Diskussion:Gruppe (Mathematik)

Einleitung

Den folgendenen Sätze

Die formale Abstraktion der Gruppenaxiome ermöglicht die flexible Behandlung verschiedener mathematischer Objekte aus der abstrakten Algebra und anderen Gebieten, ohne deren spezielle Strukturen zu verletzen. Die Allgegenwart von Gruppen in vielen Gebieten in und außerhalb der Mathematik macht sie zu einem zentralen Prinzip der gegenwärtigen Mathematik.

habe ich entfernt. Der erste ist meiner Meinung nach unverständlich, der zweite zu hochtrabend.

--Digamma (Diskussion) 21:52, 13. Okt. 2013 (CEST)

Danke für die Überarbeitung. Die zweite Begebenheit finde ich wichtig, allerdings habe ich vergessen, die Quellen deutsch zu formatieren. Allerdings finden sich da noch viele zusätzliche Belege. Der erste Teil ist wirklich unglück formuliert, da stimme ich dir zu. Solange das niemand besser vermag, sollte er dann draußen bleiben. -Schwatzwutz !?! 10:42, 14. Okt. 2013 (CEST)

Achja: Die Erwähnung des Gebiets der Gruppentheorie findet im unteren Absatz statt. -Schwatzwutz !?! 10:44, 14. Okt. 2013 (CEST)

Der zweite Satz ist im Prinzip inhaltlich OK, sollte aber deutlich leserfreundlicher formuliert werden. Auf einen Beleg kommt es nicht unbedingt an.

Es war mir wichtig, dass das Gebiet der Gruppentheorie schon gleich am Anfang erwähnt wird und nicht erst im dritten Absatz. --Digamma (Diskussion) 13:42, 14. Okt. 2013 (CEST)

So müsste es gut zu lesen sein. Stimmt, die Erwähnung zu Beginn macht Sinn. Einwand? -Schwatzwutz !?! 13:59, 14. Okt. 2013 (CEST)

Ander form

 a, b ∈ G, dasein x, y / ax = b, ya = b; + asociativity, gruppe.--Tarpuq (Diskussion) 17:31, 9. Jan. 2014 (CET)

Bei den schwachen Gruppenaxiomen sollte a^-1 in G gefordert werden. (nicht signierter Beitrag von 194.95.0.190 (Diskussion) 22:40, 4. Nov. 2014 (CET))

Ich hab’s ergänzt, danke! -- HilberTraum (d, m) 10:48, 5. Nov. 2014 (CET)

Wo liegt der Unterschied von ‚Gruppe‘ und ‚Gruppentheorie‘?

Ohne jetzt allerdings den Artikel Gruppentheorie intensiv gelesen zu haben, verstehe ich überhaupt nicht, wieso es da zwei Artikel gibt. Was könnte den ein Kriterium sein, das eine Feststellung über Gruppen dem einen oder dem anderen Artikel zuteilt?-- Binse (Diskussion) 21:35, 2. Jun. 2015 (CEST)

Nun das eine ist ein mathematisches Teilgebiet, das andere ein mathematisches Objekt. Sicher hast Du recht, dass die Thematiken der Artikel sehr eng beieinander liegen, aber es sollten unterschiedliche Schwerpunkte in den Artikeln gesetzt werden. Jedoch ist der Artikel Gruppentheorie in dieser Hinsicht noch stark verbesserungswürdig. Ein ähnlicher Fall, bei dem es besser gelöst ist, ist Topologie (Mathematik) und Topologischer Raum.--Christian1985 (Disk) 21:58, 2. Jun. 2015 (CEST)

Nein Christian1985! Analog wäre ein Artikelpaar Topologischer Raum / Theorie der topologischen Räume. Das fände ich auch sinnlos. Dagegen ist Topologie (Mathematik) eine sehr viel weiteres Feld. Auch sagst Du einfach, in Gruppe und Gruppentheorie sollten unterschiedliche Schwerpunkte gesetzt werden. Kannst Du da ein Kriterium angeben? Ich sehe keinen sachlichen Unterschied. Jede Aussage über Gruppen ist eine Aussage der Gruppentheorie und umgekehrt.-- Binse (Diskussion) 01:43, 3. Jun. 2015 (CEST)

Wie Christian1985 richtig sagte, sind Gruppe und Gruppentheorie unterschiedliche Konzepte, die bei uns auch in verschiedenen Artikeln behandelt werden. Wenn der Leser auf den Link Gruppe klickt, erwartet er, etwas zur Definition einer Gruppe und den Eigenschaften von Gruppen zu erfahren. Wenn er auf den Link Gruppentheorie klickt, erwartet er zu erfahren, mit was sich die Gruppentheorie beschäftigt und wie sie eingeordnet wird. Die Inhalte sollten folgendermaßen aufgeteilt sein:

• Gruppe (Mathematik): Definition einer Gruppe, Beispiele, Eigenschaften, Unterstrukturen, Operationen auf Gruppen, Verwendung, Verallgemeinerungen
• Gruppentheorie: Geschichte (ggf. eigener Artikel), Grundkonzepte, Teilgebiete, wichtige Sätze, offene Probleme, Querverbindungen, Anwendungen

Die genaue Definition einer Gruppe gehört eigentlich nicht, wie derzeit, in den Artikel Gruppentheorie. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:11, 3. Jun. 2015 (CEST)

Ok Quartl. Wenn ich Dich recht verstehe, soll der Artikel zu einem Lemma enthalten, was es über das Lemma zu sagen gibt. Bei Gruppe wäre das tatsächlich ein Extrakt der Gruppentheorie. Dafür soll dann in Gruppentheorie (möglichst nur) stehen, was über diese Theorie zu sagen ist: Hauptsächlich Geschichte und Gliederung. Spezielle Sätze und Probleme eigentlich nur, wenn sie die Entwicklung der Theorie in die eine oder andere Richtung getrieben haben. Und der Leser von Gruppentheorie müsste schon wissen, was eine Gruppe ist. Etwas verwirrend ist dabei, dass das was ich in einem Buch ‚Gruppentheorie‘ suche, überwiegend nicht in den Artikel Gruppentheorie gehört. Immerhin, wenn ich Dich richtig verstanden habe, so gibt das Ganze einen Sinn. Danke.-- Binse (Diskussion) 16:12, 4. Jun. 2015 (CEST)

Eindeutigkeit des neutralen Elements

@Klapauzius 10:

1. Du bemerkst zu deinem Edit: "... während aus 2. noch nicht unmittelbar hervorgeht, dass das neutrale Element eindeutig ist ...".
   Es geht aber wenigstens mittelbar hervor: Denn für jedes (beidseitig) neutrale, bspw. f, ist f = e*f = e. Es gibt also nur eines – und zwar ganz ohne das dritte Axiom.
2. Wenn das dritte fehlt, dann beschreibt man ein sog. Monoid. Will sagen: das zweite Axiom hat (zusammen mit dem ersten) Bestand – auch ohne das dritte – und also nicht nur zusammen mit dem dritten.
3. Wenn du gegen Lehrbücher derart heftig ankämpfst
   • "In den meisten Gruppentheoriebüchern steht leider auch die logisch nicht korrekte Fassung mit zwei getrennten Axiomen" und
   • "... falsche / unschöne Definition",

   dann solltest du nicht nur Sachen aus dem hohlen Bauch bringen, was ausschließlich auf deinem Mist gewachsen ist, sondern qualifiziertere Belege anführen, und zwar noch qualifiziertere als die beschimpften.

Ich revertiere also (nochmal). --Nomen4Omen (Diskussion) 07:43, 17. Okt. 2019 (CEST)

‎Klapauzius 10:

1. Das stimmt, aber man müsste es sich innerhalb der Definition ableiten.
2. Die Existenz des neutralen Elements in 2. steht ja innerhalb eines Existenzquantors. Streng genommen ist damit in 3. nicht klar, was mit e überhaupt gemeint ist. Somit müsste man innerhalb der Definition den kurzen Beweis bringen, dass das neutrale Element eindeutig ist. Dann könnte man es mit e benennen und sich in 3. darauf beziehen.
3. Ich "bekämpfe" nichts, sondern es gibt gute Gründe die genauere Definition zu benutzen. Mein Einwand ist somit nicht aus dem hohlen Bauch. Das Schöne an der mathematischen Sprache ist ja gerade, dass man die Dinge exakt ausdrücken kann und nichts unklar bleibt. Ich habe momentan gerade keine Gruppentheoriebücher zur Hand, werde aber bei Gelegenheit nachsehen, ob ich ein Beispiel für die "unübliche Definition" finde.
4. Ich bin ja nicht dogmatisch. Meinetwegen kann die ursprüngliche Fassung der Definition auch stehen bleiben. Die Diskussion ist sichtbar und für jemand Interessierten erhellend. {{--Klapauzius 10 (Diskussion) 10:47, 17. Okt. 2019 (CEST)|Klapauzius 10|09:29, 17. Okt. 2019 (CEST)}}

@Klapauzius 10:

Zu deinem neuen Punkt 2.:
Es ist niemandem von niemandem verboten, nach dem Lesen des Axioms 2 kurz nachzudenken und darauf zu kommen: Ach ja! Deubel auch! Dieses e ist dann ja eindeutig! Dann nehm ich das halt in alle Zukunft, z.B. in Axiom 3.
Wenn man aber nicht nachgedacht haben sollte, dann wäre Axiom 3 mMn nur so zu verstehen, dass die Aussage für alle e gelten soll. Wie wir wissen (und die Fußnoten zeigen), kommt bei allem dem total dasselbe heraus.
Abgesehen davon wäre es auch nicht verboten, im Axiom 2 (und in Axiom 3) die Eindeutigkeit direkt zu fordern. Ich finde es aber gut, es nicht zu machen, weil die schwachen Gruppenaxiome zeigen, dass man mit noch viel weniger als dem, was dasteht, auskommt.
Ich hab aber für dich Fußnoten drangehängt. --Nomen4Omen (Diskussion) 11:34, 17. Okt. 2019 (CEST)

Viel besser ist es ohnehin, das neutrale Element und die Inversenbildung direkt in die Signatur aufzunehmen, also an derselben Stelle zu haben, wo auch die zweistellige Verknüpfung * steht. Die Axiome bestimmen dann nur noch, wie sich diese beiden weiteren Verknüpfungen verhalten sollen. Solcherart formuliert, kann die Definition beinahe buchstäblich auf allgemeinere Kontexte übertragen werden. Siehe etwa Gruppenobjekt.

Davon abgesehen, gebe ich Klapauzius 10 völlig Recht und merke an, dass die "schwachen Gruppenaxiome" im Artikel sowieso schon die Form haben, die Klapauzius 10 eben nicht beanstanden würde. --Daniel5Ko (Diskussion) 12:32, 2. Feb. 2023 (CET)

Ein neutrales Element aber viele inverse Elemente

Gruppe_(Mathematik)#Gruppe Formal korrekt, aber didaktisch unklug: "Es gibt ein (einziges) neutrales Element" und "Zu jedem $a\in G$ existiert ein (einziges) inverses Element". Natürlich gibt es zu jedem a jeweils nur ein einziges inverses Element. Aber warum muss das betont werden? Eher sollte doch irgendwie betont werden, dass es insgesamt nur ein einziges neutrales Element für die ganze Gruppe (oder für die gesamte Menge) gibt, aber viele neutrale Elemente. Vielleicht sollte man besser schreiben "Zu jedem $a\in G$ existiert ein (jeweils einziges) inverses Element". Oder "Für die ganze Gruppe gibt es ein einziges neutrales Element." und "Für die ganze Gruppe gibt es zu jedem Element ein anderes inverses Element." --Thirunavukkarasye-Raveendran (Diskussion) 21:16, 7. Nov. 2021 (CET)