Diskussion:Große Kardinalzahl

Die Liste großer Kardinalzahlen müßte deutlich verständlicher formuliert werden. Leider nicht mein Spezialgebiet. Gruß --Wero 16:30, 29. Apr 2006 (CEST)

Ein wichtiger Punkt bei grossen Kardinalzahlen, ist der Satz von Scott: Aus V=L folgt, dass es keine messbare Kardinalzahl gibt. Damit hat man zum Konstruktibilitätsaxiom V=L welches von Gödel eingeführt wurde, ein ebenfalls einleuchtendes entgegengesetztes Axiom gefunden. Gödel selbst sah das schon kurze Zeit nach Einführung des Konstruktibilitätsaxiom kommen. Dabei sind messbare Kardinalzahlen k solche, auf die ein normaler Ultrafilter (bzgl. V) definiert werden kann. Es ist meiner Meinung nach sonst aber sehr klar ausgedrückt, was grosse Kardinalzahlen sind. Die Definition der übrigen Kardinalzahlen ist sehr schwierig, da dort einige Erklärungen vorher notwendig sind. Ich werde es hier in der Diskussion versuchen zu erklären, allerdings bin ich ebenfalls kein Experte und freue mich über Verbesserungen! Auch kann hier alles was für verständlich erachtet wird gerne wörtlich übernommen werden...

Zum einen, ein für jede Kardinalzahl wichtiger Begriff: Konfinalität. Eine Zahl k heisst regulär, wenn die Konfinalität von k genau k ist cf(k)=k. Dabei kann man sich die Konfinalität wie folgt vorstellen: es ist die kleinste Anzahl von Schritten, die man benötigt um eine Zahl von unten her zu erreichen. Zur genauen Definition siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Konfinalit%C3%A4t

Zum zweiten stationär: Eine Menge s heisst stationär in k, wenn jede unbeschränkte abgeschlossene (club) Menge c in k im Schnitt mit s nicht leer ist. Es gelten folgende Implikationen: x club in k --> x stationär in k --> x unbeschränkt in k

Ein weiterer wichtiger Begriff um grosse Kardinalzahlen zu beschreiben ist normaler Ultrafilter: dazu benötigt man allerdings noch eine Definition. Eine Funktion f:s -> k, wo k regulär, heisst regressiv, wenn für jedes a aus s gilt: f(a)<a. Nun heisst eine Menge U normaler Ultrafilter auf k bzgl. einem Modell N, g.d.w., U ein Ultrafilter auf der Potenzmenge von k geschnitten N ist und wenn für f:X -> k regressiv, das Urbild eines Elementes a<k ein Element in U ist und falls ein solches a existiert.

Nun ist die Definition einer messbaren Kardinalzahl möglich: k heisst messbar, g.d.w. ein normaler Ultrafilter U auf k (bzgl. V) existiert.

Eine weitere mögliche Kardinalzahl ist die einer schwach kompakten Kardinalzahl, dazu muss man etwas über Partitionen wissen. Man kann Zahlen partitionieren, d.h. beliebige Teilfolgen bilden, die z.B. n lang sind, für n eine endliche oder unendliche Kardinalzahl. Eine solche Teilmengenbildung wird mit $[[k]^{n}=\{u|u\subset k\wedge {\bar {\bar {u}}}=n\}$ abgekürzt. Man kann also auch für k,m,l Kardinalzahlen (und interessant ist in solchen Fällen k unendliche Kardinalzahl) Teilmengen von k der Mächtigkeit n auf l abbliden. Stellt sich heraus, dass es eine Teilmenge x von k gibt, dessen Mäctigkeit grösser oder gleich m ist, so schreibt man dies als: $k\to (m)_{l}^{n}$. Die formale Definition lautet: $k\to (m)_{l}^{n}:=\forall f\exists x[(f:[x]^{n}\to l)\Rightarrow (x\subset k\wedge {\bar {\bar {x}}}\geq m\wedge \forall y,z\in [x]^{n}:f(y)=f(z))]$

Mit diesen Begriffen lässt sich nun schwach kompakt definieren: k ist schwach kompakt, g.d.w. $k>\omega \wedge k\to (k)_{2}^{2}$.

Dabei ist anzumerken, dass weder die Existenz einer unerreichbaren, noch einer schwach kompakten Kardinalzahl in ZFC bewiesen werden kann. Wie im Artikel schon erwähnt kann die Widerspruchsfreiheit von ZFC + es existiert keine schwach unerreichbare Kardinalzahl bewiesen werden, allerdings weiss man nicht, ob auch ZFC + es existiert eine unerreichbare Kardinalzahl widerspruchsfrei ist. Der 2. Gödelsche Unvollständigkeitssatz Macht es uns unmöglich, einen formalen Beweis für die Konsistenz dieses Systems zu finden.

Nun eine weitere Implikation:

k messbar --> k schwach kompakt --> k Mahlo --> k unerreichbar

Da schon die Existenz einer unerreichbaren Kardinalzahl in ZFC nicht zu beweisen ist, gilt dies auch für die anderen dieser Implikation.

Weitere Kardinalzahlen mit für die Mengenlehre wichtigen Eigenschaften sind: Ramsey-, Erdös-, subtile, unbeschreibbare, bemerkenswerte, nicht unterscheidbare und "ineffable", also unaussprechliche Kardinalzahlen.

Hoffe das hat irgendwem etwas geholfen... Schöne Grüsse! (nicht signierter Beitrag von 88.73.122.84 (Diskussion) )

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