Diskussion:Hausdorff-Dimension

Das ist nicht die allgemeine Definition sondern ihre Anwendung auf Spezialfälle. Die allgemeine Definition geht über einen Limesprozess mit der Anzahl der Kreise, die für eine Überdeckung erforderlich sind, in Abhängigkeit von deren Radius. Habs leider gerade nicht genauer parat. --Wolfgangbeyer 15:39, 6. Aug 2004 (CEST)

Erledigt. --Wolfgangbeyer 23:10, 18. Sep 2004 (CEST)

Dann geht es auch noch allgemeiner, man nehme kompakte Mengen in einem allgemeinen metrischen Raum.--LutzL 15:15, 12. Okt 2004 (CEST)

"Im allgemeinen ist ihr Zahlenwert jedoch nicht unbedingt eine natürliche Zahl sondern kann auch ein Bruch oder eine reelle Zahl sein." Natürliche Zahlen sind ja auch reelle Zahlen, daher klingt das für mein Sprachgefühl etwas merkwürdig. Wir wär's mit "gebrochener Zahl"? Würde sagen, dass diese Formulierung nicht nur rationale Zahlen bezeichnet sondern auch irrationale Zahlen mit einschließt. Oder wie seht Ihr das? --Wolfgangbeyer 01:00, 30. Okt 2004 (CEST)

Also ich finde eine gebrochene Zahl ist nur eine rationale Zahl. Der Satz wie er oben steht stimmt so. Vielleicht klingt es besser wenn man so schreibt: Im allgemeinen ist ihr Zahlenwert jedoch nicht unbedingt eine natürliche Zahl sondern kann auch ein Bruch oder eine irrationale Zahl sein." Unyxos 21:02, 31. Okt 2004 (CET)

Fraktale Dimension

Sorry aber der Artikel beschreibt eher eine vereinfachte Form der Boxcounting Dimension in Kombination mit Aehnlichkeitsdimension. Vielleicht sollte man den Artikel eher allgemein fraktale Dimension nennen und die verschiedenen Dimensionen unterscheiden. Hausdorff Dimension ist knallharte Masstheorie. http://magrathea.stuve.uni-ulm.de/people/juergen/fractal/hausdorff/ http://www.eberl.net/chaos/Skript/node72.html http://www.home.unix-ag.org/simon/diplomarbeit_simon_budig.pdf

Habe zwar wesentliche Teile dieses Artikels verfasst, weiß aber kein bisschen mehr über dieses Thema, als das was ich hier hingeschrieben habe. Es gibt 2 Möglichkeiten: Wir benennen um, wie von Dir vorgeschlagen, oder wir geben dem Text ab dem 2. Absatz einschließlich die Überschrift "Fraktale Dimension", und irgendwer schreibt dann die Verallgemeinerung unter einer Überschrift "Hausdorff-Dimension" dahinter gemäß der Empfehlung in Wikipedia:Wie_schreibe_ich_gute_Artikel#Verständlichkeit. Schließlich scheint das eine doch recht unmittelbar auf dem andern aufzubauen, soweit ich den Ausführungen in Deinen Links als Physiker folgen kann. Was meinst Du? Übrigens finde ich "Fraktale Dimension" etwas seltsam, denn die Dimension kann allenfalls gebrochen sein und nicht fraktal, aber offenbar ist das eine gängige Bezeichnung. Mir ist auch nicht klar, ob die verschiedenen Definitionen letztlich äquivalent sind, oder tatsächlich zu verschiedenen Ergebnissen für den Dimensionswert führen können. --Wolfgangbeyer 22:19, 11. Apr 2005 (CEST)

Hab mich doch noch dazu durchgerungen ein wenig wikisprech zu lernen, ist ja fast wie LaTeX, und fraktale_Dimension verfasst und unter Fraktale verlinkt. Vielleicht sollte ich noch das Hausdorff Maß unter Maßtheorie edieren. --J. 3.6.2005

Hinweis: Auf Felix Hausdorff findet sich eine Definition der Hausdorff-Dimension, die man übernehmen könnte.--Gunther 10:11, 26. Jun 2005 (CEST)

Naja, das ist harter Tobak und wendet sich im Stil an den ausgebufften Mathematiker. Selbst ich als Physiker habe da Probleme, mein Verständnis von fraktaler Dinemsion irgendwie überhaupt nur wiederzufinden. So sollten wir WP-Artikel nicht schreiben, denn das versteht nur, wer es sowieso schon kennt. Es spräche aber nichts gegen eine abgestufte Darstellung, bei der zunächst eine oder mehrere vereinfachte Definitionen beschrieben werden und weiter unten im Text eine exaktere. --Wolfgangbeyer 14:55, 26. Jun 2005 (CEST)

Ja, ich fürchte, es ist ziemlich formellastig geworden, wenn Du Möglichkeiten zur Verbesserung siehst (und sei es durch großflächige Löschungen ;-), lass Dich nicht aufhalten...--Gunther 16:05, 26. Jun 2005 (CEST)

Ah, schon viel besser, danke!--Gunther 18:09, 26. Jun 2005 (CEST)

Ich hoffe, der Revert war ok: Es ging der Punkt verloren, auf den ich hinauswollte.--Gunther 20:50, 26. Jun 2005 (CEST)

Ohne den Nachsatz wäre mir das entgangen ;-). --Wolfgangbeyer 21:12, 26. Jun 2005 (CEST)

Anwendung?

Weiß jemand, wozu die Hausdorff-Dimension nützlich ist? Wäre einen Hinweis wert. --85.177.225.222 21:01, 18. Dez. 2006 (CET)

Spanisch …

kommen mir hier gleich mehrere Sachen vor. Einmal ist die formale Definition nicht äquivalent zur vereinfachten Definition, außerdem müsste nach (meiner Auffassung) der formalen Definition das en:Apollonian gasket als abzählbare Vereinigung von Kreisen Hausdorff-Dimension 1 haben, da $H^{s}$ für einen Kreis mit $s>1$ verschwindet und eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Überdeckungen wohl wieder abzählbar ist. Es hat aber laut englischem Artikel Hausdorff-Dimension 1,3. Das gleiche gilt auch für die formale Definition im englischen Artikel, die aber außerdem die ε-Chose komplett weglässt. Kann jemand Licht ins Dunkel bringen? --Quilbert 問 02:12, 23. Jul. 2008 (CEST)

Die PDF-Quelle beschreibt das Apollonian gasket als den Abschluss. Beachte en:Hausdorff measure.--80.136.167.27 13:09, 23. Jul. 2008 (CEST)

Ah, danke! Bleiben noch zwei Fragen:

• Ist die Definition des Hausdorff-Maßes hier wirklich notwendig? Der englische Artikel definiert, soweit ich sehe, direkt

$C^{s}(X)=\inf {\Big \{}\sum _{i=1}^{\infty }d(A_{i})^{s}{\Big |}X\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}{\Big \}}$

als „Hausdorff content“, womit man sich einen Schritt spart, da $\inf\{s|\lim _{\varepsilon \to 0}H_{\varepsilon }^{s}(X)=0\}=\inf\{s|C^{s}(X)=0\}$.

• Nach der vereinfachten Definition in diesem Artikel hat auch das nicht-abgeschlossene Apollonian gasket Dimension 1,3…, da der Abschluss bei dieser Definition keinen Unterschied macht. Was bringt also eine vereinfachte Definition, wenn sie falsch ist? Oder lässt sich aussagen, wann sie stimmt? Vielleicht für abgeschlossene metrische Unterräume? —Quilbert 問 15:41, 23. Jul. 2008 (CEST)

Ich habe nun auch abgeschlossene Gegenbeispiele gefunden und dementsprechend den Artikel mit dem Hinweis versehen, dass die vereinfachte Definition mit Vorsicht zu genießen ist. —Quilbert 問 01:31, 26. Jul. 2008 (CEST)

Math. Formel: Wie "richtig"?

Im Abschnitt "Vereinfachte Definition" kommt folgender Ausschnitt vor:

1/m(1)^D + 1/m(2)^D + ... + 1/m(n)^D = 1 definiert, wobei 1/m(i) die einzelnen Maßstäbe sind (i = 1, ..., n).

Wie müsste man das in TeX übersetzen? So vielleicht?

${\frac {1}{m_{1}^{D}}}+{\frac {1}{m_{2}^{D}}}+\dotsb +{\frac {1}{m_{n}^{D}}}=1$ definiert, wobei $1/m_{i}$ die einzelnen Maßstäbe sind ($i=1,\dotsc ,n$).

Ohne diese "Übersetzung" verstehe ich die erste Formel gar nicht. -- UKoch (Diskussion) 18:34, 7. Dez. 2013 (CET)

Ja, so müsste das gemeint sein. Als Kontrolle: Wenn alle $m_{i}$ gleich sind, kommt man wieder auf die davor angegebene Formel $D={\frac {\log n}{\log m}}$. -- HilberTraum (Diskussion) 19:41, 7. Dez. 2013 (CET)

Prima, danke. Habe den Artikel gerade entsprechend geändert. -- UKoch (Diskussion) 19:59, 7. Dez. 2013 (CET)

Beispiel des Einheitsintervalls

Das Beispiel zur Berechnung der Hausdorffdimension des Einheitsintervalls ist etwas ungenau. Beim zweiten Teil steht "Da die A_i das Einheitsintervall X überdecken, ist die Summe ihrer Durchmesser mindestens eins". Das zu beweisen ist gar nicht einfach.

Im Allgemeinen gilt: Ist X=A u B, dann diam(X) <= diam(A) + d(A,B) + diam(B). Ist X zusammenhängend, fällt der mittlere Term natürlich weg. Aber dieses Argument kann man nicht auf die (A_i)'s iterieren, weil beliebige Vereinigungen der A_i's nicht mehr zusammenhängend sein müssen. Weiss jemand Rat, wie man das sauber beweist? 129.132.147.26 12:48, 11. Mär. 2015 (CET)