Diskussion:Hodge-Stern-Operator

Zur Definition

Mit der Definition habe ich Probleme: In Hodge-Stern-Operator auf Vektorräumen kann der Hodge-Stern-Operator nichts induzieren, wenn er noch nicht definiert ist. Es ist doch vielmehr so, dass durch die angegebenen Formeln ein Basis-unabhängiger Operator definiert wird, der dann Hodge-Stern-Operator genannt wird. Das sollte entsprechend umformuliert werden.--FerdiBf 21:53, 8. Okt. 2008 (CEST)

Orientierung

Wenn ich mich nicht täusche, dann braucht man für die Definition des Hodge-Sterns auf einem Vektorraum nicht nur ein Skalarprodukt, sondern auch eine Orientierung. Die Orthonormalbasis in der Definition muss positiv orientiert sein. Um * festzulegen, muss man entweder die Bedingung

$*(e^{1}\wedge e^{2}\wedge \cdots \wedge e^{k})=e^{k+1}\wedge e^{k+2}\wedge \cdots \wedge e^{n}$

für jede positiv orientierte ONB fordern, oder man muss alle $k$-elementigen Teilmengen der ONB betrachten: Für jede gerade Permutation $\sigma$ von $\{1,\dots ,n\}$ gilt:

$*(e^{\sigma (1)}\wedge e^{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge e^{\sigma (k)})=e^{\sigma (k+1)}\wedge e^{\sigma (k+2)}\wedge \cdots \wedge e^{\sigma (n)}$

-- Digamma 20:31, 23. Sep. 2010 (CEST)

Stimmt. Ich probiere mich mal an der Korrektur. --Christian1985 ( 02:05, 24. Sep. 2010 (CEST)

Ich habe die Definition überarbeitet. -- Digamma 22:09, 7. Okt. 2010 (CEST)

Vergleiche: http://www.dr-gert-hillebrandt.de/mathe_uni.htm und http://www.dr-gert-hillebrandt.de/pdf/Universitaet/Mathe/Der%20Stern-Operator.pdf (nicht signierter Beitrag von 77.8.136.118 (Diskussion) 12:22, 26. Mär. 2015 (CET))

Einfugung einer IP

Ich kopiere hier mal den auf der Vorderseite von einer IP eingefǘgten Text:

Warum wird nur der euklidische Fall betrachtet und warum wird nicht die Natürlichkeit der normierten Volumenform zur Definition herangezogen?

$*(e^{\sigma (1)}\wedge e^{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge e^{\sigma (k)})=Vol(e_{\sigma (1)},e_{\sigma (2)},\dots ,e_{\sigma (k)},\cdot ,\dots ,\cdot )$

Vol enthält den Faktor sgn(g)! sgn = Signatur. Warum macht ihr euch das so schwer?

--Kamsa Hapnida (Diskussion) 14:26, 26. Mär. 2015 (CET)

Antwort: Man braucht das Skalarprodukt, um (bei dieser Definition) die Indizes runterzuziehen. Die Volumenform reicht nicht aus. --Digamma (Diskussion) 22:20, 26. Mär. 2015 (CET)