Diskussion:Homogene Funktion

Satz von Euler

Der Satz von Euler gilt nicht für allgemeine homogene Funktionen, sondern nur für positiv homogene Funktionen. Zwar erfüllt jede homogene Funktion die angegebene Bedingung, aber die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch, wie die Funktion

f: R -> R
f(x) := x^2 für x >= 0
f(x) := 0 für x < 0

zeigt.

Diese Funktion erfüllt die Charakterisierung aus Eulers Satz, ist aber nicht homogen. (Aber sie ist natürlich positiv homogen.) (nicht signierter Beitrag von 84.165.86.126 (Diskussion) 13:00, 24. Jun. 2010 (CEST))

Magst Du dafür noch Belege in den Artikel schreiben? Danke! --P. Birken 16:33, 4. Jul. 2010 (CEST)

Ich denke, im Artikel sollte schon erwähnt werden dass auch für homogene Funktionen zumindest die eine Richtung des Eulerschen Satzes gilt; dass nämlich für diese Funktionen die Eulersche Differentialgleichung gilt.ArchibaldWagner (Diskussion) 12:09, 5. Okt. 2017 (CEST)

absolute Homogenität

Wie ist absolute Homogenität definiert? 2001:7C0:E701:4983:21E:37FF:FE3E:39FC 01:44, 4. Jun. 2013 (CEST)

Herleitung

Ich halte die eingefügte Herleitung des Euler-Theorem für ziemlich umständlich und verwirrend aufgeschrieben; sie sollte unbedingt noch gestrafft werden. Aber ich sichte sie jetzt mal, weil ich denke, dass eine Herleitung für den Artikel nützlich ist. -- HilberTraum (Diskussion) 09:47, 2. Nov. 2013 (CET)

Dem stimme ich zu. Ich habe mich gerade erbarmt und einen Beweis (der Äquivalenz) der Homogenität und der Euler Relation für differenzierbare Funktionen eingefügt. -- MaLeZig (Matthias Lesch, Bonn). (16:45, 15. Okt. 2014 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Prima, das sieht doch gleich viel übersichtlicher aus :) Danke! -- HilberTraum (d, m) 21:22, 15. Okt. 2014 (CEST)

Der Beweis enthält allerdings einen Fehler. Es ist nämlich ${\frac {d}{dt}}\Phi (t\cdot x)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial \Phi }{\partial (tx_{j})}}(t\cdot x)\cdot x_{j}={\frac {1}{t}}\cdot \sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}(t\cdot x)\cdot x_{j}\,$ .Die $x_{i}$ spielen hier allerdings nicht die Rolle der Koordinaten, sondern sie sind in diesem Zusammenhang Konstanten. Da das Ganze etwas verwirrend ist, hilft es vielleicht, koordinatenfreie Begriffe zu verwenden und die geometrische Anschauung hinzu zu ziehen. Es geht um die Differentiation der Funktion $\Phi$ entlang der Kurve $t\longmapsto ta$, wobei $a$ ein "beliebiger, aber fest gewählter" Vektor des $\mathbb {R} ^{k}$ ist. Dies ist die Gerade durch den Ursprung in Richtung des Vektors $a$, welche derart parametrisiert ist, dass der Tangentenvektor an die Kurve in jedem Punkt ebenfalls gleich $a$ ist. Die Ableitung von $\Phi$ entlang der Kurve ist die Ableitung in Richtung des Tangentenvektors, also in Richtung von $a$.

Will man die Kettenregel anwenden, so nennt man die Kurve am besten $x$. Dann kann man $\Phi$ nach den Koordinaten $x_{i}$ differenzieren und erhält

${\frac {d}{dt}}\Phi \circ x=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}(x)\cdot a_{j}={\frac {1}{t}}\cdot \sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}(x)\cdot x_{j}$--Walter Lorenz (Diskussion) 22:58, 8. Dez. 2017 (CET)

Bitte obigen Beitrag noch signieren! Siehe Hilfe:Signatur – ArchibaldWagner (Diskussion) 18:04, 30. Nov. 2017 (CET)

In der angegebenen Referenz bei mathworld.wolfram.com werden keine Angaben über die Argument- und Wertemengen gegeben. Ich empfehle, einmal ein Blick in die englische Wikipedia en:Homogeneous_function. ArchibaldWagner (Diskussion) 18:00, 30. Nov. 2017 (CET)

Wie gesagt, der Beweis enthält einen Fehler.--Walter Lorenz (Diskussion) 00:05, 9. Dez. 2017 (CET)

Wo soll da ein Fehler sein? Ich glaube, du hast bei deiner Rechnung ein bisschen die Bezeichnungen durcheinander gebracht. -- HilberTraum (d, m) 17:41, 9. Dez. 2017 (CET)

Wie gesagt ${\frac {d}{dt}}\Phi (t\cdot x)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial \Phi }{\partial (tx_{j})}}(t\cdot x)\cdot x_{j}={\frac {1}{t}}\cdot \sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}(t\cdot x)\cdot x_{j}\,$ Derselbe Fehler taucht auch im zweiten Teil des Beweises auf. Hier müsste es richtig heißen ${\frac {d}{dt}}\Phi (t\cdot x)={\frac {1}{t^{2}}}\cdot \sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}(t\cdot x)\cdot tx_{j}\,$ --Walter Lorenz (Diskussion) 22:35, 10. Dez. 2017 (CET)

Das stimmt schon: ${\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}(t\cdot x)$ bedeutet, dass man zuerst $\Phi (x)$ nach $x_{j}$ ableitet und danach $t\cdot x$ für $x$ einsetzt, nicht umgekehrt. -- HilberTraum (d, m) 10:16, 11. Dez. 2017 (CET)

Rechnen Sie doch einfach einmal ein Beispiel durch, etwa $\Phi (y):=y^{2}$. An der Stelle $y:=tx$ erhält man für die Ableitung nach t ${\frac {d}{dt}}\Phi (tx)=2tx^{2}$. Die Ableitung nach x an der Stelle tx ist ${\frac {\partial \Phi }{\partial x}}(tx)=2t^{2}x$. Also ${\frac {d}{dt}}\Phi (tx)={\frac {1}{t}}\cdot {\frac {\partial \Phi }{\partial x}}(tx)\cdot x\,$. Leitet man dagegen nach y ab, erhält man (und das ist die Kettenregel) ${\frac {d}{dt}}\Phi (tx)={\frac {\partial \Phi }{\partial y}}(tx)\cdot {\frac {\partial y}{\partial t}}(t)={\frac {\partial \Phi }{\partial (tx)}}(tx)\cdot {\frac {\partial y}{\partial t}}(t)={\frac {\partial \Phi }{\partial y}}(tx)\cdot x=2(tx)\cdot x\,$ --Walter Lorenz (Diskussion) 08:58, 12. Dez. 2017 (CET)

Die Bezeichnungen im Artikel sind anders. Dort wäre $\Phi (x):=x^{2}$ und ${\frac {\partial \Phi }{\partial x}}(x)=\Phi '(x)=2x$ ist einfach die Ableitung von $\Phi$. Danach wird erst $tx$ in die Ableitung eingesetzt: $\Phi '(tx)=2tx$. Im mehrdimensionalen Fall entspricht dieser Ableitung der Gradient von $\Phi$ an der Stelle $tx$. -- HilberTraum (d, m) 12:39, 12. Dez. 2017 (CET)

Die Kettenregel bringt man ja gerne auf die Formel "äußere Ableitung mal innere Ableitung". Hierbei ist es üblich, die Variable, nach welcher man die äußere Ableitung durchführt, nicht mit dem Namen von einer der Variablen zu bezeichnen, welche im inneren Funktionsterm auftreten. Das ist auch gut so, denn sonst führt das schnell zu heillosen Verwirrungen. In der Funktion $\Phi (tx)$ ist $tx$ der innere Funktionsterm, die innere Ableitung nach $t$ ist also $x$. Für die äußere Ableitung wählt man wie gesagt praktischer Weise eine andere Variablenbezeichnung, also etwa $y:=tx$. Dann ist ${\frac {d}{dt}}\Phi (tx)={\frac {\partial \Phi }{\partial y}}(tx)\cdot {\frac {\partial y}{\partial t}}(t)={\frac {\partial \Phi }{\partial (tx)}}(tx)\cdot {\frac {\partial tx}{\partial t}}(t)\,$

Natürlich kann man auch die Ableitung von $\Phi (tx)$ nach $x$ bilden. Das ist allerdings etwas ganz anderes, als die äußere Ableitung und für den hier in Rede stehenden Beweis braucht man diese Ableitung überhaupt nicht. Der Vektor $x$ hat in diesem Zusammenhang die Rolle einer Konstanten, nach welcher nicht differenziert wird. In meinem Beweis habe ich diesen Vektor mit $a$ bezeichnet und das Symbol $x$ für den Term $ta$ gewählt, wofür ich oben $y$ geschrieben habe.

Sie schreiben an den entscheidenden Stellen einfach $\Phi '$ für die Ableitung und umgehen damit die Forderung, präzise zu sagen, welche Ableitung gemeint ist. In dem Ausdruck $\Phi '(tx)=2tx$ handelt es sich um die äußere Ableitung, also weder die Ableitung nach $t$, noch die Ableitung nach $x$, sondern die Ableitung nach $tx$.--Walter Lorenz (Diskussion) 22:13, 15. Dez. 2017 (CET)

Na ja, in der Mathematik werden ja Funktionen differenziert und nicht Terme, also kann gar nicht „nach $tx$“ differenziert werden. Insbesondere bei einer Funktionen $\Phi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ einer einzigen Variablen ist $\Phi '$ einfach die Ableitungsfunktion und es stellt sich gar nicht die Frage „nach was“ abgeleitet wird. Ich habe habe aber jetzt mal noch im Artikel ergänzt, was mit ${\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}$ gemeint ist. -- HilberTraum (d, m) 18:28, 17. Dez. 2017 (CET)

Anmerkung zu: Die einzige Lösung dieses Anfangswertproblems ist offenbar $f(t)=t^{\lambda }\cdot \Phi (x)$. – Ich fände die folgende Formulierung klarer: Eine Lösung dieses Anfangswertproblems ist $f(t)=t^{\lambda }\cdot \Phi (x)$ und nach einem/dem Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen (eine Referenz einfügen) ist die Lösung eindeutig.. Spätestens hier fällt auf, dass eine Gebietsangabe ($t>0$) wichtig wird. – Außerdem würde ein Hinweis, dass die Voraussetzung der Euler-Relation beim dritten Gleichheitszeichen genutzt wird, für Nichtmathematiker zum schnelleren Verständnis beitragen. Worte wie offenbar in math. Beweisen sind zwar beliebt, aber meist nicht hilfreich. Der Artikel wendet sich ja auch an weniger mathematisch Geübte.ArchibaldWagner (Diskussion) 21:51, 17. Dez. 2017 (CET)

+1, halte ich für sinnvolle Verbesserungen. -- HilberTraum (d, m) 15:38, 18. Dez. 2017 (CET)

Die Anwendung der Kettenregel in diesem Beweis ist fehlerhaft. Es soll die Funktion $\Phi (t\cdot x)$ nach $t$ abgeleitet werden.Setzen wir $y:=t\cdot x$, so ergibt die Kettenregel

${\frac {d}{dt}}\Phi (t\cdot x)={\frac {d}{dt}}(\Phi \circ y(t))=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial \Phi }{\partial y_{j}}}(t\cdot x)\cdot {\frac {\partial y}{\partial t}}(t)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial \Phi }{\partial y_{j}}}(t\cdot x)\cdot x_{j}$

Das kann man in jedem Buch über elementare Analysis nachlesen. Die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}$ sind etwas ganz anderes, sie werden bei dieser Variante des Beweises allerdings nicht benötigt. Man kann den Beweis auch über die partiellen Ableitungen nach den $x_{j}$ führen, wie das z.B. in dem früheren Beweis https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Homogene_Funktion&diff=133639242&oldid=133638308 gemacht wurde. Ich gebe Ihnen recht, dass dieser Beweis umständlicher und für Anfänger schwerer zu durchblicken ist.

In meinem Beweis habe ich bewusst auf die Verwendung von partiellen Ableitungen verzichtet, weil die Unterschiede zwischen den partiellen Ableitungen ${\frac {\partial \Phi }{\partial y_{j}}}$ und ${\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}$ für mathematische Laien nur schwer nachzuvollziehen sind. Man kommt gänzlich ohne partielle Ableitungen aus, wenn man die Richtungsableitung benutzt. Dies ist auch für das geometrische Verständnis des Sachverhaltes förderlicher, denn die positiv homogenen Funktionen sind ja gerade durch ihr Verhalten auf den vom Nullpunkt ausgehenden Strahlen charakterisiert. --Walter Lorenz (Diskussion) 13:14, 21. Dez. 2017 (CET)

"Die Anwendung der Kettenregel in diesem Beweis ist fehlerhaft." Na ja - das kommt darauf an welche Schreibweisen man so gewöhnt ist. Als ich Diff- und Intrechnung bei einem sehr formalen Logiker lernte, wäre diese Schreibweise tatsächlich unmöglich gewesen, dafür waren seine Beweise auch sehr lang. Streng genommen müsste wirklich alle Funktionen schön explizit mit den Wertebereichen und Differentierbarkeits-Eigenschaften explizit aufgeschrieben werden. Aber was mir so in der Physik und auch in Mathematikbüchern begegnet ist, so ist es so wie im Lemmatext aufgeschrieben ziemlich üblich und dürfte auch von den meisten richtig verstanden werden. Mit der Bezeichnung fehlerhaft wäre ich doch etwas vorsichtiger. Aber sicher könnte man das genauer aufschreiben nur Deine Art es aufzuschreiben fand ich nun auch nicht besonders durchsichtig. Und zu behaupten: es geht ganz ohne partielle Ableitung löst bei mir schon etwas Verwunderung aus, dieweil das Euler Theorem für homogene Funktionen meist mit partiellen Ableitungen in der Literatur zu finden ist. ArchibaldWagner (Diskussion) 18:34, 22. Dez. 2017 (CET)

Der frühere Beweis (https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Homogene_Funktion&diff=133639242&oldid=133638308) war zwar umständlich, aber zumindest korrekt. Wie man dort nachlesen kann, erhält man

${\frac {d}{dt}}\Phi (t\cdot x)=\sum _{j=1}^{k}t^{\lambda -1}\cdot {\frac {\partial \Phi (x)}{\partial x_{j}}}(x)\cdot x_{j}=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial \Phi (t\cdot x)}{\partial x_{j}}}(x)\cdot {\frac {x_{j}}{t}}$

Das ist nicht vereinbar mit der im jetzigen Beweis auftauchenden Formel

${\frac {d}{dt}}\Phi (t\cdot x)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}(t\cdot x)\cdot x_{j}$

Wenn man sich auf die Ableitung an der Stelle $tx$ beziehen möchte, muss hier nämlich die äußere Ableitung stehen und nicht die partielle Ableitung nach $x_{j}$. Man kann die Verwirrungen um die verschiedenen Varianten der Ableitungen vermeiden, wenn man auf die koordinatenspezifischen partiellen Ableitungen nach den $x_{j}$ verzichtet. Man kann den Beweis nämlich mit Hilfe der Richtungsableitungen führen, ohne auf spezielle Koordinaten einzugehen. Das habe ich in meiner Bearbeitung des Beweises getan, siehe https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Homogene_Funktion&diff=171514538&oldid=171453266. Auf diese Weise kann man sich auch eine gute geometrische Vorstellung davon machen, was bei den einzelnen Beweisschritten passiert. --Walter Lorenz (Diskussion) 19:52, 27. Dez. 2017 (CET)

Beispiele für konkrete Funktionen fehlen

Prominente Beispiele sind Potenzfunktionen weiterhin, Polynome, welche aus Monomen vom gleichen Grad aufgebaut sind (siehe en:wiki). Bitte einfügen--2003:6B:93A:85A2:441F:234D:FE51:B3DA 21:35, 12. Jan. 2015 (CET)

Artikelstruktur irritiert mich

Hierher geleitet von einem Lemma aus der Thermodynamik konnte ich beim Lesen des Artikels die für mich relevanten Aussagen erst nach einer ganzen Weile erkennen. Ich denke das Lemma sollte anders strukturiert sein:

• Im Abschnitt Definition(en) sollte als Unterabschnitt die Defnition der homogenen Funktion und dann die Definition der positiv homogenen Funktion sein. Die Definition sollten gleichartig formuliert sein (Aufbau, Text, Symbole), so dass ein Leser schnell den Unterschied erkennt. Dieser liegt ja offenbar in den Wertebereichen der Parameter. Soweit ich das überblicke ist nach der gegebenen Definition eine homogene Funktion auch zugleich eine positiv homogene Funktion aber nicht umgekehrt, wenn dem so ist sollte es unbedingt auch dort stehen. Damit gilt zumindest die eine Richtung des Euler-Theorem auch für homogene Funktionen.
• Nach dem Abschnitt Definition könnte ein Abschnitt Beispiele kommen, aber nur mit einfach zu durchschauenden Beispielen aus der Mathematik, wie Polynome und einer einfachen Funktion die positiv homogen aber nicht allgemein homogen ist.
• Dann ein Abschnitt mit dem Euler-Theorem und dessen Herleitung
• Dann ein oder mehrere Abschnitt(e) mit Anwendungsbeispielen aus anderen Disziplinen wie Thermodynamik und den Wirtschaftswissenschaften.

Was der Abschnitt mit dem Begriff Homothetie aus der Volkswirtschaft hier zu suchen hat, ist mir schleierhaft. Außerdem halte ich den assoziativen Link zu Hauptartikel Euler-Theorem nicht für wirklich hilfreich, da sich dort nur eine Definition mit Begriffen aus den Wirtschaftswissenschaften findet. ArchibaldWagner (Diskussion) 11:54, 5. Okt. 2017 (CEST)

Das sind schon richtige Punkte, die du ansprichst, die aber wohl im Wesentlichen darauf hinauslaufen, dass man den Artikel ganz neu schreiben sollte ;-) Wichtig wären dazu aber ordentliche Quellen, mit denen man die verbreitetsten Definitionen darstellen kann. Die Encyclopaedia of Mathematics, die momentan unter „Literatur“ steht, hat ja mMn eine eher ungewöhnliche Definition, bei der gleich von Anfang an $t>0$ vorausgesetzt wird. Grüße -- HilberTraum (d, m) 19:39, 6. Okt. 2017 (CEST)

Ich habe leider nur Literatur aus den 60- und 70-er Jahren im Regal stehen. Im Erwe "Differential und Integralrechnung" aus der BI-Hochschultaschenbücher-Serie wird eine homogene Funktion auch nur für $t>0$ definiert; Erwe spricht auch nicht vom Euler-Theorem sondern von der Eulerschen Homogenitätsrelation. Im Fachlexikon Mathematik von 1978 (Verlag Harri Deutsch) ist bei der homogene Funktionen $t$ eine beliebige reelle Zahl, dort wird behauptet der Eulersche Satz gilt (in beiden Richtungen) für jede homogene Funktion. Es wird dort aber auch die "positive homogene Funktion" für $t>0$ definiert. In "Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung" von A. Ostrowski (Auflage 1961) wird in dem Paragraphen "Eulerscher Satz über homogene Funktionen" sowohl von Funktionen homogen von der Dimension s und von positiv homogen von der Dimension s gesprochen. Interessant ist bei Ostrowski der Hinweis, dass die Funktion nicht für alle Argumente definiert oder stetig sein muss, für den Beweis des Euler Satzes sei es ausreichend, wenn die Funktion nur in einem offenen Kegel mit der Spitze im Nullpunkt des $\mathbb {R} ^{k}$ definiert ist. Die Relation mit den partiellen Ableitungen bezeichnet er als Eulersche Differentialgleichung für positiv homogene Funktionen der Dimension s. Mir stellt sich hier die Frage: inwieweit solch ältere Lehrbücher noch hier bei Wikiedia als Nachweis dienen können (für Standard-Lehrstoff), denn die Bücher dürften heute nur noch schwer zugänglich sein.ArchibaldWagner (Diskussion) 22:03, 6. Okt. 2017 (CEST)