Diskussion:Homöomorphismus

Wortbedeutung

"Kaffeetasse und ein Donut – topologisch betrachtet dasselbe" sollte wohl eher "topologisch betrachtet das gleiche" heißen. (nicht signierter Beitrag von 88.72.126.89 (Diskussion | Beiträge) 01:38, 25. Jul 2009 (CEST))

Begriff

Woher kommt der Name Homöomorphismus? --Xlae 01:34, 11. Jul. 2008 (CEST)

Stetigkeit als algebraische Relation

Ich frage mich gerade, ob der Begriff der stetigen Funktion auch in einer allgemeinen Algebra definiert werden kann. Ich suche also eine Verknüpfung L (die durchaus auch unendlich viele Argumente haben kann), so dass eine Funktion f von der allgemeinen Algebra A in die allgemeine Algebra B genau dann stetig ist, wenn sie ein Homomorphismus bzgl. der Verknüpfung L ist.

Mit der Folgenstetigkeit sollte das gelingen: f ist folgenstetig, wenn für alle konvergenten Folgen $(a_{n})$ und deren Grenzwert a gilt, dass $f(a_{n})$ gegen $f(a)$ konvergiert. Ich könnte jetzt also die Verknüpfung L mit den Argumenten $a_{n}$ so setzen, dass $\mathrm {L} (a_{1},a_{2},...)=a$ ist, und also f als Homormorphismus die Eigenschaft $f(\mathrm {L} (a_{1},a_{2},...))=\mathrm {L} (f(a_{1}),f(a_{2}),....)$ haben muss. Das verbleibende Problem ist noch, dass die Verknüpfung L ja eigentlich für beliebige Folgen definiert sein müsste. Da aber für nichtkonvergente Folgen nichts gefordert wird, kann man ja L so definieren, dass die Homomorphismuseigenschaft dann automatisch erfüllt ist, also: Ist $(a_{n})$ nicht konvergent, dann ist $\mathrm {L} (a_{n})=a_{1}$.

Damit sollte der Begriff der folgenstetigen Funktion durch einen Homomorphismusbegriff ausgedrückt sein.

So, warum mach ich das überhaupt? "Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrfunktion ebenfalls ein Homomorphismus ist." Wenn ich diese Definition auf stetige Funktionen anwenden will, um den Homöomorphismus als Isomorphismus nach dieser Definition zu erhalten, muss ich erstmal einen Homomorphismenbegriff haben. Das geht kategoriell, indem man nur stetige Funktionen zu Morphismen erklärt, oder (hoffentlich) auch algebraisch über die oben dargestellte Verknüpfung, bzgl. der man Homomorphismen betrachten kann.

Was meint ihr dazu? (Auch wenn dieser Text sich weniger mit dem Inhalt als mit dem Thema des Artikels beschäftigt, denke ich, dass eine Darstellung meiner Überlegung vielleicht diesem oder einem thematisch verwandten Artikel zugute kommen könnte.) --SirJective 14:58, 28. Okt 2004 (CEST)

Leider klappt das auf allgemeinen Räumen mit der Folgenstetigkeit nicht so ganz. Es gibt Topologien, wo jede Folge gegen jeden Grenzwert konvergiert, daher ist die oben erwähnte Gleichung schwer zu formulieren.

Auch dann haben "algebraische" Homomorphismen die Eigenschaft, das die Umkehrfunktion eines bijektiven Homomorphismus automatisch ein Homomorphismus ist (oder doch nicht?). Für stetige Funktionen gibt es immer zahlreiche Gegenbeispiele. --maus 16:49, 16. Feb 2005 (CEST)

An Räume mit mehreren Grenzwerten pro Folge hatte ich nicht gedacht. Da müsste man sich wohl auf Hausdorff-Räume einschränken.

Ich kenne keine algebraische Struktur, von der ich weiß, dass die Umkehrung eines bijektiven Homomorphismus nicht notwendig wieder ein Homomorphismus ist. Da der Begriff der algebraischen Struktur aber recht allgemein ist, kann ich mir durchaus vorstellen, dass es auch algebraische Strukturen (im engeren Sinne, also nur mit endlichen Verknüpfungen) mit Gegenbeispielen gibt.

Ich danke dir für deine Antwort, maus. --SirJective 23:29, 16. Feb 2005 (CET)

Leider habe ich die stärkere Vermutung, um eine sinnvolle Folgenstetigkeit definieren zu können (also eine, die zur Stetigkeit äquivalent ist) muss Kompaktheit vorausgesetzt werden, was eine zu starke Bedingung an die Räume stellt. Spannender (und empfehlenswert) ist da eher die Arbeitsweise der algebraischen Topologie. --maus 10:26, 17. Feb 2005 (CEST)

Du hast anscheinend recht: Wenn ich zwei algebraische Strukturen A und B habe, und einen bijektiven Hom. h: A -> B, dann ist die Umkehrfunktion g := h^-1: B -> A ein Homomorphismus bzgl. den endlichen inneren Verknüpfungen (Notation wie in algebraische Struktur):

$f_{A}(g(y_{1}),...,g(y_{n}))=\;$

$f_{A}(x_{1},...,x_{n})=\;$

$g(h(f_{A}(x_{1},...,x_{n})))=\;$

$g(f_{B}(h(x_{1}),...,h(x_{n})))=\;$

$g(f_{B}(y_{1},...,y_{n}))\;$

Wenn ich hier richtig gerechnet habe, dann sollte man diesen Fakt noch in dem Artikel über algebraische Strukturen einbauen.

Irgendwas ist also bei meinem obigen Ansatz der Folgenstetigkeit anders. Vermutlich hängt es mit der willkürlichen Definition der "Verknüpfung" L im Fall einer nichtkonvergenten Folge zusammen: Offenbar erfüllt sie nicht die Bedingungen, die man an einen Grenzwert stellen würde, z.B. die Unabhängigkeit von endlichen Anfangsstücken. Da ich also nicht einmal Folgenstetigkeit ausdrücken kann, brauch ich mich mit diesem Ansatz gar nicht an die "richtige" Stetigkeit wagen.

Vom algebraischer Topologie wurde mir schon viel vorgeschwärmt, und ich werd mich damit auch irgendwann beschäftigen. :) --SirJective 11:14, 17. Feb 2005 (CET)

Anschauung: Zerschneiden

„Zerschneiden ist nur erlaubt, wenn man die Teile später genau an der Schnittfläche wieder zusammenfügt.“ Was bitte will mir dieser Satz sagen? Kann mir irgendwer einen Homöomorphismus nennen, der einen Gegenstand zerschneidet und dann wieder genau an den Schnittflächen zusammenfügt? --Rotkraut 22:44, 1. Sep. 2008 (CEST)

1. "Möbiusband" mit drei Halbdrehungen vs. übliches Möbiusband. 2. Der von der 90-Grad-Drehung auf $\mathbb {R} ^{2}$ induzierte Homöomorphismus des Torus $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$.--80.136.132.175 12:03, 2. Sep. 2008 (CEST)

Zweidimensionaler Torus ? Häh ? Was bitte ist ein zweidimensionaler Torus, wenn es diese Mannigfaltigkeit nur in IR^3 gibt ? Und was haben Fahrradspeichen damit zu tun ? Was nützen Beispiele wenn sie nicht richtig angegeben werden ? -- Eulermatroid 13:22, 27. Feb. 2012 (CET)

Weil der Torus ein 2-dimensionales Gebilde ist, auch wenn wir es uns nur im 3d-Raum vorstellen können. Ähnlich wie die Sphäre S², die die 2dim. OberFLÄCHE der 3d-Kugel ist. Ich komme da auch immer durcheinander, weil ich da eher S³ schriebe. Das mit den Speichen ist wohl inzwischen geändert, aber ich find's ganz anschaulich und verständlich. --mema (Diskussion), 15:10, 22. Jan. 2023 (CET)

"Homeomorphismus"?

In Google-Books findet sich kein einziges Buch, das "Homeomorphismus" verwendet. Die Websuche findet ganze zwei Nasen, die einmal das Wort so geschrieben haben. Ich denke, das ist ein normaler Rechtschreibfehler, keine alternative Schreibweise, oder irre ich mich da gewaltig? --Momotaro‖♨ 15:30, 7. Nov. 2013 (CET)

Mit ziemlicher Überraschung nehme ich das zurück; anscheinend war am 7. November mein Google kaputt … Es gibt doch einige Fundstellen, auch in Büchern. --Momotaro‖♨ 09:55, 14. Nov. 2013 (CET)

Auch wenn sich die Schreibung „Homeomorphismus“ selbst in Büchern findet, handelt es sich doch um einen Rechtschreibfehler, der auf den Einfluß des Englischen zurückzuführen ist. Im Duden beispielsweise findet sich nur die Schreibung „homöomorph“. Ich möchte deswegen vorschlagen, „fälschlicherweise auch Homeomorphismus“ zu schreiben. --Persikarbeto (Diskussion) 15:51, 3. Jun. 2015 (CEST)

Bin auch dafür, auch wenn es schon erstaunlich ist, in wievielen Büchern man diese Falschschreibung findet. Ich setze das dann so um.—Hoegiro (Diskussion) 21:57, 25. Mai 2021 (CEST)

$f$ ist abgeschlossene Abbildung ist nicht äquivalent zu $f$ ist Homöomorphismus

$f$ ist genau dann abgeschlossen wenn das Bild aller abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen ist. Die Funktion $g:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,x\longrightarrow 0$ ist abgeschlossen, denn $\forall X\subset \mathbb {R}$ mit $X\neq \{\}$ gilt $g(X)=\{1\}$. (nicht signierter Beitrag von 88.67.167.202 (Diskussion) 17:54, 10. Aug. 2016 (CEST))

Im Artikel wird vorausgesetzt, dass $f$ bijektiv ist. Dein Beispiel ist nicht bijektiv. Ich mache die Löschung also rückgängig. -- HilberTraum (d, m) 18:44, 10. Aug. 2016 (CEST)

Verlinkung Offene Abbildung

Gibt es einen Grund, warum die Nennung der offenen Abbildung in der Definition auf den Abschnitt des Artikels Offene Menge verweist und nicht auf Offene Abbildung (auf die von erstem Artikel eh verwiesen wird)? (nicht signierter Beitrag von 2003:EE:6731:F000:C9B5:CF98:A58:8AB6 (Diskussion) 17:52, 18. Jul. 2020 (CEST))

Eigenschaften

Im Abschnitt Eigenschaften wird gesagt, dass es nicht immer einfach ist, zu sehen, dass gewisse Eigenschaften topologische Eigenschaften sind, d.h. unter Homöomorphismen erhalten bleiben. Hier habe ich die beiden Sätze

Ein Beispiel einer solchen Eigenschaft ist Metrisierbarkeit, hier zeigt der Satz von Bing-Nagata-Smirnow, dass es sich um eine topologische Eigenschaft handelt. Eberlein-Kompaktheit ist ein weiteres nicht-triviales Beispiel.

entfernt. Der Grund: Ein topologischer Raum ist metrisierbar nach Definition, wenn er homöomorph zu einem metrischen Raum ist. Somit ist dies offenbar und direkt ersichtlich eine topologische Eigenschaft. Das selbe gilt für Eberlein-Kompaktheit: Ein topologischer Raum ist Eberlein-kompakt, wenn er homöomorph zu einer schwach-kompakten Teilmenge eines Banachraums in der relativen schwachen Topologie ist. Allgemein kann man sagen: Jede Eigenschaft, die anfängt mit "ist homöomorph zu ..." ist trivialerweise eine topologische Eigenschaft. Dass es oft schwer ist mit solchen Definitionen zu arbeiten und man daher Charakterisierungen z.B. von Metrisierbarkeit sucht, die ohne metrische Räume auskommt, ist eine andere Sache und hat hiermit nichts zu tun.

Ein Beispiel einer solchen topologischen Eigenschaft, der man dieses nicht ansieht wäre aber vermutlich trotzdem sinnvoll. Mir fällt spontan nur ein, dass Vollständigkeit von normierten Vektorräumen eine topologische Invariante ist, d.h. wenn zwei normierte Vektorräume homöomorph sind und einer davon vollständig, dann ist der andere auch vollständig - das ist aber überhaupt nicht offensichtlich und auch nicht sehr instruktiv. Ein besseres Beispiel wäre vielleicht die Endlichdimensionalität von normierten Vektorräumen. Dimension ist ja eigentlich eine algebraische Eigenschaft des reellen Vektorraums, aber "zufälligerweise" ist sie in diesem konkreten Kontext äquivalent zu lokaler Kompaktheit (die wieder per Definition eine topologische Eigenschaft ist). Auch in der algebraischen Topologie könnte man sicher einiges finden. Eigenschaften, die z.B. für Graphen und Simplizialkomplexe unter expliziter Verwendung von Ecken und Kanten definiert werden, sich aber überraschenderweise als topologische Eigenschaften herausstellen.

Allen diesen Beispielen ist aber gemein, dass sie nie für alle topologischen Räume definiert sind, da eine Eigenschaft, die nur mit Hilfe der zugrundeliegenden Menge und den offenen Teilmengen formuliert werden kann, offenbar eine topologische Eigenschaft ist. --2A00:1398:300:303:0:0:0:117E 16:50, 12. Okt. 2022 (CEST)

Hier liegt ein Missverständnis vor. Die genannten Eigenschaften (Metrisierbarkeit, Eberlein-Kompaktheit) sind zunächst mittels Begriffen außerhalb der Topologie (Metrik, Banachraum) definiert. Es stellt sich dann heraus, dass man diese Eigenschaften auch mittels rein topologischer Begriffe (Eigenschaften des Systems der offenen Mengen) definieren kann. Das ist in beiden Fällen nicht-trivial, und das ist gemeint, wenn man sagt, dass diese Begriffe topologisch sind.--FerdiBf (Diskussion) 21:13, 13. Okt. 2022 (CEST)

Vielen Dank für die Erklärung. Ich bin nur leicht verwundert... Ist das die gängige Definition einer "topologischen Eigenschaft" ? Ich kenne nur die Definition, dass eine Eigenschaft "topologisch" ist, wenn sie bei Homöomorphismen erhalten bleibt. Das würde auch erklären, warum sich dieser Absatz auf der Seite "Homöomorphismus" befindet. Wenn du also sagst, eine "topologische Eigenschaft" ist eine, die man nur mit offenen und abgeschlossenen Mengen definieren kann ohne Begriffe außerhalb der Topologie zu verwenden, wäre dann streng genommen "wegzusammenhängend" noch eine topologische Eigenscahft? Immerhin wird bei der Definition direkt ein Intervall in den Reellen Zahlen verwendet. Wenn man sehr haarspalterisch werden wollte, wäre auch "folgenkompakt" keine topologische Eigenschaft, da hier Folgen verwendet werden, was ja die Existenz der natürlichen Zahlen verwendet...

Wenn also wirklich "topologische Eigenschaft" in der Bedeutung verwendet werden soll, dass man zur Definition keine andere Gebiete der Mathematik heranziehen muss, dann sollte man den Absatz umformulieren, weil sich sonst eventuell auch andere Leute fragen, wieso es schwierig ist zu zeigen, dass Metrisierbarkeit unter Homöomorphismen erhalten bleibt (und man kann sich darüber streiten, ob dieser Absatz dann vielleicht eher zu "topologischer Raum" anstelle von "Homöomorphismus" gehört). --2A00:1398:300:303:0:0:0:1316 09:41, 16. Okt. 2022 (CEST)

bistetig?

Vielleicht 'ne blöde Frage: ich meine, ich hätte auch schon den Begriff "bistetig" gehört oder gelesen. Täusche ich mich, gibt's das (bisher) gar nicht? Immerhin käme es dann zu weniger Verwechslungen zwischen homo- und homöomorph und wäre selbsterklärend. --mema (Diskussion) 15:18, 22. Jan. 2023 (CET)