Diskussion:Heisenberg-Algebra

Die Darstellung ist nicht korrekt. Hier wird nur ein Spezialfall behandelt. Hier http://planetmath.org/encyclopedia/HeisenbergAlgebra.html steht eine korrekte Definition, die anscheinend sogar unter der GPL steht und übernommen werden könnte.

Heisenbergalgebren werden in der Fachliteratur auch im dort genannten Sinne verwendet.

(nicht signierter Beitrag von 85.8.100.201 (Diskussion) )

Die Heisenbergalgebra vs. eine Heisenbergalgebra

Wie ich das verstehe, ist die hier angegebene Algebra die Heisenbergalgebra, die Lie-Algebra der Heisenberggruppe. Darüberhinaus gibt es Verallgemeinerungen der Heisenberggruppe und ihrer Lie-Algebra, die auch Heisenberggruppen und Heisenbergalgebren genannt werden.

Insofern ist der Artikel bisher nicht falsch, sondern nur unvollständig.--Digamma 20:54, 30. Okt. 2007 (CET)

Dieser Artikel ist sehr schön geschrieben, also sollte man die letzten Unebenheiten ausbügeln, es lohnt sich! 1. Die Heisenbergalgebra ist eine Liealgebra, die über einem reellen symplektischen Vektorraum mit Hilfe der symplektischen Struktur konstruiert ist. Diese Liealgebra sollte man als d i e Heisenbergalgebra bezeichnen. Das Beispiel hier ist nur der Spezialfall des niedrigstdimensionalen symplektischen Vektorraumes (2*1-dimensional). Da das Beispiel aus der Physik (klassische - und Quantenmechanik) stammt, ist allenfalls der 2*3-dimensionale d i e Heisenbergalgebra. 2. Man sollte hier erwähnen, daß das symmetrische Spiegelbild zu Liealgebren die Jordanalgebren sind. 3. Das Standardbeispiel für eine Liealgebra ist historisch gesehen das Kreuzprodukt im dreidimensionalen, genauer die beiden Kreuzprodukte, die man zu den beiden pseudoorthogonalen Vektorräumen im reellen dreidimenionalen konstruieren kann (wer hier anfängt mit Indizes zu operieren, den erschlag ich!). 4. Zur Gruppentheorie: Es gibt im allgemeinen zu jeder Liealgebra mehrere Liegruppen, die diese als Liealgebra annehmen können. Darunter eine universelle, die einfachzusammenhängend ist. Diese Liegruppe sollte man als Weylgruppe bezeichnen. Die Gruppe, die man über eine Matrixdastellung per exp Reihe erhält, sollte als Heisenberggruppe bezeichnet werden. Sie kann mehrfach zusammenhängend sein. Beide sind also nicht notwendig diffeomorph, haengen aber ueber eine kurze exakte Sequenz mit diskretem Kern miteinander zusammen. 5. Über die Konstruktion der universellen Einhüllenden Algebra kommt man von der Kategorie der Liealgebren zur Kategorie der assoziativen Algebren. Aus dieser universellen Einhüllenden der Heisenbergalgebra kommt man durch eine nichttriviale Faktorisierung dieser Einhüllenden zur Weylalgebra. 2*3-dimensionaler Spezialfall ist die Algebra der Polynome über den P und Q-Observablen der Quantenmechanik. Diese ist mit dem Kommutator als Verknüpfung eine unendlichdimensionale Liealgebra. Frage: Ist diese Liealgebra zur Liealgebra der Polynomfunktionen der Klassischen Mechanik (mit der Poisson-Klammer als Lieverknüpfung) isomorph? 6. Das symmetrische Analogon zur Weylalgebra, konstruiert aus der Universellen Einhüllenden der Jordanalgebra eines pseudoorthogonalen Vektorraumes, ist die Cliffordalgebra (man lese dazu Nicolas Bourbaki), die über dem physikalischen Minkowskiraum zur Algebra der Diracmatrizen wird. Das alles ist wohlbekannt. Hans Tilgner