {grad} \,({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})$) eigentlich nicht im Artikel auf? --86.103.228.126 13:58, 9. Jul. 2021 (CEST)

Rechenregeln für Vektorgradient

Da der Vektorgradient als Jacobimatrix definiert wurde

$({\vec {A}}\cdot \nabla ){\vec {B}}={\hat {e}}_{i}A_{j}\partial _{j}B_{i}={\hat {e}}_{i}(\partial _{j}B_{i})A_{j}={\hat {e}}_{i}(J_{\vec {B}})_{ij}A_{j}=J_{\vec {B}}{\vec {A}}=:\operatorname {grad} ({\vec {B}})\cdot {\vec {A}}$

enthält die Produktregel den transponierten Vektorgradienten

$\operatorname {grad} \,({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})={\hat {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(A_{j}B_{j})={\hat {e}}_{i}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}B_{j}+{\hat {e}}_{i}{\frac {\partial B_{j}}{\partial x_{i}}}A_{j}=J_{\vec {A}}^{T}\cdot {\vec {B}}+J_{\vec {B}}^{T}\cdot {\vec {A}}=(\operatorname {grad} {\vec {A}})^{T}\cdot {\vec {B}}+(\operatorname {grad} {\vec {B}})^{T}\cdot {\vec {A}}$

Zur Darstellung im Dreidimensionalen:

$[(\operatorname {grad} {\vec {A}})^{T}\cdot {\vec {B}}]_{i}=B_{j}\partial _{i}A_{j}=\delta _{ik}\delta _{jl}B_{j}\partial _{k}A_{l}=(\varepsilon _{ijn}\varepsilon _{kln}+\delta _{il}\delta _{jk})B_{j}\partial _{k}A_{l}$

$(\operatorname {grad} {\vec {A}})^{T}\cdot {\vec {B}}={\vec {B}}\times \nabla \times {\vec {A}}+({\vec {B}}\cdot \nabla ){\vec {A}}$

--Franzl aus tirol 01:44, 31. Okt. 2009 (CET)

Aufgrund von Cartan-Ableitung#Gradient, würde in den Vektorgradienten eher als Transponiertes der Jacobi-Matrix verstehen. Oder? --Christian1985 10:21, 31. Okt. 2009 (CET)

Vektorgradient in der Literatur

Habe in einigen Büchern den Vektorgradienten nachgeschlagen. In der Literatur gibt es offensichtlich keine einheitliche Definition. Manche bezeichnen die Jacobimatrix als Vektorgradient (Bronstein - Taschenbuch der Mathematik), andere die transponierte Jacobimatrix (Schmutzer - Grundlagen der Theoretischen Physik, Bestehorn - Hydrodynamik und Strukturbildung), wieder andere bezeichnen die Kombination $({\vec {v}}\cdot \nabla )$ als Vektorgradient (Schnakenberg - Elektrodynamik, Küpfmüller - Theoretische Elektrotechnik). Im Buch von Bestehorn wird explizit darauf hingewiesen, dass verschiedene Definitionen des Vektorgradienten existieren. --Franzl aus tirol 18:25, 2. Nov. 2009 (CET)

Das Problem gibt es ja schon beim Gradienten selbst. Das Buch Analysis 2 von Otto Forster bezeichnet den Zeilen Vektor als Gradient, die meisten anderen Bücher verstehen darunter einen Spaltenvektor. Außerdem traue ich dem Bronstein nicht. Ich würde darauf hinweisen, dass es unterschiedlich definiert wird und dann die Definition der transponierten Jacobimatrix verwenden, da diese mit Cartan-Ableitung#Gradient kompatibel ist. --Christian1985 18:44, 2. Nov. 2009 (CET)

Definition

Die Definition ist so, wie sie jetzt dasteht, zu abstrakt. Diese abstrakte Definition kann man nachschieben, aber zu Beginn sollte da so etwas stehen wie: Der Gradient von f ist das Vektorfeld, dessen kartesische Koordinaten die partiellen Ableitungen von f sind. PS: Die Definiton mit Hilfe der Ableitung df funktioniert nur, wenn f nicht nur partiell, sondern total differenzierbar ist. -- Digamma 16:34, 12. Jul. 2010 (CEST)

Zeilen- oder Spaltenvektor

Ich denke die Definition des grad als Spaltenvektor widerspricht der Wikipedia-Definition des Nabla-Operators. Dieser ist als Zeilenvektor definiert. Warum also sollte die Anwendung des selben auf eine eindimensionale Funktion einen Spaltenvektor zur Folge haben? Da die Zeilenform des Nabla-Operators aufgrund der Anwendung auf ein Vektorfeld für sinnvoll halte, sehe ich das Problem bei der Definition des Gradienten, den ich in Zeilenform weitaus sinnvoller fände. --Tyru 18:27, 17. Aug. 2010 (CEST)

Hi, das hatten wir nun schon wirklich mehrmals (Und es wird immer wieder neu gefragt werden.). In der Differentialgeometrie ist die Ableitung ein Kovektor, und der Gradient ein Vektor, was in Koordinaten in den üblichen Konventionen der Matrixrechnung heißt, dass das Differential ein Zeilenvektor ist und der Gradient ein Spaltenvektor. Es ist aber so, dass in Numerik und Physik und angewandteren Gebieten gern auch das Differential mit dem Nabla-Operator geschrieben wird, und es dann, rückwärts identifiziert, auch noch Gradient genannt wird. Was auch meistens nicht schlimm ist, denn im standard-euklidischen Raum haben Differential und Gradient dieselben Komponenten, und nur auf diese kommt es beim Rechnen an.--LutzL 19:21, 17. Aug. 2010 (CEST)

Vektorgradient

Hallo, ich hab mir mal erlaubt den Abschnitt zur Definition des Vektorgradient zu überarbeiten. Insbesondere habe ich eine mathematisch sinnvolle Verallgemeinerung des Gradienten geliefert, was ja vorher nicht vorlag. --Alva2004 (Diskussion) 13:26, 15. Apr. 2016 (CEST)

Abschnitt Vektorgradient

Der Abschnitt Vektorgradient funktioniert nur für x_i = kartesische Koordinaten und enthält auch sonst Fehler:

Berechnet man z.B. für Kugelkoordinaten die Richtungsableitungen von F für h = ê_r, ê_theta und ê_phi, dann stimmt das Ergebnis nicht mehr mit der Jacobimatrix überein.

Die Mathematik kennt sehr wohl einen Gradienten für Funktionen mit beliebigem Bildbereich, dazu sind aber Faserbündel mit Paralleltransport nötig.

Frobenius-Skalarprodukt zwischen einem Vektor und einem Tensor (2te Gleichung)?

Transponierter Tensor? Man kann sich zwar vorstellen was gemeint ist, der verlinkte Artikel zur Transposition enthält den Begriff aber nicht.

Der ganze Abschnitt sollte durch einen Hinweis auf Jacobimatrix ersetzt werden. (nicht signierter Beitrag von 91.7.87.218 (Diskussion) 13:10, 18. Jan. 2017 (CET))

Dass das nur für kartesische Koordinaten gilt, ist kein Fehler sondern eine benannte Voraussetzung. In Kugelkoordinaten sind die Basisvektoren nicht fest, und verletzen die zweite benannte Voraussetzung einer "festen Basis."

Den ersten Satz habe ich damals übernommen und der kann gerne gestrichen werden.

Die Jacobimatrix funktioniert im Koordinatenraum, nicht aber im Vektorraum, da ist sie der Deformationsgradient.

Wer sich nicht auskennt, den Abschnitt nicht richtig liest und dann noch Behauptungen "Der Abschnitt [...] enthält auch sonst Fehler" aufstellt, ist kein Mensch, mit dem ich gerne diskutiere.

Ich fänd's prima, wenn die allgemeinere Version mit Paralleltransport und Faserbündeln angehängt würde! Nur zu. Der Abschnitt enthält aber so keine Fehler und ist für die meisten Anwendungen, die ja kartesische Koordinaten in euklidischen Räumen benutzen, erstmal ausreichend. Ich fände es nicht gut, wenn Mathematiker das durch einen völlig unverständlichen, auf n-dimensionale gekrümmte Vektorräume anwendbaren Abschnitt ersetzten. Für (angehende) Strömungs- und Kontinuumsmechaniker ist dieser Abschnitt maßgeschneidert und als Einführung ausreichend.

@FranzR: Ich finde es auch nicht gut für die Wikipedia, wenn aufgrund solch oberflächlicher Argumente der {{Bearbeiten}} Baustein gesetzt wird. Das schadet der Wikipedia! Wenn die Diskussion zu nichts führt, kann man das immer noch einsetzen. --Alva2004 (Diskussion) 14:03, 18. Jan. 2017 (CET)

Wenn das nur für kartesische Koordinaten gilt, sollte man das gleich zu Beginn deutlich hervorheben. Schließlich werden weiter oben Zylinder- und Kugelkoordinaten behandelt, außerdem enthält z.B. der Artikel zur Divergenz die Ausdrücke in Zylinder- und Kugelkoordinaten für die Divergenz eines Tensors 2ter Stufe. Da ist es schon überraschend dass im Gegensatz dazu der Gradient eines Tensors 1ter Stufe (Vektor) nur noch kartesisch funktioniert.
„Jacobimatrix funktioniert im Koordinatenraum, nicht aber im Vektorraum“? Wenn es hier (wie durch die Begriffe „Gradient“, „Tensor“ impliziert) um Tensoranalysis gehen soll, muss man den Vektorraum als differenzierbare Mannigfaltigkeit sehen und die Bilder der Kartenhomöomorphismen als „Koordinatenräume“ bezeichnen. Was aber sinnlos ist wenn sofort wieder auf kartesische Koordinaten eingeschränkt wird. Der Vorteil der Tensoranalysis besteht gerade darin dass sie in völlig beliebigen Koordinaten und Mannigfaltigkeiten funktioniert (z.B. allgemeine Relativitätstheorie). Von daher ist es irreführend, einen Begriff mit „Tensor“ einzuführen der aber nur im kartesischen Fall funktioniert. Umso mehr wenn die Mathematik einen invarianten Vektorgradient kennt, wie er auch im englischen Artikel steht.
Zwar magst Du mit mir, der sich in linearer Algebra und Differentialgeometrie im Gegensatz zu Dir „nicht auskennt“, nicht diskutieren, aber vielleicht stolpern auch andere Leser über die oben von mir angesprochenen Punkte. Die jeweiligen Artikel kennen jedenfalls kein Frobenius-Skalarprodukt zwischen einem Vektor und einem Tensor oder einen transponierten Tensor (sollte das nicht eher in die entsprechenden Dualräume führen?).

Noch was anderes, der Abschnitt „Geometrische Interpretation“ bedarf einer Überarbeitung im Hinblick auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten: R^2 mit diagonaler Metrik (1,2), darauf Funktion f(x,y) = x+y als Gegenbeispiel zur dort ausgesprochenen allgemeinen Behauptung. (nicht signierter Beitrag von 91.7.87.218 (Diskussion) 11:02, 19. Jan. 2017 (CET))

Für das neue Thema im letzten Absatz mache ich mal einen neuen Abschnitt auf: --Digamma (Diskussion) 20:41, 19. Jan. 2017 (CET)

Ich habs mir nochmal angesehen, meine Vorschläge wären folgende:
Transponierter Tensor: Der verlinkte Artikel enthält den Begriff nicht, er taucht aber auf im Artikel zum Dyadischen Produkt. Der Link sollte dort hinführen.
Beim Frobenius-Skalarprodukt besteht in der 2ten Gleichung ein Notationsproblem: Im ersten Term steht der Punkt für Skalarprodukt, in den anderen anscheinend für das Produkt zwischen Tensor und Vektor (mit Vektor als Ergebnis) aus dem Artikel Dyadisches Produkt, Abschnitt „Koordinatenfreie Darstellung“.
Als invarianter Ausdruck im Sinne der Mathematiker-Tensoranalysis fällt mir $\operatorname {grad} {\vec {F}}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{F^{i}}_{;j}{\frac {\partial }{\partial b^{i}}}\otimes \sharp da^{j}$ ein. Da es aber anscheinend so ist, dass bei Physikern die Betrachtung von kartesischen Koordinaten für „Tensor“ ausreicht, ist das natürlich überflüssig. Ich hatte ein ähnliches Problem beim Artikel Einsteinsche Feldgleichungen. Jeweils irgendein kleiner Hinweis dazu wäre gut. (nicht signierter Beitrag von 91.7.87.218 (Diskussion) 12:56, 21. Jan. 2017 (CET))

Geometrische Interpretation

Aus dem vorigen Abschnitt "Abschnitt Vektorgradient" übertragen:

Noch was anderes, der Abschnitt „Geometrische Interpretation“ bedarf einer Überarbeitung im Hinblick auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten: R^2 mit diagonaler Metrik (1,2), darauf Funktion f(x,y) = x+y als Gegenbeispiel zur dort ausgesprochenen allgemeinen Behauptung. (nicht signierter Beitrag von 91.7.87.218 (Diskussion) 11:02, 19. Jan. 2017 (CET))

Ende des Übertrags

Ich verstehe nicht so recht, was du meinst. Die Aussage "Geometrisch betrachtet ist der Gradient eines Skalarfelds an einem Punkt ein Vektor, der in Richtung des steilsten Anstieges des Skalarfeldes weist." Gilt auch bei beliebiger Riemannscher Metrik. Allerdings natürlich nur, wenn man die für Riemannsche Mannigfaltigkeiten gültige Definition des Gradienten nimmt, also

$\operatorname {grad} f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.$

und berücksichtigt, dass Richtungen durch Vektoren, die Einheitsvektoren bezüglich der Riemannschen Metrik sind, ausgedrückt werden. Inwiefern soll das Beispiel ein Gegenbeispiel sein? --Digamma (Diskussion) 20:41, 19. Jan. 2017 (CET)

Du hast Recht, mein „Gegenbeispiel“ ist Quatsch. Ich bin gedankenlos davon ausgegangen dass jede Definition eines invarianten Gradienten auf die kovariante Ableitung hinauslaufen muss. Sorry für den unsinnigen Überarbeitungsbaustein. (nicht signierter Beitrag von 91.7.87.218 (Diskussion) 10:35, 20. Jan. 2017 (CET))

Soll der Artikel Gradient (Mathematik) umbenannt / verschoben werden?

Siehe die Diskussion zu Gradient (Physik) bei Redaktion Physik --Maschinist1968 (Diskussion) 18:46, 17. Jan. 2020 (CET)

Das ist ein mathematisches Konzept, das in der Physik verwendet wird. Deshalb sehe ich keinen Grund für eine Umbenennung/Verschiebung. --Digamma (Diskussion) 19:52, 17. Jan. 2020 (CET)

Allgemeinverständlich

Bitte die Einleitung laiengerecht gestalten.--Maschinist1968 (Diskussion) 09:19, 18. Jan. 2020 (CET)

Da ist sogar ein Beispiel zur Erläuterung angegeben (Höhenfunktion), ich sehe also nicht wie man das noch laiengerechter formulieren kann.--Claude J (Diskussion) 06:33, 18. Feb. 2020 (CET)

Ich auch: Bitte die Intro für "uns andere" verständlich formulieren! Das wäre toll!

Zur Veranschaulichung: Der Gradient ist ein mathematischer Operator (was ist das?), genauer ein Differentialoperator (was ist das?), der auf ein Skalarfeld (was ist das?) angewandt werden kann und in diesem Fall ein Vektorfeld (was ist das?) liefert, das Gradientenfeld genannt wird. Der Gradient kann als eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis (was ist das?) betrachtet werden. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren.

Die englische WP Intro ist für mich verständlicher, am besten verstehe ich die französische Intro.

LG! --Satu Katja (Diskussion) 09:43, 1. Mär. 2020 (CET)

Wie wärs damit in Anlehnung an frz. wiki: "Der Gradient einer reellen Funktion von mehr als einer räumlichen Variablen (Skalarfeld) ist ein an jedem Punkt, in dem die Funktion differenzierbar ist, definierter Vektor, der die Variabilität der Funktion in der Umgebung des Punktes angibt. Da damit jedem Punkt des Raumes ein Vektor zugeordnet ist spricht man von einem Vektorfeld und speziell einem Gradientenfeld."--Claude J (Diskussion) 11:16, 1. Mär. 2020 (CET)

Smile. Als Nichtmathematiker, der nur mit Farbgradienten zu tun hat, fände ich noch simpler noch besser, kann jedoch nicht beurteilen, was noch zulässig wäre an Vereinfachung. Das hier ist vermutlich schon richtig falsch… und der Beweis, dass ich es doch nicht begriffen habe, smile

Gradient ist ein Begriff in der mathematischen Vektorenanalysis. Der Gradient einer Funktion die mehr als eine Variable enthält, bezeichnet die Variabilität in der Umgebung eines jeden Punktes dieser Funktion. Da damit jedem Punkt eines Raumes ein Vektor zugeordnet werden kann, spricht man von einem Vektorfeld und speziell einem Gradientenfeld. (nicht signierter Beitrag von Satu Katja (Diskussion | Beiträge) 11:45, 1. Mär. 2020 (CET))

Es fehlt der Bezug zum Artikel ‚Gradient‘, darum würde ich beginnen: „Der Gradient als Operator der Mathematik verallgemeinert die Gradienten, die den Verlauf von physikalischen Größen beschreiben. Als Differentialoperator kann er ...“. Dann könnte man den Baustein in meinen Augen entfernen. --ELexikon (Diskussion) 21:46, 10. Mär. 2020 (CET)

Umgesetzt gemäss Vorschlag. --ELexikon (Diskussion) 15:13, 12. Mär. 2020 (CET)

Fast. Smile. Ich musste etwas grinsen über "Der Gradient als Operator der Mathematik verallgemeinert die bekannten Gradienten". Es liest sich für mich Laien etwas wie "Eine Katze ist ein katzenartiges Tier". Als ich auf die Weiterleitung des bekannten Gradienten klickte, das las, und dann wieder zurückkam, löste es sich für mich. Und als Laie half mir das Bild von den Kerzen im Raum beim Verständnis von dem Konzept. LG! --Satu Katja (Diskussion) 09:18, 13. Mär. 2020 (CET)

Einleitung 'Änderung'

Laut Einleitung: "Gradient zeigt deshalb in die Richtung der größten Änderung."

Ein Laie könnte unter 'größte Änderung' auch verstehen "des größten Anstiegs oder Gefälles". Afaik ist zweiter Punkt aber echt falsch. Der Gradient zeigt immer in Richtung des größten Anstiegs; das größte Gefälle ist := (-1) * Gradient.

Die Einleitung sollte entsprechend umformuliert werden, um dieses mögliche Missverständnis auszuschließen.

--arilou (Diskussion) 11:11, 29. Okt. 2020 (CET)

Was ist den da genauer?

In dem Abschnitt Riemannsche Mannigfaltigkeiten steht: ”Genauer: $\nabla f$ ist das der 1-Form $\mathrm {d} f$ unter dem mittels der Metrik $g$ definierten musikalischen Isomorphismus („sharp“)“ Was ist denn daran nun genauer außer dass der Begriff "musikalischen Isomorphismus" irgendwie schlau klingt und der gemeine Leser damit allein gelassen wird. Im konkreten Fall ist es doch nichts anderes als was darüber explizit aufgeführt wird.