Diskussion:Grothendieck-Universum

Ernst gemeint?

Aus x in U folgt x ist echte Teilmenge von U? Mal ne blöde Frage: ist dieser Artikel ernstgemeint? Das widerspricht doch Russell, oder? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Marathi (Diskussion • Beiträge) )

Ist die Frage ernst gemeint? Die Quellenlage ist ja wohl eindeutig. --Enlil2 21:43, 9. Jun. 2007 (CEST)

Zumal die Eigenschaft bereits für jede Ordinalzahl gilt... --Hagman 23:02, 27. Jul. 2010 (CEST)

Ernst gemeint ist es wohl schon, aber IMHO dennoch fehlerbehaftet. Denn zu der Formel x ∈ U ⇒ x ⊆ U dann zu schreiben "Alle Elemente von x sind selbst auch Elemente von U" ist doch falsch. Entweder "Alle Elemente von U sind auch Teilmengen von U" oder die Formel muss geändert werden. (wobei ich ja ne Flasche Schampus aufmache, wenn diese unsäglichen Bilderformeln in der Wikipedia mal verschwinden). --LinguistManiac Tue Oct 26 16:14:44 CEST 2010 (16:15, 26. Okt. 2010 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Das ist so gemeint: [Für alle Elemente x von U] sind alle Elemente von x auch selbst Elemente von U, und das ist äquivalent zu deiner Teilmengenformulierung. Ich formuliere das mal im Artikel um. -- Paul E. 21:27, 26. Okt. 2010 (CEST)

Formel- versus Umgangssprache.

Ich fände es gut, wenn die Definitionen nicht nur in Formelsprache, sondern auch in gewöhnlicher mathematischer Umganssprache formuliert würden. Ich bin jedoch nicht kompetent genung, um den Artikel selbst in diesem Sinne zu ändern. --Hanfried.lenz 11:18, 5. Sep. 2007 (CEST).

Ist es jetzt besser? Ich habe einen Einleitungssatz dazugeschrieben, und die Definitionen mit umgangssprachlichen Sätzen ergänzt ... ich bin mir nicht sicher, ob das so schön angeordnet ist, oder ob man die Erklärungen lieber extra sammeln sollte. -- Paul E. 22:43, 25. Feb. 2008 (CET)

Existenz

Hmm, wenn ich das richtig verstehe, ist doch die Menge der natürlichen Zahlen (d.h. das Standard-Modell von N) ein Grothendiek-Universum, oder? Das passt auch zu dem Satz (weil ja gerade card(N) = ℵ₀). -- Paul E. 22:43, 25. Feb. 2008 (CET)

Ja, nur hat dieses Universum eine Unschönheit: Es enthält bloss endliche Mengen, was eine starke Einschränkung darstellt. Deshalb ist dieser Fall nicht so interessant. --Enlil2 14:15, 28. Feb. 2008 (CET)

OK, ich habe mal einen passenden Satz ergänzt.

Hmm, noch mal nachgedacht ... das Standardmodell selbst ist kein Grothendiek-Universum (Potenzmengen von Anfangsstücken der natürlichen Zahlen enthalten ja auch Nicht-Anfangsstücke), aber man kann daraus eines basteln, gerade durch die Vervollständigung durch Potenzmengen. Jedenfalls enthält dieses Universum nur endliche Mengen, deren Elemente selbst wieder solche sind. (Und dieses Universum dürfte das kleinste Grothendiek-Universum sein, im Teilmengen-Sinn.) Oder? -- Paul E. 16:53, 3. Mär. 2008 (CET)

Fehler ?

In einem ersten Schritt betrachtet man nur Mengen mit einer Kardinalität echt kleiner als κ, wobei κ eine unerreichbare Kardinalzahl ist. Diese Mengen bilden dann ein Grothendieck-Universum U. Das glaube ich so noch nicht. Das Singleton {κ} hat Kardinalität 1, 1 ist echt kleiner als κ, also müsste ja {κ} zu U gehören. Jetzt gilt aber nach den Universumsaxiomen, dass auch κ zu U gehören muss. Die Kardinalität von κ ist nun aber nicht mehr kleiner als κ. Also ist U kein Grothendieck-Universum. Ich glaube zwar, dass es möglich ist, irgendwie einer unerreichbaren Kardinalzahl ein Grothendieck-Universum zuzuordnen, aber so einfach geht es nicht, würde ich sagen... Nebenbei fällt mir gerade auf, dass die Mengen mit Kardinalität kleiner als κ nicht mal eine Menge bilden und ein Grothendieck-Universum ja nach Definition eine Menge sein soll... --131.234.106.197 17:11, 16. Sep. 2008 (CEST)

{x_i} Menge

Hallo, laut Ersetzungsaxiom müsste doch $\{x_{i}\}_{i\in I}$ eine Menge sein, da I ja eine Kardinalität hat und somit eine Menge ist. Habe das einmal spezifiziert, falls es Einwände gibt… --Chricho ¹ 12:22, 15. Feb. 2011 (CET)

Kleine Frage zum dritten Axiom

Mir fiel gerade auf, dass das 3.Axiom aus den ersten beiden folgt, oder? Sei x in U . Dann ist nach dem zweiten Axiom P(x) auch in U. Nochmaligen Anwenden liefert P(P(x)) in U. Nach dem ersten Axiom ist jedes Element von P(P(x)) wieder in U. Aber {x} ist ein Element in P(P(x)) und somit müsste auch {x} in U sein. Übersehe ich etwas oder sind die Axiome auf diese Weise voneinander abhängig? --Cosine (Diskussion) 11:42, 18. Okt. 2012 (CEST)

Das dritte Axiom müsste $x,y\in U\Rightarrow \{x,y\}\in U$ lauten. So steht's jedenfalls in allen anderssprachigen WP-Artikeln, aber auch z.B. in Colin McLarty: "Elementary Categories, Elementary Toposes". --Daniel5Ko (Diskussion) 19:14, 18. Okt. 2012 (CEST)

Ist aber nicht minder redundant. In Categories for the working mathematician werden sogar noch mehr Operationen in der Definition genannt (kartesisches Produkt etwa), scheint üblich zu sein, da etwas redundant zu sein. Eine Kurzfassung findet man etwa hier. --Chricho ¹ ² ³ 19:47, 18. Okt. 2012 (CEST)

Stimmt, ist nicht minder redundant. Hab' zu kurz drüber nachgedacht, und kam vorschnell zu dem falschen Ergebnis, dass man für Paarmengen nicht mithilfe der anderen Axiome zeigen kann, dass sie in U sind. Hmpf. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:19, 18. Okt. 2012 (CEST)

Idee-Urheber?

1. Ich vermisse im Artikel eine Angabe zur Originalliteratur von Grothendieck.

2. Hatte Grothendieck andere Axiome, weil im Aritkel Axiome eines anderen Autors zitiert werden?

3. Die Idee hatte doch wohl Zermelo selbst als erster. Man lese seine Einführung des ZF-Systems von 1930, wo er genau die inneren ZF-Modelle entwickelte. Er nannte dort auch das nötige Zusatzaxiom.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 20:15, 23. Feb. 2013 (CET)

Wenn ich das richtig sehe, wurden solche Universen in der Tat in der Mengenlehre schon vorher betrachtet, insbesondere auch die unerreichbaren Kardinalzahlen, da hast du schon Recht (auch wenn ich jetzt nicht weiß, ob Zermelo der erste war, und das von dir angesprochene Werk nicht gelesen habe). Aber Grothendieck hat das mit dem SGA (Band 4) wohl erstmals in die Mathematik außerhalb der Mengenlehre getragen und popularisiert. Evtl. gab es vorher auch noch nicht das Axiom in der Form „jede Menge ist Element eines Grothendieck-Universums“, aber das weiß ich nicht. --Chricho ¹ ² ³ 20:44, 23. Feb. 2013 (CET)

Die Grothendieck-Quelle müsste in eine Fußnote, am besten auch der Link. Man sieht ja sofort, dass das Axiomensystem gleichwertig ist. Damit wäre 1. und 2. erledigt. Einen Link zum Zermelo-Text findet man im Zermelo-Artikel. Er hat den Titel Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. Die Titelworte sind seine Bezeichnungen für die unerreichbaren Kardinalzahlen und Universen. Er pflegte natürlich noch einen verbalen Stil, aber der Sache nach ist es genau dasselbe.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 01:57, 24. Feb. 2013 (CET)