Diskussion:Hamiltonoperator

Frage

Wofür steht denn hier V(x) und x? Und Delta ist auch nicht erklärt.

1. Bitte mit --~~~~ unterschreiben, 2. Das V(x) steht für ein Potential (Standardfolklore) und x für eine verallgemeinerte Koordinate in dem System, die erst gewählt werden muss (z.B. Ort, kann aber auch was abstrakteres sein) 3. Das Delta ist der Laplace-Operator, also die Summe aller zweiten Partiellen Ableitungen nach allen Koordinaten--Jkrieger 08:53, 29. Aug 2005 (CEST)

Eigenschaften

Ich moechte die folgende Aenderung der letzten beiden "Eigenschaften" vorschlagen, da der Satz "Vertauscht der Hamiltonoperator mit sich selbst ist die Energie eine Erhaltungsgröße" m.M.n. unklar ist. Ausserdem sollten wir uns fuer "kommutieren" oder "vertauschen" entscheiden:

dabei sind Funktionen eines Operators ebenfalls über den Spektralsatz definiert. Falls der Hamiltonoperator nicht explizit von der Zeit abhängt, reduziert sich die Formel zu

${\hat {U}}(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}(t-t_{0}){\hat {H}}}$

und die Energie ist eine Erhaltungsgröße.

• Operatoren, die mit ${\hat {H}}$ kommutieren, sind Erhaltungsgrößen des Systems. Die Eigenvektoren dieser Operatoren sind dann auch gleichzeitig Eigenvektoren des Hamiltonoperators.

-- Porridge 17:33, 9. Mär. 2007 (CET)

ich halte den Vorschlag für gut (ud er ist ja grossenteils schon umgesetzt). Den letzten Satz in Deinem Vorschlag würde ich so fassen:

• Operatoren, die mit ${\hat {H}}$ kommutieren, sind Erhaltungsgrößen des Systems. Wenn ${\hat {H}}$ nicht von der Zeit abhängt (geschlossenes System) ist also insbesondere die Energie erhalten. Die Eigenvektoren anderer mit ${\hat {H}}$ vertauschender Operatoren können immer so gewählt werden, dass die gleichzeitig Eigenvektoren des Hamiltonoperators sind.

Ausserdem sollte, mE im ersten Absatz des Lemmas von "Energie" die Rede sein. Etwa (zweiter Satz): "Er repräsentiert die Energie eines Systems und bestimmt dessen dynamische Eigenschaften, z.B. durch die Schrödinger-Gleichung." Ausserdem "im dritten Satz: "Man kann den Hamiltonoperator oft semi-heuristisch aus der Hamiltonfunktion der klassischen Mechanik gewinnen..." ("ableiten" finde ich zu stark, ausserdem geht's ja nicht immer). Meinungen? --Qcomp 14:13, 28. Mai 2007 (CEST)

klassischer Operator

Hallo zusammen! Macht ein klassischer Hamilton-Operator Sinn? Ich kenne nur klassische Hamilton-Funktionen. Wird in der klassischen Mechanik eine Operator-Schreibweise benutzt? Und wenn ja: Wie ist dann etwa der Impuls- oder Ortsoperator definiert? Falls es diese Operator-Schreibweise nicht gibt, wäre ich für eine Entfernung des ersten Teils des Artikels! Meinungen? Grüße, Jkrieger 08:53, 29. Aug 2005 (CEST)

Hallo Jkrieger,

nein, in der klassischen Physik gibt es keinen Hamilton-Operator, ebensowenig einen Impuls- oder Ortsoperator, oder Sonstiges. Das klassische Analogon zum Hamilton-Operator ist in der Tat die Hamilton-Funktion.

Die Formulierung "Übergang zur QM" ist trotzdem richtig, denn der Schritt von klass. Mechanik zur QM besteht gerade darin den Impuls p durch einen Operator ${\hat {p}}=-i\hbar \partial _{x}$ zu ersetzen (formal auch $x\rightarrow {\hat {x}}$, was aber nichts bewirkt). Damit wird aus der klassischen Hamilton-Funktion $H(x,p)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x)$ der Hamilton-Operator. Gleiches gilt für den Drehimpuls ${\vec {L}}={\vec {x}}\times {\vec {p}}$, der ebenfalls zu einem Operator wird (${\hat {\vec {L}}}={\vec {x}}\times {\hat {\vec {p}}}$). Es ist durchaus üblich, diesen Schritt als "Übergang zur QM" zu beschreiben.

Gruß, René 11:47, 12. Nov 2005 (CEST)

(formal auch $x\rightarrow {\hat {x}}$, was aber nichts bewirkt) stimmt so mal nicht. Das stimmt nur, wenn das System in der Ortsdarstellung beschrieben wird... Beschreibt man das System z.B. im Impulsraum dann wird ${\hat {x}}$ zu einer Ableitung und ${\hat {p}}$ einfach eine reelle Zahl... --84.153.112.86 23:24, 4. Okt 2006 (CEST)

Blödsinn

"Durch den intuitiven Übergang von der klassischen Mechanik in die Quantenmechanik erhielten deren Begründer (vor allem Schrödinger, Heisenberg, Pauli) die Größe der Gesamtenergie eines Quantensystems." Der Satz macht keinen Sinn.

Überarbeiten

Meines Erachtens taugt der Artikel im derzeitigen Stil einer Sammlung irgendwie mit dem Operator zusammenhängender Tatsachen höchstens als Einschub in einem Skript, nicht als Lexikonartikel. Da müsste man grundlegend neu aufbauen. Traitor 17:16, 14. Jun 2006 (CEST)

Die aktuelle Version kommt mir vor wie ne dürftige Übersetzung des englischen Artikels.

Würde ihn die nächsten Tage überarbeiten, wenn ich nen guten Ansatz find. --M1ke 01:04, 18. Jun 2006 (CEST)

Meiner Meinung nach sollte der Artikel auch gründlich überarbeitet werden. Von allgemein Aufbau her schlage ich vor, ihn ähnlich wie in Impulsoperator zu gestalten. Was vielleicht auch rein sollte, sind exemplarische Hamiltonians wie z.B. der Festkörper-H, wie er allg. in der Störungstheorie auftaucht (${\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {H}}$) oder der Feinstruktur-H, damit klar wird, dass in dem Ding (fast) die ganze Physik steckt.. Schneizen 15:46, 6. Jul 2006 (CEST)

Eine gewisse Sammlung von Hamiltonians für gängige Probleme halte ich auch für gut.

Was mir an diesem Artikel jedoch fehlt, mal abgesehen von der Struktur, ist eine Erklärung, wie ich zu einem Hamiltonopertor für ein System komme. Gibt es da ein allgemeines Konzept nach dem sich der Hamiltonoperator aufstellen lässt? --HCG 14:23, 9. Jul 2006 (CEST)

Gibt es: Der Hamiltonoperator ist im Prinzip die Summe der Energien im System.. Allerdings (Korrespondenzprinzip!) durch Operatoren ausgedrückt. z.B. ist der Hamiltonian des freien Teilchens ${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}$, wobei ${\hat {p}}$ der Impulsoperator ist. ${\frac {p^{2}}{2m}}$ ist auch der klassische Ausdruck für die kinetische Energie. Befindet sich das Teilchen zusätzlich noch in einem Potential, dann gibt es eben noch den zusätzlichen Summand $V(x)$. Besonders schön findet man das Ganze beim allg. Festkörper-H: $H=T_{k}+T_{e}+V_{e-e}+V_{k-k}+V_{e-k}$ Das ist einfach die Summe aus kinetischer Energie der Kerne und Elektronen, die Elektron-Elektron-WW, die Kern-Kern-WW und die Elektron-Kern-WW.

Eine streng mathematische Erklärung ist das allerdings nicht..

-- Schneizen 19:45, 9. Jul 2006 (CEST)

So in der Art habe ich das auch gefunden, ich war mir nur nicht sicher, ob das immer so funktioniert. Man kann also einfach durch Übergang zu Operatoren aus der Hamiltonfunktion $H=T+V$ den Hamiltonoperator erhalten. Das ist schonmal gut für die Einleitung.

Wobei das aber auch mit Vorsicht zu genießen ist. In der Hamiltonfunktion ist es wegen der Kommutativität noch egal wo welche Größe steht, bei Operatoren ist die Reihenfolge jedoch grundsätzlich erstmal wichtig!

Bsp. Teilchen im EM-Feld (vgl. Fließbach - Quantenmechanik, Kap. 3) mit

Hamiltonfunktion $H={\frac {1}{2m}}\left({\vec {p}}-{\frac {q}{c}}{\vec {A}}({\vec {r}},t)\right)^{2}+q\phi ({\vec {r}},t)$

Nimmt man hier die Ersetzung durch Operatoren erst in der ausmultiplizierten Form

$H={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}-{\frac {q}{mc}}{\vec {A}}({\vec {r}},t)\cdot {\vec {p}}+{\frac {q^{2}}{2mc^{2}}}{\vec {A}}({\vec {r}},t)^{2}+q\phi ({\vec {r}},t)$

vor muss man mit Mischtermen wie ${\vec {A}}({\vec {r}},t)\cdot {\vec {p}}$ auspassen und diese durch ${\frac {{\vec {A}}({\vec {r}},t)\cdot {\vec {p}}+{\vec {p}}\cdot {\vec {A}}({\vec {r}},t)}{2}}$ ersetzen. In diesem Bsp. vertauschen ${\vec {A}}({\hat {\vec {r}}},t)$ und ${\hat {\vec {p}}}$ nämlich nur in Coulombeichung mit $div{\vec {A}}=0$.

--HCG 14:06, 12. Jul 2006 (CEST)

Es ist richtig, dass man bei Operatoren auf die Reichenfolge achten muss, allerdings nur bei der Multiplikation. Da die einzelnen Beiträge im Hamiltonoperator jedoch additiv eingehen ist es egal, ob ich ${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}$ oder ${\hat {H}}'={\hat {V}}+{\hat {T}}$ schreibe.. -- Schneizen 16:02, 20. Jul 2006 (CEST)

Das ist richtig, aber hier überhaupt nicht relevant. In dem genannten Beispiel geht es nämlich gerade um ein Multiplikation, wobei man beim Ausmultiplizieren der Klammer auch dann zum richtigen Ergebnis kommt, wenn man sich streng an die Operatoralgebra hält. --Heiko Schmitz 17:09, 20. Jul 2006 (CEST)

Ist es nicht ein wenig einfach zu sagen, man erzeugt sich die Hamiltonfunktion durch H=T+V? Eigentlich bekommt man sie doch durch Legendretransformation aus der Lagrangefunktion. Danach muss man mit Hilfe des Korrespondezprinzips zur QM übergehen, wobei man aber nicht nur den den Impuls und den Ort durch die enstprechenden Operatoren zu ersetzen hat. Man sollte evtl. nicht nur die Schrödingergleichung nennen, die die Dynamik des Systems beschreibt sondern z.B. auch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Nyabhingi 16:08, 22. Sep 2006 (CEST)

Es ist Ansichtssache, ob man die Hamilton- oder die Lagrangefunktion als fundamentaler ansieht. In der modernen Physik ist es wohl eher letztere. Aber für diesen Artikel reicht es meiner Meinung nach aus, anzunehmen, daß man die entsprechende Hamiltonfunktion des klassischen Systems kennt. Weitere Ausführungen zum Korrespondenzprinzip passen vielleicht eher in einen allgemeineren Artikel über Quantenmechanik --Heiko Schmitz 12:07, 25. Sep 2006 (CEST)

Hallo erst mal! Ich hab jetzt dem Artikel ein bisschen was hinzugefügt, sagt halt, was noch dazugehören sollte! Ich kann noch ein wenig Störungstheorie - die ja auch hauptsächlich von einer minimalen Störung des H-Operators ausgeht - hinzufügen, wenn das hier hereinpasst --Darkdragon84

Mathematik

Ich weiß, dass sich eher wenige Physiker darüber einen Kopf machen, aber sollte der Hamilton als selbstadjungierter Operator nicht noch einen Definitionsbereich haben, auf dem er selbstadjungiert ist? Der Hamiltonian ist ja ein unbeschränkter Operator, weil das Energiespektrum i.A. nicht beschränkt ist. Und bei unsbschränkten Operatoren werden ja Definitionsbereiche plötzlich wichtig.--R. Möws 22:10, 18. Okt. 2006 (CEST)

Im Prinzip hat er auch einen Definitionsbereich, in der Physik wird aber fast nie explizit darauf eingegangen. Bevor man aber auf den Definitionsbereich eingeht, müßte man erst die Begriffe hermitesch und selbstadjungiert vernünftig trennen. --Jckr 20:32, 19. Okt. 2006 (CEST)

Hat das mal irgendjemand gemacht? In der mathematischen Literatur wird die Bezeichnung hermitesch imo analog zu symmetrisch benutzt. Und das ist ja weniger als selbstadjungiert, was aber Physiker gerne, um unnötigen Formalismus zu vermeiden, gerne verschweigen. --R. Möws 21:21, 20. Okt. 2006 (CEST)

Soweit ich mich erinnere, macht John von Neumann das in seinem Buch Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik von 1932, das aber meines Erachtens wegen der veralteten Ausdrucksweise recht schwierig zu lesen ist. Im allgemeinen sind wohl Bücher zum Thema Mathematische Physik präziser als andere Bücher. --Jckr 08:12, 21. Okt. 2006 (CEST)

Fühlt sich jemand, der in der Mathematischen Physik bewanderter ist als ich, in der Lage, einen kleinen Absatz dem Artikel hinzuzufügen? --R. Möws 12:25, 21. Okt. 2006 (CEST)

Spin im Magnetfeld

Zum Spin S eines Silberatoms im Magnetfeld B gehört der Hamiltonoperator ....

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> Das gilt nur für das 'Silberatom'? Das bezweifle ich! (nicht signierter Beitrag von 93.132.137.41 (Diskussion) 01:06, 17. Jun. 2010 (CEST))

Parsingfehler

Am Ende des Artikels spuckt die "Latex-to-PNG"-Engine mehrere Fehlermeldungen aus. Kann sich dem bitte jemand annehmen? Bin leider nicht sehr bewandert im "Wikipedia-Latex". (nicht signierter Beitrag von 80.218.67.175 (Diskussion) 22:49, 11. Okt. 2011 (CEST))

Hallo,

Täusche ich mich oder könnte es sein, dass der Hamlitonoperator, der als Beispiel zu "Spin im Magnetfeld" angegeben wird, nicht korrekt ist? Wenn ich mir die Einheiten durchüberlege ist das $\hbar$ im Nenner überflüssig. Der Hamiltonoperator sollte von den Einheiten her ja eine Energie ergeben.

Herwig (nicht signierter Beitrag von 213.47.140.138 (Diskussion) 14:52, 21. Dez. 2012 (CET))

Abgrenzung zur Hamiltonfunktion

Würde mich freuen, wenn jemand eine klare Abgrenzung zur Hamiltonfunktion geben würde.