Diskussion:Halbstetigkeit

Frage: Wie kann eine unstetige Funktion stetig ergänzt werden? (Das es geht ist klar, aber wie?)

Schwache Halbstetigkeit

Ich schlage vor auch die Definition aus Werner's "Funktionalanalysis" mit in den Artikel aufzunehmen, da diese analog für schwach halbstetige Funktionale passt.

Ein Funktional $f:X\to \mathbb {R}$ heißt (schwach) halbstetig von unten, falls

$x_{n}\to x$ (schwach), $f(x_{n})\leq c\quad \Rightarrow \quad f(x)\leq c$.

Denke das passt gut! Also: Tu es! (Aber bitte auch den genauen Zusammenhang: Folgenstetigkeit vs. Stetigkeit berücksichtigen.

Alternative Beschreibung

"$O_{<}:={\Big \{}\left]-\infty ,a\right[;a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}{\Big \}}$ ist eine Topologie auf $\mathbb {R}$"

Ich behaupte die Aussage ist nicht korrekt: Eine Topologie auf $\mathbb {R}$ müsste nämlich die leere Menge enthalten, was mit dieser Definition nicht der Fall ist. Ich schlage daher vor den Satz durch

"$O_{<}:={\Big \{}\left]-\infty ,a\right[;a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}{\Big \}}$ ist eine Topologie auf $\mathbb {R}$"

oder

"$O_{<}:={\Big \{}\left]-\infty ,a\right[;a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}{\Big \}}\cup \{\emptyset \}$ ist eine Topologie auf $\mathbb {R}$"

zu ersetzen. Analog der Ausdruck für $O_{>}$.

Alternativ könnte man das Wort "ist" durch "erzeugt" ersetzen. (nicht signierter Beitrag von Saibot.S (Diskussion | Beiträge) 13:35, 13. Jan. 2012 (CET))

Unter-Halbstetigkeit = Linksseitige Stetigkeit (und umgekehrt)?

Hallo, könnte einer der Kenner der Materie mal etwas dazu schreiben, ob Unter-Halbstetigkeit bzw. Halbstetigkeit von unten dasselbe wie linksseitige Stetigkeit ist, und/oder Ober-Halbstetigkeit bzw. Halbstetigkeit von oben dasselbe wie rechtsseitige Stetigkeit?

Im Zusammenhang mit Verteilungsfunktionen diskreter Zufallsvariablen nämlich wird - vgl. Verteilungsfunktion#Eigenschaften und Zusammenhang zur Verteilung - beispielsweise davon gesprochen, dass diese (nach der heute üblichen Kleiner-gleich-Konvention) rechtsseitig stetig seien, im Artikel Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion dagegen wird die analog aufgebaute "Abrundungsfunktion" als oberhalbstetig bezeichnet. Sind die beiden Begrifflichkeiten also gleichwertig, oder gibt es da irgendwelche Feinheiten, die sie unterscheiden? --Qniemiec (Diskussion) 19:28, 9. Jan. 2015 (CET)

Die Begriffe haben eigentlich nicht viel miteinander zu tun. Nur bei monoton wachsenden Funktionen würde ich sagen (ohne Beweis, nur von der Anschauung her vermutet), dass Rechtsstetigkeit und Oberhalbstetigkeit äquivalent sind. -- HilberTraum (d, m) 20:50, 9. Jan. 2015 (CET)

Die Begriffe verhalten sich in einem gewissen Sinne komplementär. Salopp ausgedrückt: Bei Linksstetigkeit überprüftst du für ein x_0 das Verhalten der x<x_0, x nah bei x_0, wobei die Funktionswerte f(x) nah bei f(x_0) sein müssen. Bei der Oberhalbstetigkeit überprüftst du alle x nah an x_0, ob die Funktionswerte nicht zu sehr nach oben ausreißen. Im Vergleich zur Stetigkeit schränkst du deine Aussage bei der Linksstetigkeit im Definitionsbereich, bei der Oberhalbstetigkeit aber im Funktionsbereich ein. Sichtbar wird das am besten, wenn man sich die Defs in der logischen Schreibweise (Junktoren, Quantoren usw.) anschaut.

Logisch sind die Begriffe unabhängig, es können also alle Kombinationen vorkommen.

Eine monoton wachsende Funktion hat immer einen linksseitigen Grenzwert. Ist sie linksweise stetig, so auch unterhalbstetig und ist sie unterhalbstetig, so ist dieser Grenzwert der Funktionswert, also ist die Funktion linksweise stetig.--Donesk (Diskussion) 17:22, 10. Jan. 2015 (CET)

Halbstetigkeit bezieht sich also immer auf eine bestimmte Stelle x, und wenn die Funktion da gar nicht springt, ist sie gleichzeitig ober- und unter-halbstetig, springt sie nur nach unten, ist sie ober-halbstetig, und springt sie in beide Richtungen (zB. die Vorzeichenfunktion an der Stelle x=0), ist sie gar nicht halbstetig? Dumm, dass diese beiden Themen sich so verzahnen... --Qniemiec (Diskussion) 21:23, 10. Jan. 2015 (CET)