Diskussion:Hauptidealring

Torsionsmoduln

Obwohl anscheinend durch Bourbaki belegt, stimmt

(Zitat) $P\subset A$ ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente. Dann gilt: $M$ ist die direkte Summe der $p$-primären Untermoduln $M_{(p)}$, d. h.

$M=\bigoplus _{p\in P}M_{(p)}$

mit

$M_{(p)}=\left\{m\in M\mid p^{i}m=0\ {\text{für ein}}\ i\in \mathbb {N} \right\}.$ (Zitatende)

vermutlich nicht. So, wie es dasteht darf nur eine (1(!)) Kopie $M_{(p)}$ pro $p$ und auch $p$ nur einmal vorkommen. Alle anderen dementsprechenden Aussagen erlauben Vielfachheiten bei beiden, und zwar ist bspw. auch $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /p^{3}\mathbb {Z}$ ein Torsionsmodul. Wäre aber mit dem Laufindex $_{p\in P}$ nicht möglich.

--Nomen4Omen (Diskussion) 20:33, 6. Feb. 2016 (CET)

So ein $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /p^{3}\mathbb {Z}$ wäre dann ja nur ein einzelnes $M_{(p)}$. Die Aussage steht so z. B. auch in Bosch: Algebra, allerdings nur für endlich erzeugte Torsionsmoduln. Ich sehe nicht, warum das für beliebige Torsionsmoduln so vermutlich nicht stimmen sollte, auch wenn ich Bourbaki gerade nicht einsehen kann. Grüße -- HilberTraum (d, m) 21:21, 6. Feb. 2016 (CET)

(Vielleicht habe ich zuviel draufgeladen.)

1. Ein $M_{(p)}$ kann trivial sein $=\{0\}$ (fast alle sind es auch).
2. Bei der Schreibweise kommt jedes $_{p\in P}$ genau ein Mal vor.
3. Und zu jedem $_{p\in P}$ kommt im Prinzip ein einziges $i$ per

$M_{(p)}=\left\{m\in M\mid p^{i}m=0\ {\text{für ein}}\ i\in \mathbb {N} \right\}$

genau ein Mal vor, und zwar das größte, zu dem es ein annihiliertes Element $m$ gibt. Denn mit dem größten werden die kleineren $i$ miterledigt. Und es werden in $M_{(p)}$ ja nicht die $i$, sondern die $m$ aufgesammelt.

Für $M:=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /p^{3}\mathbb {Z}$ bräuchte man mehrere Paare $(p,i)$, und zwar (p,1); (p,1); (p,3). Das lässt sich also per $M_{(p)}$ gar nicht ausdrücken.

Auch ich spreche nur von endlich erzeugte Torsionsmoduln.

--Nomen4Omen (Diskussion) 22:01, 6. Feb. 2016 (CET)

Sagen wir $M:=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /5^{3}\mathbb {Z}$. Dann gilt

$M=M_{(5)}\cong \bigoplus _{p\in P}M_{(p)}$

mit $M_{(p)}=\{0\}$ für $p\neq 5$ wie du richtig schreibst. Das Problem verstehe ich leider immer noch nicht ganz. -- HilberTraum (d, m) 22:26, 6. Feb. 2016 (CET)

OK. Ich glaube, wir kommen der Sache näher. Wenn $M:=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /p^{3}\mathbb {Z}$, dann ist, wie du schreibst

$M_{(p)}=\{0\}$ für $p\neq 5$

und

$M_{(5)}=\left\{m\in M\mid 5^{3}m=0\right\}$, welches $\cong \mathbb {Z} /5^{3}\mathbb {Z} \supset \mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ ist. Denn wenn 5*m=0, dann ist auch 5^3*m=0. Zusammen:

$M\cong \mathbb {Z} /5^{3}\mathbb {Z}$, was nicht stimmt.

--Nomen4Omen (Diskussion) 22:40, 6. Feb. 2016 (CET)

Wieso sollte $M_{(5)}\cong \mathbb {Z} /5^{3}\mathbb {Z}$ gelten? $M_{(5)}$ hat $5^{5}$ Elemente, aber $\mathbb {Z} /5^{3}\mathbb {Z}$ nur $5^{3}$. -- HilberTraum (d, m) 23:18, 6. Feb. 2016 (CET)

Ja, du hast Recht. Die $m\in M$ bleiben die alten, auch in $M_{(5)}$. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:02, 7. Feb. 2016 (CET)

Definition ist falsch!

Das ist kein allgemein gültiger Artikel über Hauptidealringe (en: principal ideal ring), sondern nur über Hauptidealringe, die zusätzlich auch Integritätsringe sind (en: principal ideal domain)!

Im Deutschen wird sprachlich nicht wirklich zwischen den zwei Begriffen unterschieden, mit Hauptidealring meint man in der Regel einen "principal ideal domain". Siehe Hauptidealring#Verwandte Begriffe und die angegebene Referenz. Ich entferne daher den Überarbeiten-Baustein. Gruß --Lynxbiru (Diskussion) 17:01, 22. Jun. 2021 (CEST)

Bézoutring

in [1] steht: gleichbedeutend damit ist, dass der Durchschnitt zweier Hauptideale wieder ein Hauptideal ist. Ich möchte das nur nicht ungeprüft hier eintragen. --Ralf Preußen (Diskussion) 11:57, 30. Jul. 2020 (CEST)

Ich sehe nicht, warum das hier in diesem Artikel sollte. Ein Artikel Bézoutring kann natürlich angelegt werden, aber dann bitte auf Basis von Literatur, wo der Begriff nicht nur am Rande vorkommt.—Hoegiro (Diskussion) 22:43, 1. Aug. 2020 (CEST)

Nach Flemmermeyer besteht da ja eine Inklusion (Teil 2, Abb. 1) des Bézoutrings zum Hauptidealring - also gehört das auch hier hin. Den (überfälligen) Artikel Bézoutring sollte besser ein Math. schreiben, denn ich bin keiner. --Ralf Preußen (Diskussion) 08:36, 2. Aug. 2020 (CEST)

Gibt es irgendwelche Literatur zu Hauptidealringen, wo Bézoutringe prominent erwähnt werden??—Hoegiro (Diskussion) 09:05, 2. Aug. 2020 (CEST)

Eventuell: [2], [3], ...--Ralf Preußen (Diskussion) 09:43, 2. Aug. 2020 (CEST)

Was heißt „eventuell“? In jedem Fall ist das keine Literatur über Hauptidealringe. Mir ging es nur um die Relevanz, ob also in Literatur über Hauptidealringe auch Bézoutringe erwähnt werden, so dass wir das hier im Artikel auch machen sollten.—Hoegiro (Diskussion) 11:07, 2. Aug. 2020 (CEST)

Mit Verweis auf das Universalienproblem und die Inklusion von Flemmermeyer (Teil 2, Abb. 1) ist die Relevanz des Bézoutring (und aller weitereren dort aufgeführten Strukturen) per se begründet gegeben. Zur Angabe von allfälliger math. Literatur bin ich als Physiker der falscher Ansprechpartner. Zu Not reicht doch Flemmermeyer. Ich empfinde es zunehmend als (sagen wir) bedenklich, dass ich hier im amth Gebiet der WP so etwas überhaupt diskutieren muss. Nur weil einzelne Sichter etwas (möglicherweise) selbst nicht kennten/verstehen, bedeutet dies im Umkehrschluss nicht, dass es für die WP und/oder deren Benutzer (also auch die nicht KP geschriebenen) unrelevant ist. --Ralf Preußen (Diskussion) 11:24, 2. Aug. 2020 (CEST)

Wer sagt eignetlich das deine alleinige Meinung Relevant für die Wikipedia ist? (nicht signierter Beitrag von 2A00:20:9010:FE16:1915:319F:8C8C:DFF2 (Diskussion) 12:01, 2. Aug. 2020 (CEST))

Weil mein Beitrag positiv bestimmt und (bisher) nicht begründet widerlegt ist. Zudem ist die WP demokratisch strukturiert, insbesondere steht hier kein selbstbestimmter Vertreter eines WP-Gottes über mir. Zudem sind meine Beiträge: "einfach, schön und analytisch" wie ein Naturgesetz (welche übrigens Physiker erfinden). Im Ergebnis sind (fast alle) meiner Beiträge richtig und relevant. --Ralf Preußen (Diskussion) 12:51, 2. Aug. 2020 (CEST)

Ich habe den Artikel Bézout_Ring (per se) angelegt. Seht mal die vielen parallelen Sprachen dazu (vermutlich quatschen dort die Sichter nicht so viel "dummes Zeug"). Die Math unter Euch bauen diesen bitte (math. korrekt) selbst weiter aus. Hier ist das m.E. erledigt. --Ralf Preußen (Diskussion) 16:58, 2. Aug. 2020 (CEST)