Diskussion:Hausdorff-Maß

Liebe Wikipedianer,

mir ist sehr wohl bekannt, dass der Begriff des Hausdorff-Maßes bereits im Artikel Hausdorff-Dimension definiert wurde, dort jedoch eher als eine Randnotiz, wohl durch das Nichtvorhandensein einer Definition innerhalb der Wikipedia motiviert. Da das Hausdorff-Maß für ein zentrales Konzept der Maß- und Integrationstheorie steht (mehr noch als die Hausdorff-Dimension), halte ich einen eigenen Artikel zu diesem Begriff für angebracht. Zum Hausdorff-Maß gibt es ähnlich viel Wissenswertes zu schreiben wie über die Hausdorff-Dimension.

Vereinzelte Passagen sind aus dem Artikel Hausdorff-Dimension übernommen; aus diesem kann (sofern gewollt) der Abschnitt über das Hausdorff-Maß durch einen Link hierhin ersetzt werden. Ich habe bewusst Formulierungen aus besagtem Artikel übernommen, weil ich sie als gut empfand, weil sie hierhin gehören, und weil dieser Teil der Arbeit der Autoren zu 'Hausdorff-Dimension' in keinem Fall eliminiert werden soll.

Gruß -- Robertp 02:16, 23. Nov. 2006 (CET) / 02:30, 23. Nov. 2006 (CET)

Überarbeiten

• Es wird nur ein Spezialfall des Hausdorff-Masses definiert.
• Biographische Angaben zu Hausdorff und andere Anekdoten gehören nicht in diesen Artikel.
• Unklarer Aufbau des Artikels, der Begriff des Hausdorff-Masses taucht nur "nebenbei" noch auf und wird nur unsauber definiert.

--Enlil2 13:51, 25. Nov. 2006 (CET)

Hallo Enlil2,

Punkt 1 - verstehe ich nicht. Welche anderen Hausdorff-Maße gibt es denn noch außer H^s für reelles 0≤s≤n?

Punkt 2 - ok. Die Passage "von jüdischer Abstammung, im 3. Reich Selbstmord" sind biografische Angaben, können im Grunde weg. Meinst du mit "Anekdoten" den kurzem Abschnitt über Fraktale (ist jedoch keine Anekdote)?

Punkt 3 - den Artikel kann man sicherlich umorganisieren, sodass H^m in der Ausführlichkeit wie zuvor S^m definiert wird und anschliessend zur Veranschaulichung das sphärische Maß kurz angeführt wird. (Unklar ist mir der Aufbau des Artikels jedoch nicht, und "unsauber definiert" ist das H^m meiner Ansicht nach auch nicht.)

-- Robertp 00:14, 26. Nov. 2006 (CET)

Hmm, ich glaube fast, Du kennst tatsächlich nur das Hausdorff-Mass im euklidischen Fall. Es lässt sich aber für metrische Räume ganz allgemein definieren, was üblicherweise auch gemacht wird. Deine Definition des Hausdorff-Masses ist insofern unsauber, als dass nicht definiert wird, was der Durchmesser einer Menge genau ist. Zur reinen Text-Definition wäre auch eine formale Definition hilfreich. Ich verstehe schon, dass Du aus didaktischen Gründen zuerst das sphärische Mass definieren willst. Wenn jemand nachsehen will, wie das Hausdorffmass definiert ist, möchte er/sie sich aber wahrscheinlich nicht zuerst auch noch das sphärische Mass ansehen, wenn es zum Verständnis nicht notwendig ist. Es fehlen noch die elementaren Eigenschaften des Hausdorff-Masses. Die Transformationsformel ist auch nur für den Fall differenzierbarer Funktionen angegeben und nicht für Lipschitz-Funktionen zwischen metrischen Räumen (wird dann allerdings zu einer Ungleichung). --Enlil2 23:48, 2. Dez. 2006 (CET)

Hallo Enlil2, schön dass du antwortest. Dass du H^s in metrischen Räumen meinst, hab ich mir anschließend schon gedacht, diese Trivialität will ich in der späteren Version dann unterbringen (trivial deshalb, weil man einfach nur die Tatsache vorfindet, dass sich die Definition ohne Mehraufwand auch auf metrische Räume anwenden lässt). Die Lipschitz-Stetigkeit habe ich erstmal weggelassen, weil ich aus einer Diskussionen zu einem anderen Artikel den Eindruck hatte, dass Leser damit überfordert sein könnten. Die elementaren Eigenschaften von H^m zu bringen ist eine gute Idee. Sobald meine Zeit es zulässt, will ich diese Dinge noch einpflegen.

Allerdings: Wie soll die Flächenformel denn lauten bei Lipschitz-Funktionen zwischen metrischen Räumen? Was ist dann Df? Na gut, wenn man Lip(f)^s statt der Jacobischen einsetzen will, wird's eine Ungleichung, aber das wäre doch wirklich banal, oder?

Gruß Robertp 22:40, 3. Dez. 2006 (CET)

Die Verallgemeinerung des Hausdorff-Maßes auf metrische Räume ist technisch zwar nicht schwierig, verleiht aber diesem Maß die spezielle Bedeutung eines Maßes, welches auf beliebigen metrischen Räumen auf eine natürliche Art und Weise definiert werden kann und ganz "natürliche" Eigenschaften, also z.B. Borel-Maß zu sein, aufweist. Der Beweis Lipschitz-Funktionen ist keineswegs banal und unterscheidet sich wesentlich von demjenigen für differenzierbare Funktionen. --Enlil2 21:23, 11. Dez. 2006 (CET)

Noch ein paar Formel usw. Ich überlasse es Dir, den Einbau in den Artikel vorzunehmen.

$(X,d)$ sei ein metrischer Raum. Für $k\in (0,+\infty ),\delta \in (0,+\infty ]$ und $A\subseteq X$ sei

${\mathcal {H}}_{\delta }^{k}(A):={\frac {\omega _{k}}{2^{k}}}\cdot \inf \left\{\sum _{i\in I}\left(\mathrm {diam} (A_{i})\right)^{k}\,|\,\mathrm {diam(A_{i})} <\delta ,A\subseteq \bigcup _{i\in I}A_{i},I\subseteq \mathbb {N} \right\}$

${\mathcal {H}}^{k}(A):=\sup _{\delta >0}{\mathcal {H}}_{\delta }^{k}(A)$

wobei $\omega _{k}:={\frac {\pi ^{k/2}}{\Gamma (1+k/2)}}$ eine Normierungskonstante ist und $\mathrm {diam} (A_{i}):=\sup _{x,y\in A_{i}}d(x,y)$ den Durchmesser von $A_{i}$ bezeichnet.

${\mathcal {H}}^{k}(A)$ heisst das $k$-dimensionale Hausdorff-Maß von $A$.

Diese Art der Definition des Hausdorff-Maßes wird als Carathéodory-Konstruktion bezeichnet.

Eigenschaften

Das auf diese Weise definierte Hausdorff-Maß ist ein Borel-reguläres äusseres Maß auf dem Raum $(X,d)$, das heisst:

• ${\mathcal {H}}^{k}(\emptyset )=0$
• ${\mathcal {H}}^{k}(A)\leq \sum _{i\in I}{\mathcal {H}}^{k}(A_{i})$ für $A\subseteq \bigcup _{i\in I}A_{i},i\subseteq \mathbb {N}$
• Jede Borel-Menge ist ${\mathcal {H}}^{k}$-messbar, insbesondere ist ${\mathcal {H}}^{k}$ additiv auf separierten Mengen.
• Für jede ${\mathcal {H}}^{k}$-messbare Menge $A$ existiert eine Borel-Menge $B\supseteq A$ derart, dass ${\mathcal {H}}^{k}(A)={\mathcal {H}}^{k}(B)$

Für Lipschitz-stetige Funktionen $\varphi :E\rightarrow F$ zwischen metrischen Räumen, ergibt sich für die Niveau-Mengen folgende Beziehung:

$\int _{F}{\mathcal {H}}^{k-m}\left(\varphi ^{-1}(y)\right)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}(y)\leq \left(\mathrm {Lip} \right)^{m}(\varphi )^{m}{\frac {\omega _{m}\cdot \omega _{k-m}}{\omega _{k}}}{\mathcal {H}}^{k}(F)$, wobei ${\mathcal {H}}^{k}(E)<\infty$ vorausgesetzt wird.

Literatur

• Luigi Ambrosio, Paolo Tilli: Topics on analysis in metric spaces. Oxford University Press, Oxford 2004, ISBN 0-19-852938-4

Fraktale

Eine kleine Bemerkung: Unten im Artikel wird ein Fraktal beschrieben als Menge mit "gebrochener („fraktaler“) Hausdorff-Dimension". Das ist aber nicht richtig, es existieren für Dimension größer als 1 auch Fraktale mit ganzzahliger Hausdorff-Dimension. Allgemein wird ein Fraktal definiert als Menge, deren topologische Dimension nicht mit der Hausdorff-Dimension übereinstimmt. Interessant ist, dass Mandelbrot zunächst auch übersah, dass beide Definitionen eine unterschiedliche Menge von fraktalen Mengen beschreiben. Das berühmteste Beispiel hierfür sind die Pfade der Brownschen Bewegung, deren Graphen ab der Dimension 3 stets 2-dimensional sind und deren topologische Dimension aber 1 ist.